[r]
(1)Tr−ờng đại học Vinh
Khối THPT chuyên
Đáp án môn Toán - lần
Câu Néi dung §iĨm
I 1 Víi m=1 ta cã ( )= +6 +9 +1
x x x x f
*) TX§: x∀
*) CBT: +)
− ≥
− ≤ ⇔ ≥ + + =
1
9 12
) (
'
x x x
x x f
+) f ''(x)=6x+12≥0⇔x≥−2 ⇒ BBT:
+) Hàm số đạt cực đại x=−3, yCĐ = đạt cực tiểu x=−1, yCT =−3
+) §å thị hàm số có điểm uốn U(2 , 1) *) Đồ thị:
+) th i xng qua điểm U(−2 −, 1) qua điểm ( )0;1
2 Hàm số xác định với ∀x ∈R có đạo hàm '( )=3 −6( −3) +3( −3 +5)
m m x m x
x
f
+) Hàm số cực đại, cực tiểu x1, x2 ⇔ pt f'(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ pt −2( −3) + −3 +5=0
m m x m
x cã nghiƯm ph©n biƯt x1, x2
( )
3
4 3
' 2
< ⇔ > + − = − + − − = ∆
⇔ m m m m m (1)
+) Theo định lí Viet ta có x1+x2 =2(m−3);x1x2 =m2 −3m+5
Do đó, x1+x2 −x1x2 <7 ⇔2(m−3)−m2 +3m−5 <7⇔ m2 −5m+11<7
1 18
0
11
7 11
2
2
< < ⇔
> + −
< + − ⇔
− > + −
< + −
⇔ m
m m
m m m
m m m
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta có kết toán là: 1< m<
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
x
) ( ' x
f
) ( ' ' x
f
) (x
f
∞ −
∞ −
∞ +
∞ +
− − −
+ - +
+
-
U
3 − låi
lâm
x y
U
1 − −
−
(2)II
III
1 *) §iỊu kiÖn: x≥3,y≥1
Đặt u= x−3 ≥0,v= y−1≥0 Suy x=u2+3, y=v2+1 Khi hệ trở thành:
( )( ) ( )
1
2
= − − + − ⇒
= +
= +
v u v u v u u
v v u
= + = ⇔
1
v u
v u
*) u = Thay vµo hƯ trªn ta cã: v
− =
− = ⇒ + − = =
2 5
2
5
y x v
u (thoả mÃn điều kiện)
*) u+ v=1 Thay vào hệ ta có:
= =
= = ⇒
= =
= = ⇔
= −
= +
2 ,
1 ,
;
0 ;
1
2 x y
y x v
u v u u
u u u
Vậy hệ ph−ơng trình cho có nghiệm là: ( ) ;( ) ( )3,2; 4,1
2 5 ,
5
,
− −
=
y x
2 *) Điều kiện: x>0
Đặt t=2log5x >0,ta có: 2 −5 +2+1=0
t t t
( 1)(2 2) ( 1)(2 1)( 2) 0
2
2 2
0
= − + − ⇔ = − − −
⇔ = + + −
⇔> t t t t t t t t t
t
= = ⇔>
2
t t
t
*) Víi t=1 ta cã log5 x=0⇔x=1 *) Víi t =2 ta cã log5 x=1x=5
Tóm lại, nghiệm phơng trình x= x1; =5 Ta cã: +) sin2A+sin2B+sin2C =4sinAsinBsinC
+) sin2A+sin2B−sin2C =2sinCcos(A−B)−2sinCcosC
=2sinC(cos(A−B)+cos(A+B))
=4sinCcosAcosB Khi đẳng thức cho t−ơng đ−ơng với:
A B A B C A B A B C
C C B
A B A
cos cos cos cos
cos cos
sin sin sin
sin cos
1 cos cos cos
sin sin
− =
+ ⇔
+ −
=
( A B A B) (A B)
C + = +
⇔cos cos cos sin sin cos
( ) ( )
− = − = ⇔
− = − ⇔
, cos
0 cos cos
cos cos
B A C C
B A C
π
= ⇔ C VËy: tam giác vuông C
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
0.25
0.25
0.25 k0 x¶y
(3)IV *) Vì ABAC, ABSCnên AB(SAC) AB⊥CH mµCH ⊥SA
⇒CH ⊥(SAB)⇒CH ⊥HK hay CHK vuông H *) §Ỉt SC=x ( >x 0)
- Ta có:AC=BCcos600 =a
- Trong tam giác vuông SAC ta cã:
2 2 2 2
2 2
1 1 1
x a
x a CH a
x CA CS
CH = + = + ⇒ = +
T−¬ng tù tam giác vuông SCB ta có: 2 2 2
4
x a
x a CK
+ = *) Trong tam gi¸c vu«ng CHK ta cã
5
4
2
2 2
2 2
2
2 a
x a
x a x a
x a HK
CH
CK =
+ − + ⇔ =
−
a x a x a
x a x
x vi
2
0 10
3 2
) ( 2
2
= ⇔ =
⇔ =
− −
⇔ > hay SC =2a(do a > 0, x > 0)
2
*) Gi¶ sư pt MN lµ + + =0 ( 2+ ≠0)
B A C
By Ax
-V× MN tiÕp xóc ( )E nªn C2 =2A2+B2 (1)
PQ //MN nên pt PQ có dạng Ax+By+C'=0 (C ≠' C)
- Vì PQ tiếp xúc ( )E nên C'2=2A2+B2 (2) Tõ (1) vµ (2) C C C C
C C
− = ⇒ =
⇒ ≠ '
) ' ( 2 '
⇒ PQ:Ax+By−C=0
- MQ PQ nên pt MQ có dạng BxAy+D=0 MQ tiếp xúc ( )E nên 2
2B A
D = + (3) T−¬ng tù ta cã pt NP:Bx−Ay−D=0
*) Ta cã ( )
2 2
2
2 ;
B A
D A
B D D NP
MQ d MN
+ = + + =
=
( )
2 2
2
2 ;
B A
C B
A C C PQ
MN d MQ
+ = + + =
=
( )( )
6 2
4
2 2
2 2 )
3 ( ), ( 2
gt theo
MNPQ
B A
B A B A B
A CD MQ
MN
S =
+ + +
= +
= =
⇒
(2 )( ) (9 )
4 2 2 2 4 2 2 (1),(3) 2
A D C B
A B
A B A B
A B
A B A
theo
= = ⇒
= ⇔ = −
+ ⇔ +
= + +
⇔
Chọn A=1 B=1,C= 3,D= pt đờng thẳng chứa cạnh hình chữ nhật MNPQ là:
x+y+ 3=0; x+y− 3=0;x−y+ 3=0;x−y− 3=0
Chú ý: Độ dài MN tính cách chọn điểm I MQ tính d ;(I NP)
(O NP)
d
MN =2 ;
3.*) Gọi ( ) mặt phẳng qua A ⊥d Ta chän nα =ud =(1,−1,2)⇒pt ( )α :x−y+2z+3=0
- Tõ hÖ (1,2, 1)
0
2 1
1
2
− ⇒
= + + −
− = −
− = −
H z
y x
z y
x
H=( )α ∩d - Vì H trung điểm AB nên ⇒ B(4,3,−2)
*) Với C ∈( )P , để BC nhỏ C hình chiếu B lên ( )P hay BC ⊥( )P
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25 0.25 P
x Q
N M
O y
S
B
A C
K
a
(4)V
Ta chän uBC =np =(3,2,−3)⇒pt
3 2
3
4 :
− + = − =
− y z
x BC
Tõ hÖ ( )1,1,1
0 3
3 2
3
4
C z
y x
z y
x
⇒
= − − +
− + = − = −
1 Ta cã: ( )
= = ⇔ = − −
1
4 13
x x x
x
Víi ,1 ( 1)
4
3 3
≥ − − ⇒
∈ x x
x Do diện tích S hình phẳng đ−ợc giới hạn đồ thị
hµm sè ( )3
1 x
x
y= − − Ox đ−ợc xác định bởi: = ∫( − ) −
4
3
1 xdx
x S
Đặt 3
t x =
− Ta cã:
vµ ( 3)
3
t
x= − nªn
4
dt t dx=−
Khi ∫ ( )
−
= −
+
− = + −
=
1
7
3
448 16
3
16
t t dt
t t
S (đvdt)
2 +) áp dụng công thức Cnk =Cnk−−11+Cnk−1,(1≤k ≤n−1) ta cã:
2 3 C
C =
3 3
4 C C
C = +
4
5 C C
C = +
………
1
1
− − +
= n n
n C C
C
3
1 n n
n C C
C + = +
⇒Cn3+1 =C22 +C32 + +Cn2 Thay vào đẳng thức cho ta đ−ợc:
Cn An (n ) (n n ) 3.(n 1)n
3 1
3
2 21
3
1 = +
− +
⇔
= +
+
10
1
= ⇔ = −
⇔ n n
+) Theo c«ng thøc Newton ta cã:
=[ − ( + )] = − ( + )+ ( + ) − 3( + 2)3+
10 2
2 10
10 10 10
2 1 3 1 3 1 3
3
1 x x C C x x C x x C x x
A
( ) ( ) 10 10( 2)10 10
5
5 10 4
4
10x 3x C x 3x C x 3x
C + − + + + +
+
⇒ HÖ sè cđa
x lµ:
270 210 480 10
1 2
10C + C = + =
C
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
x t
4