nhóm con thực sự ở trong G, mâu thuẩn với giả thuyết của đề bài).. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhóm G chỉ có hữu hạn nhóm con là G hữu hạn..[r]
(1)PHẦN I: NHÓM
BÀI 1.5: Cho G nhóm có phần tử a có cấp CMR: với
,
x G ax xa
Chứng minh:
Với x G ax, xa đặt b x1ax Ta chứng minh: O(b)=2
2
2 1 1
1
2
a a a a a
e . (a O(a)=2 )
b x x x x x x x xx x
x a x x x e e
1
1
, a
a
a .
2 ( d o O ( a ) = )
k k
k
k
k b e x x e
x x e
x x e
k
Các kết chứng tỏ O(b)=2 Do giả thuyết G có phần tử cấp a Nên b=a
x1ax aax xa
Nhắc lại rằng: ( ) (n>0)
,
n
k
x e
O x n
k x e n k
* Nhận xét: O x( 1a )x O a( ),x
BÀI 1.8: Cho nhóm (G,.), Giả sử tồn ba số nguyên i liên tiếp cho với
, , i i i
x y G xy x y
CMR: G giao hoán
(2)
1 1 1
2 2 2
(1) (2)
(3) i i i
i i i
i i i
xy x y
xy x y
xy x y
Kết hợp (1) (2) ta được:
1 1 1
1
( )
( ) ( )
( * )
i i i
i i i
i i i i
i i i i
i i
x y x y
x y x y x y
x y x y x x y y x y x y x x y y
y x x y
Tương tự từ (2) (3) ta suy ra:
1
(**)
( ) ( )
( ) ( ) (do (*))
( ) ( )
i i
i i
i i
i i
i i
y x xy yy x xyy
y y x xy y y xy xy y yx y xy y yx xy
Vậy G giao hoán
BÀI 1.9: CMR (G, ) nhóm giao hốn có n phần tử khác x x1, 2, ,xn x x1 2 xn2 e.
Chứng minh:
, , , , n
(3)Đặt:
2
2
i i
i i i i i
A x G x e
B x G x e x G x x
Ta được: G AB A, B
Ta có: 1 2
i i
n i i
x A x B
a x x x x x
Nhận xét:
Nếu xiB xi1B xi1 xi
Suy ra: .
i
i x B
x e
Do đó:
i
i x A
a x
Từ đó:
2
2
(G gh) e.
i i
i i
x A x A
a x x
{lưu ý: a2 e aa1 x x1 2 xn xn1 x21x11 } Cách 2: đặt
1
:
f G G
x x
ta thấy f song ánh
2 f Id Suy ra:
1
1 1 1
1 2
1
( ) (do G gh)
n
x G x G x G
n n
a x x x x f x x
x x x x x x
a
Từ đó: a2 e.
BÀI 1.10: CMR nhóm hốn vị Sn , hốn vị có cấp lẻ phải hoán vị
chẵn Xét chiều đảo
Chứng minh: Cho S On, ( ) klẻ
(4)Đặt: ki O(i)
Ta có : k O( ) BCNN k k( ,1 2, ,kr) Vì k lẻ nên ki lẻ 1 i r
i
hoán vị chẵn 1 i r
1 2 r
hoán vị chẵn
Xét chiều đảo ta thấy sai:
VD: (1 2) 4 ta có: hoán vị chẵn, O( ) 2chẵn
BÀI 1.15: Chứng minh khẳng định sau:
a , ( (2, ), ).
2
x y
H x y M
y x
b , ; 2 0 ( (2, ),.).
2
x y
H x y x y GL
y x
chứng minh: Nhắc lại rằng:
1
) e H (H )
) x,y ,
) ,
i
H G ii H xy H
iii x H x H
a Ta thấy: H M(2, )
i 0 0 0 0 0
0 0 2.0 0 H
ii , : , B= ' '
2 2 ' '
x y x y
A B H A
y x y x
với x y x y, , ', '
' ' '' ''
2( ') ' 2 '' ''
x x y y x y
A B
y y x x y x
với '' '
'' '
x x x
y y y
Suy A BH
iii) ,
2
x y
A H A
y x
với x y,
' '
2 2 ' '
x y x y
A
y x y x
với '
' x x y y
(5)Các kết chứng tỏ H M(2, ).
b Ta thấy: H GL(2, )
2 x y A H y x
, detA x2 2y2 0
det A = x2 2y2 dẫn đến y=0 x=0, mâu thuẩn với gt: x2 y2 0
(
2
0 2 x 2 x
y y y mâu thuẩn)
i) 1 0 1 0
0 1 2.0 1
I H
ii) , : , B= ' '
2 2 ' '
x y x y
A B H A
y x y x
với x2 y2 0, 'x 2 y'2 0
' ' ' 2 ' ' '
.
2 2 ' ' 2( ' ' ) ' 2 '
'' ''
2 '' ''
x y x y xx yy xy x y
A B
y x y x xy x y xx yy
x y y x
với '' ' 2 '
'' ' '
x xx yy
y xy x y
, x''2 y''2 0
(vì x''2 y''2 0 x’’=y’’=0 mâu thuẩn A, B khả nghịch.) A B. H
iii) ,
2
x y
A H A
y x
với x y, ;x2 y2 0
2 2
1
2
2 2
' '
2 2
1
2 2 2 ' '
2
2 2
x y
x y x y x y x y
A
y x y x y x
x y
x y x y
(6)với
2
2
'
2 '
2
x x
x y
y y
x y
,
2 2
2
' ' 0
2
x y
x y
x y
A1H
Các kết chứng tỏ H GL(2, )
Nhắc lại rằng: A a b
c d
, A khả nghịch det A=ad-bc 0
Khi đó: 1
det
d b
A
c a
A
BÀI 1.16:
a) CMR: H nhóm nhóm (Z,+) H có dạng nZ với n b) Cho m n, CMR:
,
m n m n m n ( , )m n Chứng minh:
a) () Gỉa sử H= nZ, ta chứng minh: H Thật vậy: * H 0=n suy 0H
* Lấy nk nk1, 2H:
1 ( 2) nk nk n k k H Vậy H nhóm Z
() Giả sử H nhóm Z, ta chứng minh: H=nZ Thật vậy: * Nếu H 0 ta có H=0Z với n=0
* Gs H 0 , có 0 a H.Gọi n số nguyên dương khác 0, thuộc H cho: n a , ta có: n H (*) ( nH )
Gs aHlà số nguyên, ta có: a=nq+r với r =0 r n ,
Ta được: r anqH, suy r=0 tức anqn , nên H n (**) Từ (*) (**) suy ra: H=nZ
b) ******Ta có nhận xét sau:*******
(7)( )
(voi )
( ) (voi )
b , ( )
.
k l k l
k la a
l k
l k k la a
kb l ab l
k l
* m n [ , ]m n Ta có: [ , ] [ , ]
[ , ] [ , ]
m m n m n m
n m n m n n
Suy ra: [ , ]m n m n (*)
Ta cần chứng minh: m n [ , ]m n , thật vậy:
,
,
[ , ] [ , ] (**)
x m
x x m n
x n
m x n x m n x
x m n
m n m n
(8)Ta có:
, ( , )
, ( , )
m n m m m n
m n n n m n
Suy ra: m n ( , )m n (*) (do ( , )m n ) Ta cần chứng minh: ( , )m n m n , thật vậy:
Do tính chất UCLN, tồn a b, sc: ( , )m n ambn Suy ra: c ,( , )m n c m ac( )n bc( )m n
( , )m n m n
(**)
Từ (*) (**) ta kết luận rằng: m n ( , )m n
BÀI 1.20: cho H,K nhóm nhóm G CMR: H K G H K
K H
Chứng minh:
( )
H K H K K G
K H H K H G
cho H K G, giả sử H K, ta chứng minh: K H Thật vậy, H K nên h0H K\ h0 H K , với k K, ta có: kH K
nên: h ko H K (do H K G)
đặt a h k0 , ta có aH hay aK Nếu aK ho ak1K, mâu thuẩn Vậy aH k h ao1 H
Kết cho thấy K H
BÀI 1.30: Cho nhóm (G, ) a b, G CMR:
a) Cấp ab cấp ba b) Cấp a-1 cấp a
c) Giả sử ab=ba a có cấp r, b có cấp s, r, s nguyên tố nhau; ab có cấp rs
(9)chứng minh:
a) { Ta lưu ý: xy e x y1 yxe }
O(ab)=O(ba)
Nhận xét với n nguyên dương ta có:
1
( )
( ) ( )
n n
n n
a b e a b a b e b a b a e
b a e
Suy ra:
Nếu O ab( ) O ba( ) O(ab)=O(ba)
Nếu O ab( ) O ba( )
( Vì O ba( ) O ab( ) theo kết trên, mâu thuẩn) *Tóm lại: trường hợp ta có: O(ab)=O(ba)
b) O(a-1) = O(a)
Với n nguyên dương ta có:
1
(a )n e an e an e.
Suy ra: O(a-1) = O(a) c)
( )
CM: O(ab)=rs ( )
( , ) 1 ab ba O a r O b s
r s
i) cm: (ab)rs = e
Ta có (ab)rs (ar) (s bs)r e es. r e.
ii) , :
k
k ab e CM rs k
(10)( ) ( ab=ba)
(*)
k k k
k k
ab e a b e do
a b a b
Đặt H a b Ta có:
H a
H b
Nên ( )
( )
H a O a r
H b O b s
từ H ( , )r s 1 Vậy H 1 H={e}
Từ (*) suy ra: ( ( , ) 1)
k k
r k a e
rs k do r s s k
b e
Vậy: O ( a b ) = r s Cách 2: Đặt x ak bk Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
r k r kr r k k
s k s ks s k k
x a a a e e
x b b b e e
Suy ra: x=e Vì 1=(r,s)=mr + ns,
1
. ( ) ( ) . .
m r n s m r n s r m s n m n
x x x x x x x e e e
d) i) Ta cm: ab r s, e.
Ta có: [r,s]=mr=ns, với m n,
, , ,
. .
m n
r s r s r s r s m n
ab a b a b e e e
(11)
{e}
,
k k k
k k
k k
ab e a b e
a b a b a e
b e r k s k r s k
Kl: O(ab)= [r,s]
BÀI 1.31: Chứng minh G nhóm có phần tử có hai nhóm {e} G G phải nhóm cyclic cấp nguyên tố
Chứng minh:
G , G có nhóm {e} G CM: G cyclic cấp nguyên tố i) G cyclic
Chọn x G \ e ta được:
x G
x e e x x
G x
Suy G cyclic sinh x
ii) G Nếu G G , mâu thuẩn có vơ số nhóm Vậy G
iii) G pnguyên tố
Ta có: G x O x( ) p, ta chứng minh p nguyên tố Thật vậy, p khơng ngun tố ta phân tích:
(12)Khi đó: H xp1 G H e H G Mâu thuẩn (nghĩa G có
nhóm thực G, mâu thuẩn với giả thuyết đề bài) Giải thích:
* H e
1
1 ( )
p
x e p p O x
* H G xH
Gs xH xp1
p1 k
x x
2 kp k
p p p
x x x e
Mâu thuẩn 1 p2 pO x( ) Tóm lại: G pnguyên tố
BÀI 1.32. Chứng minh điều kiện cần đủ để nhóm G có hữu hạn nhóm G hữu hạn
chứng minh: i) x G O x, ( )
ii) G
()Hiển nhiên, G hữu hạn dẫn đến G có hữu hạn nhóm ()i) x G O x, ( )
Thật vậy, giả sử x G O x, ( )
Khi đó: x mà có vơ số nhóm nên <x> có vơ số nhóm con, Suy G có vơ số nhóm con, điều mâu thuẩn
Vậy: ( )O x
ii) G (hữu hạn)
Đặt: x xGtập tất nhóm cyclic G Ta thấy hữu hạn G có hữu hạn nhóm Vì
x
G x
x O x( ) , x G Nên G hữu hạn
***MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý VỀ UCLN, BCNN*****
, , , ;
(13)1) ,
; ,
d m
d m n d n
d am bn a b
2)
( , )
k mn
k n k m
3) (m,n)[m,n]=|mn| 4)
|
( , ) 0 | |
, | , |
d m
d m n d n k d
k k m k n
BÀI 1.34. Cho nhóm cyclic G=<x> hữu hạn cấp n CMR: với ,k l ta có: a) Cấp xk n/d, d=(n,k)
b) xk xl (n,k)=(n,l)
c) G xk (n,k)=1 Từ suy số phần tử sinh G d) Hãy mơ tả tất nhóm G
Chứng minh: a) O x( k) n
d
với d=(n,k)
Đặt: n=d.l ta chứng minh: O x( k)l tức ta cm hai điều: i) O x( k l) e
ii) m , xk m e l m| Thật vậy,
i)
.
n k k
k l
k d n d d
x x x e e ( k
d d | k )
( , ) 0
' ( ', ') 1.
'
d m n
m dm m n
n dn
(14)
,
|
r ,km=rn=rdl (*)
m
k km
m x e x e
n km
Ta viết k dk', đó: (l,k’)=1
* '
k 'm = r l | '
l|m ( d o ( l,k ') = )
d k m r d l
l k m
Kết luận: ( ) .
k n
O x l d
b) xk xl ( , )n k ( , )n l
Trước tiên ta chứng minh: xk x( , )n k Thật vậy, đặt: d=(n,k)
ta có:
'
k dk , k' nên:
' '
( )
k dk d k d x x x x
Từ đó: xk xd (*) Mặt khác: theo câu a) ta có:
( )
( , ) ( )
( , ) (**)
k k
d d
k d
n n x O x
n k d n n x O x
n d d x x
(15)( , ) ( , )
( , ) ( , ) (***)
k l
n k n l
x x x x n k n l
Để cm yêu cầu đề ta cm (***) xong (***) hiển nhiên
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( ) ( )
n k n l
n k n l
x x
O x O x
( , ) ( , )
n n
n k n l
(do cm câu a) (n,k), (n,l) ước n)
( , ) ( , ).n k n l
c) CM: G xk ( , )n k 1
k k
G x x x
( , )n k ( ,1)n 1 (do câu b)
Suy số phần tử sinh G=<x> số nguyên k1, 2, ,n, cho (n,k)=1 ( ) n với hàm Euler ( ( ) n số số nguyên dương k n mà k nguyên tố với n)
d) Mô tả tất nhóm G=<x>
H G x
(0 1)
k
H x k n
n k,
x
Suy nhóm H G có dạng xd với d>0, d|n Ta có:
0, | , d
(16)Tính d suy từ kết quả:
'
( , ) ( , ') (cau b) d=d' (do d,d'|n).
d d
x x n d n d
BÀI CHO THÊM:
Cho G nhóm cyclic hữu hạn cấp n CMR: với k nguyên dương k|n , tồn nhóm G có cấp k
Chứng minh: * Chứng minh tồn H:
giả sử n k l l , đặt H xl
rõ ràng ta được: ( , )
n n
H k
n d l H G
* Chứng minh H nhất:
Giả sử K xd mà K k Ta cm: H=K
( , )
d n d
K x x
( , ) ( , )
n kl
k K
n d n d
( , )n d l
Vậy K xl H
TRƯỚC KHI CM BÀI 1.38 TA CM BÀI SAU:
H, K nhóm nhóm G.HK hk h| H k, K CM: HK G HK KH
chứng minh:
(17)* KH HK Thật vậy: (1) (2)
K eK HK H He HK
Mà HK nhóm G nên từ (1) (2) ta suy ra: KH HK * HK KH nghĩa ta cm:
,
h H k K
, ta cần cm hkKH
1 1 1
hk hk k h
Mà k h1 1KH HK nên k h1 1 h k1 1 với h1H k, 1K
Suy ra: hk h k1 11k h11 11KH tức là: HK KH
Kết luận: HK=KH
Gs HK=KH, ta cm: HK G
i) ee e HK
ii) x y, HK, chứng minh xyHK thật vậy:
1 1 , xh k h H k K
2 2 , yh k h H k K
1 2 1( 2) xy h k h k h k h k
Mà k h1 2KH HKnên k h1 2 h k3 3 (với h3H k, 3K ) 3
( )( )
xy h h k k HK
iii) x HK,cm x1HK
Thật vậy:
( , )
xhk hH kK
1 1
1
x k h KH HK x HK
Kết luận: HK G
BÀI 1.38 Cho H, K hai nhóm nhóm (G, ) CMR: a) Nếu H chuẩn tắc G HK nhóm G
b) H,K chuẩn tắc G HK nhóm chuẩn tắc G Chứng minh:
a) HGHK G thật vậy:
H G suy ra: x G Hx, xH
Suy ra: k K Hk, kH
(18)Cách trực tiếp:
i) ee e HK
ii) x y, HK , ta cm: x y1 HK
, thật vậy:
1 1 , xh k h H k K
2 2 , yh k h H k K
1
1 1
1 2 1 2
1 1
1 2
=( ) (voi )
x y h k h k k h h k
k h k k Hk h h h H
Mà k Hk11 2 Hk k11 2 HK H chuẩn tắc Suy ra: x y1 HK
Tóm lại: HK G
b) H G HK G
K G
thật vậy:
* HK G câu a) * x G
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x HK xH K Hx K
H xK H Kx HK x