Phân tích : Nếu trong một tổng có một số hạng chia cho một số nào đó dư r còn các số hạng khác chia hết cho số đó thì số dư của tổng chính là r. Thương của tổng chính là tổng các thương[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG VIOLYMPIC TOÁN LỚP CHUYÊN ĐỀ 4: DẤU HIỆU CHIA HẾT
A – LÝ THUYẾT
- Học sinh nắm nhóm dấu hiệu bản:
+ Dấu hiệu chia hết cho ; (xét chữ số tận cùng) + Dấu hiệu chia hết cho ; (xét tổng chữ số) + Nắm dấu hiệu chia hết cho ;
+ Nắm dấu hiệu chia hết cho ; 12 ; 15 ; 18 ; 24 ; 36 ; 45 ; 72 + Nắm số tính chất phép chia hết phép chia có dư
- Biết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định số dư phép chia - Biết dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm số lập số theo yêu cầu B – BÀI TẬP
Dạng I Viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
Bài : Với chữ số 2; 3; lập số có chữ số chia hết: a) Cho 2?
b) Cho 5? Lời giải:
a) Số chia hết cho phải số chẵn Do đầu không yêu cầu chữ số phải khác nhau, nên số lập là:
222; 232;252 322; 332; 352 522; 532; 552
b) Tương tự phần a, số là: 225; 235; 255
(2)Bài 2: Trong số 1980; 725; 9682; 2016; 2015; số chia hết cho là:
A 9682; 2015 B 725; 1980 C 1980; 2015 D 1980
Bài 3: Trong số 2171; 4620; 5838; 7953; 1726, số không chia hết cho là: A 4620; 5838; 1726 B 7953; 1726; 2171
C 2171; 7953 D 2171; 7953; 5838
Bài 4: Cho biểu thức sau: E = 1563 + 3573; G = 2015 + 2016; H = 3265 + 3239; K= 1945 + 1890 Biểu thức có giá trị chia hết cho là:
A K B H C E D G
Bài 5: Số nhỏ có chữ số khác chia hết cho không chia hết cho là:
A 1025 B 1000 C 1022 D 1005
Bài 6: Trung bình cộng hai số 5694 Số thứ số lớn có chữ số khác chia hết cho Số thứ hai là:
A 1398 B 1518 C 1390 D 1389
Bài 7: Số dư phép chia 15989 cho là:
Bài 8: Trong số 8960; 2735; 9248; 15679, số chia hết cho Bài 9: Tìm chữ số a cho chia hết cho < 452
Bài 10: Cho số: 12587; 9765; 10236; 6824; 9986; 678 Số lớn chia hết cho số là:
Bài 11: Với chữ số 0; 2; 4; 7, viết số bé có đủ chữ số cho chia hết cho
Bài 12 : Cho chữ số 0; 1; 5; Hãy lập số có chữ số khác từ chữ số cho thoả mãn điều kiện:
a) Chia hết cho ? b) Chia hết cho ?
Bài 13: Viết số có chữ số khác nhau:
(3)c Chia hết cho ; d Chia hết cho e Chia hết cho (mỗi dạng viết số)
Bài 14* Viết số có chữ số khác nhau:
a Chia hết cho ; b Chia hết cho 15 ; c Chia hết cho 18 ; d Chia hết cho 45
Bài 15* Viết số có chữ số khác nhau:
a Chia hết cho 12 ; b Chia hết cho 24 ; c Chia hết cho 36 ; d Chia hết cho 72 Bài 16* - Với chữ số: 2; 3; Hãy lập tất số có chữ số: (3, 4, 5)
a Chia hết cho b Chia hết cho c Chia hết cho Bài 17* - Với chữ số: 1; 2; 3; (1, 3, 8, 5) Hãy lập tất số có chữ số khác nhau:
a Chia hết cho b Chia hết cho c Chia hết cho Bài 18* - Hãy lập tất số có chữ số khác từ chữ số: 0; 5; 4; thoả mãn điều kiện:
a Chia hết cho b Chia hết cho c Chia hết cho Bài 19* - Cho chữ số: 0; 1; Hãy lập tất số có chữ số vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho5
- Cho chữ số: 0; 1; Hãy lập tất số có chữ số khác vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho5
- Cho chữ số: 0; 1; 2; Hãy lập tất số có chữ số vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho5 cho số có đủ chữ số cho
Bài 20* - Cho chữ số: 8; 1; 3; 5; Hãy lập tất số có chữ số vừa chia hết cho ( Mỗi chữ số xuất lần số )
Bài 21* - Cho chữ số: 0; 1; 2; Hãy lập tất số có chữ số vừa chia hết cho ( Mỗi chữ số xuất lần số )
- Hãy ghép chữ số: 3; 1; 0; thành số vừa chia hết cho 2; vừa chia hết cho5
(4)Phương pháp giải :
- Nếu số phải tìm chia hết cho thi trước hết dựa vào dấu hiệu chia hết để xác định chữ số tận
- Tiếp dùng phương pháp thử chọn kết hợp với dấu hiệu chia hết lại số phải tìm để xác định chữ số cịn lại
Bài : Thay x y số a = 1996xy để số chia hết cho 2; Lời giải:
- a chia hết cho 5, y phải - a chia hết cho2, y phải chẵn
Suy y= Số phải tìm có dạng a= 1996x0
- a chia hết cho 9, ( 1+ + + + x ) chia hết cho hay ( 25 +x ) chi hết cho 9.Suy x =
Số phải tìm a = 199620 Bài 2:
Cho số b = xy2008 thay x y cho số b chia hết cho 2,
Dạng III Các toán vận dụng tính chất chia hết tổng hiệu.
Các tính chất thường dùng:
- Nếu số hạng tổng chi hết cho tổng chúng chia hết cho
- Nếu số bị trừ số trừ chia hết cho hiệu chúng chia hết cho - Nếu số hạng chia hết cho số hạng cịn lại khơng chia hết cho tổng chúng khơng chia hết cho
- Nếu số bị trừ số trừ chia hết cho 2, số trừ số bị trừ khơng chia hết cho hiệu chúng không chia hết cho
(5)Bài 1: Khơng làm phép tính, xét xem tổng hiệu có chia hết cho hay không?
a) 240 + 123 b) 240 – 123 c) 459 + 690 + 1236 d) 2454 + 374
Lời giải:
Ta thấy 240 123 chia hết cho nên: a) 240 + 123 chia hết cho
b) 240 – 123 chia hết cho
c) 459, 690 1236 chia hết 459 + 690 + 1236 chia hết cho
d) 2454 chia hết cho 734 không chia hết 2454 + 374 không chia hết cho
Bài 2:
Tổng kết năm học 2007- 2008, trường tiểu học có 462 học sinh tiên tiến 195 học sinh giỏi Ban giám hiệu dự định thưởng cho học sinh giỏi nhiều học sinh tiên tiến Cơ văn phịng nhẩm tính phải mua 1996 đủ phát thưởng Hỏi văn phịng tính hay sai?
Giải thích ? Lời giải:
Ta nhận thấy: Số học sinh tiên tiến số học sinh giỏi số chia hết cho 3, số phát thưởng cho loại học sinh phải số chia hết cho Suy tổng số phát thưởng số chia hết cho 3, mà 1996 không chia hết cho Vậy văn phịng tính sai
Dạng IV Các tốn phép chia có dư. Những tính chất cần lưu ý:
(6)2 Nếu a chia cho dư chữ số tận a phải Tương tự, trường hợp dư chữ số tận phải 7; dư tận 8; dư tận
3 Nếu a b có số dư chia cho hiệu chúng chia hết cho Tương tự, ta có trường hợp chia hết cho 3, 4,
Bài 1: Cho a = x459y Hãy thay x, y chữ số thích hợp để chia a cho 2, dư
Lời giải: Ta nhận xét:
- a chia cho dư nên y phải
- Mặt khác a chia cho dư nên y phải Số phải tìm có dạng a = x4591 - x4591 chia cho dư nên x + 4+5+9+1 = x+ 19 dư Vậy x phải chia hết cho 19 chia cho dư Suy x =
Số phải tìm 94591 Bài 2:
Cho a = 5xy Hãy thay x, y chữ số thích hợp để dược số có chữ số khác chia cho 2,3 dư
Bài 3: Tìm x, y để số 1996xy chia hết cho 2; (a125b) Bài 4: Tìm m, n để số m340n chia hết cho 45.
Bài 5: Xác định x, y để phân sốĠ số tự nhiên.
Bài 6: Tìm số có hai chữ số biết số chia cho dư 1; chia cho dư chia hết cho
Bài 7: Tìm số tự nhiên bé chia cho dư 1; chia dư 2; chia dư 3.
Bài 8: Cho A = a459b Hãy thay a, b chữ số thích hợp để A chia cho 2, cho 5, cho có số dư
Bài 9: Cho B = 5x1y Hãy thay x, y chữ số thích hợp để số có chữ số khác chia hết cho 2, cho 3, chia cho dư
(7)Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số chia hết cho mà tích chữ số 35
Bài 12: Với chữ số 0; 2; 4; 5; 6, viết tất số có chữ số khác vừa chia hết cho vừa chia hết cho 5?
Bài 13: Có tất số có chữ số chia cho dư 1?
Bài 14: Tổng tất số có chữ số khơng chia hết cho Bài 15: Trong số: 95230; 97230; 94230; 93210, số chia hết cho 2; là:
Bài 16: Trong số 15297; 9405; 18072; 25128, số chia hết cho mà không chia hết cho là:
Bài 17: Tìm hai chữ số x; y cho x45y chia hết cho 2; 9.
Bài 18: Tìm số tự nhiên A, biết A số nhỏ có hai chữ số mà chia A cho 2; 3; có số dư
Bài 19: Trong số 25174; 30582; 47930; 5098, số chia hết cho là: Bài 20: Số 45327 cộng với số lớn có chữ số chia cho có số dư là:
Bài 21: Số tự nhiên A chia cho có số dư Số dư chia A cho là:
Bài 22: Tìm số dư phép chia A cho 9, biết A số tự nhiên gồm 2015 chữ số 4.
Dạng V. Vận dụng tính chất chia hết phép chia có dư
Bài 1: Cho tờ giấy Xé tờ thành mảnh Lờy số mảnh xé mảnh thành mảnh nhỏ, sau lại lấy số mảnh xé thành mảnh nhỏ Khi ngừng xé theo quy luật ta đếm 1999 mảnh lớn nhỏ thảy Hỏi người đếm hay sai ? Giải thích sao?
Lời giải:
(8)Bài : Một cửa hàng rau có rổ đựng cam chanh (trong rổ đựng loại quả) Số rổ 104,115,132,136 148 Sau bán rổ cam, người bán hàng thấy số chanh lại gấp lần số cam Hỏi cửa hàng có loại?
Lời giải:
Tổng số cam chanh cửa hàng là” 104+115+132+136+148 = 635(quả)
Số chanh lại gấp lần số cam số chanh số cam lại phải chia hết cho Tống số 635 chia hết cho 5, số cam bán phải chia hết cho Trong rổ cam chanh cửa hàng có rổ đựng 115 chia hết cho 5, cửa hàng bán rổ đựng 115 cam
Số cam lại
1
5 số chưa bán Mặt khác:
( 104+132+136+148): = 104 (quả)
Trong rổ lại có rổ đựng 104 có số
1
5 số lại
Vậy theo đầu 104 rổ cam rổ đựng 132,136,148 rổ chanh Số cam cửa hàng có là:
104+115 = 219(quả)
Số chanh cửa hàng có là: 635-219 = 416(quả)
Đáp số : 219 cam 416 chanh.
Bài : Cho M số có ba chữ số N số có ba chữ số viết theo thứ tự ngược lại M Biết M lớn N Hãy chứng tỏ hiệu M N chia hết cho Phân tích : Hiệu hai số chia hết cho số số bị trừ số trừ chia hết cho số số bị trừ số trừ có số dư chia cho số Dựa vào tính chất ta chứng tỏ hiệu chia hết cho số cách chứng tỏ số bị trừ số trừ có số dư chia cho số
Giải : Đặt (a > c > ; a, b, c chữ số),
(9)cũng dư r Do a + b + c = c + b + a nên chia cho có số dư r Vậy hiệu M - N chia hết cho
Bài 4: Nếu đem số 31513 34369 chia cho số có ba chữ số hai phép chia có số dư Hãy tìm số dư hai phép chia
(Đề thi Tiểu học Thái Lan)
Phân tích : Nếu hai số chia cho số có số dư hiệu chúng chia hết cho số Vì số 31513 34369 chia cho số có ba chữ số có số dư nên hiệu chúng chia hết cho số có ba chữ số Từ ta tìm số chia để suy số dư
Giải : Gọi số chia hai số cho (a > ; a, b, c < 10) Vì hai số cho chia cho số có số dư nên (34369 - 31513) chia hết cho hay 2856 chia hết cho Do 2856 = x 714 nên = 714 Thực phép tính ta có : 31513 : 714 = 44 (dư 97) ; 34369 : 714 = 48 (dư 97) Vậy số dư hai phép chia 97
Bài 5: Tìm thương số dư phép chia sau : (1 x x x x x … x 15 + 200) : 182
Phân tích : Nếu tổng có số hạng chia cho số dư r cịn các số hạng khác chia hết cho số số dư tổng r Thương tổng tổng thương số hạng Nếu số chia cho số có dư số dư tổng tổng số dư số hạng, tổng số dư nhỏ số chia Vậy ta xét xem số hạng tổng chia cho số chia có số dư Từ ta tính thương số dư phép chia
Giải : Vì 182 = x x 13 nên số hạng thứ tổng (1 x x x x x x 15) chia hết cho 182 Vì 200 : 182 = (dư 18) nên số hạng thứ hai tổng chia cho 182 dư 18 Vậy số dư phép chia 18 thương phép chia kết phép tính : x x x x x x x 10 x 11 x 12 x 14 x 15 +
(Đáp số… )
Bài 6: Một người hỏi anh chàng chăn cừu : “Anh có cừu ?” Anh chăn cừu trả lời : “Số cừu nhiều 4000 không 5000 Nếu chia số cừu cho dư 3, chia cho dư cịn chia cho 25 dư 19” Hỏi anh có cừu ?
(10)chia hết cho 25 Ta lại có x 25 = 225 nên số cừu chia hết cho 225 Từ ta tìm số lớn 4000 + không vượt 5000 + chia hết cho 225 thử thêm điều kiện chia cho dư để tìm số cừu anh chăn cừu
Giải : Vì số cừu anh chăn cừu chia cho dư chia cho 25 dư 19 nên thêm cừu vào số cừu anh chăn cừu số cừu lúc chia hết cho 25 Do số cừu chia hết cho 225 (vì x 25 = 225) Số cừu sau thêm phải lớn : 4000 + = 4006 không vượt 5000 + = 5006 Do số cừu sau thêm 4950 con, 4725 con, 4500 Vì số cừu sau thêm chia cho dư nên có 4725 thỏa mãn đầu Vậy số cừu có anh : 4725 - = 4719 (con)
Bài Không làm tính, chứng tỏ rằng: a, Số 171717 ln chia hết cho 17
b, aa chia hết cho 11 c, ab + ba chia hết cho 11
Bài Cho tổng A = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 + 71