[r]
(1)Đề 1:
Câu 1: (3đ) Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:
a) 2
2 10
x
x
x x
−
> −
+ − b)
1 1
2
2
4
3
x x
x x
x
− −
⎧ − ≤
⎪⎪
⎨ +
⎪ + < ⎪⎩
c) x2−5x+17= 5− x d) x− −3 x2−2x−15 0>
Câu 2: (3đ) Cho phương trình: (m−2)x2−mx m+ − =2 (1) a) Giải phương trình m=4
b) Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 Tính 2
x x
A
x x
= +
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt Câu (1đ) Cho tam giác ABC có AB=8 cm, AC=5 cm, góc A=600
a) Giải tam giác ABC
b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, tính đường cao AH Câu (2đ) Cho A(1; 2− ) Δ: 3x−4y+ =4
a) Tìm tọa độ điểm B hình chiếu A đường thẳng Δ
b) Viết phương trình tiếp tuyến đường trịn tâm A tiếp xúc với Δ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ1: 3x+4y=0
Câu (1đ) Cho sin
α =− ;
2 π
π α< < Tính sin 2α , cot π α
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Hướng dẫn giải: Đề 1:
Câu 1a) Chú ý:
Để giải câu ta cần ý kĩ thuật phân tích thành nhân tử sau:
Nếu tam thức bậc hai f x( )=ax2+bx c+ (a≠0) có hai nghiệm x1 x2 phân tích thành nhân tử sau: f x( )=ax2+bx c a x x+ = ( − 1)(x x− 2)
Ví dụ:
Xét tam thức bậc hai: f x( )=x2−5x+6 có hai nghiệm x1=3, x2 =2, nên phân tích thành nhân tử f x( )=x2−5x+ =6 (x−3)(x−2)
Xét tam thức bậc hai: g x( )=3x2+ −x có hai nghiệm x1=1, 2
x = − , nên phân tích thành nhân tử ( ) 3( 1) ( 3)( 4)
3
g x = x + − =x x− ⎛⎜x+ ⎞⎟= x− x+
⎝ ⎠
Tương tự: bạn phân tích tam thức bậc hai sau thành nhân tử: g h x( )=4x2−5x−6
g p x( ) 5= x2+3x−14 g q x( )=x2+3x−10 ( )
q x mẫu số vế trái câu 1a)
Đáp số:
( ) 4 5 6 4( 2) ( 2 4)( 3)
h x = x − x− = x− ⎛⎜x+ ⎞⎟= x− x+
⎝ ⎠
( ) ( )( )
2
( ) 14 2
5
p x = x + x− = x+ ⎛⎜x− ⎞⎟= x+ x−
⎝ ⎠
( ) 3 10 ( 2)( 5)
q x =x + x− = x− x+
Quay lại với câu 1a), ta có cách giải sau:
2
1
0
2
3 10 10
x x
x x
x x x x
− −
≥ ⇔ − ≥
− −
+ − + − ( )( )
1
2
x
x x x
−
⇔ − ≥
(2)( ) ( )
( )( )
5
2
x x
x x
− − + −
⇔ ≥
− + ( )( )
5
2
x x
x x
− + +
⇔ ≥
− + ( )( ) ( )( )
5
0
2 x x
x x
⇔ ≥ ⇔ − + >
− +
Đặt f x( ) (= x−2)(x+5) Ta có: x− = ⇔ =2 x
5
x+ = ⇔ = −x Bảng xét dấu:
x −∞ −5 +∞
2
x− − | − +
5
x+ − + | +
( )
f x + − +
Dựa vào bảng xét dấu ta có: f x( )> ⇔ ∈ −∞ −0 x ( ; 5) (∪ 2;+∞) Vậy tập nghiệm bất phương trình T = −∞ −( ; 5) (∪ 2;+∞)
Tương tự: bạn giải bất phương trình sau (trong đề thi học kì năm học 2011 – 2012) Giải bất phương trình: 22
3
x x
x
x x
+ > −
− +
b)
1 1
2
2
4
3
x x
x x
x
− −
⎧ − ≤
⎪⎪
⎨ +
⎪ + < ⎪⎩
( ) ( )
( )
6
2 15.4
x x
x x x
− − − ≤
⎧⎪ ⇔ ⎨
+ < +
⎪⎩
6 12 4
70 27
x x
x x
− − + − ≤
⎧
⇔ ⎨ − − <
⎩
16 16
43 43
x x
x x
− + ≤ ≥
⎧ ⎧
⇔⎨ ⇔⎨
− < <
⎩ ⎩
16 43
7 x
⇔ ≤ <
Vậy tập nghiệm hệ 16 43;
T =⎡⎢⎣ ⎞⎟
⎠
c) x2−5x+17= 5− x (1)
Nhắc lại: A B A hc ( B 0) A B
≥ ≥
⎧⎪
= ⇔ ⎨
= ⎪⎩
Do đó: (1) 52
5 17
x
x x x
− ≥
⎧⎪ ⇔ ⎨
− + = −
⎪⎩
1
17
x
x
⎧ ≤ ⎪ ⇔ ⎨
⎪ + = ⎩
Hệ vơ nghiệm x2+17 0> ∀ ∈x
Vậy phương trình (1) vơ nghiệm
d) x− −3 x2−2x−15 0> ⇔ − >x 3 x2−2x−15 (2)
Chú ý rằng: phương trình có dạng f x( )<g x( ) với f x( )=x2−2x−15 g x( )= −x
Nhắc lại: ( )
( ) ( )
( ) 2( )
( )
f x
f x g x g x
f x g x
⎧ ≥
⎪⎪
< ⇔⎨ > ⎪
< ⎪⎩
Do đó, ta có: ( )
( )
2
2 15
2
3 15
x x
x
x x x
⎧ − − ≥ ⎪⎪
⇔⎨ − > ⎪
− > − −
⎪⎩ 2
3
3
6 15
x x
x
x x x x
⎧ ≤ − ∨ ≥ ⎪
⇔⎨ >
⎪ − + > − −
⎩
3
3
x x
x x
≤ − ∨ ≥ ⎧
⎪ ⇔⎨ >
⎪ < ⎩
5 x ⇔ ≤ <
(3)Câu 2: (m−2)x2−mx m+ − =2 (1)
a) Khi m=4, phương trình (1) thành 2x2−4x+ =2 0⇔x2−2x+ =1 0 Ta có Δ = −' ( )1 2−1.1 0=
Do đó, phương trình có nghiệm kép 1 2 ( )1 1
x =x = − − =
b) Giả sử (1) có hai nghiệm x x1, 2 Theo định lí Vi-ét ta có:
1
2
2
m x x
m m x x
m
⎧ + =
⎪⎪ −
⎨ −
⎪ = =
⎪ −
⎩
Do đó:
( )2 2
1 2
1 2
2 1 2
2
x x x x
x x x x
A
x x x x x x
+ −
+
= + = =
2
2 2.1
2
2
1
m
m m
m
⎛ ⎞ −
⎜ − ⎟ ⎛ ⎞
⎝ ⎠
= =⎜ ⎟ −
−
⎝ ⎠
c) Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt khí ( )2 ( )( )
2
4 2
0 a m
m m m
m S
m P
= − ≠ ⎧
⎪
Δ = − − − − >
⎪⎪ ⎨
= < ⎪
− ⎪
⎪ = > ⎩
( )
2
2
4 4
0
m
m m m
m
≠ ⎧ ⎪⎪
⇔⎨ − − + >
⎪
< < ⎪⎩
2
3 16 16
0
m
m m
m ≠ ⎧ ⎪
⇔ −⎨ + − > ⎪ < <
⎩
4
4
0
m m m
≠ ⎧ ⎪⎪
⇔⎨ < < ⎪
< < ⎪⎩
4
2
3 m
⇔ < <
Vậy với 4;
m∈⎜⎛ ⎞⎟
⎝ ⎠ phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt
Câu a) Đặt:
, ,
BC a AC b AB c= = =
2 2
2
2 cos 2.5.8.cos 60 49
BC =a =b +c − cb A
= + −
=
BC
⇒ = (cm)
g Để dễ tính, ta nhớ 7,a BC= = b CA= =5,c AB= =8 2 72 82 52
cos 0,78
2 2.7.8
a c b
B
ac
+ − + −
= = ≈ ⇒ ≈B 38,
( )
0 0
180 60 38, 81,8 C
⇒ ≈ − + =
b) Ta có diện tích tam giác ABC là: sin 1.5.8.sin 600 10
2
S = bc A= = (cm2)
Tính bán kính đường trịn nội tiếp: Ta có:
( )
10 10
1 7 10
S S p r r
p
= ⇒ = = = =
+ +
(cm) Vậy bán kính đường nội tiếp r= (cm)
5 60°
H A
(4)Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp:
Ta có: 5.8.7 7
4 4.10 3
abc abc
S R
R S
= ⇒ = = = = (cm)
Vậy bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC 21
R= (cm)
Tính đường cao AH:
Ta có:
2
ABC a
SΔ = ⋅a h = ⋅BC AH 2.10 20
7
ABC
S AH
BC
Δ
⇒ = = = (cm)
Vậy đường cao 20
AH = (cm)
Câu 4: A(1; 2− ), : 3Δ x−4y+ =4
a) Gọi d đường thẳng qua A vng góc với Δ
Vì d ⊥ Δ nên phương trình đường thẳng d có dạng: 4x+3y C+ =0 Vì A(1; 2− ∈) d nên 4.1 2+ ( )− + =C ⇒ =C
Do ta có phương trình d là: 4x+3y+ =2
Vì B hình chiếu vng góc A lên Δ nên B d= ∩Δ
Suy tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình 4
4
x y
x y
− + =
⎧
⎨ + + = ⎩
4 5
x
y
⎧ = − ⎪⎪ ⇔ ⎨
⎪ = ⎪⎩
Vậy 2; 5
B⎛⎜− ⎞⎟
⎝ ⎠
Chú ý:khi giải hệ phương trình với trợ giúp máy tính bỏ túi ta cần chuyển hệ
số tự qua vế phải trước bấm máy.
b) Gọi R bán kính đường trịn Ta có:
( ) ( )
2
3.1 4 15
,( )
3
3
R d A= Δ = − − + = =
+
Gọi d1 tiếp tuyến cần tìm
Vì d1/ /Δ1: 3x+4y=0 nên phương trình d1 có dạng: 3x+4y D+ =0 Vì d1 tiếp tuyến với đường trịn tâm A nên ta có: d A d( , 1)= =R
( ) 2 3.1
3
3
D
+ − +
⇔ =
+
5
3 15
5
D
D
− +
⇔ = ⇔ − + =
5 15 20
5 15 10
D D
D D
− + = =
⎡ ⎡
⇔⎢ ⇔⎢
− + = − = −
⎣ ⎣
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3x+4y+20 0= 3x+4y−10 0=
(Đề thi dở, mong bạn thơng cảm ☺) Câu 5: Vì ;3
2 π α∈⎜⎛π ⎞⎟
⎝ ⎠ nên cosα <0
Ta có:
2
2 2 16
sin cos cos
5 25
α + α = ⇒ α = −⎛⎜− ⎞⎟ = ⎝ ⎠
4 cos
5 α
⇒ = − (vì cosα <0)
sin 5
tan
4
cos
5 α α
α
−
⇒ = = − =
(5)3 24 sin 2sin cos
5 25
α = α α = ⎛⎜− ⎞ ⎛⎟ ⎜⋅ − ⎞⎟=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
tan tan tan
6 1 tan tan
6
π α
π α π
α
− ⎛ − ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠ +
1
4
1
4
− =
+ ⋅
24 43 11
− =
1 11
cot
6 tan 24 43
6
π α
π α
⎛ ⎞
⇒ ⎜ − ⎟= =
⎛ ⎞ −
⎝ ⎠ −
⎜ ⎟