Do T đẳng cấu với Q hoặc Zp nên trường con thực sự của T qua phép đẳng cấu cũng là trường con thực sự của Q hoặc Zp vậy T không có trường con thực sự nào.. Vậy T là trường cực tiểu theo[r]
(1)Bài 2.3: Giải phương trình:
Thế vào , ta được: Thế vào , ta được:
=> 2|27 (Vô lý)
Vậy pt vô nghiệm
Thế vào , ta được: Thế vào , ta được:
Bài 2.7: Cho R vành tùy ý
Với , tập hợp được gọi là tâm hóa tử của . C/m là một vành con của có chứa .
Giải:
có phần tử đơn vị (hiển nhiên)
Cần c/m Ta có:
Suy vành có chứa (đpcm)
(2)Giải:
C/m là một vành con của R: c/m tương tự câu a Cụ thể:
có phần tử đơn vị (hiển nhiên)
Cần c/m Ta có:
Ta suy là một vành con của R
C/m hốn:
Ta có:
Chọn
Vậy vành giao hoán R Tìm tâm của vành
Gọi A ma trận thuộc với thuộc
Thay
=
với ma trận đường chéo Thay
Bài 2.11
a) Ta có: IJ IJ Đặt
(3)Với ta có:
Vậy IJ ideal X
b) IJ =
=
= =
Trong hi có dạng tích kili Từ đẳng thức suy IJ tập mnZ, với số nguyên có dạng mnl, chọn q = 1, ki = 1, li = l ta mnl thuộc IJ Vậy IJ = mnZ Bài 2.15:
a) Cm : I = Ann(a)={ x thuộc R : ax = } ideal R Với x = a0 = => thuộc I
Lấy u v thuộc I au = av =
Ta có a( u - v) = au - av = => u - v thuộc I
Với r thuộc R ta có a(ru) = a(ur) = (au)r = => ur ru thuộc I ( I giao hoán) => I ideal R
b) Tìm Ann(4) vành Z Ta có 4x = ( mod 32) <=> x = ( mod )
=> x= , x = _ 16 , x= 24 , x = _ Bài 2.19 :
Cm I = { x thuộc R : f(x)= x} vành R Vì f(0) = => I khác rỗng
Lấy a thuộc I => f(a) = a b thuộc I => f(b) =b
Ta có f( a - b ) = f (a) + f(-b) = a - b f (ab) = f(a)f(b)= ab
Vậy I vành R Bài 2.23:
(4)+ C chứa Q( )
+ Với x,y thuộc Q( ), ta có x=a+b y=c+d
Ta có: x-y = (a-c)+ (b-d) => x-y thuộc Q( (vì a-c thuộc Q b-d thuộc Q) với y=c+d khác 0, ta cm: c-d khác
Giả sử c-d = => c=0 d=0 =>c+d =0(trái giả thiết) => c-d khác
Ta có: xy-1 = = = = +
vì thuộc Q thuộc Q
Ö xy-1 thuộc Q( )
Vậy Q( ) trường C CM : Q(i) trường C + Q(i) khác rỗng thuộc Q(i) + C chứa Q(i)
+ Với x,y thuộc Q(i), ta có x=a+bi y=c+di
Ta có: x-y=(a-c)+i(b-d) thuộc Q(i) a-c thuộc Q b-d thuộc Q với y=c+di khác 0, ta cm: c-di khác
giả sử: c-di = => c=0 d=0 => c+di =0 ( trái với giả thiết) => c-di khác
Ta có: xy-1 = = = = = + i
thuộc Q
Vì thuộc Q
Vậy Q(i) trường C
b) CM: Q(i) Q( ) không đẳng cấu với
Giả sử Q(i) Q( ) đẳng cấu với => tồn đẳng cấu f: Q(i) Ỉ Q( ) Đặt f(i) = a ( a thuộc Q( ) )
Ta có: f(i*i) = f(i) * f(i) = a2 f(i*i) = f(-1) = -f(1) = -1
=>a2= -1=> a=i, a = -i => a không thuộc Q( ) => không tồn f: Q(i) Ỉ Q( )
=> Q(i) Q( )
c) TÌM TẤT CẢ CÁC TRƯỜNG CON CỦA Q( ) Ta có: Q trường Q( )
Ta cm: Nếu K trường Q( ) K=Q K= Q( ) Ta có thuộc K nên với n nguyên dương : n=1+1+…+1(n lần)
(5)Với số hữu tỉ thuộc Q có dạng rs-1 ( với r thuộc Z s thuộc N*), ta có r thuộc K s-1 thuộc K
=>rs-1 thuộc K => K chứa Q
Xét không thuộc K: giả sử K Q
=> tồn phần tử x=a+b thuộc K, mà a thuộc Q, b thuộc Q => thuộc K(trái giả thiết)
=>K = Q
Xét thuộc K:
Với x thuộc Q( ) có dạng: x=a+b
Ta có: => x thuộc K
Vậy K chứa Q( ), mà Q( ) chứa K => K= Q( ) Vậy Q( ) có trường Q Q( )
TÌM TẤT CẢ CÁC TRƯỜNG CON CỦA Q(i) Ta có: Q trường Q(i)
Ta cm: Nếu K trường Q(i) K=Q K= Q(i) Xét i không thuộc K: giả sử K Q
=> tồn phần tử x=a+bi thuộc K, mà a thuộc Q, b thuộc Q => i thuộc K(trái giả thiết)
=>K = Q Xét i thuộc K:
Ta có thuộc K nên với n nguyên dương : n=1+1+…+1(n lần) => n thuộc K => -n thuộc K n-1 thuộc K
Với x thuộc Q(i) có dạng: x=a+bi Ta có: => x thuộc K Vậy K chứa Q(i), mà Q(i) chứa K => K= Q(i) Vậy Q(i) có trường Q Q(i)
d) CM: A={a+b +c |a,b,c thuộc Q} trường C + A khác rỗng thuộc A
+ C chứa A
+Với x,y thuộc A có dạng x= a+b +c y=d+e +f
Ta có: x+y= (a+d)+(b+e) +(c+f) thuộc A (a+d) thuộc Q,(b+e) thuộc Q,(c+f) thuộc Q Ta có:-x= -a+(-b) +(-c) thuộc A –a thuộc Q, -b thuộc Q, -c thuộc Q
(6)vì (ad+2bf+2ce) thuộc Q, (ae+bd+2cf) thuộc Q, (af+be+cd) thuộc Q Ta cần cm: tồn x-1 = i+j +k thuộc A với x khác
Ư tìm i,j,k thuộc Q cho xx-1=1
Ö (a+b +c )( i+j +k )=1
Ö ai+aj +ak +bi +bj +2bk+ ci+2cj+2 ck=1
Ö (ai+2bk+2cj-1) + (aj+bi+2ck)+ (ak+bj+ci)=0
Chọn i,j,k cho (*)
Ta cần cm: hệ (*) có nghiệm i,k,l
Ư det( )
Ö a3+4c3+2b3-6abc
Đặt r = a, 2b = s, 3 4c = t Khi a3+4c3+2b3-6abc = r3 + s3 + t3 = 3rst nên r = s = t r + r + t = 0, giả thiết x = r + s + t khác nên r = s = t, mà r thuộc Q, 2không thuộc Q, nên r = s = t = 0, hay x = mâu thuẫn
Vậy a3+4c3+2b3-6abc phần tử nghịch đảo x thuộc A A trường R Bài 2.27:
(a)=>(b)
Ta có: {0} ideal R
Ta cm: I ideal R I {0} I=R
Vì R trường nên phần tử khác R khả nghịch Ư I tồn phần tử khả nghịch
Ö I=R (b)=>(c)
Gọi f đồng cấu vành từ R vào vành Ta có: Ker f ideal R
Ö Ker f = {0} hay Ker f = R +Với Ker f = {0} => f đơn cấu
+Với Ker f = R => với r thuộc R, f(r)=0 => f đồng cấu
Vậy đồng cấu vành từ R vào vành đồng cấu đơn cấu (c)=>(a)
Ta cần cm thêm tính chất phần tử R có phần tử khả nghịch => R trường Ta chứng minh kết quan trọng ideal I R Ker đồng cấu vành từ R
Xét ánh xạ f: RỈ R/I
Với f(x)=x+I, với x thuộc R +CM: f đồng cấu vành
f(x+y) = x + y + I = (x+I)+ (y+I) = f(x)+f(y) f(xy) = xy+I = (x+I)(y+I) = f(x)f(y)
+ Ker (f) = I Thật f(x) = I x + I = I x thuộc I
(7)Gọi f đồng cấu vành cho Ker(f) = I dĩ nhiên Ker f khác { } nên f không đơn cấu, theo giả thiết f đồng cấu 0, tức I = R, tồn x’ thuộc R cho xx’ = 1, suy x khả nghịch
Vậy R trường Bài 2.31:
Xét trường F
Ta biết tùy theo char F hay khác mà F có trường T đẳng cấu với Q Zp với p nguyên tố
Ta cm Q Zp với p ngun tố khơng có trường thực
Q: gọi H trường Q, suy thuộc H, m thuộc H với m thuộc Z, nên n-1 thuộc H với n thuộc Z*, mn-1 thuộc H, hay H Q
Zp: gọi H trường Zp, suy thuộc H, nên _ n_ thuộc H với n, H Zp Do T đẳng cấu với Q Zpnên trường thực T qua phép đẳng cấu trường thực Q Zpvậy T khơng có trường thực
Vậy T trường cực tiểu theo quan hệ bao hàm Bài 2.35:
Gọi f đồng cấu trường từ trường F vào trường F’ Khi f đồng cấu không, nên ta xét trường hợp đồng cấu không tầm thường Khi tồn x thuộc F cho f(x) khác
Ta có f(1.x) = f(x).1=f(x).f(1), giản ước cho f(x) ta f(1) = Vậy f(0) = 0; f(1) =
a) Nếu F Q: với m, n thuộc Z n khác 0, ta có f(1) = 1, nên f(m) = m, f(n) = n, nên f(mn-1) = mn-1 Vậy f ánh xạ đồng
b) Nếu F Q( 2) để ý giống ánh xạ tuyến tính xác định ta xác định f sở không gian vecto đó, ta nhận thấy xem sở Q( 2)
Đặt x = f( 2) x2 = f(2) = 2, nên x = x = - Nếu x = từ câu a, ta suy f(a) = a với số hữu tỉ a, nên f( a + b 2) = a + b
Vậy f ánh xạ đồng
Nếu x = - f( a + b 2) = a - b Kiểm tra f đồng cấu vành
c) Nếu F Q(i): hoàn toàn tương tự câu b, ta có f(i) = i f(i) = -i có đồng cấu khơng tầm thường f(x) = x với x, f(x) = x_trong x_ số phức liên hợp x
d) Nếu F R: ta có theo câu a, f(x) = x, với x thuộc Q
Với số thực x > f(x) = f2( x), đồng cấu trường không tầm thường đơn cấu nên f(x) >0
Xét x, y thuộc R cho x > y f(x) – f(y) = f(x – y) > Suy f hàm số tăng R
Khi với số thực x, xét dãy số hữu tỉ (an) (bn) tiến tới x với an < x < bn
Khi f(an) < f(x) < f(bn) với n, hay an < f(x) < bn (*) với n, cho n tiến tới vô cùng, bdt bên trái (*) suy x ≤ f(x), bdt vế phải (*) suy f(x) ≤ x
Vậy f(x) = x với số thực x Vậy f ánh xạ đồng
e) Nếu F C cho f(x) = x với x thuộc R
(8)