Trang 1 Typeset by AMS TEX.. Cho hai đương tròn đồng tâm. Qua một điểm P cố định thuộc đường tròn nhỏ, ta kẻ một dây cung P A thay đổi thuộc đường tròn này. Đường thẳng qua P và vuông gó[r]
(1)Người soạn: Huỳnh Văn Quy
Tìm quỹ tích cơng cụ phép biến hình
1
Phương pháp chung
Thường tốn tìm quỹ tích (tìm tập hợp điểm) cho dạng "Cho điểmM chuyển động hình(H) tìm quỹ tích điểmM0 thỏa mãn một
số giả thuyết đó" Cách giải dựa vào điều kiện cho giả thiết xác định phép biến hìnhf biếnM thànhM0, hay rõ hơn, xác định
M0 là ảnh của M trong phép biến hình f Như quỹ tích của M0 là hình (H0),
ảnh hình(H) phép biến hình f
2
Nhắc lại số quỹ tích bản
2.1 Các quỹ tích đường thẳngi) Quỹ tích điểm cách hai điểm cố định đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm
ii) Quỹ tích điểm cách hai cạnh góc tia phân giác góc iii) Quỹ tích điểm cách đường thẳng cố định ∆một khoảng h không đổi hai
đường thẳng song song với ∆ cách∆một khoảng h
iv) Quy tích điểmM có hiệu bình phương khoảng cách đến hai điểm cố định A, B số không đổiM A2−M B2 =k2 là đường thẳng vuông góc
vớiAB điểmH vớiIH = k
2AB, I trung điểm AB
2.2 Các quỹ tích đường trịn
i) Quỹ tích điểm cách điểm cố định O đoạn khơng đổiRlà đường trịn tâm O, bán kínhR
ii) Quỹ tích điểmM ln nhìn hai điểm cố địnhA, Bdưới góc αcho trước hai cung chứa góc α dựng đoạn AB
Đặc biệt, α = 90◦ thì quỹ tích nhứng điểm M ln nhìn đoạn thẳng AB
dưới góc vng đường trịn đường kính AB
iii) Quỹ tích điểm M có tổng bình phương khoảng cách đến hai điểm cố địnhA, B số không đổiM A2+M B2 =k2 đường tròn tâm trung điểm I đoạn thẳng AB bán kính R=
2
√
2k2 −AB2.
iv) Quỹ tích điểm M có tỉ số khoảng cách đến hai điểm cố định A, B
bằng số không đổi k
M A M B =k
là đường trịn đường kính EF, E, F điểm chia chia đoạn AB theo tỉ số k (Đường tròn gọi đường trịn Appollonius -nhà tốn học học cổ Hi Lạp)
(2)Người soạn: Huỳnh Văn Quy
Ví dụ Cho đường trịn(O;R), đường kínhABvà điểmM di chuyển đường tròn Gọi A0 điểm đối xứng điểm A qua tâm M, dựng phía ngồi đường trịn hình chữ nhật BM A0C
a) Tìm quỹ tích tâm I hình chữ nhật b) Tìm quỹ tích điểmC
c) Tìm quỹ tích điểmA0
d) Tìm quỹ tích trọng tâmG tam giác ABA0
Ví dụ Cho hai đương trịn đồng tâm Qua điểmP cố định thuộc đường tròn nhỏ, ta kẻ dây cung P Athay đổi thuộc đường trịn Đường thẳng quaP vng góc vớiP A cắt đường trịn lớn hai điểmB, C
Tìm tập hợp trung điểm cạnh tam giác ABC
Ví dụ Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm C di chuyển nửa đường trịn Ta dựng phía ngồi nửa đường trịn tam giác BCD
a) Tìm tập hợp đỉnhD
b) Tìm tập hợp trung điểm N cạnh BD c) Tìm tập hợp trung điểmM cạnh CD
d) Tìm tập hợp tâm đường trịn ngoại tiếp tam giácBCD
3
Bài tập
Bài tập Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định góc Ab= α, khơng đổi Gọi
A0 điểm đối xứng với với điểmA qua đường trung trực cạnh BC a) Tìm quỹ tích điểmA
b) Tìm quỹ tích điểmA0
Bài tập Cho đường trịn (O) điểm A cố định không đường tròn Với điểmM thuộc đường tròn, ta cho ứng với điểm M0 sao cho −−→AM0 =−−→OM.
Tìm tập hợp điểm M0
Bài tập Cho đường trong(O)và dây BC cố định đường tròn Một điểm
Adi chuyển đường tròn Gọi D trung điểm dây BC E,F theo thứ tự điểm đối xứng với điểmF qua trung điểm cạnh AB, AC
Tìm tập hợp điểm E, F
Bài tập Cho hình bình hànhABCD có hai đỉnh A, B cố định Tìm tập hợp đỉnh
C trường hợp
a) Đỉnh D di chuyển đường tròn tâmA, bán kính R b) Đỉnh D di chuyển đường thẳng cố định∆
Bài tập Cho đường tròn tâm (O) điểm A cố định thuộc đường tròn, kẻ tiếp tuyếnAT lấy AT điểmM TừM kẻ tiếp tuyến thứ haiM B với đường trịn Tìm tập hợp:
(3)Người soạn: Huỳnh Văn Quy
a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácM AB b) Trực tâmH tam giácM AB
Bài tập Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AD = a, CD = b, AB =c Hai đỉnh A, B cố định đỉnhD thay đổi
a) Tìm tập hợp đỉnhC
b) Tìm tập hợp giao điểmI hai đường chéo
Bài tập Cho đường tròn (O) điểmA cố định thuộc đường tròn Một điểm
B thay đổi đường trịn Đường thẳng kẻ qua B vng góc với tiếp tuyến điểm A điểmA cắt tia phân giác góc AOB điểmM
Tìm tập hợp điểm M
Bài tập Cho hai đường thẳngx0x,y0yvuông góc với điểmOvà điểm
A cố định Đường tròn tâmI qua hai điểm O, A cắt x0x và y0y lần lượt tại B và
C Gọi A0 điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng BC a) Tìm tập hợp điểmI
b) Tìm tập hợp điểmA0.
Bài tập Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm C di chuyển nửa đường tròn Trên tiaAC ta lấy điểm M cho AM =BC
Tìm tập hợp điểm M
Bài tập 10 Cho đường tròn (O) cung y
AB thuộc đường tròn, điểm C
di động cung ABy Lấy AC điểm M cho AM =BC Tìm tập hợp điểm M
Bài tập 11 Cho đường tròn(O), dâyBC thay đổi có độ dài2acho trước điểm A cố định trịn mặt phẳng
a) Tìm tập hợp trung điểm M dâyBC
b) Dựng tam giác AM N Tìm tập hợp đỉnh N
Bài tập 12 Cho nửa đường trịn đường kínhABvà điểmM di chuyển nửa đường tròn Trên tiaAM ta lấy điểmN choM N =M B Dựng hình vng
BM N P
a) Tìm tập hợp đỉnhP hình vng b) Tìm tập hợp đỉnhN hình vng c) Tìm tập hợp tâmI hình vng
Bài tập 13 Cho đường thẳng d cố định điểmA cố định không thuộcd Ứng với điểmM thuộcd, ta dựng tam giácAM N vuông cân tạiM TrênAN ta đặt đoạn AP =M B
a) Tìm tập hợp điểmP b) Tìm tập hợp điểmN
(4)Người soạn: Huỳnh Văn Quy
Bài tập 14 Cho đường trịn(O) đường kínhAB dây cungCD chuyển động, ln song song vớiAB
a) Tìm quỹ tích trung điểmM dây CD b) Tìm quỹ tích trọng tâmG tam giác ACD
Bài tập 15 Cho tam giác ABC Từ điểm D chuyển động cạnh BC ta kẻ đường thẳng song song vớiAB, cắt cạnh AC điểmF đường thẳng song song vớiAC, cắt cạnh AB điểmE
Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng EF
Bài tập 16 Cho tam giác ABC cân đỉnh A; điểmE chuyển động AB Trong nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB ta dựng tam giác vuông cân
ACM (vuông tạiC) vàBDM (vuông D) Gọi P giao điểm AC BD a) Chứng minhP điểm cố định
b) Tìm quỹ tích trung điểmI đoạn thẳng CD
Bài tập 17 Cho tam giác ABC cân đỉnhA Một điểmM di chuyển đường tròn ngoại tiếp tam giác;P giao điểm CM với đường thẳng vng góc kẻ từ
B với đường thẳng AM a) Tìm tập hợp điểmP
b) Tìm tập hợp trung điểm I AP
Bài tập 18 Cho nửa đường trịn đường kínhAB dâyCD song song vớiAB Tìm tập hợp trọng tâm tam giác CAD
Bài tập 19 Cho đường trịn(O), đường kínhAB dâyCD qua trung điểm
P bán kính OA
1 Tìm tập hợp trung điểmM dây CD Tìm tập hình chiếuE điểm B CD Tìm tập hợp trực tâm H tam giác BCD
Bài tập 20 Cho đường tròn (O) dây cố định AB Một điểm D di chuyển đường tròn Dựng hình bình hành ABCD
a) Tìm tập hợp đỉnhC
b) Tìm tập hợp tâmI hình bình hành
Bài tập 21 Cho hai đường tròn (O) (O0) tiếp xúc với điểm A Trong đường tròn (O) kẻ dây AB đường trịn (O0) kẻ dây AC
vng góc vớiAB
a) Chứng minh đường thẳng BC qua điểm cố định b) Tìm tập hợp hình chiếu M điểmA đường thẳng BC