anhdep toán học 2 đinh thị hải thư viện tư liệu giáo dục

[r]

Tr−ờng đại học Vinh

Khối THPT chuyên

Đáp án môn Toán - lần

Câu Néi dung §iĨm

I 1 Víi m=1 ta cã ( )= +6 +9 +1

x x x x f

*) TX§: x∀

*) CBT: +) 

 

− ≥

− ≤ ⇔ ≥ + + =

1

9 12

) (

'

x x x

x x f

+) f ''(x)=6x+12≥0⇔x≥−2 ⇒ BBT:

+) Hàm số đạt cực đại x=−3, yCĐ = đạt cực tiểu x=−1, yCT =−3

+) §å thị hàm số có điểm uốn U

(

2 , 1

)

*) Đồ thị:

+) th i xng qua điểm U

(

−2 −, 1

)

qua điểm

( )

0;1

2 Hàm số xác định với ∀x ∈R có đạo hàm '( )=3 −6

(

−3

)

+3

(

−3 +5

)

m m x m x

x

f

+) Hàm số cực đại, cực tiểu x1, x2 ⇔ pt f'(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ pt −2

(

−3

)

+ −3 +5=0

m m x m

x cã nghiƯm ph©n biƯt x1, x2

(

)

3

4 3

' 2

< ⇔ > + − = − + − − = ∆

⇔ m m m m m (1)

+) Theo định lí Viet ta có x1+x2 =2

(

m−3

)

;x1x2 =m2 −3m+5

Do đó, x1+x2 −x1x2 <7 ⇔2

(

m−3

)

−m2 +3m−5 <7⇔ m2 −5m+11<7

1 18

0

11

7 11

2

2

< < ⇔ 

  

> + −

< + − ⇔ 

  

− > + −

< + −

⇔ m

m m

m m m

m m m

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta có kết toán là: 1< m<

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

x

) ( ' x

f

) ( ' ' x

f

) (x

f

∞ −

∞ −

∞ +

∞ +

− − −

+ - +

+

-

U

3 − låi

lâm

x y

U

1 − −

−

II

III

1 *) §iỊu kiÖn: x≥3,y≥1

Đặt u= x−3 ≥0,v= y−1≥0 Suy x=u2+3, y=v2+1 Khi hệ trở thành:

(

)(

) (

)

1

2

= − − + − ⇒ 

  

= +

= +

v u v u v u u

v v u

  

= + = ⇔

1

v u

v u

*) u = Thay vµo hƯ trªn ta cã: v

     

− =

− = ⇒ + − = =

2 5

2

5

y x v

u (thoả mÃn điều kiện)

*) u+ v=1 Thay vào hệ ta có:



 

= =

= = ⇒ 

 

= =

= = ⇔ 

  

= −

= +

2 ,

1 ,

;

0 ;

1

2 x y

y x v

u v u u

u u u

Vậy hệ ph−ơng trình cho có nghiệm là:

( )

;

( ) ( )

3,2; 4,1

2 5 ,

5

, 

  

 

 − −

=

y x

2 *) Điều kiện: x>0

Đặt t=2log5x >0,ta có: 2 −5 +2+1=0

t t t

(

1

)

(

2 2

)

(

1

)(

2 1

)(

2

)

0

2

2 2

0

= − + − ⇔ = − − −

⇔ = + + −

⇔> t t t t t t t t t

t

  

= = ⇔>

2

t t

t

*) Víi t=1 ta cã log5 x=0⇔x=1 *) Víi t =2 ta cã log5 x=1x=5

Tóm lại, nghiệm phơng trình x= x1; =5 Ta cã: +) sin2A+sin2B+sin2C =4sinAsinBsinC

+) sin2A+sin2B−sin2C =2sinCcos

(

A−B

)

−2sinCcosC

=2sinC

(

cos

(

A−B

)

+cos

(

A+B

)

)

=4sinCcosAcosB Khi đẳng thức cho t−ơng đ−ơng với:

A B A B C A B A B C

C C B

A B A

cos cos cos cos

cos cos

sin sin sin

sin cos

1 cos cos cos

sin sin

− =

+ ⇔

+ −

=

(

A B A B

)

(

A B

)

C + = +

⇔cos cos cos sin sin cos

(

)



(

)

 

− = − = ⇔

− = − ⇔

, cos

0 cos cos

cos cos

B A C C

B A C

π

= ⇔ C VËy: tam giác vuông C

0.25

0.25

0.5

0.25

0.25 0.25 0.25 0.25

0.25

0.25

0.25 k0 x¶y

IV *) Vì ABAC, ABSCnên AB

(

SAC

)

AB⊥CH mµCH ⊥SA

⇒CH ⊥

(

SAB

)

⇒CH ⊥HK hay CHK vuông H *) §Ỉt SC=x ( >x 0)

- Ta có:AC=BCcos600 =a

- Trong tam giác vuông SAC ta cã:

2 2 2 2

2 2

1 1 1

x a

x a CH a

x CA CS

CH = + = + ⇒ = +

T−¬ng tù tam giác vuông SCB ta có: 2 2 2

4

x a

x a CK

+ = *) Trong tam gi¸c vu«ng CHK ta cã

5

4

2

2 2

2 2

2

2 a

x a

x a x a

x a HK

CH

CK =

+ − + ⇔ =

−

a x a x a

x a x

x vi

2

0 10

3 2

) ( 2

2

= ⇔ =

⇔ =

− −

⇔ > hay SC =2a(do a > 0, x > 0)

2

*) Gi¶ sư pt MN lµ + + =0 ( 2+ ≠0)

B A C

By Ax

-V× MN tiÕp xóc

( )

E nªn C2 =2A2+B2 (1)

PQ //MN nên pt PQ có dạng Ax+By+C'=0

(

C ≠' C

)

- Vì PQ tiếp xúc

( )

E nên C'2=2A2+B2 (2) Tõ (1) vµ (2) C C C C

C C

− = ⇒ =

⇒ ≠ '

) ' ( 2 '

⇒ PQ:Ax+By−C=0

- MQ PQ nên pt MQ có dạng BxAy+D=0 MQ tiếp xúc

( )

E nên 2

2B A

D = + (3) T−¬ng tù ta cã pt NP:Bx−Ay−D=0

*) Ta cã

(

)

2 2

2

2 ;

B A

D A

B D D NP

MQ d MN

+ = + + =

=

(

)

2 2

2

2 ;

B A

C B

A C C PQ

MN d MQ

+ = + + =

=

(

)(

)

6 2

4

2 2

2 2 )

3 ( ), ( 2

gt theo

MNPQ

B A

B A B A B

A CD MQ

MN

S =

+ + +

= +

= =

⇒

(

2

)(

) (

9

)

4 2 2 2 4 2 2 (1),(3) 2

A D C B

A B

A B A B

A B

A B A

theo

= = ⇒

= ⇔ = −

+ ⇔ +

= + +

⇔

Chọn A=1 B=1,C= 3,D= pt đờng thẳng chứa cạnh hình chữ nhật MNPQ là:

x+y+ 3=0; x+y− 3=0;x−y+ 3=0;x−y− 3=0

Chú ý: Độ dài MN tính cách chọn điểm I MQ tính d ;

(

I NP

)

(

O NP

)

d

MN =2 ;

3.*) Gọi

( )

mặt phẳng qua A ⊥d Ta chän nα =ud =

(

1,−1,2

)

⇒pt

( )

α :x−y+2z+3=0

- Tõ hÖ

(

1,2, 1

)

0

2 1

1

2

− ⇒

   

= + + −

− = −

− = −

H z

y x

z y

x

H=

( )

α ∩d - Vì H trung điểm AB nên ⇒ B

(

4,3,−2

)

*) Với C ∈

( )

P , để BC nhỏ C hình chiếu B lên

( )

P hay BC ⊥

( )

P

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25 0.25 P

x Q

N M

O y

 S

B

A C

K

a

V

Ta chän uBC =np =

(

3,2,−3

)

⇒pt

3 2

3

4 :

− + = − =

− y z

x BC

Tõ hÖ

( )

1,1,1

0 3

3 2

3

4

C z

y x

z y

x

⇒ 

  

= − − +

− + = − = −

1 Ta cã:

(

)

   

= = ⇔ = − −

1

4 13

x x x

x

Víi ,1

(

1

)

4

3 3

≥ − − ⇒    

∈ x x

x Do diện tích S hình phẳng đ−ợc giới hạn đồ thị

hµm sè

(

)

3

1 x

x

y= − − Ox đ−ợc xác định bởi: =

∫

(

−

)

−

4

3

1 xdx

x S

Đặt 3

t x =

− Ta cã:

vµ

(

3

)

3

t

x= − nªn

4

dt t dx=−

Khi

∫

(

)

−

= −    



 +

− = + −

=

1

7

3

448 16

3

16

t t dt

t t

S (đvdt)

2 +) áp dụng công thức Cnk =Cnk−−11+Cnk−1,

(

1≤k ≤n−1

)

ta cã:

2 3 C

C =

3 3

4 C C

C = +

4

5 C C

C = +

………

1

1

− − +

= n n

n C C

C

3

1 n n

n C C

C + = +

⇒Cn3+1 =C22 +C32 + +Cn2 Thay vào đẳng thức cho ta đ−ợc:

Cn An

(

n

) (

n n

)

3.

(

n 1

)

n

3 1

3

2 21

3

1 = +

− +

⇔

= +

+

10

1

= ⇔ = −

⇔ n n

+) Theo c«ng thøc Newton ta cã:

=

[

−

(

+

)

]

= −

(

+

)

+

(

+

)

− 3

(

+ 2

)

3+

10 2

2 10

10 10 10

2 1 3 1 3 1 3

3

1 x x C C x x C x x C x x

A

(

)

(

)

10 10

(

2

)

10 10

5

5 10 4

4

10x 3x C x 3x C x 3x

C + − + + + +

+

⇒ HÖ sè cđa

x lµ:

270 210 480 10

1 2

10C + C = + =

C

0.25

0.25

0.25

0.25

0.5

0.25

0.25

0.25

0.25

x t

4