giáo trình xác suất thống kê kinhtế advanced mathematics and propability statistics

Nghiên cứu về nhu cầu tiêu dùng mặt hàng A tại một khu dân cư, một cuộc điều tra khách quan nhu cầu (kg/tháng) về mặt hàng này trên 400 hộ dân của khu dân cư đó được tiến hành. Giá cổ [r]

(1)

Chương

THỐNG KÊ TỐN

§1 LÝ THUYẾT MẪU

1.1 Khái niệm tổng thể mẫu



Tổng thể

Tổng thể (hay cịn gọi đám đơng) khái niệm lý thuyết thống kê khơng có định nghĩa xác Có thể hiểu tổng thể sau: Khi nghiên cứu vấn đề phần tử một tập hợp thì, tập hợp, có phần tử đối tượng ta nghiên cứu,

gọi tổng thể

Về vấn đề nghiên cứu tổng thể, tính chất hay vấn đề lượng (trọng lượng, kích thước, sản lượng, suất, …) Nếu vấn đề nghiên cứu tổng thể tính chất A, khảo sát tổng thể, phần tử tổng thể chia làm hai loại: Có tính chất A khơng có tính chất A Khi ta thường quan tâm đến tỷ số số phần tử có tính chất A với số phần tử tổng thể Người ta gọi tỷ số tỷ lệ tổng thể, ký hiệu p Nếu vấn đề nghiên cứu tổng thể dấu hiệu X lượng, khảo sát tổng thể, X đại lượng ngẫu nhiên Khi ta thường quan tâm đến số đặc trưng X

Người ta gọi kỳ vọng M(X) trung bình tổng thể, ký hiệu  phương

sai D(X) phương sai tổng thể, ký hiệu 2

Tỷ lệ tổng thể, trung bình tổng thể, phương sai tổng thể gọi số đặc trưng tổng thể



Mẫu

Khi nghiên cứu tổng thể, nhiều lý mà ta khơng thể khảo sát tồn phần tử tổng thể Chẳng hạn nghiên cứu người có giới tính nam người Việt nam, ta khảo sát toàn phần tử tổng thể phải huy động sức người, sức lớn Hoặc nghiên cứu số người cai nghiện số người bị nghiện ta khơng xác định tổng thể xác… Do người ta thường chọn từ tổng thể n phần tử để nghiên cứu vấn đề tổng thể Tập hợp gồm n phần tử chọn từ

tổng thể để nghiên cứu vấn đề tổng thể gọi mẫu tổng thể, n gọi kích thước mẫu Thường kích thước mẫu nhỏ

nhiều so với số phần tử tổng thể nên có khả thực tế để thu thập, xử lý khai thác thông tin mẫu cách nhanh chóng, tồn diện

(2)

lấy mẫu, sau khai thác thơng tin mẫu, cuối suy rộng kết cho tổng thể gọi phương pháp mẫu

Do phương pháp mẫu ta phải suy rộng kết mẫu cho tổng thể nên mẫu phải đại diện cho tổng thể Muốn mẫu phải lấy từ tổng thể cách ngẫu nhiên, khơng có bố trí xếp trước, bảo đảm phản ánh chất vấn đề tổng thể Mẫu chọn đại diện cho tổng thể gọi mẫu ngẫu nhiên Các mẫu đề cập phần sau đểu coi mẫu ngẫu nhiên

1.2 Phân loại mẫu



Mẫu tổng quát mẫu cụ thể

Xét mẫu có kích thước n Khi khảo sát ngẫu nhiên dấu hiệu X tổng thể phần tử thứ i mẫu ta đại lượng ngẫu nhiên ký hiệu Xi (i = 1, 2, … , n) Khi đại lượng ngẫu nhiên n-chiều (X1, X2, … , Xn)

được gọi mẫu tổng quát Mỗi giá trị nhận (x1, x2, … , xn) mẫu

tổng quát (X1, X2, … , Xn) gọi mẫu cụ thể Hay nói khác đi,

kết khảo sát cụ thể dấu hiệu X tổng thể phần tử mẫu cho ta mẫu cụ thể Trong lý thuyết thống kê, xét vấn để lý thuyết ta sử dụng mẫu ngẫu nhiên Còn giải vấn đề cụ thể ta sử dụng mẫu cụ thể



Mẫu định tính mẫu định lượng

Mẫu (x1, x2, … , xn) , xi nhận hai giá trị 1,

được gọi mẫu định tính Như vậy, mẫu định tính mẫu mà dấu hiệu X ta nghiên cứu mẫu tính chất A Khi khảo sát cụ thể tính chất A phần tử mẫu, phần tử có tính chất A giá trị 1, ngược lại Trong thực tế, mẫu định tính thường xác định hai số nguyên: n kích thước mẫu m số phần tử mẫu có tính chất A Mẫu (x1, x2, … , xn) , xi nhận giá trị số thực tùy ý,

gọi mẫu định lượng Như vậy, mẫu định lượng mẫu có dạng véctơ n-chiều (x1, x2, … , xn), xi kết khảo sát cụ thể dấu hiệu X

phần tử thứ i mẫu

Trong thực tế, mẫu định lượng có kích thước n với vấn đề nghiên cứu dấu hiệu X, thường xác định dạng bảng sau:

X x1 x2 xk

ni n1 n2 nk

Hay:

X x1 – x2 x2 – x3 … xk – xk+1

(3)

Trong đó: x1 < x2 < … < xk kết khảo sát cụ thể dấu hiệu X

trên phần tử mẫu, ni tần số xi n1 + n2 + … + nk = n

1.3 Các số đặc trưng mẫu cụ thể



Tỉ lệ mẫu

Định nghĩa Tỉ lệ mẫu mẫu định tính có kích thước n, có m phần tử có tính chất A, số ký hiệu xác định sau:

m f

n



Ví dụ Nghiên cứu nam sinh viên khoa, người ta khảo sát ngẫu nhiên 100 sinh viên thấy có 80 sinh viên nam Tỉ lệ nam sinh viên số sinh viên khảo sát coi tỉ lệ mẫu tính sau:

80

f 0,8

100

 



Trung bình mẫu – Phương sai mẫu

Định nghĩa Trung bình mẫu mẫu định lượng (x1, x2, … , xn)

số ký hiệu xác định sau:

1 n

x x x

x

n    

Phương sai mẫu mẫu định lượng (x1, x2, … , xn) số không âm

được ký hiệu xác định sau:

2 2

2

1

(x x) (x x) (xn x)

s

n

     



Trong trường hợp mẫu định lượng xác định dạng bảng:

X x1 x2 … xk

ni n1 n2 … nk

Thì trung bình mẫu phương sai mẫu mẫu tính theo cơng thức sau:

2 2 1 2

1

  

  

   kk k

x n x n x n

x s x x

n n n

Trong đó:

2 2

2 1 2

  



   kk k

x n x n x n

x

n n n

Với phương sai mẫu, ta cịn có số đặc trưng liên quan phương sai

mẫu hiệu chỉnh ký hiệu s2

(hay xn –

), độ lệch mẫu ký hiệu

là s (hay xn) , độ lệch mẫu hiệu chỉnh kí hiệu s (hay xn – 1)

(4)

2 2     n

s s s s s s

n

Ví dụ Tính số đặc trưng mẫu sau:

X 10 15 20

ni 17 28 30 25

Giải

Ta có:

2 2

2 2 2 2

5 17 10 28 15 30 20 25

13,15 100

5 17 10 28 15 30 20 25

199,75 100

199,75 13,15 26,8275

100 26,8275

27,0985

1 99

26,8275 5,1795

27,0985 5, 2056

                                x x s n s s n s s s s

Chú ý Khi xét mẫu tổng quát (X1, X2, … , Xn), trung bình mẫu,

phương sai mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh mẫu tổng quát đại

lượng ngẫu nhiên ký hiệu xác định sau:

1

2 2

2

1

2 2

2

X + X + + X X

n

(X X ) + (X X) + + (X X) S

n

(X X ) + (X X) + + (X X) S n           n n n

Người ta chứng minh được: Nếu đại lượng ngẫu nhiên X tổng thể có

phân phối chuẩn X  N( ; 2), trung bình mẫu mẫu có kích thước n

cũng đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn XN( ;

2

n

 )

1.4 Phương pháp tính số đặc trưng bảng

Cho mẫu định lượng dạng bảng sau:

X x1 x2 … xk

(5)

Khi k lớn việc tính đặc trưng mẫu cơng thức nêu thường dễ có sai sót Để tránh sai sót xảy tính tốn, người ta thường tính đặc trưng mẫu phương pháp lập bảng sau:



Phương pháp tính trực tiếp

Bước1 Từ mẫu cho ta lập bảng gồm bốn cột sau:

xi ni ni xi nixi2

x1 x2 … xk n1 n2 … nk

x1n1

x2n2

… xknk

x1 n1 x2 n2 … xk nk

n x x2

Bước2 Từ bảng ta tính trung bình mẫu phương sai mẫu theo công thức sau:

2 2 2 x x n x

x s x x

n  



   

X 25 30 33 34 35 36 37 39 40 ni 13 38 74 106 85 30 10

Giải

Ta có:

xi ni ni xi nixi 25 30 33 34 35 36 37 39 40 13 38 74 106 85 30 10 150 390 1254 2516 3710 3060 1110 390 120 3750 11700 41382 85544 129850 110160 41070 15210 4800

365 12700 443466

(6)

2 2 12700 34,7945 365 443466

1214,9753 1214,9753 34,7945 4,3181 365

365 4,3181

4,33 4,33 2,0809 364              x x s s s



Phương pháp đổi biến số

Bước1 Từ mẫu cho, ta thực phép đổi biến số theo công thức sau:

i i x x u h 

 (i = 1, 2, … , k)

Trong x0 giá trị xi ứng với tần số ni lớn h khoảng cách

nhỏ giá trị xi mẫu

Bước2 Lập bảng gồm năm cột sau:

xi ui ni ni ui niui

2 x1 x2 … xk u1 u2 … uk n1 n2 … nk

u1n1

u2n2

… uknk

u1 n1 u2 n2 … uk2nk

n u u2

Bước3 Tính trung bình mẫu phương sai mẫu theo cơng thức sau:

0

2 2

2

2 2

( )

u

u x u h x

n u

u s u u h

n 

   



   

X ni

54,795 – 54,805 54,805 – 54,815 54,815 – 54,825 54,825 – 54,835 54,835 – 54,845 54,845 – 54,855 54,855 – 54,865 54,865 – 54,875

14 33 47 45 33 15 Giải

(7)

54,83 0,01

i i

x u  

(Ở ta chọn x0 = 54,83 tần số lớn mẫu 47 trung bình

cộng khoảng 54,825 – 54,835 54,83 Ngoài khoảng cách xi mẫu 0,01 nên ta chọn h = 0,01)

Khi ta lập bảng sau:

xi ui ni ui ni ui

2

ni

54,795 – 54,805 54,805 – 54,815 54,815 – 54,825 54,825 – 54,835 54,835 – 54,845 54,845 – 54,855 54,855 – 54,865 54,865 – 54,875

54,80 54,81 54,82 54,83 54,84 54,85 54,86 54,87 - - - 1 14 33 47 45 33 15 - 18 - 28 - 33 45 66 45 28 54 56 33 45 132 135 112

200 105 567

Từ ta tính số đặc trưng mẫu cho là:

2

2 2

105

0,525 0,525 0,01 54,83 54,8353 200

567

2,835 [2,835 0,525 ] 0,01 0,0003 200

      

      

u x

u s

2 0,0003 200

0,0003 0,0003 0,0174

199



   

s s

1.5 Phương pháp tính số đặc trưng máy tính

Cho mẫu định lượng dạng bảng:

X x1 x2 … xk

ni n1 n2 … nk

Với máy tính CASIO fx – 500MS hay fx – 570MS, ta tính số đặc trưng mẫu theo cú pháp sau:

1 Vào chương trình SD tính đặc trưng mẫu  Máy tính f x – 500MS:

MODE 

 Máy tính f x – 570MS:

MODE  MODE 

2 Nhập liệu mẫu cho

(8)

x2  SHIFT    n2  M+

xk  SHIFT    nk  M+

Kết thúc phần nhập liệu, ta bấm phím AC Xuất kết thống kê

 Các kết liên quan đến tổng số:

x2 : SHIFT    =

x : SHIFT    =

n : SHIFT    =

 Các kết liên quan đến số đặc trưng:

x : SHIFT    =

s : SHIFT    =

s : 2 SHIFT    =  x

2

 =

s : SHIFT    =

s2 : SHIFT    =  x2  =

Thốt khỏi chương trình

 Để thoát khỏi liệu mẫu nhập để nhập liệu mẫu khác ta thực theo cú pháp:

SHIFT MODE   =  AC

 Để thoát khỏi chương trình SD tính đặc trưng mẫu ta thực theo cú pháp:

Hay:

Chú ý

(9)

 Ta chỉnh sửa liệu nhập cách bấm liên tiếp phím ▲ hay ▼ để gọi liệu cần chỉnh sửa lên Đến liệu cần chỉnh sửa, ta bấm liệu cần nhập bấm phím = liệu thay liệu củ

X 25 30 33 34 35 36 37 39 40 ni 13 38 74 106 85 30 10

Giải

Sử dụng máy tính fx – 500MS hay fx – 570MS, ta vào chương trình SD nhập liệu từ mẫu sau:

25  SHIFT     M+

30  SHIFT    13  M+

33  SHIFT    38  M+

34  SHIFT    74  M+

35  SHIFT    106  M+

36  SHIFT    85  M+

37  SHIFT    30  M+

39  SHIFT    10  M+

40  SHIFT     M+

Khi ta có kết sau:

SHIFT    =  x2 = 443,466

SHIFT    = x = 12,700

SHIFT    = n = 365

SHIFT    = x = 34,7945

SHIFT    = s = 2,0777

 x2  =

s = 4,3167

(10)

 x2  = s2 = 4,3167

Ghi Để tính đặc trưng mẫu dạng bảng máy tính CASIO fx – 500ES hay fx – 570ES, ta thực sau:

1 Vào chương trình SD tính đặc trưng mẫu

Cài đặt tần số: Vào SET UP, kéo qua trang sau chọn STAT, chọn ON Vào SD: Bấm MODE, chọn STAT, chọn – VAR

Theo hướng dẫn máy để nhập liệu mẫu Kết thúc bấm AC Xuất kết thống kê

Vào STAT (bấm SHIFT 1), chọn Sum muốn tính tổng, chọn Var muốn tính số đặc trưng

Thoát khỏi chương trình

Bấm SHIFT , bấm , chọn cách thoát , bấm = , bấm AC

1.6 Mẫu hai chiều

Bây ta xét trường hợp mẫu ta khảo saùt đồng thời hai

dấu hiệu định tính hay định lượng Khi nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu định lượng X Y phần tử mẫu, người ta thường quan tâm đến kết khảo sát cụ thể đồng thời hai dấu hiệu phần tử mẫu Giả sử kết khảo sát cụ thể đồng thời hai dấu hiệu X, Y

phần tử thứ i mẫu cho kết quả: Dấu hiệu X cho kết xi (ký hiệu

X = xi) dấu hiệu Y cho kết yi (ký hiệu Y = yi), ta ghi kết

khảo sát (xi , yi)

Một mẫu có kích thước n, kết khảo sát cụ thể đồng thời hai

dấu hiệu định lượng X , Y phần tử mẫu là: (x1, y1),

(x2 , y2), … , (xn , yn), trình bày dạng tương ứng sau gọi mẫu

tương quan cặp:

X x1 x2 xn

Y y1 y2 yn

Trong thực tế, mẫu tương quan cặp xếp lại xác định dạng sau gọi mẫu tương quan bảng hay mẫu hai chiều:

Y X

y1 y2 … yh

x1 n11 n12 … n1h

x2 n21 n22 … n2h

…

(11)

Trong đó:

.

phần tử mẫu

.

phần tử mẫu

trong mẫu có kết khảo sát cụ thể dấu hiệu X xi dấu hiệu Y yj

(i = 1,2, , k ; j = 1, 2, , h)

Ví dụ Khảo sát cụ thể đồng thời hai dấu hiệu X Y phần tử mẫu có kích thước 11, ta có kết quả: (1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 2) , (2 , 2) , (2 , 2) , (2 , 3) , (2 , 3) , (3 , 3) , (3, 3) , (3, 5) , (4, 6)

Dạng tương quan cặp mẫu là:

X 1 2 2 3

Y 2 2 3 3

Trong mẫu ta thấy: có phần tử mẫu nhận giá trị X = Y = 1,

có phần tử mẫu nhận giá trị X = Y = 2, có phần tử mẫu nhận giá trị X = Y = 2, có phần tử mẫu nhận giá trị X = Y = 3, có phần tử mẫu nhận giá trị X = Y = 3, có phần tử mẫu nhận giá trị X = Y = 5, có phần tử mẫu nhận giá trị X = Y = Do dạng tương quan bảng mẫu là:

Y X

1

2 2

3

4

Chú ý Với mẫu hai chiều sau:

X

y1 y2 … yh

x1 n11 n12 … n1h

x2 n21 n22 … n2h

…

xk nk1 nk2 … nkh

(12)

X x1 x2 xk

ni n1 n2 nk

Trong đó: ni = ni1 + ni2 + + nih (i = 1,2, ,k) n1 + n2 + + nk = n

Y y1 y2 Yh

mj m1 m2 mh

Trong đó: mj = n1j + n2j + + nkj (j = 1,2, ,h) m1 + m2 + + mh = n

Khi ba mẫu: Mẫu hai chiều theo hai dấu hiệu X Y, mẫu theo dấu hiệu X theo dấu hiệu Y trình bày chung bảng sau:

Y X

y1 y2 … yh ni

x1 n11 n12 … n1h n1

x2 n21 n22 … n2h n2

…

xk nk1 nk2 … nkh nk

mj m1 m2 … mh n

Ví dụ Với mẫu có kích thước 11 cho ví dụ trên:

Mẫu theo dấu hiệu X đưọc xác định sau:

X

ni

Mẫu theo dấu hiệu Y đưọc xác định sau:

Y

mj 4 1

Mẫu chung cho ba xác định sau: Y

X

1 ni

1 0

2 2 0

3 0

4 0 0 1

mj 4 1 n = 11

1.7 Các số đặc trưng mẫu hai chiều

Cho mẫu hai chiều sau: Y

X

(13)

x2 n21 n22 … n2h n2 … … … … … …

xk nk1 nk2 … nkh nk

mj m1 m2 … mh n

Khi xét theo dấu hiệu X, mẫu có hai số đặc trưng trung bình mẫu phương sai mẫu theo X ký hiệu xác định sau:

1 2

2 2

2 2 2

1 2

,           k k k k X

x n x n x n

x

n

x n x n x n

s x x x

n

Khi xét theo dấu hiệu Y, mẫu có hai số đặc trưng trung bình mẫu phương sai mẫu theo Y ký hiệu xác định sau:

1 2

2 2

2 2 2

1 2

,           h h h h Y

y m y m y m

y

n

y m y m y m

s y y y

n

Khi xét đồng thời hai dấu hiệu X Y, mẫu có số đặc trưng gọi trung bình chung ký hiệu xác định sau:

11 1 1h h 21 2h h k1 k kh k h

n x y n x y n x y n x y n x y n x y

xy

n

        



Ví dụ Tính số đặc trưng mẫu hai chiều sau: Y

X

1 ni

1 0

2 2 0

3 0

4 0 0 1

mj 4 1 n = 11

Giải

(14)

2 2

2

2 2 2

2

1 3

2,1818 11

1 3

5,6364 11

5,6364 2,1818 0,8761

1 4

2,9091 11

1 4

10,3636 11

10,3636 2,9091 1,9007

      

 

      

 

  

        

 

        

 

  

X

Y

x x s y y s

1 1 2 2 3 11

3

7, 4545 11

              

    

 

xy

Chú ý Ta tính số đặc trưng mẫu hai chiều máy tính CASIO fx – 500MS hay fx – 570MS theo cú pháp sau:

Vào chương trình REG tính đặc trưng mẫu hai chiều  Máy tính f x – 500MS:

MODE  

 Máy tính f x – 570MS:

MODE  MODE  

x1  ,  y1  SHIFT    n11  M+

x1  ,  y2  SHIFT    n12  M+

x1  ,  yh  SHIFT    n1h  M+

x2  ,  y1  SHIFT    n21  M+

x2  ,  y2  SHIFT    n22  M+

(15)

x2  ,  yh  SHIFT    n2h  M+

xk  ,  y1  SHIFT    nk1  M+

xk  ,  y2  SHIFT    nk2  M+

xk  ,  yh  SHIFT    nkh  M+

Kết thúc phần nhập liệu, ta bấm phím AC Xuất kết thống kê

 Các số đặc trưng theo dấu hiệu X:

x : SHIFT    =

X

s : SHIFT    =

2

X

s : SHIFT    =  x

2

 =  Các số đặc trưng theo dấu hiệu Y:

y : SHIFT   ►   =

Y

s : SHIFT   ►   =

 Trung bình chung:

xy : SHIFT   ►   =

   n  =

Với máy tính CASIO fx – 500ES hay fx – 570ES, ta thực sau:

1 Vào chương trình REG tính đặc trưng mẫu hai chiều

Cài đặt tần số: Vào SET UP, kéo qua trang sau chọn STAT, chọn ON Vào REG: Bấm MODE, chọn STAT, chọn A + BX

Theo hướng dẫn máy để nhập liệu mẫu Kết thúc bấm AC Xuất kết thống kê

Vào STAT (bấm SHIFT 1), chọn Sum muốn tính tổng, chọn Var muốn tính số đặc trưng

(16)

Bấm SHIFT , bấm , chọn cách thoát , bấm = , bấm AC Ví dụ Tính đặc trưng mẫu sau:

Y X

3

21

23 11

25 15 10

27 17

29 12

Giải

Sử dụng máy tính fx – 500MS hay fx – 570MS, ta vào chương trình REG nhập liệu từ mẫu sau:

21  ,   SHIFT     M+

23  ,   SHIFT     M+

23  ,   SHIFT    11  M+

25  ,   SHIFT     M+

25  ,   SHIFT    15  M+

25  ,   SHIFT    10  M+

27  ,   SHIFT     M+

27  ,   SHIFT    17  M+

27  ,   SHIFT     M+

29  ,   SHIFT     M+

29  ,   SHIFT    12  M+

Khi ta có kết sau:

SHIFT    = x = 25,74

SHIFT    =

X

s = 2,2918

 x2  =

X

s =5,2524

SHIFT   ►   = y = 6,02

SHIFT   ►   =

Y

(17)

SHIFT   ►   =    n  = xy = 157,2

1.8 Hệ số tương quan mẫu

Khi ta khảo saùt đồng thời hai dấu hiệu định lượng X Y phần tử mẫu, nhiều trường hợp người ta quan tâm đến mối quan hệ tương quan hai dấu hiệu thể phần tử mẫu

Định nghĩa Hệ số thể cường độ chiều hướng quan hệ tương quan hai dấu hiệu X Y mẫu gọi hệ số tương quan mẫu Hệ số tương quan mẫu mẫu hai chiều theo hai dấu hiệu X Y, ký hiệu rXY hay r, số thuộc đoạn [- l , 1] xác định sau:

 

XY

X Y

xy x y r

s s

Trong xy x y s, , , X , sY trung bình chung, trung bình theo dấu hiệu X, trung bình theo dấu hiệu Y, độ lệch mẫu theo dấu hiệu X, độ lệch mẫu theo dấu hiệu Y

Nếu hai dấu hiệu khảo sát X Y độc lập mẫu hệ số tương

quan mẫu rXY = Nếu rXY ta nói hai dấu hiệu X Y có mối quan hệ

tương quan phụ thuộc Nếu rXY < hai dấu hiệu X Y có mối quan hệ

tương quan nghịch, nghĩa X có chiều hướng tăng lên (giảm xuống)

Y có chiều hướng giảm xuống (tăng lên) Nếu rXY > hai dấu hiệu X

Y có mối quan hệ tương quan thuận, nghĩa X có chiều hướng tăng lên (giảm xuống) Y có chiều hướng tăng lên (giảm xuống) Nếu giá trị tuyệt đối rXY lớn (càng gần 1) mối quan hệ tương quan phụ

thuộc X Y chặt chẽ Nếu rXY = ta nói hai dấu hiệu X

Y có mối quan hệ tương quan tuyến tính

Ví dụ Với mẫu hai chiều cho ví dụ trên, ta có hệ số tương quan mẫu là:

157, 25,74 6,02

0,8165 2, 2918 1,1998

XY

r    



Chú ý Ta tính hệ số tương quan mẫu mẫu hai chiều máy tính CASIO fx – 500MS hay fx – 570MS cách vào chương trình REG nhập liệu mẫu sau bấm phím sau:

SHIFT   ►  ►   = rXY

Với máy tính CASIO fx – 500ES hay fx – 570ES Sau nhập liệu ta vào STAT, chọn Reg, chọn r

1.9 Đường hồi quy tuyến tính mẫu

(18)

Y X

y1 y2 … yh

x1 n11 n12 … n1h

x2 n21 n22 … n2h

…

xk nk1 nk2 … nkh



Đường hồi quy mẫu

Nếu ta khảo sát dấu hiệu Y với điều kiện X = xi (i = 1, 2, … , k)

phần tử mẫu, ta có mẫu có điều kiện Y theo X sau:

Y/X = xi y1 y2 yh

nij ni1 ni2 nih

Khi trung bình mẫu mẫu trên, gọi trung bình có điều kiện Y theo X, ký hiệu xác định sau:

1 i1 i2 ih i1 i2 ih

i

h X x

y n y n y n

y

n n n



  



  

Biểu diễn điểm

1

( , ), ( , ), , ( , )

k

X x X x k X x

x y  x y  x y  mặt

phẳng tọa độ nối điểm theo thứ tự đoạn thẳng ta đường gấp khúc Người ta gọi đường gấp khúc đường hồi

quy mẫu Y theo X mẫu hai chiều cho

Tương tự, đường nối điểm

1

( , ), ( , ), , ( , )

h

Y y Y y k Y y

y x  y x  y x 

gọi đường hồi quy mẫu X theo Y mẫu hai chiều cho

Ví dụ Hãy vẽ đường hồi quy mẫu Y theo X mẫu hai chiều sau: Y

X

1

2 2

3

4

Giải

Ta có mẫu có điều kiện Y theo X sau:

Y/X = 1 Y/X = 2

(19)

n3j n4j

Khi ta có trung bình có điều kiện Y theo X là:

1

2

3

4

1 2

1,67

2

2,5

3

3,67

6 X

X

y y y y



  

 

  

 

  

 



 

Do đường hồi quy mẫu Y theo X mẫu hai chiều cho đường gấp khúc ABCD sau:



Đường hồi quy tuyến tính mẫu

Nếu X Y có quan hệ tương quan xấp xỉ tuyến tính đường hồi quy mẫu Y theo X (hay X theo Y) mẫu hai chiều thường khơng phải đường thẳng có dáng điệu gần giống đường thẳng

Định nghĩa Đường thẳng xấp xỉ tốt với đường hồi quy mẫu Y theo X (hay X theo Y) mẫu hai chiều gọi đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X (hay X theo Y) mẫu hai chiều

Với mẫu hai chiều có trung bình chung, trung bình theo dấu hiệu X, trung bình theo dấu hiệu Y, phương sai mẫu theo dấu hiệu X

2

, , , X

xy x y s phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X mẫu hai chiều xác định sau:

1

2 x

A B

C D y

1,67 2,5 3,67

(20)

Y = aX + b với  2 ,   X

xy x y

a b y ax

s

Tương tự, phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y xác định sau:

X = cY + d với  2 ,  

Y

xy x y

c d x c y

s

Ví dụ Hãy viết phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X X theo Y mẫu hai chiều cho ví dụ

Giải

Ta có:

2

7,4545 ; 2,1818 ; 2,9091 ; X 0,8761 ; Y 1,9007

xy x y s  s 

Nên:

7, 4545 2,1818 2,9091

1, 2642 0,8761

2,9091 1, 264 2,1818 0,1513

 

 

   

a b

Do phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X mẫu hai chiều là:

Y = 1,2642X + 0,1513

Tương tự, phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y mẫu hai chiều là:

X = 0,5826Y + 0,487

Chú ý Ta tính hệ số a b phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X, Y = aX + b , mẫu hai chiều máy tính CASIO fx – 500MS hay fx – 570MS cách vào chương trình REG nhập liệu mẫu (nhập theo thứ tự xi , yj ; nij) sau bấm phím sau:

SHIFT   ►  ►   = a

SHIFT   ►  ►   =  b

Cần ý hệ số a (b) phương trình Y = aX + b hệ số B (A) máy tính CASIO

Tương tự, ta tính hệ số c d phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y, X = cY + d , cách vào chương trình REG nhập liệu mẫu (nhập theo thứ tự yj , xi ; nij) sau bấm phím sau:

(21)

SHIFT   ►  ►   =  d

Với máy tính CASIO fx – 500ES hay fx – 570ES Sau nhập liệu ta vào STAT, chọn Reg, chọn B muốn tìm hệ số biến chọn A muốn tìm hệ số lại



Ứng dụng phương trình hồi quy tuyến tính mẫu

Nếu X Y có quan hệ tương quan xấp xỉ tuyến tính có phương trình hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X (hay X theo Y), ta dự báo Y biết X (hay dự báo X biết Y) Nghĩa X = x0 Y  ax0 + b

Tương tự biết Y = y0 X  cy0 + d

Ví dụ Với mẫu hai chiều cho ví dụ trên, ta có rXY  0,8582 nên X

và Y có quan hệ tương quan xấp xỉ tuyến tính Khi đó:

Nếu X = ta dự đoán Y  1,26425 + 0,1513 = 6,4723 Nếu Y = ta dự đoán X  0,58267 + 0,487 = 4,5652

§2 ƯỚC LƯỢNG CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG

CỦA TỔNG THỂ

2.1 Các khái niệm



Khái niệm ước lượng

Khi nghiên cứu dấu hiệu X tổng thể, người ta thường quan tâm đến số đặc trưng X tổng thể tỉ lệ tổng thể p, trung bình tổng thể , phương sai tổng thể 2 Chẳng hạn nghiên cứu số phế

phẩm kho hàng, người ta thường quan tâm đến tỉ lệ phế phẩm kho hàng Hay nghiên cứu thu nhập cơng nhân khu công nghiệp, người ta thường quan tâm thu nhập trung bình hay chênh lệch thu nhập cơng nhân Để có xác tỉ lệ phế phẩm kho hàng, ta phải kiểm tra tồn kho hàng Để biết xác thu nhập trung bình hay chênh lệch thu nhập công nhân, ta phải điều tra thu nhập tồn cơng nhân khu công nghiệp Điều không kinh tế, chi số trường hợp thực Các số đặc trưng tổng thể sử dụng nhiều phân tích kinh tế, xã hội nhiều lĩnh vực khác thường không xác định nên người ta thường ước lượng (dự đoán) chúng phương pháp mẫu Để ước lượng số đặc trưng  dấu hiệu X, ta chọn mẫu có kích thước n từ tổng thể Khảo sát ngẫu nhiên dấu hiệu X mẫu, ta có mẫu tổng quát (X1, X2, … , Xn) Ta sử dụng (X1, X2, … , Xn) đễ ước lượng 

Do số đặc trưng  số nên ta ước lượng  cách

gán cho số hay khoảng số thực Nếu ta ước lượng 

(22)

điểm Nếu ta ước lượng  cách gán cho khoảng số thực

chứa  cách ước lượng gọi ước lượng khoảng



Ước lượng điểm – Phương pháp hàm ước lượng

Phương pháp Để ước lượng số đặc trưng  dấu hiệu X , ta chọn thống kê G = G(X1, X2, … , Xn) mẫu tổng quát (X1, X2, … , Xn) Thống

kê G gọi hàm ước lượng 

Trong thực tế, thống kê G chọn sau: G = X X + X + + X1

n

 n ,  trung bình tổng thể 

2 G =

2 2

2 (X1 X ) + (X2 X) + + (X X)

S

n

  



 n ,  phương

sai tổng thể 2

3 G = F X + X + + X1

n

 n ,  tỉ lệ tổng thể p

Các thống kê X , S2, F gọi trung bình mẫu, phương sai

mẫu hiệu chỉnh, tỉ lệ mẫu tổng quát đại lượng ngẫu nhiên Từ mẫu cụ thể (x1, x2, … , xn), ta tính g = G(x1, x2, … , xn)

Ước lượng điểm số đặc trưng  số thực g vừa tính

Định nghĩa Thống kê G gọi ước lượng không chệch số đặc trưng  M(G) = 

Theo tính chất kỳ vọng M(G – ) = Như vậy, ước lượng không

chệch ước lượng có sai số trung bình khơng Tức giá trị mà

đại lượng ngẫu nhiên G nhận khơng lệch phía 

Dễ dàng chứng minh được: Trung bình mẫu tổng quát X ước lượng

khơng chệch trung bình tổng thể  Phương sai mẫu hiệu chỉnh tổng quát

S2 ước lượng không chệch phương sai tổng thể 2 Tỉ lệ mẫu tổng quát F ước lượng không chệch tỉ lệ tổng thể p

Như với mẫu cụ thể cho trước: Ước lượng điểm khơng chệch

trung bình tổng thể  trung bình mẫu x , nghĩa   x Ước lượng điểm không chệch phương sai tổng thể 2

phương sai mẫu hiệu chỉnh s2, nghĩa 2 

s2 Ước lượng điểm không chệch tỉ lệ tổng thể p tỉ lệ mẫu f, nghĩa p  f



Ước lượng khoảng – Phương pháp khoảng tin cậy

Phương pháp Để ước lượng số đặc trưng  dấu hiệu X , ta chọn thống kê G = G(X1, X2, … , Xn , ) mẫu tổng quát (X1, X2, … , Xn)

(23)

P(g1 G  g2) = – 

Hay:

P(G1 G2) = – 

Khi khoảng ngẫu nhiên (G1, G2) gọi khoảng tin cậy  Số

thực –  gọi độ tin cậy ước lượng, số thực  xác suất mắc

sai lầm ước lượng

Chọn mẫu cụ thể (x1, x2, … , xn), ta tính 1 = G1(x1, x2, … , xn)

và 2 = G2(x1, x2, … , xn) Khoảng số thực (1, 2) gọi khoảng ước

lượng  với độ tin cậy – 

Dưới với mẫu cụ thể cho trước, phương pháp khoảng tin cậy, ta trình bày cách tìm khoảng ước lượng số đặc trưng tổng thể với độ tin cậy cho trước

2.2 Khoảng ước lượng số đặc trưng tổng thể



Khoảng ước lượng tỉ lệ tổng thể

Bài toán Trên tổng thể, ta quan tâm đến tỉ lệ tổng thể p Xét mẫu có

kích thước n (n  30) tính tỉ lệ mẫu f Hãy tìm khoảng ước lượng

của tỉ lệ tổng thể p với độ tin cậy –  cho trước? Cách giải

Với độ tin cậy –  cho trước, ta tìm số t từ cơng thức: –  = 2( t)

Khi ta tính độ xác  ước lượng p theo công thức:

(1 )

f f

t

n



  

Khoảng ước lượng p có dạng:

p(f –  ; f + ) hay f –  < p < f + 

Ví dụ1 Điều tra tỉ lệ phế phẩm kho hàng, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm kho hàng thấy có 10 phế phẩm Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỉ lệ phế phẩm kho hàng đó?

Giải

Gọi p tỉ lệ phế phẩm kho hàng Ta ước lượng p với độ tin cậy 0,95

Vởi độ tin cậy 0,95 cho, ta có: 0,95

2 ( ) 0,95 ( ) 0, 475 1,96

2

t t t

       

(24)

0,1(1 0,1)

1,96 0,0588

100

   

Ta có:

f –  = 0,1 – 0,0588 = 0,0412 f +  = 0,1 + 0,0588 = 0,1588

Nên khoảng ước lượng p p(0,0412 ; 0,1588)

Như với độ tin cậy 95%, ta dự đốn tỉ lệ phế phẩm kho hàng từ 4,12% đến 15,88%

Ví dụ2 Một cơng ty cơng bố có 40% người dân địa phương ưa thích sản phẩm A họ Một điều tra ngẫu nhiên 400 người dân địa phương cho thấy có 125 người ưa thích sản phẩm A Hãy ước lượng số người ưa thích sản phẩm A địa phương với độ tin cậy 99%, biết địa phương có 50000 dân?

Giải

Gọi M số người ưa thích p tỉ lệ người ưa thích sản phẩm A địa phương đó, thì:

M p =

50000

Trước hết, ta ước lượng p với độ tin cậy 99% Do độ tin cậy ước lượng p 0,99 nên t = 2,58

Với giả thiết tốn, mẫu để ước lượng p có kích thước n = 400 tỉ lệ mẫu f = 0,3125 Do độ xác ước lượng p là:

0,3125(1 0,3125)

2,58 0,0598

400

   

Do khoảng ước lượng p p(0,2527 ; 0,3723)

Ta có:

M

0, 2527 < 0,3723 0,2527 50000 < M 0,3723 50000

50000

    

Nên với độ tin cậy 99%, ta dự đốn số người ưa thích sản phẩm A địa phương từ 12635 đến 18615 người

Ví dụ3 Điều tra số cá có hồ, người ta bắt từ hồ lên 300 đánh dấu thả lại vào hồ Sau người ta bắt lên 500 thấy có 80 bị đánh dấu Với độ tin cậy 95%, ước lượng số cá có hồ?

Giải

Gọi N số cá có hồ p tỉ lệ cá bị đánh dấu hồ, thì: 300

(25)

Do độ tin cậy ước lượng p 0,95 nên t = 1,96

Theo giả thiết toán, mẫu để ước lượng p có kích thước n = 500 tỉ lệ mẫu f = 0,16 Do độ xác ước lượng p là:

0,16(1 0,16)

1,96 0,0321

500

   

Do khoảng ước lượng p là:

p(0,1279 ; 0,1921)

Ta có:

300 300 300

0,1279 0,1921

0,1921 N 0,1279

N

    

Nên với độ tin cậy 95%, ta dự đốn số cá có hồ từ 1561 đến 2346



Khoảng ước lượng trung bình tổng thể

Bài tốn Trên tổng thể, ta quan tâm đến trung bình tổng thể  Xét

mẫu có kích thước n tính trung bình mẫu, độ lệch mẫu hiệu chỉnh

x , s Hãy tìm khoảng ước lượng trung bình tổng thể  với độ tin cậy –  cho trước?

Cách giải

Với độ tin cậy –  cho trước, ta tìm số t theo hai trường hợp sau:

1 Nếu n  30 số t tính từ cơng thức: –  = 2( t)

Trong (u) có giá trị tính sẵn bảng phụ lục

2 Nếu n < 30 dấu hiệu X nghiên cứu tổng thể coi đại

lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, tlà số t(k) bảng phụ

lục (Phân phối Student với k bậc tự do),  suy từ

độ tin cậy –  k = n –

Khi độ xác  ước lượng  tính theo cơng thức:

s t

n



 

Khoảng ước lượng  có dạng:

( x –  ; x + ) hay x –  <  < x + 

Chú ý Nếu dấu hiệu X nghiên cứu tổng thể coi đại lượng

ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với phương sai 2

, tính độ xác  ước lượng, ta thay độ lệch mẫu hiệu chỉnh s 

(26)

Ví dụ1 Điều tra số sản phẩm X bán hàng ngày cửa hàng trưng bày giới thiệu sản phẩm công ty, người ta thu kết bảng sau:

X 120 130 150 160 180 190 210 220

Số ngày 12 25 30 20 13

a) Hãy ước lượng số sản phẩm bán trung bình hàng ngày cửa hàng với độ tin cậy 95%?

b) Công ty gọi ngày bán 200 sản phẩm “ngày cao điểm” Hãy ước lượng số sản phẩm bán trung bình “ngày cao điểm” với độ tin cậy 97%, biết số sản phẩm bán hàng ngày đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn?

Giải

a) Gọi  số sản phẩm bán trung bình hàng ngày cửa hàng Ta

sẽ ước lượng  với độ tin cậy 95%

Với mẫu cho ta có:

xi ni xi ni xi

2

ni

120 130 150 160 180 190 210 220

12 25 30 20 13

240 1170 1800 4000 5400 3800 2730 880

28800 152100 270000 640000 972000 722000 573300 193600

115 20020 3551800

Nên ta có số đặc trưng mẫu để ước lượng  là:

2

115 20020

174,087 115

3551800

30885, 2173 115

30885, 2173 174,087 587,9338

115 587,9338

584,0122 24,1663

114



 

  



   

n x x s

s s

Do n = 115 độ tin cậy ước lượng  0,95 nên: 0,95

(27)

Do độ xác ước lượng  là: 24,1663

1,96 4, 4169

115

  

Vậy khoảng ước lượng  là:

(169,6701 ; 178,5039)

Như vậy, với độ tin cậy 95% số sản phẩm bán trung bình hàng ngày cửa hàng từ 169,6701 đến 178,5039 sản phẩm

b) Gọi 1 số sản phẩm bán trung bình “ngày cao điểm”

tại cửa hàng Ta ước lượng 1 với độ tin cậy 97%

Điều tra số sản phẩm bán “ngày cao điểm” ta có mẫu:

X 210 220

Số ngày 13

Nên mẫu để ước lượng 1 có n1 = 17 ; x = 212,3529 ; s1 = 4,3745

Do n1 = 115 độ tin cậy ước lượng 1 0,95 nên:

1

t = t0,03(17 – 1) = t0,03(16) = 2,38

Do độ xác ước lượng 1 là:

1

4,3745

2,38 2,5251

17

  

Vậy khoảng ước lượng 1 là:

1(209,8287 ; 214,878)

Như với độ tin cậy 97%, ta dự đốn số sản phẩm bán trung bình “ngày cao điểm” từ 209,8287 đến 214,878 sản phẩm

Ví dụ2 Giả sử suất X (tạ/héc-ta) giống lúa đại lượng

ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với X  N(45 ; 64) Nghiên cứu suất

của giống lúa đó, người ta tiến hành điều tra diện tích 100 héc-ta có kết cho bảng sau:

X 41 44 45 46 48 52 54

Số héc-ta 10 20 30 15 10 10

a) Hãy ước lượng suất lúa trung bình giống lúa với độ tin cậy 98%?

b) Người ta gọi ruộng trồng giống lúa có suất từ 48 tạ/héc-ta trở lên ruộng “thích hợp” Hãy ước lượng suất lúa trung bình giống lúa ruộng “thích hợp” với độ tin cậy 99%?

c) Tính xác suất để suất lúa trung bình 100 héc-ta lúa điều tra vượt 46 tạ/héc-ta

(28)

a) Gọi  suất lúa trung bình giống lúa Ta ước lượng  với độ tin cậy 98%

Từ mẫu cho, ta tính kích thước mẫu n = 100 trung bình mẫu

x = 46

Do n = 115 độ tin cậy ước lượng  0,98 nên t = 2,33 Do độ xác ước lượng  là:

8

2,33 1,864 100

  

Vậy khoảng ước lượng  (44,136 ; 47,864)

Như với độ tin cậy 98%, ta dự đốn suất lúa trung bình giống lúa từ 44,136 đến 47,864 tạ/héc-ta

b) Gọi 1 suất trung bình giống lúa ruộng

“thích hợp” Ta ước lượng 1 với độ tin cậy 99%

Để ước lượng 1 , ta có mẫu sau:

X 48 52 54

Số héc-ta 10 10

Khi ta có kích thước mẫu n1 = 25 trung bình mẫu x1= 50,8

Do n1 = 25 độ tin cậy ước lượng 1 0,99 nên ta có:

1

t = t0,01(25 – 1) = t0,01(24) = 2,8

Do độ xác ước lượng 1 là:

1

8

2,8 4, 48

25

  

Vậy khoảng ước lượng 1 là:

1(46,32 ; 55,28)

Như với độ tin cậy 99%, ta dự đốn suất lúa trung bình giống lúa ruộng “có suất cao” từ 46,32 đến 55,28 tạ/héc-ta

c) Do suất X giống lúa đại lượng ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn với X  N(45 ; 64) nên, gọi X suất lúa trung bình 100

héc-ta lúa điều tra X  N(45 ; 0,64) Khi ta có:

P(X > 46) 0,5 46 45 0,5 (1, 25) 0,1056

0,64

   

     

 

(29)

Bài toán Trên tổng thể, ta quan tâm đến phương sai tổng thể 2 Xét mẫu có kích thước n sau:

X x1 x2 … xk

ni n1 n2 … nk

Hãy tìm khoảng ước lượng phương sai tổng thể 2 với độ tin cậy –  cho trước?

Cách giải

2

1

2

/2 /2

( ) ( )

;

( ) ( )

 

 

 

 



   

 

 



k

i



k

i

i i

n x n x

n n

2

/ /

( 1) ( 1)

;

( 1) ( 1)

n s n s

n n

 

  

   

 

   

 

Trong đó2( )k có giá trị tra bảng phụ lục (Phân phối 2 với k bậc tự do) s2

phương sai mẫu hiệu chỉnh mẫu cho

Ví dụ Giả sử mức sử dụng nguyên liệu X để sản xuất sản phẩm xí nghiệp đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Điều tra mức sử dụng nguyên liệu để sản xuất 28 sản phẩm, ta có kết sau:

Mức sử dụng nguyên liệu (g) 19 19,5 20 20,5

Số sản phẩm 14

a) Hãy ước lượng phương sai 2 X với độ tin cậy 90%?

b) Hãy ước lượng phương sai 2 X với độ tin cậy 90% , biết mức sử dụng nguyên liệu trung bình để sản xuất sản phẩm 20g?

Giải

a) Với mẫu cho ta tính phương sai mẫu hiệu chỉnh s2 = 0,2126

Do độ tin cậy ước lượng 2 0,9 nên  = 0,1 Do đó:

2 2

/2( 1) 0,05(27) 40,11 /2( 1) 0,95(27) 16,15

 

 n    n  

Vậy khoảng ước lượng 2 với độ tin cậy 0,9 là:

2

27 0, 2126 27 0, 2126

0,1431 0,3554

40,11  16,15 

 

    

(30)

xi ni (xi – 20)

ni(xi – 20)

19 19,5 20

20,5

14

0,25 0,25

1,5 0,75

n = 28

2

( 20)







i

n x = 7,25

Do độ tin cậy ước lượng 2 0,9 nên  = 0,1 Do đó:

2 2

/2( ) 0,5(28) 41,34 /2( ) 0,95(28) 16,93

 

 n     n  

Như vậy, mức sử dụng nguyên liệu trung bình để sản xuất sản

phẩm 20g khoảng ước lượng 2

với độ tin cậy 0,9 là:

2

7, 25 7, 25

0,1754 0, 4282

41,34 16,93   

2.3 Xác định độ tin cậy ước lượng

Trong vấn đề ước lượng số đặc trưng tổng thể, ta ln có ba thành phần toán: mẫu, độ tin cậy độ xác Bài tốn tìm khoảng ước lượng coi tốn thuận, giả thiết toán cho mẫu độ tin cậy để tử ta tìm độ xác từ ta suy khoảng ước lượng Bây ta xét hai tốn ngược: Bài tốn tìm độ tin cậy giả thiết cho mẫu độ xác (hay khoảng ước lượng) tốn tìm kích thước mẫu giả thiết cho độ tin cậy độ xác ước lượng Dưới ta xét cách giải tốn tìm độ tin cậy giả thiết cho mẫu độ xác ước lượng



Xác định độ tin cậy ước lượng tỉ lệ

Bài toán Trên tổng thể, ta quan tâm đến tỉ lệ tổng thể p Xét mẫu có

kích thước n (n  30) tính tỉ lệ mẫu f Hãy tìm độ tin cậy phép

ước lượng p có độ xác  cho trước?

Cách giải

Từ cơng thức tìm độ xác ước lượng tỉ lệ p ta có:

(1 )

f f n

t t

n f f

 

    



Với độ xác  mẫu cho, ta tính t Tra bảng phụ lục ta

tìm (t) Từ ta tìm độ tin cậy ước lượng công thức:

1 –  = 2(t)

(31)

a) Hãy ước lượng tỉ lệ phế phẩm xí nghiệp với độ tin cậy 95%? b) Nếu muốn phép ước lượng tỉ lệ phế phẩm có độ xác 2% độ tin cậy ước lượng phải bao nhiêu?

Giải

a) Gọi p tỉ lệ phế phẩm xí nghiệp Ta ước lượng p với độ tin cậy 95%

Do độ tin cậy ước lượng p 0,95 nên t = 1,96

Theo giả thiết toán, ta có mẫu để ước lượng p có kích thước n = 400 tỉ lệ mẫu f = 0,1 Do độ xác ước lượng p là:

0,1(1 0,1)

1,96 0,0294

400

   

Vậy khoảng ước lượng p p(0,0706 ; 0,1294)

Như với độ tin cậy 95%, ta dự đoán tỉ lệ phế phẩm kho hàng từ 7,06% đến 12,94%

b) Do phép ước lượng tỉ lệ phế phẩm p có độ xác 2% nên:

(1 ) 0,02 400 1,33

(1 ) 0,1(1 0,1)

f f n

t t

n f f

 

      

 

Do ta có:

1 –  = 2(1,33) = 20,4082 = 0,8164

Như vậy, muốn phép ước lượng tỉ lệ phế phẩm có độ xác 2%, độ tin cậy ước lượng phải 81,64%



Xác định độ tin cậy ước lượng trung bình

mẫu có kích thước n tính độ lệch mẫu hiệu chỉnh s Hãy tìm độ tin cậy phép ước lượng  có độ xác  cho trước?

Cách giải

Từ cơng thức tìm độ xác ước lượng trung bình  ta có:

s n

t t

s n

 

   

Với độ xác  mẫu cho, ta tính t Từ ta tìm độ

tin cậy phép ước lượng  theo hai trường hợp sau:

1 Nếu n  30 độ tin cậy phép ước lượng tính từ cơng thức:

–  = 2( t)

2 Nếu n < 30 từ tvà từ kích thước mẫu n biết ta tìm 

bảng phụ lục cho t(n – 1) = t Khi độ tin cậy phép ước

(32)

, ta thay độ lệch mẫu hiệu chỉnh s công thức 

Ví dụ1 Để ước lượng điểm thi mơn tốn kỳ thi tuyển sinh vào trường đại học, giám khảo chấm thử 100 thi tính điểm trung bình với độ lệch điều chỉnh 2,5 điểm

a) Hãy ước lượng điểm trung bình mơn tốn trường đại học với độ tin cậy 95%?

b) Nếu muốn phép ước lượng điểm trung bình mơn tốn có độ xác 0,25 điểm độ tin cậy ước lượng phải bao nhiêu?

Giải

a) Gọi  điểm trung bình mơn tốn kỳ thi tuyển sinh trường

đại học Ta ước lượng  với độ tin cậy 95%

Ta có mẫu để ước lượng  có kích thước n = 100, trung bình mẫu x = 46

và độ lệch mẫu hiệu chỉnh s = 2,5

Do n = 100 độ tin cậy ước lượng  0,95 nên t = 1,96 Do độ xác ước lượng  là:

2,5

1,96 0, 49

100

  

Như với độ tin cậy 95%, ta dự đốn điểm trung bình mơn toán kỳ thi tuyển sinh trường đại học từ 4,51 đến 5,49 điểm

b) Do độ xác ước lượng   = 0,25 nên: 100

0, 25

2,5

 

 t s  t  n  

s n

Do độ tin cậy ước lượng  là:

1 –  = 2(1) = 20,3413 = 0,6826

Ví dụ2 Trọng lượng bao gạo bán cửa hàng lương thực

đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với phương sai 2

= 0,25

a) Kiểm tra ngẫu nhiên 20 bao gạo cửa hàng thấy trọng lượng trung bình 48kg Hãy ước lượng trọng lượng trung bình bao gạo cửa hàng với độ tin cậy 99%?

b) Nếu ước lượng có độ xác 200g độ tin cậy bao nhiêu?

Giải

a) Gọi  trọng lượng trung bình bao gạo cửa hàng Ta

ước lượng  với độ tin cậy 99%

(33)

t= t0,01(20 – 1) = t0,01(19) = 2,86

Do độ xác ước lượng  là: 0,5

2,86 0,3198

20





 t  

n

Như với độ tin cậy 99%, ta dự đốn trọng lượng trung bình bao gạo cửa hàng từ 47,6802kg đến 48,3198kg

b) Ta có độ xác ước lượng   = 0,2 nên: 20

0, 1,79

0,5

n

t t

n

 



 



    

Tra bảng phụ lục ta có:

t0,09(19) = 1,79   = 0,09

Do độ tin cậy ước lượng  là:

1 –  = – 0,09 = 0,91

2.4 Xác định kích thước mẫu ước lượng

Ta biết mối quan hệ mẫu, độ tin cậy độ xác ước

lượng tỉ lệ tổng thể p thể công thức t f(1 f)

n



   Mối

quan hệ mẫu, độ tin cậy độ xác ước lượng trung bình

tổng thể  thể công thức t s

n



  Dưới ta xét cách

tìm kích thước mẫu để có ước lượng p hay  với độ tin cậy độ xác

cho trước



Xác định kích thước mẫu ước lượng tỉ lệ

Bài toán Trên tổng thể, ta quan tâm đến tỉ lệ tổng thể p Xét mẫu cho trước có tỉ lệ mẫu f Hãy tìm kích thước mẫu (ở kích thước mẫu

khá lớn) để có phép ước lượng p với độ tin cậy –  độ xác  cho

trước?

Cách giải

Nếu gọi N kích thước mẫu để có phép ước lượng p với độ tin cậy – 

và độ xác 

Khi N tính theo cơng thức:

2

(1 )

1

f f

N t





 

 

 

(34)

Ví dụ Để ước lượng tỉ lệ phế phẩm sản phẩm sản xuất xí nghiệp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm xí nghiệp thấy có 40 phế phẩm Nếu muốn phép ước lượng tỉ lệ phế phẩm có độ tin cậy 95% độ xác 2% số sản phẩm kiểm tra có thích hợp khơng? Cần phải kiểm tra thêm sản phẩm nữa?

Giải

Gọi N kích thước mẫu để có phép ước lượng tỉ lệ phế phẩm với độ tin cậy 95% độ xác 2% Khi ta có:

2

(1 )

1

f f

N t





 

 

 

Theo giả thiết tốn, ta có  = 0,02 tỉ lệ mẫu mẫu cho trước

f 40 0,1

400

  Do độ tin cậy phép ước lượng 0,95 nên t = 1,96

Vậy kích thước mẫu phép ước lượng là:

2

0,1(1 0,1)

1,96 865

0,02

N    

 

Như vậy, muốn phép ước lượng tỉ lệ phế phẩm có độ tin cậy 95% độ xác 2% số sản phẩm kiểm tra khơng thích hợp Để có ước lượng đó, ta phải kiểm tra thêm 865 – 400 = 465 sản phẩm



Xác định kích thước mẫu ước lượng trung bình

mẫu cho trước có phương sai mẫu hiệu chỉnh s2

Hãy tìm kích thước mẫu

(ở kích thước mẫu lớn) để có phép ước lượng  với độ tin cậy – 

và độ xác  cho trước?

Cách giải

Nếu gọi N kích thước mẫu để có phép ước lượng  với độ tin cậy – 

và độ xác  Khi n tính theo cơng thức:

2

s N t



 

 

 

Trong t suy từ độ tin cậy –  công thức: –  = 2( t)

, ta thay phương sai

mẫu hiệu chỉnh s2

công thức 2

Ví dụ Trọng lượng (kg) bao gạo bán cửa hàng lương thực

một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với phương sai 2

(35)

của bao gạo cửa hàng với độ tin cậy 99% độ xác 200g, biết số bao gạo phải kiểm tra khơng 30 bao

Giải

Gọi N số bao gạo phải kiểm tra để có phép ước lượng trọng lượng trung bình bao gạo cửa hàng với độ tin cậy 99% độ xác 200g Khi ta có:

2

N t 



 

 

 

Theo giả thiết tốn, ta có  = 0,2 độ tin cậy phép ước lượng 0,99 nên t = 2,58

Vậy số bao gạo phải kiểm tra là:

2

0, 25

2,58 42

0,

N   

 

§3 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ

3.1 Bài toán kiểm định giả thiết thống kê

Khi nghiên cứu tổng thể với dấu hiệu định tính hay định lượng X, người ta thường quan tâm số đặc trưng hay luật phân phối xác suất X Đặc biệt nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu định tính hay định lượng X Y tổng thể, người ta quan tâm đến tính độc lập hai dấu hiệu Khi có kết luận liên quan đến số đặc trưng, luật phân phối xác suất dấu hiệu X hay tính độc lập hai dấu hiệu X Y mà ta chưa khẳng định được, người ta gọi kết luận

giả thiết thồng kê Việc tìm định chấp nhận hay bác bỏ giả thiết

thồng kê gọi kiểm định giả thiết thồng kê Những kiểm định giả thiết thống kê liên quan đến số đặc trưng gọi kiểm định tham số Những kiểm định giả thiết thống kê liên quan đến luật phân phối xác suất của dấu hiệu X hay tính độc lập hai dấu hiệu X Y gọi kiểm

định phi tham số Một toán nêu lên nghi ngờ cần phải khẳng định,

hoặc phải đưa kết luận vấn đề kinh tế, kỹ thuật, … liên quan đến số đặc trưng, luật phân phối xác suất X tính độc lập hai dấu hiệu X Y gọi toán kiểm định giả thiết thống kê

Để giải tốn kiểm định giả thiết thống kê, ta tiến hành theo ba bước sau:

Bước1 Đặt giả thiết thống kê

(36)

thống kê H cho chấp nhận hay bác bỏ giả thiết H ta trả lời câu hỏi toán

Giả thiết thống kê H liên quan đến số đặc trưng  dấu hiệu X tổng thể thường đặt dạng:

H :  = 0 ; H : 0

Trong H giả thiết đối H (Khi kiểm định phía, giả thiết đối H có dạng H :  > 0 hay H :  < 0) 0 số thể thông tin biết

về  khứ hay định mức kinh tế, kỹ thuật,…

Giả thiết thống kê H liên quan đến luật phân phối xác suất dấu hiệu X tổng thể thường đặt dạng:

H : X có phân phối A ; H : X khơng có phân phối A

Giả thiết thống kê H liên quan đến tính độc lập hai dấu hiệu X Y tổng thể thường đặt dạng:

H : X Y độc lập ; H : X Y không độc lập Bước2 Kiểm định giả thiết thống kê

Để kiểm định giả thiết thống kê H, ta cần phải xét mẫu có kích thước

n phải biết mức ý nghĩa  kiểm định Mức ý nghĩa  thường

số bé (thường   0,05) số cho biết xác suất mắc sai lầm

ta chấp nhận H thực tế H sai hay bác bỏ H thực tế H

Với số liệu thu từ mẫu có kích thước n cho, ta tìm

số gọi tiêu chuẩn kiểm định Với mức ý nghĩa  cho trước, tùy theo kích

thước n mẫu, tra bảng phụ lục ta tìm số gọi giá trị tới hạn Tùy theo kết so sánh tiêu chuẩn kiểm định với giá trị tới hạn, ta đưa định chấp nhận hay bác bỏ H

Bước3 Kết luận cuối

Từ định chấp nhận hay bác bỏ giả thiết H, ta suy kết luận cuối nghi ngờ cần phải khẳng định hay kết luận vấn đề kinh tế, kỹ thuật, … toán

Khi đưa định “chấp nhận H” điều khơng có nghĩa H mà có nghĩa với số liệu mẫu với mức ý nghĩa chọn ta chưa đủ sở hay chưa đủ chứng để bác bỏ H Do kết luận cuối tốn, ta nên nói “có thể nói …”, “có chứng để nói …” hay “khơng có sở để nói …”…

Sau ta trình bày cách giải số toán kiểm định giả thiết thống kê cụ thể

(37)

Bài toán Trên tổng thể, ta quan tâm đến tỉ lệ tổng thể p Ta có giả thiết p là:

H : p = p0 ; H : p  p0

Xét mẫu có kích thước n (n  30) tính tỉ lệ mẫu f Hãy

kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa  cho trước?

Cách giải

Với mẫu cho ta tính tiêu chuẩn kiểm định t công thức:

0

0(1 0)

n

t f p

p p

 



Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tính giá trị tới hạn t từ công thức: 2(t) = – 

Quy tắc định:

1 Nếu t0 t ta đưa định: Chấp nhận H

2 Nếu t0 > t ta đưa định: Bác bỏ H, chấp nhận H

Chú ý Nếu giả thiết đối H H : p > p0

hay H : p < p0 giá trị tới

hạn kiểm định t2

Ví dụ Tỉ lệ phế phẩm nhà máy trước 5% Năm nhà máy áp dụng số biện pháp kỹ thuật nhằm làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy Để đánh giá hiệu biện pháp kỹ thuật mới, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 1000 sản phẩm thấy có 30 phế phẩm

a) Với mức ý nghĩa 5%, cho biết biện pháp kỹ thuật có thực làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy hay không?

b) Nếu nhà máy cho tỉ lệ phế phẩm nhà máy sau áp dụng biện pháp kỹ thuật 2% ta chấp nhận hay không? Biết mức ý nghĩa kiểm định 2%

Giải

a) Gọi p tỉ lệ phế phẩm nhà máy sau áp dụng biện pháp kỹ thuật Để kết luận biện pháp kỹ thuật có thực làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy hay không, ta đặt giả thiết cho p là:

H : p = 0,05 ; H : p < 0,05

Ta có mẫu với kích thước n = 1000 tỉ lệ mẫu f = 30

1000 = 0,03 Nên tiêu chuẩn kiểm định t là:

1000

0,03 0,05 2,9

0,05(1 0,05)

t   



(38)

2(t2) = – 0,1  (t2) = 0,45  t2 = 1,65

Do t > t2 nên ta đưa định: Bác bỏ giả thiết H, chấp nhận H

Kết luận: Có sở để nói biện pháp kỹ thuật thực làm giảm tỉ lệ phế phẩm cho nhà máy

b) Để trả lời câu hỏi chấp nhận tỉ lệ phế phẩm nhà máy sau áp dụng biện pháp kỹ thuật 2% hay không, ta đặt giả thiết cho p là:

H : p = 0,02 ; H : p  0,02

Với mẫu có, ta tính tiêu chuẩn kiểm định t là:

1000

0,03 0,02 2, 26

0,02(1 0,02)

t  



Với mức ý nghĩa  = 0,02 ta có giá trị tới hạn t là:

2(t) = – 0,02  (t) = 0,49  t = 2,33 Do t < t nên ta đưa định: Chấp nhận giả thiết H

Kết luận: Phát biểu nhà máy cho tỉ lệ phế phẩm nhà máy sau áp dụng biện pháp kỹ thuật 2% chấp nhận



Kiểm định giả thiết so sánh hai tỉ lệ tổng thể

Bài toán Trên hai tổng thể, ta quan tâm đến hai tỉ lệ tổng thể p1 p2 Ta

có giả thiết p1 p2 là:

H : p1 = p2 = p0 ; H : p1 p2

Xét hai mẫu từ hai tổng thể có kích thước n1, n2 (n1,n2 30) tính

các tỉ lệ mẫu tương ứng f1, f2 Hãy kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa

 cho trước?

Cách giải

Với hai mẫu cho ta tính tiêu chuẩn kiểm định t công thức:

1

0

1

(1 )

f f t

p p

n n

 

 

   

 

Nếu giả thiết tốn khơng xác định p0 p0 cơng thức

được tính sau:

1 2

1

n f n f p

n n

 



(39)

Ví dụ Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm kho I thấy có phế phẩm, kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm kho II thấy có 24 phế phẩm Có thể cho chất lượng hàng hóa hai kho hàng khơng hay khơng? Cho biết mức ý nghĩa định 5%

Giải

Gọi p1 tỉ lệ phế phẩm kho I, p2 tỉ lệ phế phẩm kho II Để có

thể trả lởi câu hỏi chất lượng hàng hóa hai kho có hay khơng, ta đặt giả thiết cho p1 p2 là:

H : p1 = p2 ; H : p1 p2

Ở kho I ta có mẫu với n1 = 100 f1 = 0,06 Ở kho II ta có mẫu với

n2 = 200 f2 = 0,12 Do ta có:

0

100 0,06 200 0,12

0,1

100 200

p     



Nên tiêu chuẩn kiểm định t là:

0,06 0,12

1,63

1

0,1 0,9

100 200

t   

 

   

 

2(t) = – 0,05  ( t) = 0,475  t = 1,96 Do t < t nên ta đưa định: Chấp nhận giả thiết H

Kết luận: Ý kiến cho chất lượng hàng hóa hai kho khơng coi khơng xác

3.3 Bài tốn kiểm định giả thiết trung bình tổng thể



Kiểm định giả thiết trung bình tổng thể

Bài toán Trên tổng thể, ta quan tâm đến trung bình tổng thể  Ta có giả

thiết  là:

H :  = 0 ; H : 0

Xét mẫu có kích thước n tính trung bình mẫu, độ lệch mẫu

hiệu chỉnh x , s Hãy kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa  cho trước?

Cách giải

Với mẫu cho ta tính tiêu chuẩn kiểm định t công thức:

0

x n

t

s

(40)

Nếu dấu hiệu X khảo sát tổng thể đại lượng ngẫu nhiên có phân

phối chuẩn với phương sai 2

ta thay s cơng thức 

Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tính giá trị tới hạn t theo hai trường hợp sau:

Nếu n  30 t tính từ công thức: 2(t) = – 

Nếu n < 30 dấu hiệu khảo sát tổng thể đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn t= t(n – 1)

Quy tắc định:

Chú ý Nếu giả thiết đối H H :  > 0

hay H :  < 0 giá trị tới

hạn kiểm định t2

Ví dụ1 Trọng lượng X(kg) loại sản phẩm xí nghiệp

coi đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với X  N(6 ; 0,09) Sau

sản xuất, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm thấy trọng lượng trung bình 5,975kg Với mức ý nghĩa 5%, cho tình hình sản xuất xí nghiệp bình thường khơng? (Sản xuất coi bình thường trọng lượng trung bình sản phẩm sản xuất thực tế trọng lượng qui định)

Giải

Gọi  trọng lượng trung bình sản phẩm sản xuất thực tế

tại xí nghiệp Để trả lởi câu hỏi tình hình sản xuất xí nghiệp có bình thường không, ta đặt giả thiết cho  là:

H :  = ; H : 

Ta có mẫu với n = 200 ; x = 5,975 Do phương sai tổng thể 0,09 nên ta có tiêu chuẩn kiểm định t là:

5,975 200

1,18 0,09

t  

Với mức ý nghĩa  = 0,05 mẫu có kích thước n = 200 nên ta có giá

trị tới hạn t là:

2(t) = – 0,05  ( t) = 0,475  t = 1,96 Do t < t nên ta đưa định: Chấp nhận giả thiết H

(41)

a) Với mức ý nghĩa 1%, cho kết luận tác dụng tăng trọng loại thức ăn mới?

b) Nhà cung cấp thức ăn quảng cáo: Khi sử dụng thức ăn lượng trung bình xuất chuổng 3,3 kg/con Với mức ý nghĩa 5%, cho nhận xét quảng cáo nhà cung cấp thức ăn?

Giải

a) Gọi  trọng lượng trung bình xuất chuồng sử dụng loại thức

ăn Để kết luận tác dụng tăng trọng loại thức ăn mới, ta đặt giả thiết cho  là:

H :  = 2,8 ; H :  > 2,8

Ta có mẫu với n = 25 ; x = 3,2 ; s = 0,5 Do ta có tiêu chuẩn kiểm định t là:

3, 2,8 25

4 0,5

t  

trị tới hạn t2 là:

t2= t0,02(25 – 1) = t0,02(24) = 2,49

Kết luận: Loại thức ăn có tác dụng tăng trọng cao loại thức ăn củ b) Để nhận xét quảng cáo nhà cung cấp thức ăn, ta đặt giả thiết cho  là:

H :  = 3,3 ; H :  3,3 Với mẫu cho, ta có tiêu chuẩn kiểm định t là:

3, 3,3 25

1 0,5

t  

t= t0,05(25 – 1) = t0,05(24) = 2,06

Do t < t nên ta đưa định: Chấp nhận giả thiết H

Kết luận: Quảng cáo nhà cung cấp thức ăn có sở để tin



Kiểm định giả thiết so sánh hai trung bình tổng thể

Bài tốn Trên hai tổng thể, ta quan tâm đến hai trung bình tổng thể 1 2 Ta có giả thiết 1 2 là:

(42)

Xét hai mẫu từ hai tổng thể có kích thước n1, n2 (n1, n2 30) tính

trung bình mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh tương ứng x x1, 2, s1

, s2

2 Hãy

kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa  cho trước?

Cách giải

Với hai mẫu cho ta tính tiêu chuẩn kiểm định t công thức:

1 2 2

1

x x

t

s s

n n

 



Nếu hai dấu hiệu khảo sát X1, X2 hai tổng thể hai đại lượng ngẫu

nhiên có phân phối chuẩn có phương sai 12, 22 ta thay s12 , s22

công thức phương sai tổng thể 1

2

, 2

Quy tắc định:

Ví dụ Điểm trung bình mơn XSTK 50 sinh viên ngành kế toán 6,72 ; phương sai 0,52 Điểm trung bình mơn XSTK 80 sinh viên ngành quản trị 6,46 ; phương sai 0,83 Với mức ý nghĩa 5%, cho chất lượng học môn XSTK sinh viên ngành kế toán ngành quản trị khác hay không?

Giải

Gọi 1 điểm trung bình mơn XSTK sinh viên ngành kế tốn

2 điểm trung bình môn XSTK sinh viên ngành quản trị Để

kết luận chất lượng học mơn XSTK sinh viên ngành kế toán ngành quản trị có khác hay khơng, ta đặt giả thiết cho1 2 là:

H : 1 = 2 ; H : 12

Từ giả thiết tốn ta có:

6,72 6,64

1,8

0,52 0,83

50 80

t  



2(t) = – 0,05  ( t) = 0,475  t = 1,96 Do t0 < t nên ta đưa định: Chấp nhận giả thiết H

(43)

3.4 Bài toán kiểm định giả thiết phương sai tổng thể

Bài toán Trên tổng thể, ta quan tâm đến phương sai tổng thể 2 Ta có

giả thiết 2

là:

H : 2 = 0

; H : 20

Xét mẫu có kích thước n tính phương sai mẫu hiệu chỉnh

s2 Hãy kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa  cho trước?

Cách giải

Với mẫu cho ta tính tiêu chuẩn kiểm định 02 công thức:

2

0

(n 1)s





 

Với mức ý nghĩa  cho trước, tra bảng phụ lục (phân phối 2 với k bậc

tự do) ta tìm giá trị tới hạn 2 2

1 / / 2(n 1) , / / 2(n 1)

     

Quy tắc định:

1 Nếu02





2 Nếu02





Chú ý Nếu giả thiết đối H H : 2 > 02 giá trị tới hạn kiểm

định



 Khi 02 2thì chấp nhận H, 02 2 bác bỏ H Nếu giả thiết đối H H :  < 0 giá trị tới hạn kiểm định

2 

 Khi 02 12thì bác bỏ H, 02 12 chấp nhận H Ví dụ1 Nếu máy làm việc bình thường trọng lượng sản phẩm máy sản xuất đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với phương sai 25 Nghi ngờ máy làm việc không bình thường, người ta cân thử 20 sản

phẩm tính phương sai s2

= 27,5 Với mức ý nghĩa 2%, cho biết máy có làm việc bình thường khơng?

Giải

Gọi 2 phương sai thực tế trọng lượng sản phẩm máy sản

xuất Để kết luận máy có làm việc bình thường hay không, ta đặt giả thiết cho 2 là:

H : 2 = 25 ; H : 2 25

Với mẫu cho, ta tính tiêu chuẩn kiểm định 02 là:

2

(20 1)27,5

20,9 25

   

(44)

2 / 0,99

2 / 0,01

(20 1) 7,633 (20 1) 36,19

 

 

   

  

Do 02





Ví dụ2 Trước đây, định mức sử dụng điện cho hộ gia đình tháng 140kw Trong thời gian gần đây, qua theo dõi lượng sử dụng điện X (kw/tháng) 100 hộ gia đình, người ta ghi kết bảng sau:

X 100 – 120 120 – 140 140 – 160 160 – 180 180 – 220

Số hộ 14 25 30 20 11

a) Theo bạn có cần phải tăng định mức sử dụng điện cho hộ gia đình khơng? Cho biết mức ý nghĩa ý kiến 2%

b) Mức độ biến động lượng sử dụng điện hộ gia đình thể độ lệch chuẩn X (được coi có phân phối chuẩn) Nếu trước độ lệch chuẩn X 20 kw/tháng gần mức độ biến động tăng hay giảm? Hãy cho kết luận với mức ý nghĩa 5%?

Giải

a) Gọi  định mức sử dụng điện trung bình hợp lý cho hộ gia đình

trong tháng thời gian gần Ta đặt giả thiết cho  là: H :  = 140 ; H :  > 140

Ta có mẫu với n = 100 ; x = 148,9 ; s = 26,1656 Do đó:

148,9 140 100

3, 26,1656

t   

trị tới hạn t2 là:

2(t2) = – 0,04  ( t) = 0,48  t = 2,06

Kết luận: Cần thiết phải tăng định mức sử dụng điện cho hộ gia đình b) Gọi 2 phương sai X thời gian gần Do phương sai

mẫu hiệu chỉnh thời gian gần s2

= 684,6364 > 202 nên ta đặt giả thiết cho 2

là:

H : 2 = 202 ; H : 2 > 202

Với mẫu cho, ta tính tiêu chuẩn kiểm định 02 là:

2

0

(100 1)684,6364

169, 45 20

(45)

Do giả thiết đối H : 2 > 202 mức ý nghĩa  = 0,05 nên giá trị tới

hạn kiểm định 2

0,05(99) 123,23 

  

Do 02 2 nên ta đưa định: Bác bỏ giả thiết H, chấp nhận H Kết luận: Có sở để nói mức độ biến động lượng sử dụng điện hộ gia đình thời gian gần có tăng lên

3.5 Bài toán kiểm định giả thiết phân phối xác suất

Bài toán Trên tổng thể, ta quan tâm đến luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên X Ta có giả thiết luật phân phối xác suất X là:

H : X có phân phối A ; H : X khơng có phân phối A Xét mẫu có kích thước n sau:

X x1 x2 xk

ni n1 n2 nk

Hãy sử dụng mẫu để kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa  cho trước?

Cách giải

Trước hết, ta sử dụng mẫu cho để ước lượng khơng chệch tham số cịn chưa xác định luật phân phối xác suất A (nếu có)

Bây ta giả sử giả thiết H đúng, nghĩa ta coi đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối xác suất theo luật phân phối xác suất A, ta tính xác suất pi = P(X = xi) ; i = 1, 2, … , k, lập bảng có dạng sau để tính tiêu

chuẩn kiểm định 0

2

:

X ni pi npi

2

( i i)

i n np np  x1 x2 … xk n1 n2 … nk p1 p2 … pk np1 np2 … npk 1

(n np )

np 

2 2

2

(n np )

np 

…

2

( k k)

k

n np np 

n n

2 ( ) k i i i i n np np    



Với mức ý nghĩa  cho trước, tra bảng phụ lục ta tìm giá trị tới

(46)

Quy tắc định: Nếu 0

2

2 ta đưa định: Chấp nhận H Nếu 0

2

> 2 ta đưa định: Bác bỏ H, chấp nhận H Chú ý Để sử dụng phương pháp này, tần số quan sát mẫu phải

thỏa mãn điều kiện ni  Nếu mẫu có tần số quan sát nhỏ, ta ghép

giá trị quan sát mẫu lại để có tần số quan sát thỏa điều kiện nêu Ví dụ1 Một tổng đài điện thoại ghi nhận số khách hàng gọi tới 40 khoảng thời gian, khoảng thời gian phút, kết cho bảng sau:

Số gọi

Số khoảng thời gian 13 13

a) Gọi X số gọi phút Với mức ý nghĩa 5%, cho X có phân phối Poisson khơng?

b) Số gọi trung bình phút có khơng? Mức ý nghĩa định 1%

Giải

a) Ta đặt giả thiết cho X là:

H : X có phân phối Poisson ()

H : X khơng có phân phối Poisson () Trược hết, ta thu gọn mẫu cho sau:

Số gọi –

Số khoảng thời gian 13 13

Phân phối Poisson () có tham số  chưa xác định nên ta sử dụng mẫu

trên để ước lượng không chệch tham số  sau:

0 13 13 3,5

1, 25 40

        

Giả sử X (1,25), ta tính tiêu chuẩn kiểm định 0

sau:

X ni pi npi

2

( i i)

i

n np np 

0 –

13 13

0,2865 0,3581 0,2238 0,1316

11,46 14,324 8,952 5,264

0,2069 0,1224 0,1012 0,1029

40 40 02 = 0,5334

Với mức ý nghĩa  = 0,05 ; X nhận giá trị mẫu phân phối giả

thiết có tham số chưa xác định nên ta có giá trị tới hạn 2 là:

2 = 0,05

(4 – – 1) = 0,05

(2) = 5,99

(47)

b) Gọi  số gọi trung bình phút đến tổng đài điện thoại Để trả lời câu hỏi, ta đặt giả thiết cho  sau:

H :  = ; H : 

Ta có mẫu với n = 40 ; x = 1,2 ; s = 1,114 Do ta có tiêu chuẩn kiểm định t là:

1, 40

1,14 1,114

t   

2(t) = – 0,01  ( t) = 0,495  t = 2,58 Do t < t nên ta đưa định: Chấp nhận giả thiết H Kết luận: Số gọi trung bình phút coi

Ví dụ2 Sản phẩm sản xuất dây chuyền tự động đóng gói ngẫu nhiên theo quy cách sản phẩm/hộp Kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp thấy 75 hộp có sản phẩm loại I, 20 hộp có sản phẩm loại I hộp có sản phẩm loại I Với mức ý nghĩa 1%, cho số sản phẩm loại I có hộp đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức khơng?

Giải

Gọi X số sản phẩm loại I có hộp Ta đặt giả thiết cho X sau:

H : X có phân phối nhị thức B(3 ; p)

H : X khơng có phân phối nhị thức B(3 ; p) Trong p chưa xác định

Theo giả thiết tốn, ta có mẫu với kích thước n = 100 sau:

X

Số hộp 20 75

Do p chưa xác định nên ta dùng mẫu để ước lượng không chệch p sau:

1 20 75

0,9 100

p       

Giả sử giả thiết H đúng, nghĩa X  B(3 ; 0,9), ta có:

0 1

3

2 3

3

( 0) 0,9 0,1 0,001 ( 1) 0,9 0,1 0,027

( 2) 0,9 0,1 0, 243 ( 3) 0,9 0,1 0,729

P X C P X C

     

Khi ta tính tiêu chuẩn kiểm định 0

sau:

X ni pi npi

2

( i i)

i

(48)

0 2

20 75

0,001 0,027 0,243 0,729

0,1 2,7 24,3 72,9

0,1000 1,9593 0,7609 0,0605

100 100 02 = 2,8807

Với mức ý nghĩa  = 0,01 ; X nhận giá trị mẫu phân phối giả

thiết có tham số chưa xác định nên ta có giá trị tới hạn 2 sau:

2 =0,01

(3 – – 1) = 0,01

(1) = 6,64 Do 0

2

2 nên ta đưa định: Chấp nhận giả thiết H

Kết luận: Có sở số sản phẩm loại I có hộp đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

Ví dụ3 Gạo cho đủ tiêu chuẩn xuất tỉ lệ hạt nguyên 90% trở lên, tỉ lệ hạt vỡ 6% trở xuống tỉ lệ 4% trở xuống Kiểm tra ngẫu nhiên 1000 hạt gạo lơ hàng thấy có 880 hạt nguyên, 60 hạt vỡ 60 hạt Theo bạn lơ gạo có đủ tiêu chuẩn xuất không? Cho biết mức ý nghĩa kết luận 5%

Giải

Gọi X loại hạt gạo có gạo đạt tiêu chuẩn xuất X có luật phân phối xác suất sau:

X Hạt nguyên Hạt vỡ Tấm

P 0,9 0,06 0,04

Gọi Y loại hạt gạo có lơ hàng xét Ta đặt giả thiết cho Y là: H : Y có luật phân phối xác suất X

H : Y luật phân phối xác suất X

Với giả thiết tốn, ta có mẫu với kích thước n = 1000 sau:

Y Hạt nguyên Hạt vỡ Tấm

Số hạt 880 60 60

Giả sử giả thiết H đúng, ta có:

P(Y = Hạt nguyên) = 0,9 P(Y = Hạt vỡ) = 0,06 P(Y = Tấm) = 0,04 Khi ta tính tiêu chuẩn kiểm định 0

sau:

Y ni pi npi

2

( i i)

i

n np np 

Hạt nguyên Hạt vỡ Tấm

880 60 60

0,9 0,06 0,04

900 60 40

(49)

Với mức ý nghĩa  = 0,05 ; Y nhận giá trị mẫu phân phối giả thiết khơng có tham số chưa xác định nên ta có giá trị tới hạn 2 là:

2 = 0,052(3 – – 1) = 0,052(2) = 5,99

Do 0

> 2 nên ta đưa định: Bác bỏ H, chấp nhận H

Kết luận: Có sở để nói lơ gạo chưa đủ tiêu chuẩn xuất

3.6 Bài tốn kiểm định giả thiết tính độc lập

Bài toán Nghiên cứu đồng thời hai dấu hiệu X Y tổng thể, ta quan tâm đến tính độc lập hai dấu hiệu Ta có giả thiết tính độc lập hai dấu hiệu X Y là:

H : X Y độc lập H : X Y không độc lập Xét mẫu có kích thước n sau:

Y X

y1 y2 yh

x1 n11 n12 n1h

x2 n21 n22 n2h

… … … …

xk nk1 nk2 nkh

Hãy sử dụng mẫu để kiểm định giả thiết H với mức ý nghĩa  cho trước?

Cách giải Từ mẫu cho, ta lập bảng có dạng sau:

Y X

y1 y2 yh ni

x1

a11

n11

b11

a12

n12

b12

a1h

n1h

b1h

n1

x2

a21

n21

b21

a22

n22

b22

a2h

n2h

b2h

n2

… … …

… … … xk

ak1

nk1

bk1

ak2

nk2

bk2

akh

nkh

bkh

(50)

mj m1 m2 mh n

Trong đó: ni =

1

h ij j

n





1

k ij i

n





i j

n m

n ; bij =

2

( ij ij)

ij

a n

a 

Từ ta tính tiêu chuẩn kiểm định 02 theo công thức:

2

1

k h ij i j

b



 





Với mức ý nghĩa  cho trước, tra bảng phụ lục ta tính giá trị tới

hạn 2 =2[(k – 1)(h – 1)], k h số giá trị mà X Y nhận mẫu

Quy tắc định: Nếu 0

2

2 ta đưa định: Chấp nhận H Nếu 0

2

> 2 ta đưa định: Bác bỏ H, chấp nhận H Ví dụ Để lập kế hoạch sản xuất loại sản phẩm, công ty tiến hành điều tra ý thích khách hàng mẫu hàng A, B, C loại sản phẩm Qua thăm dị 300 người, ta có kết trình bày bảng sau:

Mẫu hàng Ý kiến

A B C

Thích 43 30 42

Khơng thích 35 53 39

Khơng có ý kiến 22 17 19

Với mức ý nghĩa 5%, cho biết khách hàng có quan tâm đến mẫu mã loại hàng hóa khơng?

Giải

Gọi X ý kiến khách hàng Y loại mẫu hàng loại hàng hóa

Để biết khách hàng có quan tâm đến mẫu mã loại hàng hóa hay khơng, ta đặt giả thiết cho X Y sau:

H : X Y độc lập H : X Y không độc lập Với kết thăm dò, ta lập bảng sau:

Y X

A B C ni

Thích

38,33 43

0,57

38,33 30

1,81

38,33 42

0,35

(51)

1,27 2,69 0,26

Khơng có ý kiến 19,33 22

0,37

19,33 17

0,28

19,33 19

0,01

58

mj 100 100 100 300

Do tiêu chuẩn kiểm định 0

tính sau:

0

= 0,57 + 1,81 + 0,35 + 1,27 + 2,69 + 0,26 + 0,37 + 0,28 + 0,01 = 7,61

Với mức ý nghĩa  = 0,05 có ý kiến có mẫu hàng mẫu

nên giá trị tới hạn 2 tính sau:

2 =0,052[(3 – 1)(3 – 1)] = 0,052(4) = 9,49

Do 0

2 nên ta đưa định: Chấp nhận giả thiết H

Kết luận: Có sở để nói rằng, khách hàng không quan tâm đến mẫu mã loại hàng

Bài tập chương 3

3.1.

a) Hãy lập mẫu theo dấu hiệu X mẫu theo dấu hiệu Y, sau tính số đặc trưng mẫu

b) Hãy tìm hệ số tương quan mẫu mẫu hai chiều Mối quan hệ tương quan X Y có tuyến tính khơng?

c) Hãy viết phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X X theo Y mẫu hai chiều

d) Hãy dự đốn đường kính có chiều cao 10m dự đốn chiều cao có đường kính 40cm

3.2.

a) Hãy lập mẫu theo dấu hiệu X mẫu theo dấu hiệu Y, sau tính số đặc trưng mẫu

b) Hãy tìm hệ số tương quan mẫu mẫu hai chiều

(52)

3.3.

a) Hãy ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95% b) Nếu phép ước lượng tỉ lệ trái khơng đạt tiêu chuẩn có độ xác

0,5% độ tin cậy ước lượng bao nhiêu?

c) Nếu phép ước lượng tỉ lệ trái không đạt tiêu chuẩn có độ xác 1% độ tin cậy 99% phải kiểm tra thêm sọt nữa?

3.4.

nhiên từ kho hàng 100 sản phẩm thấy có 60 sản phẩm xí nghiệp A Hãy ước lượng số sản phẩm xí nghiệp B kho hàng với độ tin cậy 95%

3.5.

ngẫu nhiên 400 sản phẩm lơ hàng thấy có 40 phế phẩm a) Hãy ước lượng số phế phẩm lô hàng với độ tin cậy 96%

b) Nếu phép ước lượng số phế phẩm lơ hàng có độ xác tới 150 sản phẩm độ tin cậy 99% phải kiểm tra sản phẩm?

3.6.

phân phối chuẩn Qua theo dõi sản lượng 10 ngày phân xưởng đó, ta có kết sau: 23, 27, 26, 21, 28, 25, 30, 26, 23, 26 Hãy ước lượng sản lượng trung bình hàng ngày phân xưởng với độ tin cậy 95%?

3.7.

nhiên có phân phối chuẩn Cân thử 100 trứng trại gà ta có kết bảng sau:

X 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Số trứng 15 28 30 a) Hãy ước lượng trọng lượng trung bình trứng trại ni

gà với độ tin cậy 99% Nếu ước lượng có độ xác 0,35g độ tin cậy bao nhiêu?

b) Những trứng có trọng lượng 35g gọi trứng loại hai Hãy ước lượng trọng lượng trung bình trứng loại hai với độ tin cậy 98%

c) Nếu phép ước lượng trọng lượng trung bình trứng trại ni gà có độ tin cậy 99% độ xác 0,3g cần phải cân thêm trứng nữa?

3.8.

(53)

X 40 - 42 42 - 44 44 - 46 46 - 48 48 - 50 50 - 52 Số héc-ta 13 25 35 30 a) Hãy ước lượng suất lúa trung bình địa phương với độ tin

cậy 95% Hãy tìm ước lượng với điều kiện biết D(X) =

b) Những ruộng có suất khơng q 44 tạ/ha gọi ruộng có suất thấp Hãy ước lượng suất lúa trung bình ruộng có suất thấp với độ tin cậy 99%

c) Hãy ước lượng tỉ lệ ruộng có suất thấp địa phương với độ tin cậy 97%

d) Hãy ước lượng phương sai X với độ tin cậy 98%

3.9.

cho bảng sau:

X Số chi tiết 19,95 – 20,00 28

19,80 – 19,85 19,85 – 19,90 19,90 – 19,95

3 16

20,00 – 20,05 20,05 – 20,10 20,10 – 20,20

23 14 11

Theo quy định, chi tiết có đường kính từ 19,9mm đến 20,1mm gọi chi tiết đạt tiêu chuẩn

a) Hãy ước lượng đường kính trung bình chi tiết đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95%

b) Hãy ước lượng tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 96%

c) Để ước lượng tỉ lệ chi tiết đạt tiêu chuẩn có độ tin cậy 99% độ xác 5% cần phải đo thêm chi tiết nữa?

3.10.

X – – – – 10 10 – 11 11 – 12 Số trái 10 20 35 25

a) Hãy ước lượng hàm lượng vitamin trung bình loại trái với độ tin cậy 95%

b) Nếu ước lượng hàm lượng vitamin trung bình có độ xác 0,3% độ tin cậy bao nhiêu?

c) Những trái có hàm lượng vitamin từ 10% trở lên gọi trái loại Hãy ước lượng tỉ lệ trái loại loại trái với độ tin cậy 99%

(54)

3.11.

Y X

20 24 28 32 36

2

3

4 10

5 14 16

6 10

7 13

a) Hãy ước lượng chiều cao trung bình loại trồng với độ tin cậy 95%

b) Số đo có cịn phù hợp khơng ước lượng có độ tin cậy 95% độ xác 20cm? Cần phải đo thêm để đạt độ tin cậy độ xác đó?

c) Những có chiều cao 5m đường kính 30cm gọi loại Hãy ước lượng đường kính trung bình loại với độ tin cậy 98% Nếu ước lượng có độ xác 0,68cm độ tin cậy bao nhiêu?

d) Hãy ước lượng tỉ lệ loại giống trồng với độ tin cậy 96% Để ước lượng tỉ lệ loại giống trồng có độ tin cậy 95% độ xác 5% cần phải đo thêm nữa?

3.12.

X Y

30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80

70 – 90

90 – 110 13 20

110 – 130 12 15 10

130 – 150 8

150 – 170 2

(55)

a) Hãy ước lượng độ chảy trung bình “vật liệu bền” với độ tin cậy 99%

b) Muốn ước lượng độ chảy trung bình có độ tin cậy 90% độ xác 1, đồng thời ước lượng tỉ lệ “vật liệu bền” có độ tin cậy 80% độ xác 4%, cần phải quan sát thêm vật liệu nữa?

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

a) Với mức ý nghĩa 5%, cho kết luận tác dụng tăng trọng loại thức ăn mới?

b) Nhà cung cấp loại thức ăn tiếp thị: Trọng lượng trung bình xuất chuồng sử dụng loại thức ăn 3,3 kg/con Hãy cho nhận xét tiếp thị với mức ý nghĩa 3%?

3.17.

Năng suất Diện tích

30 – 35 35 – 40

7 12

50 – 55 55 – 60

(56)

40 – 45 45 – 50

18 27

60 – 65 65 – 70

5

Với mức ý nghĩa 5%, cho kết luận biện pháp kỹ thuật suất lúa trung bình vụ gặt năm nay?

3.18.

Nhu cầu Số hộ

0 – 1 – 2 – 3 –

10 35 86 132

4 – 5 – 6 – 7 –

78 31 18 10

Nếu cho nhu cầu trung bình mặt hàng A cho tồn khu dân cư 14 tấn/tháng có chấp nhận không? Cho biết mức ý nghĩa 1% khu dân cư có 4000 hộ dân

3.19.

3.20.

3.21.

X 28 -32 32-36 36-40 40-44 44-48 48-52 52-56

Số 15 10 15 25 15 10 10

(57)

b) Những vật ni có trọng lượng từ 40kg trở lên gọi “đạt tiêu chuẩn” Hãy ước lượng tỉ lệ “đạt tiêu chuẩn” loại vật nuôi với độ tin cậy 95%

c) Trước lượng trọng lượng trung bình loại vật nuôi 37kg Số liệu mẫu thu thập sau nông trại sử dụng loại thức ăn Hãy cho kết luận loại thức ăn với mức ý nghĩa 1%

3.22.

Chiều cao (cm) Số 125 – 135 30

95 – 105 105 – 115 115 – 125

10 10 15

135 – 145 145 – 155 155 – 165

10 10 15

a) Ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 95%

b) Nếu muốn ước lượng chiều cao trung bình giống trồng với độ tin cậy 99% độ xác 4cm cần phải khảo sát thêm nữa?

c) Những trồng có chiều cao từ 135cm trở lên gọi “cây cao” Hãy ước lượng tỉ lệ “cây cao” giống trồng với độ tin cậy 99,73%

d) Giả sử trước khảo sát, tỉ lệ “cây cao” 30% Số liệu khảo sát tiến hành sau áp dụng phương pháp trồng trọt Hãy cho kết luận phương pháp trồng trọt với mức ý nghĩa 5%

3.23.

Tổng số điểm Số thí sinh 60 – 70 20

90 – 100 80 – 90 70 – 80

10 15 25

50 – 60 40 – 50 – 40

15 10

a) Hãy ước lượng điểm trung bình thí sinh đợt thi tốt nghiệp với độ tin cậy 96%

(58)

c) Hội đồng thi tốt nghiệp cho điểm trung bình kỳ thi tốt nghiệp 73 điểm Với mức ý nghĩa 4%, nhận định có đáng tin khơng?

d) Một thí sinh có tổng điểm thi từ 50 trở lên công nhận tốt nghiệp Hãy ước lượng số thí sinh cơng nhận tốt nghiệp kỳ thi với độ tin cậy 98,82%, biết có 1000 thí sinh dự thi

3.24.

Y X

1,46-1,56 1,57-1,63 1,64-1,7 1,71-1,77 1,78-1,88

45 – 49

50 – 54

55 – 59 12 12

60 – 64 12

65 – 69 24 12

70 – 80

80 – 90 1

a) Ước lượng chiều cao trung bình niên TP.HCM với độ tin cậy 98%

b) Những niên có chiều cao 1,7m trọng lượng từ 65kg

đến 80kg coi hình lý tưởng Ước lượng tỉ lệ niên

có thể hình lý tưởng với độ tin cậy 96%

c) Với số liệu bảng trên, để phép ước lượng tỉ lệthanh niên

có thể hình lý tưởng có xác 5% độ tin cậy phải bao nhiêu? d) Một tài liệu khảo sát ba năm trước cho biết trọng lượng trung bình niên TP.HCM 58,5kg Hãy cho biết kết luận qua tài liệu số liệu bảng với mức ý nghĩa 2%

3.25.

Số gái

Số gia đình 16 48 62 30

Với mức ý nghĩa 5%, cho số gái gia đình có đại lượng ngẫu nhiên có phân phối nhị thức không?

(59)

Số lỗi có trang sách

Số trang sách 230 130 70 50 20

Với mức ý nghĩa 1%, cho số lỗi có trang sách đại lượng ngẫu nhiên có phân phối Poisson khơng?

3.27.

Số nút xuất

Số lần tung 106 92 97 105 88 112

Với mức ý nghĩa 5%, cho hột xí ngầu chế tạo cân đối đồng chất không?

3.28.

Khả học tốn Thái độ với

mơn thống kê

Thấp Trung

bình

Cao

Ít thích 60 15 15

Thích vừa 15 45 10

Rất thích 10 25

Với mức ý nghĩa 5%, cho biết u thích mơn thống kê có phụ thuộc vào khả học tốn không?