nhóm con thực sự ở trong G, mâu thuẩn với giả thuyết của đề bài).. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhóm G chỉ có hữu hạn nhóm con là G hữu hạn..[r]
(1)PHẦN I: NHÓM
BÀI 1.5: Cho G nhóm có phần tử a có cấp CMR: với
,
x G ax xa
Chứng minh:
Với x G ax, xa đặt b x1ax Ta chứng minh: O(b)=2
2
2 1 1
1
2
a
a
a
a
a
e
.
(a
O(a)=2 )
b
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x a x
x
x
e
e
1
1
,
a
a
a
.
2
( d o O ( a ) = )
k k
k
k
k
b
e
x
x
e
x
x
e
x
x
e
k
Các kết chứng tỏ O(b)=2 Do giả thuyết G có phần tử cấp a Nên b=a
x
1a
x
a
a
x
xa
Nhắc lại rằng:
( )
(n>0)
,
n
k
x
e
O x
n
k
x
e
n k
* Nhận xét:O x
(
1a )
x
O a
( ),
x
BÀI 1.8: Cho nhóm (G,.), Giả sử tồn ba số nguyên i liên tiếp cho với
,
,
i i ix y
G xy
x y
CMR: G giao hoán (2)
1 1 1
2 2 2
(1)
(2)
(3)
i i ii i i
i i i
xy
x y
xy
x y
xy
x
y
Kết hợp (1) (2) ta được:
1 1 1
1
(
)
(
)
(
)
( * )
i i i
i i i
i i i i
i i i i
i i
x y
x
y
x y
x y
x
y
x y
x y
x x y y
x
y x y
x
x y
y
y x
x y
Tương tự từ (2) (3) ta suy ra:
1
(**)
(
)
(
)
(
)
(
)
(do (*))
(
)
(
)
i i
i i
i i
i i
i i
y
x
xy
yy x
xyy
y y x
xy y
y xy
xy y
yx y
xy y
yx
xy
Vậy G giao hoán
BÀI 1.9: CMR (G, ) nhóm giao hốn có n phần tử khác
x x
1,
2, ,
x
n
x x
1 2x
n
2
e
.
Chứng minh:
,
,
, ,
n (3)Đặt:
2
2
i i
i i i i i
A
x
G x
e
B
x
G x
e
x
G x
x
Ta được:
G
A
B A
,
B
Ta có: 1 2
i i
n i i
x A x B
a
x x
x
x
x
Nhận xét:Nếu
x
i
B
x
i1
B
x
i1
x
iSuy ra:
.
i
i x B
x
e
Do đó:i
i x A
a
x
Từ đó:2
2
(G gh)
e.
i i
i i
x A x A
a
x
x
{lưu ý:
a
2
e
a
a
1
x x
1 2x
n
x
n1x
21x
11 } Cách 2: đặt
1
:
f
G
G
x
x
ta thấy f song ánh2
f
Id
Suy ra:1
1 1 1
1 2
1
( ) (do G gh)
n
x G x G x G
n n
a
x x
x
x
f x
x
x x
x
x
x
x
a
Từ đó:
a
2
e
.
BÀI 1.10: CMR nhóm hốn vị Sn , hốn vị có cấp lẻ phải hoán vị
chẵn Xét chiều đảo
Chứng minh: Cho
S O
n, ( )
k
lẻ (4)Đặt:
k
i
O
(
i)
Ta có :
k
O
( )
BCNN k k
( ,
1 2, ,
k
r)
Vì k lẻ nênk
i lẻ
1
i
r
i
hoán vị chẵn
1
i
r
1 2
r
hoán vị chẵnXét chiều đảo ta thấy sai:
VD:
(1 2) 4
ta có:
hoán vị chẵn,O
( )
2
chẵnBÀI 1.15: Chứng minh khẳng định sau:
a
,
(
(2, ), ).
2
x
y
H
x y
M
y
x
b
,
;
20
(
(2, ),.).
2
x
y
H
x y
x
y
GL
y
x
chứng minh: Nhắc lại rằng:
1
) e
H (H
)
) x,y
,
)
,
i
H
G
ii
H xy
H
iii
x
H x
H
a Ta thấy:H
M
(2, )
i
0
0
0
0
0
0
0
2.0
0
H
ii
,
:
, B=
'
'
2
2 '
'
x
y
x
y
A B
H A
y
x
y
x
với
x y x y
, , ', '
'
'
''
''
2(
')
'
2 ''
''
x
x
y
y
x
y
A
B
y
y
x
x
y
x
với
''
'
''
'
x
x
x
y
y
y
Suy
A
B
H
iii)
,
2
x
y
A
H A
y
x
với
x y
,
'
'
2
2 '
'
x
y
x
y
A
y
x
y
x
với
'
'
x
x
y
y
(5)Các kết chứng tỏ
H
M
(2, ).
b Ta thấy:
H
GL
(2, )
2
x
y
A
H
y
x
,
det
A
x
2
2
y
2
0
det A =
x
2
2
y
2 dẫn đến y=0 x=0, mâu thuẩn với gt:x
2
y
2
0
(
2
0
2
x
2
x
y
y
y
mâu thuẩn)i)
1
0
1
0
0
1
2.0
1
I
H
ii)
,
:
, B=
'
'
2
2 '
'
x
y
x
y
A B
H A
y
x
y
x
với
x
2
y
2
0, '
x
2
y
'
2
0
'
'
' 2
'
'
'
.
2
2 '
'
2(
'
' )
' 2
'
''
''
2 ''
''
x
y
x
y
xx
yy
xy
x y
A B
y
x
y
x
xy
x y
xx
yy
x
y
y
x
với
''
' 2
'
''
'
'
x
xx
yy
y
xy
x y
,
x
''
2
y
''
2
0
(vì
x
''
2
y
''
2
0
x’’=y’’=0 mâu thuẩn A, B khả nghịch.)
A B
.
H
iii)
,
2
x
y
A
H A
y
x
với
x y
,
;
x
2
y
2
0
2 2
1
2
2 2
'
'
2
2
1
2
2
2 '
'
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
A
y
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
(6)với
2
2
'
2
'
2
x
x
x
y
y
y
x
y
,
2 2
2
'
'
0
2
x
y
x
y
x
y
A
1
H
Các kết chứng tỏ
H
GL
(2, )
Nhắc lại rằng:
A
a
b
c
d
, A khả nghịch
det A=ad-bc
0
Khi đó:
1
det
d
b
A
c
a
A
BÀI 1.16:
a) CMR: H nhóm nhóm (Z,+) H có dạng nZ với
n
b) Chom n
,
CMR:
,
m
n
m n
m
n
( , )
m n
Chứng minh:a) (
) Gỉa sử H= nZ, ta chứng minh:H
Thật vậy: *H
0=n suy0
H
* Lấy
nk nk
1,
2
H
:1
(
2)
nk
nk
n k
k
H
Vậy H nhóm Z(
) Giả sử H nhóm Z, ta chứng minh: H=nZ Thật vậy: * NếuH
0
ta có H=0Z với n=0* Gs
H
0
, có0
a
H
.
Gọi n số nguyên dương khác 0, thuộc H cho:n
a
, ta có:n
H
(*) (n
H
)Gs
a
H
là số nguyên, ta có: a=nq+r với r =0r
n
,Ta được:
r
a
nq
H
,
suy r=0 tứca
nq
n
, nênH
n
(**) Từ (*) (**) suy ra: H=nZb) ******Ta có nhận xét sau:*******
(7)(
)
(voi
)
(
)
(voi
)
b
,
(
)
.
k
l
k
l
k
la
a
l k
l k
k
la
a
kb
l ab
l
k
l
*
m
n
[ , ]
m n
Ta có:[ , ]
[ , ]
[ , ]
[ , ]
m m n
m n
m
n m n
m n
n
Suy ra:
[ , ]
m n
m
n
(*)Ta cần chứng minh:
m
n
[ , ]
m n
, thật vậy:
,
,
[ , ]
[ , ] (**)
x
m
x
x
m
n
x
n
m x
n x
m n x
x
m n
m
n
m n
(8)Ta có:
,
( , )
,
( , )
m n m
m
m n
m n n
n
m n
Suy ra:
m
n
( , )
m n
(*) (do( , )
m n
) Ta cần chứng minh:( , )
m n
m
n
, thật vậy:Do tính chất UCLN, tồn
a b
,
sc:( , )
m n
am
bn
Suy ra:
c
,( , )
m n c
m ac
(
)
n bc
(
)
m
n
( , )
m n
m
n
(**)Từ (*) (**) ta kết luận rằng:
m
n
( , )
m n
BÀI 1.20: cho H,K nhóm nhóm G CMR:
H
K
G
H
K
K
H
Chứng minh:
(
)
H
K
H
K
K
G
K
H
H
K
H
G
choH
K
G
, giả sửH
K
, ta chứng minh:K
H
Thật vậy,H
K
nên
h
0
H K
\
h
0
H
K
, với
k
K
, ta có:k
H
K
nên:
h k
o
H
K
(do
H
K
G
)
đặt
a
h k
0 , ta cóa
H
hay
a
K
Nếua
K
h
o
ak
1
K
, mâu thuẩn Vậya
H
k
h a
o1
H
Kết cho thấy
K
H
BÀI 1.30
: Cho nhóm (G, )
a b, GCMR:
a) Cấp ab cấp ba
b) Cấp a
-1cấp a
c) Giả sử ab=ba a có cấp r, b có cấp s, r, s nguyên tố nhau;
ab có cấp rs
(9)chứng minh:
a) { Ta lưu ý:
xy
e
x
y
1
y
x
e
}O(ab)=O(ba)
Nhận xét với n nguyên dương ta có:
1
(
)
(
)
(
)
n n
n n
a b
e
a b a
b
e
b a b a
e
b a
e
Suy ra:
Nếu
O ab
(
)
O ba
(
)
O(ab)=O(ba) Nếu
O ab
(
)
O ba
(
)
( Vì
O ba
(
)
O ab
(
)
theo kết trên, mâu thuẩn) *Tóm lại: trường hợp ta có: O(ab)=O(ba)b)
O(a
-1) = O(a)
Với n nguyên dương ta có:
1
(
a
)
n
e
a
n
e
a
n
e
.
Suy ra:
O(a
-1) = O(a)
c)
( )
CM: O(ab)=rs
( )
( , )
1
ab
ba
O a
r
O b
s
r s
i)
cm: (ab)
rs= e
Ta có
(
ab
)
rs
(
a
r) (
sb
s)
r
e e
s.
r
e
.
ii)
,
:
k
k
ab
e
CM rs k
(10)(
)
(
ab=ba)
(*)
k k k
k k
ab
e
a b
e
do
a
b
a
b
Đ
ặtH
a
b
Ta có:H
a
H
b
Nên
( )( )
H a O a r
H b O b s
từ
H
( , )
r s
1
Vậy
H 1H={e}
Từ (*) suy ra:
(
( , ) 1)
k k
r k
a
e
rs k
do r s
s k
b
e
Vậy:
O ( a b ) = r s
Cách 2: Đặt
x
a
k
b
kTa có:
(
)
(
)
(
)
(
)
r k r kr r k k
s k s ks s k k
x
a
a
a
e
e
x
b
b
b
e
e
Suy ra: x=e Vì 1=(r,s)=mr + ns,
1
.
(
) (
)
.
.
m r n s m r n s r m s n m n
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
d) i) Ta cm:
ab
r s,
e
.
Ta có: [r,s]=mr=ns, với
m n,
, , ,
.
.
m n
r s r s r s r s m n
ab
a
b
a
b
e e
e
(11)
{e}
,
k k k
k k
k k
ab
e
a b
e
a
b
a
b
a
e
b
e
r k
s k
r s k
Kl: O(ab)=
[r,s]BÀI 1.31: Chứng minh G nhóm có phần tử có hai nhóm {e} G G phải nhóm cyclic cấp nguyên tố
Chứng minh:
G , G có nhóm {e} G CM: G cyclic cấp nguyên tố i) G cyclic
Chọn x G \
e ta được:
x
G
x
e e
x
x
G
x
Suy G cyclic sinh xii) G Nếu G G , mâu thuẩn có vơ số nhóm Vậy G
iii) G pnguyên tố
Ta có: G x O x( ) p, ta chứng minh p nguyên tố Thật vậy, p khơng ngun tố ta phân tích:
(12)Khi đó: H xp1 G H
e H G Mâu thuẩn (nghĩa G cónhóm thực G, mâu thuẩn với giả thuyết đề bài) Giải thích:
* H
e
1
1 ( )
p
x e p p O x
* H G xH
Gs xH xp1
p1 kx x
2 kp k
p p p
x x x e
Mâu thuẩn 1 p2 pO x( ) Tóm lại: G pnguyên tố
BÀI 1.32. Chứng minh điều kiện cần đủ để nhóm G có hữu hạn nhóm G hữu hạn
chứng minh: i) x G O x, ( )
ii) G
()Hiển nhiên, G hữu hạn dẫn đến G có hữu hạn nhóm ()i) x G O x, ( )
Thật vậy, giả sử x G O x, ( )
Khi đó: x mà có vơ số nhóm nên <x> có vơ số nhóm con, Suy G có vơ số nhóm con, điều mâu thuẩn
Vậy: ( )O x
ii) G (hữu hạn)
Đặt:
x xG
tập tất nhóm cyclic G Ta thấy hữu hạn G có hữu hạn nhóm Vìx
G x
x O x( ) , x G Nên G hữu hạn***MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý VỀ UCLN, BCNN*****
, , ,
;
(13)1)
,
; ,
d m
d m n d n
d am bn a b
2)
( , )
k mn
k n k m
3) (m,n)[m,n]=|mn| 4)
|
( , ) 0
|
|
, | , |
d m
d
m n
d n
k d
k
k m k n
BÀI 1.34. Cho nhóm cyclic G=<x> hữu hạn cấp n CMR: với ,k l ta có: a) Cấp xk n/d, d=(n,k)
b) xk xl (n,k)=(n,l)
c) G xk (n,k)=1 Từ suy số phần tử sinh G d) Hãy mơ tả tất nhóm G
Chứng minh: a) O x( k) n
d
với d=(n,k)
Đặt: n=d.l ta chứng minh: O x( k)l tức ta cm hai điều: i) O x( k l) e
ii) m ,
xk m e l m| Thật vậy,i)
.
n k k
k l
k d n d d
x
x
x
e
e
( kd d | k )
( , ) 0
'
( ', ') 1.
'
d
m n
m dm
m n
n dn
(14)
,
|
r
,km=rn=rdl (*)
m
k km
m
x
e
x
e
n km
Ta viết
k
dk
'
, đó: (l,k’)=1
*
'
k 'm = r l
|
'
l|m ( d o ( l,k ') = )
d k m
r d l
l k m
Kết luận:
(
)
.
k
n
O x
l
d
b)
x
k
x
l
( , )
n k
( , )
n l
Trước tiên ta chứng minh:
x
k
x
( , )n k
Thật vậy, đặt: d=(n,k)ta có:
'
k
dk
,k
'
nên:' '
( )
k dk d k d
x
x
x
x
Từ đó: xk xd (*) Mặt khác: theo câu a) ta có:
(
)
( , )
(
)
( , )
(**)
k k
d d
k d
n
n
x
O x
n k
d
n
n
x
O x
n d
d
x
x
(15)( , ) ( , )
( , )
( , ) (***)
k l
n k n l
x
x
x
x
n k
n l
Để cm yêu cầu đề ta cm (***) xong (***)
hiển nhiên
( , ) ( , )
( , ) ( , )
(
)
(
)
n k n l
n k n l
x
x
O x
O x
( , )
( , )
n
n
n k
n l
(do cm câu a) (n,k), (n,l) ước n)( , ) ( , ).
n k
n l
c) CM:
G
x
k
( , )
n k
1
k k
G
x
x
x
( , )
n k
( ,1)
n
1
(do câu b)Suy số phần tử sinh G=<x> số nguyên k
1, 2, ,n
, cho (n,k)=1 ( ) n với hàm Euler ( ( ) n số số nguyên dương k n mà k nguyên tố với n)d) Mô tả tất nhóm G=<x>
H G
x
(0
1)
k
H
x
k
n
n k,
x
Suy nhóm H G có dạng xd với d>0, d|n Ta có:
0,
| ,
d (16)Tính d suy từ kết quả:
'
( , )
( , ') (cau b)
d=d' (do d,d'|n).
d d
x
x
n d
n d
BÀI CHO THÊM:
Cho G nhóm cyclic hữu hạn cấp n CMR: với k nguyên dương k|n , tồn nhóm G có cấp k
Chứng minh: * Chứng minh tồn H:
giả sử
n
k l l
,
đặtH
x
l
rõ ràng ta được:
( , )
n
n
H
k
n d
l
H
G
* Chứng minh H nhất:
Giả sử K xd mà K k Ta cm: H=K
( , )
d n d
K
x
x
( , )
( , )
n
kl
k
K
n d
n d
( , )
n d
l
Vậy
K
x
l
H
TRƯỚC KHI CM BÀI 1.38 TA CM BÀI SAU:
H, K nhóm nhóm G.HK
hk h| H k, K
CM: HK G HK KHchứng minh:
(17)* KH HK Thật vậy: (1) (2)
K eK HK H He HK
Mà HK nhóm G nên từ (1) (2) ta suy ra: KH HK * HK KH nghĩa ta cm:
,
h H k K
, ta cần cm hkKH
1
1 1
hk hk k h
Mà k h1 1KH HK nên k h1 1 h k1 1 với h1H k, 1K
Suy ra: hk
h k1 1
1k h11 11KH tức là: HK KHKết luận: HK=KH
Gs HK=KH, ta cm: HK Gi) ee e HK
ii) x y, HK, chứng minh xyHK thật vậy:
1 1 , xh k h H k K
2 2 , yh k h H k K
1 2 1( 2) xy h k h k h k h k
Mà k h1 2KH HKnên k h1 2 h k3 3 (với h3H k, 3K ) 3
( )( )
xy h h k k HK
iii) x HK,cm x1HK
Thật vậy:
( , )
xhk hH kK
1 1
1
x k h KH HK x HK
Kết luận: HK G
BÀI 1.38 Cho H, K hai nhóm nhóm (G, ) CMR: a) Nếu H chuẩn tắc G HK nhóm G
b) H,K chuẩn tắc G HK nhóm chuẩn tắc G Chứng minh:
a) HGHK G thật vậy:
H G suy ra: x G Hx, xH
Suy ra: k K Hk, kH
(18)Cách trực tiếp:
i) ee e HK
ii) x y, HK , ta cm: x y1 HK
, thật vậy:
1 1 , xh k h H k K
2 2 , yh k h H k K
1
1 1
1 2 1 2
1 1
1 2
=( ) (voi )
x y h k h k k h h k
k h k k Hk h h h H
Mà k Hk11 2 Hk k11 2 HK H chuẩn tắc Suy ra: x y1 HK
Tóm lại: HK G
b) H G HK G
K G
thật vậy:
* HK G câu a) * x G
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x HK xH K Hx K
H xK H Kx HK x