Đang tải... (xem toàn văn)
Dùng chữ “đặc biệt” ở đây bởi lẽ cách giải bài toán sẽ đòi hỏi các bạn phải có một kiến thức thật tốt ở tất cả các chuyên đề khác của toán học như chuyên đề bất đẳng thức (BĐT), chuyên[r]
(1)Trang | Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Chuyên đề giải phương trình bất phương trình chứa thức ln tốn hay nhiều bạn học sinh đặc biệt bạn trường chuyên quan tâm Trong học hôm xin đưa số phương pháp đặc biệt để giải toán đặc biệt Dùng chữ “đặc biệt” lẽ cách giải toán địi hỏi bạn phải có kiến thức thật tốt tất chuyên đề khác toán học chuyên đề bất đẳng thức (BĐT), chuyên đề khảo sát hàm số, chuyên đề lượng giác v.v…Sau xin giới thiệu số phương pháp giải sau:
1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Cho hai số dương 𝑎, 𝑏 Khi ta có BĐT sau: 𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏 Ngoài ta cịn có hai BĐT Chauchy ngược sau: 𝑎𝑏 ≤(𝑎+𝑏)2
4 𝑎𝑏 ≤ 𝑎2+𝑏2
2
Ví dụ Giải phương trình sau: √𝒙𝟐+ 𝟑𝒙 + 𝒙√𝟏 + 𝟑𝒙 = (𝒙 + 𝟏)𝟐 (𝟏)
Giải: Điều kiện: {𝑥2+ 3𝑥 ≥ + 3𝑥 ≥ ⇔ {
[𝑥 ≤ −3 𝑥 ≥ 𝑥 ≥ −1
3
⇔ 𝑥 ≥
Áp dụng BĐT cauchy ngược cho cặp số dương 2√𝑥 ,√𝑥 + 2𝑥, √1 + 3𝑥 ta có
√𝑥2 + 3𝑥 =1
2 2√𝑥 √𝑥 + ≤
4𝑥 + 𝑥 + 𝑥√1 + 3𝑥 =1
22𝑥√1 + 3𝑥 ≤
4𝑥2+ + 3𝑥
2
Cộng vế lại ta có:
√𝑥2 + 3𝑥 + 𝑥√1 + 3𝑥 ≤4𝑥 + 𝑥 +
4 +
4𝑥2 + + 3𝑥
4 = (𝑥 + 1)
2 ℎ𝑎𝑦 𝑉𝑇 ≤ 𝑉𝑃
Dấu “=” xảy ⇔ {2√𝑥 = √𝑥 +
2𝑥 = √1 + 3𝑥 ⇔ 𝑥 =
Ví dụ Giải phương trình sau: 𝟏𝟑√𝒙𝟐− 𝒙𝟒+ 𝟗√𝒙𝟐+ 𝒙𝟒= 𝟏𝟔 (𝟐) Giải: Điều kiện: −1 ≤ 𝑥 ≤
Áp dụng BĐT cauchy ngược cho cặp số 𝑥, 2√1 − 𝑥2 3𝑥, 2√1 + 𝑥2
13√𝑥2− 𝑥4 = 13𝑥√1 − 𝑥2 =13
2 𝑥 2√1 − 𝑥2 ≤ 13
2
𝑥2+ − 4𝑥2
2 =
13
4 (4 − 3𝑥
(2)Trang |
9√𝑥2 + 𝑥4 =3
23𝑥 2√1 + 𝑥2 ≤
9𝑥2+ + 4𝑥2
2 =
3
4(4 + 13𝑥
2).
Cộng hai vế ta có
13√𝑥2− 𝑥4 + 9√𝑥2+ 𝑥4 ≤1
4[13(4 − 3𝑥
2) + 3(4 + 13𝑥2)] = 16
Dấu “=” xảy ⇔ { 𝑥 = 2√1 − 𝑥2
3𝑥 = 2√1 + 𝑥2 ⇔ 𝑥 = 2√5
5
Thông thường dạng tốn thi phổ thơng thường cho bạn dễ nhẩm nghiệm để bạn đưa nhóm số dương 𝑎, 𝑏 dễ dàng trước áp dụng BĐT Cauchy Đối với loại tốn ví dụ địi hỏi thời gian để bạn tìm nhóm 𝑎, 𝑏 phù hợp Loại tốn ví dụ thường sử dụng hình thức thi chuyên, thi tuyển học sinh giỏi, chương trình phổ thơng thi tốt nghiệp hay đại học bạn không nên bận tâm
Bài tập minh họa
Giải phương trình sau: a 3√𝑥3+ 4𝑥 = 𝑥2+ 2𝑥 + 4
b 4√1 − 𝑥2 + √1 − 𝑥4
+ √1 + 𝑥4 = c √1 − 𝑥3 +4
3√𝑥 + = 𝑥 +10
3 2 Lượng giác hóa phương trình
Đối với phương trình vơ tỉ mà điều kiện để tồn phương trình |𝑥| ≤ 𝑎 ta sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải tốn cách đặt 𝑥 = √𝑎 sin 𝑡 𝑥 = √𝑎 cos 𝑡
Ví dụ 3.Giải phương trình sau: 𝟏 + √𝟏 − 𝒙𝟐= 𝒙(𝟏 + 𝟐√𝟏 − 𝒙𝟐) (𝟑). Giải: Điều kiện: −1 ≤ 𝑥 ≤
Đặt 𝑥 = sin 𝑡 với 𝑡 ∈ [−𝜋
2, 𝜋
2] Khi đó:
(3) ⇔ + cos 𝑡 = sin 𝑡 (1 + cos 𝑡) ⇔ sin 𝑡 − cos 𝑡 + sin 𝑡 cos 𝑡 − =
Dạng phương trình đối xứng (tự giải tiếp)
Ví dụ 4.Giải phương trình sau: 𝟏 𝒙+
𝟏
√𝟏−𝒙𝟐 = 𝟐 (𝟏 + √𝟑
𝟑) (𝟒) Giải: Tự giải
Bài tập minh họa
(3)Trang |
a
1−𝑥2= 3𝑥
√1−𝑥2−
b 𝑥 + √2 − 𝑥2 = √2
c 𝑥3 + √(1 − 𝑥2)3 = 𝑥√2(1 − 𝑥2) 3 Sử dụng tính biến thiên hàm số
a Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) xác định 𝐷 Nếu hàm 𝑓 đồng biến (tương ứng nghịch biến) 𝐷
thì:
Phương trình: 𝑓(𝑢(𝑥)) = 𝑓(𝑣(𝑥)) ⇔ 𝑢(𝑥) = 𝑣(𝑥)
BPT: 𝑓(𝑢(𝑥)) > 𝑓(𝑣(𝑥)) ⇔ 𝑢(𝑥) > 𝑣(𝑥) (tương ứng 𝑢(𝑥) < 𝑣(𝑥))
b Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦 = 𝑔(𝑥) xác định 𝐷 Nếu hàm 𝑓 đồng biến, 𝑔 nghịch biến (hoặc ngược lại) phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) có nghiệm
Ví dụ 5.Giải phương trình sau: (𝒙 − 𝟏)(𝟑 + √𝒙𝟐− 𝟐𝒙 + 𝟑) + 𝟐𝒙(𝟑 + √𝟒𝒙𝟐+ 𝟐) = 𝟎 (𝟓) Giải: (5) ⇔ (𝑥 − 1) (3 + √(𝑥 − 1)2+ 2) = (−2𝑥) (3 + √(−2𝑥)2+ 2)
⇔ 𝑓(𝑥 − 1) = 𝑓(−2𝑥)
Trong 𝑓(𝑡) = 𝑡(3 + √𝑡2+ 2) Vì 𝑓′(𝑡) = + √𝑡2+ + 𝑡2
√𝑡2+2> 0, ∀𝑡 nên hàm số 𝑓(𝑡)
đồng biến Khi phương trình:
𝑓(𝑥 − 1) = 𝑓(−2𝑥) ⇔ 𝑥 − = 2𝑥 ⇔ 𝑥 =1
Ví dụ 6.Giải BPT: √𝒙𝟐− 𝟐𝒙 + 𝟑 − √𝒙𝟐− 𝟔𝒙 + 𝟏𝟏 > √𝟑 − 𝒙 − √𝒙 − 𝟏 (𝟔) Giải: Điều kiện: {3 − 𝑥 ≥
𝑥 − ≥ 0⇔ ≤ 𝑥 ≤
(6) ⇔ √𝑥2− 2𝑥 + + √𝑥 − > √𝑥2 − 6𝑥 + 11 + √3 − 𝑥
⇔ √(𝑥 − 1)2+ + √𝑥 − > √(3 − 𝑥)2+ + √3 − 𝑥 ⇔ 𝑓(𝑥 − 1) > 𝑓(3 − 𝑥)
Trong 𝑓(𝑡) = √𝑡2+ + √𝑡 với 𝑡 ≥ 0 Vì 𝑓′(𝑡) = 𝑡 √𝑡2+2+
1
2√𝑡 > 0, ∀𝑡 ≥ nên hàm số 𝑓(𝑡)
đồng biến Khi BPT:
𝑓(𝑥 − 1) > 𝑓(3 − 𝑥) ⇔ 𝑥 − > − 𝑥 ⇔ 𝑥 >
So sánh với điều kiện suy BPT có nghiệm < 𝑥 ≤
Ví dụ Giải phương trình sau: 𝟑√𝒙 + 𝟔+ 𝒙𝟐= 𝟕 − √𝒙 − 𝟏 (𝟕) Giải: Điều kiện: 𝑥 ≥
(4)Trang |
Đặt {𝑓(𝑥) = √𝑥 +
+ 𝑥2
𝑔(𝑥) =7 −√𝑥 − ⇒{
𝑓′(𝑥)=
3( √𝑥+63 )2+ 2𝑥 >
𝑔′(𝑥) = −
2√𝑥−1<
, ∀𝑥≥ 1⇒ hàm 𝑓 đồng biến hàm 𝑔
nghịch biến [1, +∞) Suy phương trình 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)có nghiệm 𝑥 =
Bài tập minh họa
Giải phương trình sau: a √3 + 𝑥 + √𝑥 + √7𝑥 + =
b 𝑥3 + 3𝑥2+ 4𝑥 + = (3𝑥 + 2)√3𝑥 +
c 3𝑥(2 + √9𝑥2+ 3) + (4𝑥 + 2)(√𝑥2+ 𝑥 + + 1) = 0 4 Sử dụng tính Max, Min hàm số
Phương pháp cịn có tên gọi phương pháp đánh giá hai Xét phương trình: 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
với 𝑥 ∈ 𝐷 Nếu ta chứng minh hàm 𝑓(𝑥) ≥ 𝑀 𝑔(𝑥) ≤ 𝑀 (hoặc ngược lại) Khi ta có phương trình:
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇔ {𝑓(𝑥) = 𝑀 𝑔(𝑥) = 𝑀
Ví dụ 8.Giải phương trình sau: √𝟓 + 𝟐𝒙 + √𝟒 − 𝟐𝒙 =(𝟒𝒙+𝟏)𝟐𝟕 𝟐
Giải: Điều kiện: −5
2≤ 𝑥 ≤
Đặt {𝑓(𝑥) = √5 + 2𝑥 +√4 − 2𝑥 𝑔(𝑥) =(4𝑥+1)2
27
⇒{𝑓
′(𝑥)= √4−2𝑥−√5+2𝑥 √4−2𝑥√5+2𝑥
𝑔′(𝑥) =
27(4𝑥 + 1) Ta có BBT hàm 𝑓 𝑔 sau:
Rõ ràng {𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(2) = 𝑓 (−
5 2) =
𝑔(𝑥) ≤ 𝑔(2) = 𝑔 (−5
2) =
, ∀𝑥 ∈ [−5
2; 2]
Suy 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) = ⇔ 𝑥 = ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥 = −5
2 Bài tập minh họa
(5)Trang |
a √1 − 𝑥3 +4
3√𝑥 + = 𝑥 +10
3
b 3√𝑥2− 𝑥 + 1= √3
− √𝑥2+53 4
5 Đặt ẩn phụ
Quá trình đặt ẩn phụ nhằm để đưa phương trình phương trình hay hệ phương trình khơng chứa thức Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 9.Giải phương trình sau: 𝟐(𝒙𝟐+ 𝟐) = 𝟓√𝒙𝟑+ 𝟏 (𝟗) Giải: Điều kiện: 𝑥 ≥ −1
(9) ⇔ 2(𝑥2+ 2) = 5√(𝑥 + 1)(𝑥2− 𝑥 + 1) Đặt: {𝑎 = √𝑥 + ≥
𝑏 = √𝑥2− 𝑥 + ≥ 0⇒ 𝑎
2+ 𝑏2= 𝑥2+ 2 Thay tất vào (9) ta có
2(𝑎2+ 𝑏2) = 5𝑎𝑏 ⇔ 2𝑏2− 5𝑎 𝑏 + 2𝑎2= ⇔ [𝑏 =
5𝑎 + 3𝑎 = 2𝑎 𝑏 =5𝑎 − 3𝑎
4 = 𝑎
Với 𝑏 = 2𝑎 ⇒ √𝑥2− 𝑥 + = 2√𝑥 + ⇔ 𝑥2− 𝑥 + = 4(𝑥 + 1)
⇔ 𝑥2− 5𝑥 − = ⇔
[
𝑥 =5 + √37
2 (𝑛ℎậ𝑛) 𝑥 =5 − √37
2 (𝑙𝑜ạ𝑖)
Với 𝑏 =𝑎
2⇒ √𝑥
2− 𝑥 + =√𝑥+1
2 ⇔ 4(𝑥
2− 𝑥 + 1) = 𝑥 + ⇔ 4𝑥2− 5𝑥 + = 0 (vô nghiệm)
Vậy nghiệm phương trình 𝑥 =5+√37
2
Ví dụ 10.Giải phương trình sau: 𝟐√𝟑𝒙 − 𝟐𝟑 + 𝟑√𝟔 − 𝟓𝒙 − 𝟖 = 𝟎 (𝟏𝟎)
Giải: Điều kiện: 𝑥 ≤65 Đặt {𝑎 = √3𝑥 −
3
𝑏 = √6 − 5𝑥 ≥ 0⇒ 5𝑎
3+ 3𝑏2= (∗)
Hơn từ (10) suy 2𝑎 + 3𝑏 − = ⇔ 𝑏 =8−2𝑎
3 thay vào (*) ta được:
5𝑎3+ (8 − 2𝑎 )
2
− = ⇔ 15𝑎3+ 4𝑎2− 32𝑎 + 40 = ⇔ (𝑎 + 2)(15𝑎2− 26𝑎 + 20) = ⇔ 𝑎 = −2 Suy √3𝑥 − 23 = −2 ⇔ 3𝑥 − = −8 ⇔ 𝑥 = −2
(6)Trang | Giải: Điều kiện: 1 ≤ 𝑥 ≤
Đặt {𝑎 = √7 − 𝑥 ≥
𝑏 = √𝑥 − ≥ 0⇒ 𝑥 = 𝑏
2+ 1
(10) ⇔ 𝑏2+ + 2𝑎 = 2𝑏 + 𝑎𝑏 + ⇔ (𝑏 − 𝑎)(𝑏 − 2) = ⇔ [𝑏 =
𝑏 = 𝑎
Với 𝑏 = ⇒ √𝑥 − = ⇔ 𝑥 = (𝑛ℎậ𝑛)
Với 𝑏 = 𝑎 ⇒ √𝑥 − = √7 − 𝑥 ⇔ 𝑥 = (𝑛ℎậ𝑛) Vậy nghiệm phương trình 𝑥 = 𝑥 = Bài tập minh họa
Giải phương trình sau: a 𝑥 + √5 + √𝑥 − = b 2𝑥2 + 5𝑥 − = 7√𝑥3 − 1 6 Sử dụng đẳng thức
a Quy tắc nhân liên hợp:
Quá trình sử dụng ta nhẩm nghiệm phương trình Sử dụng quy tắc nhân liên hợp nhằm rút gọn phương trình, phân tích tích đa thức Cần nhớ hai dạng đẳng thức (HĐT) sau để nhân liên hợp cho
𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)𝑣à 𝑎3± 𝑏3 = (𝑎 ± 𝑏)(𝑎2∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2) Ví dụ 12.Xét lại ví dụ 7: √𝒙 + 𝟔𝟑 + 𝒙𝟐 = 𝟕 − √𝒙 − 𝟏 (𝟏𝟐)
Giải: Điều kiện: 𝑥 ≥
Nhẩm 𝑥 = nghiệm nên ta phân tích (11) sau:
(12) ⇔ √𝑥 + 63 − + 𝑥2− = − √𝑥 −
⇔(√𝑥 +
3
− 2) ((√𝑥 + 63 )2+ 2√𝑥 + 63 + 4)
(√𝑥 + 63 )2+ 2√𝑥 + 63 + + (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) =
(1 − √𝑥 − 1)(1 + √𝑥 − 1) + √𝑥 − ⇔ 𝑥 −
( √𝑥 + 63 )2+ 2√𝑥 + 63 + 4+ (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) =
2 − 𝑥
1 + √𝑥 −
⇔ (𝑥 − 2) (
(√𝑥 + 63 )2+ 2√𝑥 + 63 + 4+ 𝑥 + +
1 + √𝑥 − 1) = ⇔ 𝑥 =
Ví dụ 13.Giải BPT sau: (𝟒𝒙 + 𝟑)(√𝒙 − 𝟏 − √𝒙 − 𝟑)𝟐≤ 𝟏𝟔 (𝟏𝟑).
(7)Trang | Nhân vế (13) cho (√𝑥 − + √𝑥 − 3)2 ta có:
(4𝑥 + 3)(√𝑥 − − √𝑥 − 3)2(√𝑥 − + √𝑥 − 3)2≤ 16(√𝑥 − + √𝑥 − 3)2 ⇔ (4𝑥 + 3) ≤ 4(√𝑥 − + √𝑥 − 3)2⇔ 4𝑥 + ≤ (2𝑥 − + 2√(𝑥 − 1)(𝑥 − 3))
⇔ 8√𝑥2− 4𝑥 + ≥ −4𝑥 + 19 ⇔ [
−4𝑥 + 19 <
{64(𝑥2− 4𝑥 + 3) ≥ (−4𝑥 + 19)−4𝑥 + 19 ≥
⇔ [
𝑥 >19 { 𝑥 ≤
19
48𝑥2− 104𝑥 − 169 ≥ 0
⇔
[
𝑥 >19
{
𝑥 ≤19 [
𝑥 ≤ −13 12 𝑥 ≥13
4 ⇔ [
𝑥 ≤ −13 12 𝑥 ≥13
4
So sánh điều kiện suy BPT có nghiệm là: 𝑥 ≥13
4
b Sử dụng HĐT để đưa phương trình tích đa thức
Ví dụ 14.Giải phương trình sau: 𝒙𝟐− 𝟐𝒙 − 𝟏 − 𝟐(𝟏 − 𝒙)√𝒙𝟐+ 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎 (𝟏𝟒).
Giải: Điều kiện: 𝑥2+ 2𝑥 − ≥ ⇔ [𝑥 ≤ −1 − √2 𝑥 ≥ −1 + √2
(1) ⇔ (𝑥2− 2𝑥 + 1) + 2(𝑥 − 1)√𝑥2+ 2𝑥 − − =
⇔ (𝑥 − 1)2+ 2(𝑥 − 1)√𝑥2+ 2𝑥 − + (𝑥2+ 2𝑥 − 1) − (𝑥2+ 2𝑥 + 1) = 0
⇔ [𝑥 − + √𝑥2+ 2𝑥 − 1]2− (𝑥 + 1)2= ⇔ [ 𝑥 − + √𝑥2+ 2𝑥 − = 𝑥 +
𝑥 − + √𝑥2+ 2𝑥 − = −𝑥 − 1
⇔ [ √𝑥2+ 2𝑥 − = √𝑥2+ 2𝑥 − = −2𝑥 ⇔ [
𝑥2+ 2𝑥 − = { −2𝑥 ≥
𝑥2+ 2𝑥 − = 4𝑥2
⇔ [
𝑥2+ 2𝑥 − = 0
{3𝑥2− 2𝑥 + = (𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)𝑥 ≤ ⇔ [
𝑥 = −1 + √6 (𝑛ℎậ𝑛) 𝑥 = −1 − √6 (𝑛ℎậ𝑛)
Bài tập minh họa
Giải phương trình sau:
a √𝑥2 − 𝑥 + + √𝑥2 + 𝑥 + = 2
b 3√𝑥 − 8+ √𝑥 + + 𝑥3− 8𝑥2− 8𝑥 − 14 =
(8)Trang |
d 42𝑥+√𝑥+2+ 2𝑥 = 42+√𝑥+2+ 2𝑥 +4𝑥−4 (ĐH Khối D-2010) e √𝑥2 + 91 = √𝑥 − + 𝑥2
f 3√𝑥 + 6+ √𝑥 − = 𝑥2− 1
g 𝑥3 + 3𝑥2− √3𝑥 + 53
= − 3𝑥 7 Phương pháp tọa độ hóa vecto
Phương pháp sử dụng BĐT vecto sau: |𝑢⃗ | + |𝑣 | ≥ |𝑢⃗ + 𝑣 |
|𝑢⃗ | − |𝑣 | ≤ |𝑢⃗ − 𝑣 |
|𝑢⃗ ||𝑣 | ≥ 𝑢⃗ 𝑣
Dấu “=” xảy ⇔ 𝑢⃗ 𝑣 phương
Ví dụ 15 Giải phương trình sau: √𝒙𝟐− 𝟐𝒙 + 𝟓 + √𝒙𝟐− 𝟒𝒙 + 𝟏𝟑 = √𝟐𝟔 (𝟏𝟓). Giải:
√(𝑥 − 1)2 + + √(2 − 𝑥)2+ = √26.
Đặt 𝑢⃗ = (𝑥 − 1; 2); 𝑣 = (2 − 𝑥; 3) Khi
𝑉𝑇 = |𝑢⃗ | + |𝑣 | ≥ |𝑢⃗ + 𝑣 | = √26 = 𝑉𝑃
Dấu “=” xảy ⇔𝑢⃗⃗ 𝑣 phương ⇔𝑥−1
2−𝑥=
3⇔ 𝑥 =
Ví dụ 16 Giải phương trình sau: 𝒙√𝒙 + 𝟏 + √𝟑 − 𝒙 = 𝟐√𝒙𝟐+ 𝟏 (𝟏𝟔) Giải: Điều kiện: −1 ≤ 𝑥 ≤
Đặt 𝑢⃗ = (𝑥; 1), 𝑣 = (√𝒙 + 𝟏; √𝟑 − 𝒙) Khi đó: 𝑉𝑇 =⃗⃗ 𝑢 𝑣⃗⃗ ≤|𝑢⃗⃗ ||𝑣⃗⃗ |= 2√𝑥2+ = 𝑉𝑃.
Dấu “=” xảy ⇔𝑢⃗⃗ 𝑣 phương ⇔ 𝑥
√𝑥+1=
√3−𝑥⇔ 𝑥√3 − 𝑥 = √𝑥 +
⇔ { 𝑥 ≥
𝑥2(3 − 𝑥) = 𝑥 + 1⇔ {
𝑥 ≥
𝑥3− 3𝑥2+ 𝑥 + = 0⇔ {
𝑥 ≥ [ 𝑥 =
𝑥 = ± √2
⇔ [ 𝑥 = 𝑥 = + √2
Bài tập minh họa
Giải phương trình sau:
a √𝑥2 + 2𝑥 + + √𝑥2− 6𝑥 + 13 = 4√2
b √𝑥2 − 𝑥 + + √𝑥2− √3𝑥 + = (√3 + 1)√2 − √3
c √𝑥2 − 4𝑥 + − √𝑥2− 4𝑥 + 13 = 2