Do đó, nếu chỉ cần biết A có chéo hóa được hay không mà không cần tìm ma trận P làm chéo hóa A thì ở Bước 3 ta chỉ cần so sánh các số chiều dimVλi với các số bội ri ứng với các trị riêng[r]
(1)ÔN THI CAO HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (GV Trần Ngọc Hội - 2011) A- KHÔNG GIAN VÉCTƠ §1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CĂN BẢN 1.1 Định nghĩa Cho V là tập hợp khác ∅ Ta nói V là không gian véctơ trên F (F = Q, R hay C) V : i) Tồn phép toán “cộng véctơ”, tức là ánh xạ V×V→V (u, v) → u + v ii) Tồn phép “nhân vô hướng với véctơ”, tức là ánh xạ F×V→V (α, u) → αu thỏa các tính chất sau: với u, v, w ∈ V và α, β ∈ F: u + v = v + u; (u + v) + w = u + (v + w); ∃ ∈ V, u + = + u = u; ∃ (–u) ∈ V, (–u) + u = u + (–u) = 0; (αβ)u = α(βu); (α + β)u = αu +βu; α(u + v)u = αu + αv; 1.u = u Khi đó: • Mỗi phần tử u ∈ V là véctơ • Mỗi số α ∈ F là vô hướng • Véctơ là véctơ không • Véctơ (–u) là véctơ đối u Sau đây ta đưa vài ví dụ không gian véctơ 1) Tập Fn = {u = (x1, x2, , xn)⏐xi ∈ F, ≤ i ≤ n} (F = R hay C) với phép toán cộng véctơ và phép nhân vô hướng với véctơ định bởi: (2) u + v = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn), αu = (αx1, αx2, , αxn), với u = (x1, x2, , xn), v = (y1, y2, , yn)∈ V và α ∈ F, là không gian véctơ trên F với véctơ không là = (0, 0, 0) và véctơ đối véctơ u = (x1, x2, , xn) là (–u) = (−x1, −x2, , −xn) 2) Tập V = Mmxn(F) gồm các ma trận mxn với các hệ số F là không gian véctơ trên F với phép cộng véctơ là phép cộng ma trận thông thường và nhân vô hướng với véctơ là phép nhân thông thường số với ma trận, đó véctơ không là ma trận không và véctơ đối A = (aij) là (–A) = (–aij) 3) Tập V = F[x] = {p(x) = anxn + + a1x + a0x + a0⏐ n ∈ N, ∈ F, ≤ i ≤ n} gồm các đa thức theo x với các hệ số F là không gian véctơ trên F với phép cộng véctơ là phép cộng thông thường các đa thức và phép nhân vô hướng với véctơ là phép nhân thông thường số với đa thức 4) Với số nguyên n ≥ 1, tập V = Fn[x] = {p(x) = anxn + + a1x + a0 ⏐ai ∈ F, ≤ i ≤ n} gồm các đa thức theo x bậc ≤ n, với các hệ số F là không gian véctơ trên F với cộng véctơ và phép nhân vô hướng với véctơ là các phép cộng đa thức và nhân số với đa thức thông thường (như 3) là không gian véctơ trên trường F 1.2 Mệnh đề Cho V là không gian véctơ trên F Khi đó với u ∈ V và α ∈ F ta có: i) αu = ⇔ (α = hay u = 0) ii) (–1)u = –u Từ đây sau ta ký hiệu V là không gian véctơ trên trường F (F = Q, R hay C) §2 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH 2.1 Định nghĩa Cho u1, u2, , uk ∈ V Một tổ hợp tuyến tính u1, u2, , uk là véctơ có dạng: u = α1u1 + α2u2 + + αkuk với αi ∈ F (1 ≤ i ≤ k) 2.2 Tính chất 1) u là tổ hợp tuyến tính u1, u2, , uk và phương trình α1u1 + α2u2+ + αkuk = u có nghiệm (α1, α2, , αk)∈ Fk 2) Tổng hai tổ hợp tuyến tính, tích số với tổ hợp tuyến tính là các tổ hợp tuyến tính (của u1, u2, , uk): k k k i =1 i =1 i =1 ∑ α1u i + ∑ β1u i = ∑ (α i + βi )u i ; ⎛ k ⎞ α ⎜ ∑ α iu i ⎟ = ⎝ i =1 ⎠ k ∑ (αα i )u i i =1 (3) 3) Véctơ không luôn luôn là tổ hợp tuyến tính u1, u2, , uk vì + + 0uk = 0u1 + 0u2 4) Mỗi véctơ ui, ≤ i ≤ k là tổ hợp tuyến tính u1, u2, , uk vì ui = 0u1 + + 0ui–1 + 1ui + 0ui+1 + + 0uk Tổng quát hơn, tổ hợp tuyến tính u1, u2, ,uj (1 ≤ j ≤ k) là tổ hợp tuyến tính u1, u2, ,uj, uj+1, , uk vì: α1u1 + α2u2 + + αjuj = α1u1+ α2u2+ + αjuj + 0uj+1 + + 0uk 4) Mọi tổ hợp tuyến tính u1, u2, ,uk-1, uk là tổ hợp tuyến tính u1, u2, , uk-1 và uk là tổ hợp tuyến tính u1, u2, , uk-1 2.3 Hệ Cho u1, u2, , uk là k véctơ Fn với uj = (u1j, u1j, , unj), ≤ j ≤ k: u1 = (u11, u21 , un1) u2 = (u12, u22 , un2) uk = (u1k, u2k , unk) Khi đó véctơ u = (b1, b2, , bn) ∈ Fn là tổ hợp tuyến tính u1, u2, , uk và hệ phương trình tuyến tính UX = B, đó: ⎛ u11 u12 ⎜ u u 22 U = ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎝ u n1 u n2 u1k ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ α1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u 2k ⎟ b α ;B = ⎜ ⎟ ;X = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u nk ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎝ αk ⎠ có nghiệm X Ví dụ Trong không gian R4 cho các véctơ: u1 = (1, 1, 1, 1); u2 = (2, 3, –1, 0); u3 = (–1, –1, 1, 1); u4 = (1, 2, 1, –1) Tìm điều kiện để véctơ u = (a1, a2, a3, a4) là tổ hợp tuyến tính của: a) u1, u2, u3; b) u1, u2, u3, u4 Đáp số: a) a1 + a4 = a2 + a3 b) Mọi véctơ u = (a1, a2, a3, a4) ∈ R4 là tổ hợp tuyến tính u1, u2, u3, u4 §3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 3.1 Định nghĩa 1) Cho u1, u2, , uk ∈ V Xét phương trình: (4) α1u1 + α2u2 + + αkuk = (1) Nếu (1) có nghiệm tầm thường α1= α2 = = αk = thì ta nói u1, u2, , uk (hay {u1, u2, , uk}) độc lập tuyến tính Nếu ngoài nghiệm tầm thường, (1) còn có nghiệm khác thì ta nói u1, u2, , uk (hay {u1, u2, , uk} ) phụ thuộc tuyến tính Nói cách khác, • u1, u2, , uk độc lập tuyến tính và với α1, α2, , αk ∈F ta có: α1u1 + α2u2+ + αkuk = ⇒ α1 = α2 = = αk = • u1, u2, , uk phụ thuộc tuyến tính và tồn α1, α2, , αk ∈ F không đồng thời cho: α1u1 + α2u2+ + αkuk = 2) Tập S ⊆ V gọi là độc lập tuyến tính {u1, u2, , uk} ⊆ S (k ∈ N tuỳ ý) độc lập tuyến tính Nếu S không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 1) Trong không gian R3 cho các véctơ: u1 = (1, 2, −3); u2 = (2, 5, −1); u3 = (1, 1, −8) ta có: • u1, u2 độc lập tuyến tính • u1, u2, u3 phụ thuộc lập tuyến tính 3.2 Nhận xét Các véctơ u1, u2, , uk phụ thuộc tuyến tính và tồn véctơ ui “phụ thuộc” vào các véctơ khác theo nghĩa véctơ ui biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính các uj, ≤ j ≠ i ≤ k Với u1, u2, , uk là k véctơ Fn: u1 = (u11, u21 , un1) u2 = (u12, u22 , un2) uk = (u1k, u2k , unk) ta có: u1, u2, , uk độc lập tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính UX = 0, đó: ⎛ u11 u12 ⎜ u u 22 U = ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎝ u n1 u n2 u1k ⎞ ⎟ u 2k ⎟ ⎟ ⎟ u nk ⎠ có nghiệm tầm thường X = Mặt khác, Hệ UX = có nghiệm tầm thường X = ⇔ Ma trận U có hạng là r(U) = k (5) ⇔ Ma trận A = UT có hạng là r(A) = k (do hai ma trận chuyển vị có cùng hạng) Nhận xét ma trận U có cách dựng u1, u2, , uk thành các cột, nên ma trận A = UT có cách xếp u1, u2, , uk thành các dòng 3.3 Hệ Cho u1, u2, , uk là k véctơ Fn Gọi A là ma trận có cách xếp u1, u2, , uk thành các dòng Khi đó: u1, u2, , uk độc lập tuyến tính ⇔ A có hạng là r(A) = k 3.4 Chú ý Trong thực hành, ta kiểm tra tính độc lập tuyến tính các véctơ u1, u2, , uk Fn sau: Bước 1: Lập ma trận A cách xếp u1, u2, , uk thành các dòng Bước 2: Dùng các phép BĐSCTD đưa A dạng bậc thang R Khi đó: • Nếu R không có dòng thì u1, u2, , uk độc lập tuyến tính • Nếu R có ít dòng thì u1, u2, , uk phụ thuộc tuyến tính Trường hợp k = n, ta có A là ma trận vuông Khi đó có thể thay Bước Bước 2′ sau: Bước 2′: Tính định thức detA: • Nếu detA ≠ thì u1, u2, , uk độc lập tuyến tính • Nếu detA = thì u1, u2, , uk phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Trong không gian R5 cho các véctơ: u1 = (1, 2, −3, 5, 1); u2 = (1, 3, −13, 22, −1); u3 = (3, 5, 1, −2, 5); u4 = (2, 3, 4, −7, 4); Hãy xét xem u1, u2, u3, u4 độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính Đáp số: Phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Trong không gian R3 cho các véctơ: u1 = (2m + 1, − m, m + 1) u2 = (m − 2, m – 1, m – 2) u3 = (2m − 1, m – 1, 2m –1) Tìm điều kiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính trên R Đáp số: m ≠ 0; m ≠ ± §4 KHÔNG GIAN CON – TẬP SINH – CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU (6) 4.1 Định nghĩa (không gian véctơ con) Cho W là tập khác ∅ V Ta nói W là không gian véctơ V, kí hiệu W ≤ V, W với phép cộng véctơ và phép nhân vô hướng với véctơ cảm sinh từ V, là không gian véctơ trên trường F 4.2 Định lý Cho W là tập khác ∅ V Khi đó các khẳng định sau là tương đương: i) W ≤ V ii) Với u, v ∈ W và α ∈ F, u + v ∈ W và αu ∈ W iii) Với u, v ∈ W và α ∈ F, αu + v ∈ W Ví dụ.1) W = {0} và V là các véctơ V Ta gọi đây là các không gian tầm thường V 2) Trong không gian R3, đường thẳng (D) qua gốc tọa độ O là không gian R 3) Trong không gian R3, mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ O là không gian véctơ R3 4) Cho a1, , an ∈ F và b ∈ F\{0} Đặt: W1 = {(x1, , xn) ∈ Fn | a1x1 + + anxn = 0}; W2 = {(x1, , xn) ∈ Fn | a1x1 + + anxn = b} Ta có W1 ≤ Fn W2 ≤ n 4.3 Định lý Giao họ tuỳ ý các không gian V là không gian V Chú ý Hợp hai không gian V không thiết là không gian V Bây cho S ⊆ V Gọi {Wi}i ∈ I là họ tất không gian V có chứa S (họ này khác rỗng vì có chứa V) Đặt: W = ∩ Wi i∈ I Khi đó: • W là không gian nhỏ V có chứa S Ta gọi • W là không gian sinh S, kí hiệu W = < S > • S là tập sinh W • Nếu S hữu hạn S = {u1, u2, , un} thì ta nói W = < S > là không gian hữu hạn sinh u1, u2, , un và kí hiệu W = < u1, u2, , un > 4.4 Định lý Cho ∅ ≠ S ⊆ V Khi đó không gian V sinh S là tập hợp tất tổ hợp tuyến tính số hữu hạn tùy ý các véctơ S, nghĩa là: < S > = {u = α1u1 + + αnun | n ∈ N, ui ∈ S, αi ∈ F, ∀ ≤ i ≤ n} (7) Chú ý 1) Nếu S = ∅ thì <S> = {0} 2) Nếu S = {u1, u2, , un} thì < S > = {α1u1 + α2u2 + + αnun ⏐ αi ∈ F, ≤ i ≤ n} 3) Nếu S ≤ V thì < S > = S 4) Cho S ⊆ V và W ≤ V Khi đó: S ⊆ W ⇔ < S > ≤ W Nếu S1 ⊆ S2 ⊆ V thì < S1 > ≤ < S2 > 4.5 Định nghĩa Một tập hợp B không gian véctơ V gọi là sở V B là tập sinh độc lập tuyến tính 4.6 Bổ đề Giả sử V sinh m véctơ u1, u2, , um : V = < u1, u2, , um > Khi đó tập hợp độc lập tuyến tính V có không quá m phần tử 4.7 Hệ và định nghĩa Nếu V có sở B hữu hạn gồm m phần tử: B = {u1, u2, , um} thì sở khác V hữu hạn và có đúng m phần tử Khi đó ta nói V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F và m gọi la số chiều (dimension) V trên F, kí hiệu dimFV = m hay dimV = m Trong trường hợp ngược lại, ta nói V là không gian véctơ vô hạn chiều trên F, kí hiệu dimFV = ∞ hay dimV = ∞ Ví dụ 1) Không gian Fn là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dimFn = n Fn có sở là B0 = {e1, e2, , en} đó: e1 = (1, 0, 0, , 0) e2 = (0, 1, 0, , 0) e = (0, 0, , 0, 1) Ta gọi B0 là sở chính tắc Fn trên F 2) Không gian Mmxn(F) là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dim Mm×n(F) = mn với sở B0 = {Eij | , ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n}, đó Eij là ma trận loại m×n có hệ số khác là dòng i cột j Ta gọi B0 = {Eij | , ≤ j ≤ m, ≤ i ≤ n} là sở chính tắc Mmxn(F) trên F 3) Không gian Fn[x] gồm các đa thức theo x bậc ≤ n với hệ số F, là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dimFn[x] = n + với sở là B0 = {1, x, xn} Ta gọi B0 = {1, x, xn} là sở chính tắc Fn[x] 4) Không gian F[x] gồm tất các đa thức theo x bậc với hệ số F, là không gian véctơ vô hạn chiều với sở vô hạn B0 = {1, x, x2, } 4.8 Hệ Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với dim V = n Khi đó: i) Mọi tập V có nhiều n phần tử phụ thuộc tuyến tính ii) Mọi tập V có ít n phần tử không thể là tập sinh V (8) 4.9 Bổ đề Cho S là tập độc lập tuyến tính V và u ∈ V là véctơ cho u ∉ < S > Khi đó tập hợp S1 = S ∪ {u} độc lập tuyến tính 4.10 Định lý Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều với dim V = n Khi đó: i) Mọi tập hợp độc lập tuyến tính gồm n phần tử V là sở V ii) Mọi tập hợp sinh V gồm n phần tử là sở V Nhận xét Vì dim Fn = n nên sở Fn phải gồm đúng n véctơ Hơn nữa, Định lý 4.10: Với B = {u1, u2, , un} là tập gồm đúng n véctơ Fn, ta có: B = {u1, u2, , un} là sở Fn ⇔ u1, u2, , un độc lập tuyến tính ⇔ detA ≠ 0, đó A là ma trận có cách xếp u1, u2, , un thành các dòng Ví dụ 1) Trong không gian R4, các véctơ u1 = (1, 1, 1, 1) u2 = (2, 3, –1, 0) u3 = (–1, –1, 1, 1) u4 = (1, 2, 1, –1) tạo thành sở R4 2) Trong không gian R3, các véctơ u1 = (2m + 1, − m, m + 1) u2 = (m − 2, m – 1, m – 2) u3 = (2m − 1, m – 1, 2m –1) tạo thành sở R3 và m ≠ 0, ± 4.11 Định lý (về sở không toàn vẹn) Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và S là tập độc lập tuyến tính V Khi đó, S không phải sở V thì ta có thể thêm vào S số véctơ để sở V 4.12 Định lý Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều sinh S Khi đó tồn sở B V cho B ⊆ S Nói cách khác, S không phải là sở V thì ta có thể loại bỏ khỏi S số véctơ để sở V 4.13 Hệ Mọi không gian W không gian véctơ V hữu hạn chiều hữu hạn chiều, W ≤ V và W ≠ V thì dim W < dim V (9) §5 KHÔNG GIAN DÒNG 5.1 Định nghĩa Cho ma trận A = (aij) loại m×n với hệ số F: ⎛ a11 ⎜ a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎝ a m1 a12 a 22 a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ ⎟ ⎟ a m2 a mn ⎠ Đặt: u1 = (a11, a12, , a1n) u2 = (a21, a22, , a2n) um = (am1, am2, , amn) và WA = <u1, u2, , um> Ta gọi u1, u2, , um là các véctơ dòng A, và WA là không gian dòng A Ghi chú dimWA còn gọi là hạng hệ véctơ u1, u2, , um 5.2 Định lý Nếu A và B là hai ma trận tương đương dòng thì WA = WB, nghĩa là A và B có cùng không gian dòng 5.3 Nhận xét Vì các véctơ dòng khác ma trận dạng bậc thang luôn luôn độc lập tuyến tính nên chúng tạo thành sở không gian dòng Từ đây ta suy cách tìm số chiều và sở không gian dòng ma trận A sau: • Dùng các phép BĐSCTD đưa A dạng bậc thang R • Số chiều không gian dòng WA số dòng khác R (do đó r(A)) và các véctơ dòng khác R tạo thành sở WA Ví dụ Tìm số chiều và sở không gian dòng ma trận: ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ 4⎟ ⎜ A= ⎜ 11 −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 20 −3 14 ⎠ Giải tóm tắt Dùng các phép BĐSCTD ta có ⎛ −1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎜ A= ∼ ⎜ 11 −2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 20 −3 14 ⎠ ⎝ −1 ⎞ ⎟ 2⎟ = R 0 1⎟ ⎟ 0 0⎠ R có dạng bậc thang với dòng khác Do đó dim WA = và sở WA là: {(1, 2, −1, 1); (0, 1, 3, 2); (0, 0, 0, 1)} (10) 5.4 Cách tìm số chiều và sở không gian Fn biết tập sinh: Giả sử W = <u1, u2, , um> ≤ Fn (u1, u2, , um không thiết độc lập tuyến tính) Để tìm số chiều và sở W ta tiến hành sau: • Lập ma trận A cách xếp u1, u2, , um thành các dòng • Dùng các phép BĐSCTD đưa A dạng bậc thang R • Số chiều W số dòng khác R (do đó r(A)) và các véctơ dòng khác R tạo thành sở W Ví dụ 1) Tìm sở cho không gian R4 sinh các véctơ u1, u2, u3, u4 đó: u1 = (1, 2, 1, 1) u2 = (3, 6, 5, 7) u3 = (4, 8, 6, 8) u4 = (8, 16, 12, 20) Giải tóm tắt Không gian W sinh u1, u2, u3, u4 là không gian dòng ma trận: ⎛1 1 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎜ A= ∼ ⎜4 8 ⎟ ⎜0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 16 12 20 ⎠ ⎝ 1⎞ ⎟ 2⎟ =R 0 1⎟ ⎟ 0 0⎠ Do đó W có dimW = với sở là : B = {(1, 2, 1, 1); (0, 0, 1, 2); (0, 0, 0, 1)} Nhận xét Có thể kiểm chứng u1, u2, u3 độc lập tuyến tính Do đó {u1, u2, u3} là sở W (do dimW = 3) 2) Tìm sở cho không gian R4 sinh các véctơ u1, u2, u3 đó: u1 = (1, –2, –1, 3) u2 = (2, –4, –3, 0) u3 = (3, –6, –4, 4) Không gian W sinh u1, u2, u3 là không gian dòng ma trận: ⎛ −2 −1 ⎜ A = ⎜ −4 − ⎜ − −4 ⎝ ⎞ ⎛ −2 −1 ⎟ ⎜ ⎟ ∼ ⎜ 0 −1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 W có dimW = và sở B = {v1, v2, v3}, đó: v1 = (1, –2, –1, 3) v2 = (0, 0, –1, –6) 10 3⎞ ⎟ −6 ⎟ = R ⎟⎠ (11) v3 = (0, 0, 0, 1) Nhận xét Trong Ví dụ 2, ma trận dạng bậc thang R không có dòng nên u1, u2, u3 độc lập tuyến tính, và đó {u1, u2, u3} là sở W §6 KHÔNG GIAN NGHIỆM 6.1 Ví dụ minh họa Cho W là tập tất các nghiệm (x1,x2,x3,x4) hệ phương trình tuyến tính nhất: ⎧ x1 + 2x − 3x + 5x = ⎪ ⎪ x1 + 3x − 13x + 22x = (1) ⎨ 3x 5x x 2x + + − = ⎪ ⎪⎩2x1 + 3x + 4x − 7x = Ta giải hệ (1) phương pháp Gauss: ⎛1 ⎜ A= ⎜ ⎜3 ⎜ ⎝2 −3 ⎞ ⎟ −13 22 ⎟ ∼ −2 ⎟ ⎟ −7 ⎠ ⎛1 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎝0 −3 ⎞ ⎟ −10 17 ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎠ Vậy hệ đã cho tương đương với hệ sau: ⎧ x1 + 2x − 3x + 5x = ⎨ ⎩ x − 10x3 + 17x4 = Chọn x3 = α, x4 = β, ta tính được: ⎧ x1 = −17α + 29β ⎨ ⎩ x = 10α − 17β Vậy hệ (1) có vô số nghiệm với hai ẩn tự do: (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−17α + 29β,10α − 17β, α, β) với α, β ∈ R tùy ý Do đó: W = {(−17α + 29β,10α − 17β, α, β)| α, β ∈ R} = {(−17α,10α, α, 0) + (29β, −17β, 0, β)| α, β ∈ R} = {α(−17,10,1, 0) + β(29, −17, 0,1)| α, β ∈ R} =< (−17,10,1, 0); (29, −17, 0,1) > Đặt u1 = (–17,10,1,0); u2 = (29, –17,0,1) Ta có W = <u1, u2>, u1, u2 độc lập tuyến tính vì: αu1 + β u = ⇒ α (−17,10,1, 0) + β(29, −17, 0,1) = (0, 0, 0, 0) ⇒ (−17α + 29β,10α − 17β, α, β) = (0, 0, 0, 0) ⇒α=β=0 Suy {u1, u2} là sở W và dimW = 11 (12) Ta gọi W là không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) theo định nghĩa tổng quát sau: 6.2 Định nghĩa Cho ma trận A = (aij) loại m×n với hệ số F: ⎛ a11 ⎜ a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎝ a m1 a12 a1n ⎞ ⎟ a 22 a 2n ⎟ ⎟ ⎟ a m2 a mn ⎠ và SA là tập tất các nghiệm (x1,x2, ,xn) hệ phương trình tuyến tính nhất: AX = 0, nghĩa là tập tất các nghiệm hệ: ⎧a11 x1 + a12 x2 + + a1n x n = ⎪a x + a x + + a x = ⎪ 21 22 2n n ⎨ ⎪ ⎩⎪a m1 x1 + a m2 x2 + + a mn xn = Khi đó SA là không gian Fn Ta gọi SA là không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính AX = 6.3 Cách tìm số chiều và sở không gian nghiệm: Xét lại Ví dụ minh họa 5.1 ta thấy SA có sở là {u1, u2} với u1= (-17,10,1,0); u2 = (29, –17,0,1) Dễ thấy: • u1 suy từ nghiệm tổng quát cách chọn α = 1, β = • u2 suy từ nghiệm tổng quát cách chọn α = 0, β = Ta gọi {u1, u2} là hệ nghiệm (1) Trường hợp tổng quát, để tìm số chiều và sở không gian nghiệm SA hệ phương trình tuyến tính AX = 0, ta tiến hành các bước sau: • Giải hệ AX = tìm nghiệm tổng quát • Tìm hệ nghiệm hệ AX = sau: Giả sử nghiệm tổng quát hệ AX = có s ẩn tự x k , x k , , x k s - Chọn x k = 1; x k = 0; ; x k = ta nghiệm u k s - Chọn x k = 0; x k = 1; ; x k = ta nghiệm u k s - Chọn x k = 0; x k = 1; ; x k = ta nghiệm u k s s Khi đó { u k , u k , , u k } là hệ nghiệm s • Không gian nghiệm SA có dimSA = s và sở là hệ nghiệm { u k , u k , , u k } đã tìm s 12 (13) §7 KHÔNG GIAN TỔNG 7.1 Định lý Cho W1,W2, , Wn là các không gian V Đặt: W = { u1 + u2 + + un⏐ui ∈ Wi, ≤ i ≤ n} n Khi đó W là không gian V sinh U Wi Ta gọi W là không gian tổng W1,W2, , i =1 Wn, kí hiệu: W = W1 + W2 + + Wn Nhận xét 1) u ∈ W1 + W2 + + Wn ⇔ ∃ui ∈Wi (1 ≤ i ≤ n), u = u1 + + un 2) W1 + W2 + + Wn ≤ U ⇔ Wi ≤ U , ∀ ≤ i ≤ n 7.2 Hệ Cho W1, W2, , Wn là các không gian V với Wi = < Si > Khi đó n W1 + W2 + + Wn = < U S i > i =1 Ví dụ Trong R4 cho các véctơ: u1 = (1, 2, 1, 1) v1 = (1, 2, 2, 3) u2 = (3, 6, 5, 7) v2 = (2, 5, 2, 2) u3 = (4, 8, 6, 8) v3 = (3, 7, 4, 5) u4 = (8, 16, 12, 16) v4 = (6, 14, 8, 10) Đặt W1 = <u1, u2, u3, u4> và W2 = <v1, v2, v3, v4> Tìm sở và xác định số chiều không gian W1 + W2 và W1 ∩ W2 Giải W1 là không gian dòng ma trận ⎛1 1 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 ∼ A1 = ⎜ ⎜4 8 ⎟ ⎜0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 16 12 16 ⎠ ⎝ 0 1⎞ ⎟ 4⎟ 0⎟ ⎟ 0⎠ Vậy W1 = < (1, 2, 1, 1); (0, 0, 2, 4) > Tương tự W2 là không gian dòng ma trận: ⎛1 2 ⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜0 ⎜ ∼ A2 = ⎜3 7 ⎟ ⎜0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 14 14 18 ⎠ ⎝ 2 3⎞ ⎟ 1 0⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎠ Vậy W2 = < (1, 2, 2, 3); (0, 1, 1, 0) > Theo Hệ 7.2, không gian W1 + W2 sinh các véctơ: (1, 2, 1, 1); (0, 0, 2, 4) ; (1, 2, 2, 3); (0, 1, 1, 0) Ta tìm sở W1 + W2 : 13 (14) ⎛1 ⎜ A=⎜ ⎜1 ⎜ ⎝0 1⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 4⎟ ⎜0 ∼ 2 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0⎠ ⎝0 1⎞ ⎟ 1 0⎟ 2⎟ ⎟ 0 0⎠ Suy W1 + W2 có số chiều là và sở là {(1, 2, 1, 1); (0, 1, 1, 0) ; (0, 0, 1, 2)} Ta có: u ∈ W1 ∩ W2 và tồn αi ∈ R, ≤ i ≤ cho: ⎧u = α1 (1, 2,1,1) + α (0, 0, 2, 4) ⎨ ⎩u = α (1, 2, 2, 3) + α (0,1,1, 0) ⎧u = α1 (1, 2,1,1) + α (0, 0, 2, 4) ⇔⎨ ⎩α1 = α ; 2α1 = 2α + α ; α1 + 2α = 2α + α ; α1 + 4α = 3α ⎧u = α1 (1, 2,1,1) + α (0, 0, 2, 4) ⇔⎨ ⎩α1 = 2α = α ; α = ⇔ u = α (1, 2, 2, 3) với α ∈ Suy ra: W1 ∩ W2 có số chiều là và sở là {(1, 2, 2, 3)} 7.3 Định lý Cho W1, W2 là hai không gian véctơ hữu hạn chiều V Khi đó W1 + W2 là không gian hữu hạn chiều V và dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 – dim(W1 ∩ W2) 7.4 Định nghĩa Cho W1, W2, , Wn là các không gian V Ta nói W là không gian tổng trực tiếp W1, W2, , Wn , kí hiệu W = W1 ⊕ W2 ⊕ ⊕ Wn W = W1 + W2 + + Wn và Wi ∩ (∑ Wj ) = ∅ với 1≤ i ≤ n j≠ i 7.5 Hệ Cho W1, W2, , Wn là các không gian hữu hạn chiều V và W = W1 + W2 + + Wn Khi đó W là tổng trực tiếp W1, W2, , Wn và dimW = dimW1 + dimW2 + + dimWn §8 TỌA ĐỘ VÀ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ 8.1 Định lý Cho B = (u1, u2, , un) là sở không gian véctơ V trên F, đó thứ tự các phần tử là u1, u2, , un Khi đó, với u ∈ V, phương trình: α1u1 + α2u2 + + αnun = u (1) luôn luôn có nghiệm Gọi (α10 , α 02 , , α 0n ) là nghiệm (1) Ta đặt: 14 (15) [u]B ⎛ α10 ⎞ ⎜ 0⎟ ⎜α ⎟ = ⎜ ⎟ : Tọa độ véctơ u sở B ⎜ ⎟ ⎜ α0 ⎟ ⎝ n⎠ Như vậy, [u]B ⎛ α10 ⎞ ⎜ 0⎟ ⎜α ⎟ = ⎜ ⎟ ⇔ u = α10u1 + α 20u + + α n0 u n ⎜ ⎟ ⎜ α0 ⎟ ⎝ n⎠ 8.2 Hệ Giả sử B = (u1, u2, , uk) là sở W ≤ Fn đó: u1 = (u11, u21 , un1) u2 = (u12, u22 , un2) uk = (u1k, u2k , unk) Khi đó với u = (b1, b2 , bn) ∈ W, ta có: [u]B ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ b = X ⇔ UX = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bn ⎠ đó: ⎛ u11 u12 ⎜ u u 22 U = ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎝ u n1 u n2 u1k ⎞ ⎟ u 2k ⎟ ⎟ ⎟ u nk ⎠ là ma trận có cách dựng u1, u2, , uk thành các cột 8.3 Nhận xét Đối với sở chính tắc B0 = (e1, e2, , en) không gian Fn, ta có: ∀u = (b1 , b2 , , bn ) ∈ R n ,[u]B0 ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ b = ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ bn ⎠ Nói cách khác, tọa độ véctơ u theo sở chính tắc B0 Fn chính là ma trận cột tương ứng u 15 (16) Ví dụ 1) Trong không gian R3, véctơ u = (a, b, c) có tọa độ theo sở chính tắc B0 là: [u]B0 ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ b⎟ ⎜ c⎟ ⎝ ⎠ 2) Trong không gian R3, cho các véctơ: u1 = (1, 2, 1) u2 = (1, 3, 1) u3 = (2, 5, 3) a) Chứng minh B = (u1, u2, u3) là sở R3 b) Tìm tọa độ véctơ u = (a,b,c) ∈ R3 theo sở B Đáp số: [u]B ⎛ 4a − b − c ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −a + b − c ⎟ ⎜ −a + c ⎟ ⎝ ⎠ 8.4 Định lý Cho V là không gian véctơ có dimV = n và hai sở V sau: B1 = (u1, u2, , un); B2 = (v1, v2, , vn) Đặt: ⎛ p1 j ⎞ ⎜ ⎟ p2 j ⎟ ⎜ [v j ]B1 = , ≤ j ≤ n, ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ pnj ⎠ và P là ma trận vuông cấp n có các cột là [v1 ]B ,[v2 ]B , ,[vn ]B , nghĩa là: ⎛ p11 ⎜ p P = ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎝ pn1 p12 p22 pn2 1 p1n ⎞ ⎟ p2n ⎟ ⎟ ⎟ pnn ⎠ Khi đó P khả nghịch và là ma trận thỏa: ∀u ∈ V, [u]B1 = P[u]B2 Ta gọi P là ma trận chuyển sở từ B1 sang B2, kí hiệu PB → B2 Như vậy, ∀u ∈ V, [u]B1 = PB1 → B2 [u]B2 8.5 Mệnh đề Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều và B1, B2 , B3 là ba sở V Khi đó: 16 (17) 1) PB2 → B1 = (PB1 → B2 )−1 2) PB1 → B3 = PB1 → B2 PB2 → B3 8.6 Hệ Cho B1= (u1, u2, , un); B2 = (v1, v2, , vn) là hai sở không gian Fn Gọi B0 = (e1, e2, , en) là sở chính tắc Fn Khi đó: 1) PB → B1 là ma trận có cách dựng các véctơ u1, u2, , un thành các cột 2)PB1 → B0 = (PB0 → B1 )−1 3) Nếu qua số phép BĐSCTD ma trận PB chính qua phép biến đổi đó ma trận PB → B2 → B1 biến thành ma trận đơn vị In thì biến thành ma trận PB → B2 , nghĩa là: BÑSCTD (PB0 → B1 PB0 → B2 ) ⎯⎯⎯⎯⎯ → (In PB1 → B2 ) Ví dụ 1) Trong không gian R3, cho các véctơ: u1 = (1, 2, 1) u2 = (1, 3, 1) u3 = (2, 5, 3) a) Chứng minh B = (u1, u2, u3) là sở R3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ B sang sở chính tắc B0 R3 c) Tìm tọa độ véctơ u = (1,2, −3) theo sở B Đáp số: b) PB → B ⎛ −1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −1 − ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ c) Với u = (1,2,−3), [u]B ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −4 ⎠ 2) Trong không gian R3 cho các véctơ phụ thuộc tham số m∈R: u1 = (1, + m, 2); u2 = (1, –1, –m); u3 = (1 – m, 2, 3) a) Tìm điều kiện để B(m) = (u1, u2, u3) là sở R3 b) Đặt B1 = B(1) và B2 = B(–1) Chứng tỏ B1 và B2 là hai sở R3 Tìm các ma trận chuyển sở từ B1 sang B và từ B2 sang B0 đó B0 = (e1, e2, e3) là sở chính tắc R3 Hãy tìm [u]B ; [u]B với u = (1, 0, 1) 17 (18) Đáp số: a) m ≠ và m ≠ ±2 b) PB → B0 ⎛ −5 −1 ⎞ ⎛ −3 −4 ⎞ 1⎜ 1⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ −1 −2 ⎟ ; PB1 → B2 = ⎜ ⎟ 3⎜ 3⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −1 ⎠ ⎝ 6 3⎠ Với u = (1, 0, 1), [u]B ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ 1⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ; [u]B = ⎜ ⎟ 3⎜ ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝ 3⎠ 3) Cho W là không gian R4 sinh các véctơ: u1 = (1, 2, 2, 1); u2 = (0, 2, 0, 1); u3 = (–2, 0, –4, 3) a) Chứng minh B = (u1, u2, u3) là sở W Tìm điều kiện để véctơ u = (x1, x2, x3, x4) thuộc W Khi đó, tìm [u]B b) Cho v1 = (1, 0, 2, 0); v2 = (0, 2, 0, 1); v3 = (0, 0, 0, 3) Chứng minh B ' = (v1, v2, v3) là sở W Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B ' Đáp số: a) 2x1 = x3 Khi đó: [u]B b) PB → B ′ ⎛ 3x1 − x2 + 2x4 ⎜ ⎜ 5x − 6x1 − 4x4 =⎜ ⎜ ⎜ 2x − x2 ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −1 − ⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ 18 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (19) B- ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH §1 KHÁI NIỆM VỀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1.1 Định nghĩa Cho V và W là hai không gian véctơ trên F Ánh xạ f: V → W gọi là ánh xạ tuyến tính f thỏa hai tính chất sau: 1) ∀u, v ∈ V, f(u + v) = f(u) + f(v); 2) ∀u ∈ V, ∀α ∈ F, f(αu) = αf(u) Hơn nữa, f thoả thêm tính chất là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) thì f gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) không gian véctơ Khi tồn đẳng cấu V và W ta nói V đẳng cấu với W, ký hiệu V ≅ W Trường hợp W = V thì ánh xạ tuyến tính f: V → V gọi là toán tử tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính trên V Ký hiệu: • L(V,W): Tập tất các ánh xạ tuyến tính từ V vào W • L(V): Tập tất các toán tử tuyến tính trên V Nhận xét Hai tính chất 1) và 2) trên tương đương với tính chất sau: ∀u, v ∈ V,∀α ∈ F, f(αu + v) = αf(u) + f(v) 1.2 Ví dụ Xét ánh xạ f: R2 → R3 xác định bởi: f(x, y) = (x + 2y, 2x – y, x – y) Với u = (x1, y1); v = (x2, y2) ∈ R2 và α ∈ R, ta có: f(u + v) = f(u) + f(v) và f(αu) = αf(u) nên f là ánh xạ tuyến tính 1.3 Mệnh đề Với ánh xạ tuyến tính f: V → W, ta có: (i) f(0V) = 0W; (ii) ∀u ∈ V, f(–u) = –f(u); (iii) ∀u1, u2, … , un ∈ V; α1, α2, … , αn ∈ F, f(α1u1 + α2u2 + … +αnun) = α1f(u1) + α2f(u2) + … + αnf(un) 1.4 Định lý Cho V, W là hai không gian véctơ trên F Giả sử dim V = n và A = {u1, u2, … , un} là sở V trên F Khi đó, với w1, w2, … , wn là n véctơ W (wi có thể trùng nhau), tồn ánh xạ tuyến tính f: V → W thỏa f(ui) = wi, ∀1 ≤ i ≤ n Ánh xạ tuyến tính f xác định sau: ∀u ∈ V, f(u) = α1w1 + α2w2 + … + αnwn 19 (20) đó: ⎛ α1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ α ⎟ = [u]A ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ αn ⎠ 1.5 Ví dụ Trong không gian R3 cho các véctơ: u1 = (1, –1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (2, –1, 3) a) Chứng tỏ B = {u1, u2, u3} là sở R3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f: R3 → R3 thỏa: f(u1) = (2, 1, –2); f(u2) = (1, 2, –2); f(u3) = (3, 5, –7) Đáp số: f(x, y, z) = (x – y, y + 2z, x – 3z) 1.6 Mệnh đề Cho V, W là các không gian véctơ và f, g∈ L(V,W) Ta định nghĩa tổng f + g hai ánh xạ tuyến tính và tích αf (α ∈ F) vô số với ánh xạ tuyến tính sau: ∀v ∈ V, (f + g)(v) = f(v) + g(v) ∀v ∈ V, (αf)(v) = αf(v) Khi đó f + g và αf thuộc L(V,W) và với các phép toán trên, L(V,W) là không gian véctơ trên F 1.7 Mệnh đề Cho V, W, T là các không gian véctơ trên F và f ∈ L(V,W); g∈ L(W,T) Khi đó: 1) Nếu f là song ánh thì f-1 là ánh xạ tuyến tính từ W vào V 2) gof là ánh xạ tuyến tính từ V vào T §2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 2.1 Định lý Cho V, W là hai không gian véctơ và f: V → W là ánh xạ tuyến tính Khi đó: 1) Nếu U ≤ V thì f(U) ≤ f(V) Hơn nữa, U = < S > thì f(U) = < f(S)> 2) Nếu T ≤ W thì f −1(T) ≤ V 2.2 Định nghĩa Cho V, W là hai không gian véctơ và f: V → W là ánh xạ tuyến tính 1) Không gian f−1(0) V, gồm tất các phần tử V có ảnh là ∈ W gọi là nhân (kernel) f, ký hiệu là Ker(f): Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0} 2) Không gian f(V) W, gồm tất các phần tử W là ảnh ít phần tử V gọi là ảnh (image) f, kí hiệu là Im(f): 20 (21) Im(f) = {w ∈ W | ∃v ∈ V, f(v) = w} 2.3 Ví dụ Xét lại Ví dụ 1.2 §1: f: R2 → R3 định f(x, y) = (x + 2y, 2x – y, x – y) Ta có: Ker(f) = {0} và Im(f) = {(t1, t2, t3) ∈ R3 | t1 – 3t2 + 5t3 = 0} 2.4 Định lý Với ánh xạ tuyến tính f: V → W, các mệnh đề sau tương đương: 1) f là đơn cấu 2) Ker(f) = {0} 3) Nếu S là tập độc lập tuyến tính V thì {f(u)| u∈ S} là tập độc lập tuyến tính W 4) Tồn sở B V cho {f(u)| u∈ B} là tập độc lập tuyến tính W 2.5 Định lý Với ánh xạ tuyến tính f: V → W, các mệnh đề sau tương đương: 1) f là toàn cấu 2) Nếu S là tập sinh V thì f(S) là tập sinh W 3) Tồn tập sinh S V cho f(S) là tập sinh W 2.6 Định lý Với ánh xạ tuyến tính f: V → W, các mệnh đề sau tương đương: 1) f là đẳng cấu 2) Nếu B là sở V thì {f(u)| u∈ B} là sở W 3) Tồn sở B V cho {f(u)| u∈ B} là sở W Nhận xét Do Định lý 2.6, V ≅ W thì dim V = dimW 2.7 Định lý Nếu V là không gian véctơ hữu hạn chiều trên F thì V ≅ Fn , đó n = dimV 2.8 Định lý Cho f: V → W là ánh xạ tuyến tính từ không gian véctơ hữu hạn chiều V vào không gian véctơ W Khi đó: dim Im(f) + dim Ker(f) = dim V (1) Ta gọi • dim Im(f) là hạng (rank) f, ký hiệu rank(f) hay r(f) • dim Ker(f) là số khuyết (defect) f, ký hiệu def(f) hay d(f) §3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRÊN CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ HỮU HẠN CHIỀU 3.1 Định lý và định nghĩa Cho V, W là hai không gian véctơ hữu hạn chiều, đó: 1) V có dimV = n với sở A = (v1, v2, , vn); 2) W có dimW = m với sở B = (w1,w2, , wm) và f ∈ L(V,W) Với ≤ i ≤ n, đặt: 21 (22) ⎛ a1 j ⎞ ⎜ ⎟ a2 j ⎟ [f(vj)]B = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ a mj ⎠ nghĩa là: f(vj) = a1jw1 + a2jw2 + + amjwm Gọi A là ma trận loại m×n có các cột là [f(v1)]B, [f(v2)]B, , [f(vn)]B, nghĩa là: A = ( [f(v1)]B [f(v2)]B [f(vn)]B )= (aij)m×n Khi đó A là ma trận thỏa tính chất: ∀v ∈ V, [f(v)]B = A[v]A (1) Ta gọi A là ma trận biểu diễn f theo sở A, B, kí hiệu A = [f]A,B Như vậy, ∀v ∈ V, [f(v)]B = [f]A,B [v]A Trường hợp V = W và A = B, ta dùng kí hiệu [f]A thay cho [f]A,A và gọi là ma trận biểu diễn f theo sở A Như vậy, ∀v ∈ V, [f(v)] A = [f]A [v]A Ví dụ Xét ánh xạ f: R2 → R3 xác định bởi: f(x, y) = (x + 2y, 2x – y, x – y) A = (v1, v2) là sở R2; đó v1 = (1, 2); v2 = (1, 3) B = (e1, e2, e3) là sở chính tắc R3 Ta có: [f]A,B ⎛ 7⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −1 −2 ⎟ ⎝ ⎠ 3.2 Nhận xét Với A, B là hai sở không gian n chiều V, ta có: • [Idv]A = In (ma trận đơn vị) • [Idv]A,B = PB→A (ma trận chuyển sở từ B sang A) 3.3 Ma trận chính tắc ánh xạ tuyến tính từ Fn vào Fm Xét ánh xạ f: Fn → Fm định bởi: f(x1, , xn) = (a11x1 + + a1nxn, , am1x1 + + amnxn) (1) đó aij ∈ F (1 ≤ i ≤ m; ≤ j ≤ n) Dễ thấy f là ánh xạ tuyến tính, nữa, gọi A0 = (e1, e2, , en) và B0 = (e'1, e'2, , e'm) là các sở chính tắc Fn và Fm, ta có: f(e1) = (a11, a21, , am1); f(e2) = (a12, a22, , am2); 22 (23) f(en) = (a1n, a2n, , amn) nghĩa là: [f(e1 )]B ⎛ a11 ⎞ ⎛ a12 ⎞ ⎛ a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a a a = ⎜ 21 ⎟ ;[f(e2 )]B = ⎜ 22 ⎟ ; ;[f(en )]B = ⎜ 1n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a m1 ⎠ ⎝ a m2 ⎠ ⎝ a mn ⎠ Do đó ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp sở chính tắc A0, B0 là: [f ]A ,B 0 ⎛ a11 ⎜ ⎜a = ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 a 22 a m2 a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ = A ⎟ ⎟ a mn ⎟⎠ Đảo lại, với f: Fn → Fm là ánh xạ tuyến tính bất kỳ, gọi A = [f ]A B0 là ma trận biểu diễn f theo cặp sở chính tắc A0, B0 Fn và Fm Khi đó, dễ thấy f có biểu thức định (1) Tóm lại, ta đã chứng minh với ánh xạ tuyến tính f: Fn → Fm, hai khẳng định sau tương đương 1) ∀(x1, x2, , xn) ∈ Fn, f(x1, , xn) = (a11x1 + + a1nxn, , am1x1 + + amnxn) 2) Với A0, B0 là các sở chính tắc Fn và Fm, ta có: [f ]A B0 = (aij)m×n Ta gọi ma trận A = (aij)m×n là ma trận chính tắc ánh xạ tuyến tính f 3.4 Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f: R3→ R3định bởi: f(x, y, z) = (3x – 2y + 4z, 7x – y + z, x – 3y – z) Với B0 = (e1, e2, e3) là sở chính tắc R3, ta có: ma trận chính tắc ánh xạ tuyến tính f là: ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −3 −1 ⎟ ⎝ ⎠ 3.5 Cách tìm Ker(f) và Im(f) ánh xạ tuyến tính f: Fn → Fm Giả sử ánh xạ tuyến tính f: Fn → Fm có ma trận chính tắc là A = (aij)m×n 1) Ker(f): Ta có: (x1, x2, , xn) ∈ Ker(f) ⇔ f(x1, x2, , xn) = ⇔ [f(x1, x2, , xn)] B0 = 23 (24) ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x ⇔ A [(x1, x2, , xn)] B0 = ⇔ AX = với X = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ xn ⎠ Nói cách khác, Ker(f) chính là không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính AX = 2) Im(f): Gọi A0 = (e1, e2, , en) là sở chính tắc Fn, ta có: f(e1) = (a11, a21, , am1); f(e2) = (a12, a22, , am2); f(en) = (a1n, a2n, , amn) Mà Im(f) = < f(e1), f(e2), , f(en) > nên Im(f) chính là không gian cột ma trận A, nghĩa là không gian sinh các véctơ cột ma trận A Nói cách khác, Im(f) là không gian dòng ma trận chuyển vị AT, 3.6 Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f: R4 → R3 định bởi: f(x, y, z, t) = (x – 2y + z – t, x + 2y + z + t, 2x + 2z) Hãy tìm sở, số chiều Ker(f) và Im(f) Đáp số: • Ker(f) có sở là {(–1, 0, 1, 0); (0, -1, 0, 2)}và dimKer(f) = • Im(f) có sở là {(1, 1, 2); (0, 1, 1)} và dim Im(f) = 3.7 Định lý Cho V, W, T là các không gian véctơ hữu hạn chiều trên F với các sở tương ứng là A, B, C Khi đó, với f, g: V → W; h: W → T là các ánh xạ tuyến tính và α ∈ F ta có: 1) [f + g]A, B = [f]A, B + [g]A, B ; 2) [αf]A, B = α[f]A, B ; 3) [hof]A, C = [h]B, C [f]A, B 3.8 Hệ Cho V, W là các không gian véctơ hữu hạn chiều trên F: dimV = n, dimW = m, với các sở là A, B Khi đó L(V, W) ≅ Mm×n (F) qua đẳng cấu ϕ định ϕ(f ) = [f ]A , B 3.9 Định lý Cho V, W là hai không gian véctơ hữu hạn chiều và f ∈ L(V,W) Khi đó với A, A' là hai sở V và B, B ' là hai sở W, ta có: 1) [f]A′,B ′ = (PB→B′ ) –1[f]A, B PA→A′ 2) Đặc biệt, V = W và A = B, A' = B' thì: [f]B′ = (PB → B′)–1 [f]B PB → B′ 24 (25) Chứng minh 2) là trường hợp đặc biệt 1) Ta chứng minh 1): [f]A ′,B ′ = (PB→B ′ ) –1[f]A,B PA→A ′ Thật vậy, xét dãy các ánh xạ: Id v f Id w V ⎯⎯ ⎯→ V ⎯⎯ ⎯ → W ⎯⎯ ⎯ ⎯→ W A' A Ta có: B B' f = IdW o f o IdV nên theo Định lý 3.7: [f]A ′,B ′ = [IdW o f o IdV]A, B ′ = [IdW]B, B ′ [f o IdV]A ′, B = [IdW] B, B ′ [f]A, B [IdV]A ′, A Mặt khác, [IdW] B, B ′ = P B ′→ B = (PB → B ′)–1 và [IdV] A ′,A = PA→ A ′ nên [f]A ′, B ′ = (P B → B ′ ) –1[f]A, B PA →A ′ 3.10 Ví dụ Ví dụ Trong không gian R3 cho các véctơ: u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1) và ánh xạ tuyến tính f: R3 → R3 định bởi: f(x, y, z) = (2x + y – z, x + 2y – z, 2x – y + 3z) a) Chứng minh B = (u1, u2, u3) là sở R3 b) Tìm [f]B Đáp số: [f]B ⎛ −1 − ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −1 −3 ⎟ ⎜ 7⎟ ⎝ ⎠ Ví dụ Trong không gian R3 cho các véctơ: u1 = (1, –1, 2); u2 = (3, –1, 4); u3 = (5, –3, 9) a) Chứng tỏ B = (u1, u2, u3) là sở R3 b) Cho f: R3 → R3 là ánh xạ tuyến tính thỏa: ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ [f]B = ⎜ − 1 ⎟ ⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠ Hãy tìm biểu thức ánh xạ f Đáp số: f(x,y,z)= (54x–70y–54z,–32x+40y+34z,97x–125y–100z) 3.11 Định lý Cho V, W là hai không gian véctơ n chiều và f ∈ L(V,W) Các khẳng định sau tương đương: 1) f là đơn ánh 25 (26) 2) f là toàn ánh 3) f là song ánh; 4) Với sở A V và B W, ma trận [f]A,B khả nghịch 5) Tồn các sở A, B V và W sau cho [f]A,B khả nghịch Hơn nữa, đó f–1: W → V là ánh xạ tuyến tính và [f–1]B,A = ([f]A,B)–1 Đặc biệt, V = W và A = B thì: [f–1]B = ([f]B)–1 3.12 Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f: R3 → R3 phụ thuộc vào tham số m ∈ R định bởi: f(1, 0, 1) = (m, 1, 0) f(0, 1, 0) = (0, m, 1) f(0, 2, 1) = (m, m + 1, m + 2) a) Định m để f là song ánh b) Tìm biểu thức f Suy biểu thức f–1 f là song ánh Đáp số: a) m ≠ và m ≠ –1 b) f(x, y, z) = (mz, mx + my + (1 – m)z, – mx + y + mz) Với m ≠ và m ≠ –1, ta có biểu thức f–1 là: f −1 (x, y, z) = ((m2 + m − 1)x + my − m2z, − mx + m2 y + m2z, (m2 + m)x) m (m + 1) §4 TRỊ RIÊNG, VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN 4.1 Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mn(F) và véctơ u = (x1, x2, , xn) ∈ Fn, ta định nghĩa: ⎛a11 ⎜ a Au = ⎜ 21 ⎜ ⎜ ⎝an1 a12 a1n ⎞ ⎟ a22 a2n ⎟ (x ,x , ,xn) ⎟ ⎟ an2 ann ⎠ = (a11x1 + a12x2 + + a1nxn,a21x1 + a22x2 + + a2nxn, ,an1x1 + an2x2 + + annxn) Ta nói số thực λ là trị riêng ma trận A tồn vectơ u = (x1, x2, , xn) ∈ F \{0} cho Au = λu n Khi đó vectơ u gọi là vectơ riêng A ứng với trị riêng λ 4.2 Không gian riêng Cho ma trận A ∈ Mn(F) và λ ∈ F là trị riêng A Đặt: V(λ) = {u = (x1 , x , , x n ) ∈ Fn A u = λu} 26 (27) nghĩa là V(λ) gồm vectơ và tất các vectơ riêng A ứng với trị riêng λ Ta gọi V(λ) là không gian riêng A ứng với trị riêng λ Ta thấy V(λ) chính là không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính (A − λIn)X = 4.3 Định nghĩa Cho ma trận A ∈ Mn(R) Đa thức a11 − λ a12 a 22 a 22 − λ ϕA (λ) = det(A − λI) = a nn a nn a1n a 2n gọi là đa thức đặc trưng a nn − λ ma trận A ⎛3 ⎞ Ví dụ Cho ma trận thực A = ⎜⎜ 1 −2 ⎟⎟ Tìm đa thức đặc trưng A ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ Giải Đa thức đặc trưng là: 3−λ ϕA (λ) = 1−λ −2 = (4 − λ) 4−λ 3−λ = (4 − λ)(λ − 4λ) = −λ (λ − 4)2 1−λ 4.4 Nhận xét Nếu A và B là hai ma trận đồng dạng, nghĩa là A = P–1BP với P là ma trận khả nghịch thì A và B có cùng đa thức đặc trưng Thật vậy: ϕA(λ) = det(A – λI)= det(P–1BP – λI) = det[P–1(B – λI)P] = det(P–1)det(B – λI)det(P)= (det(P))–1ϕB(λ)det(P)= ϕB(λ) 4.7 Định lý Số thực λ là trị riêng A ∈ Mn(F) và λ là nghiệm đa thức đặc trưng ϕA(λ) 4.8 Thuật toán tìm trị riêng, vectơ riêng và không gian riêng ma trận 1) Lập đa thức đặc trưng ϕA(λ) = |A – λI| 2) Giải phương trình ϕA(λ) = để tìm các trị riêng ma trận A 3) Ứng với trị riêng λ, không gian riêng V(λ) là không gian nghiệm phương trình Au = λu, nghĩa là hệ phương trình tuyến tính (1) ⎛ 3 2⎞ Ví dụ Cho ma trận thực A = ⎜⎜ 1 −2 ⎟⎟ Tìm trị riêng và vectơ riêng A Xác định ⎜ −3 − ⎟ ⎝ ⎠ sở, số chiều các không gian riêng tương ứng Giải - Đa thức đặc trưng; 3−λ ϕA (λ) = −3 − λ −2 = (4 − λ)(λ + 4) −1 −λ - Trị riêng: 27 (28) ϕA(λ) = ⇔ λ = Do đó ma trận A có trị riêng λ1 = - Không gian riêng V(λ1) ứng với trị riêng λ1 = là không gian nghiệm hệ: ⎛ 3 ⎜ Au = λ1u ⇔ ⎜ 1 ⎜ −3 −1 ⎝ ⇔ (3x1 + 3x + 2x , x1 2⎞ ⎟ −2 ⎟ (x1 , x , x ) = 4(x1 , x , x ) ⎟⎠ + x − 2x , −3x1 − 3x ) = (4x1 , 4x , 4x ) ⎧− x1 + 3x + 2x = ⎪ ⇔ ⎨ x1 − 3x − 2x = ⎪−3x − x − 4x = ⎩ (1) Giải hệ (1), ta tìm nghiệm tổng quát (x1, x2, x3) = (− α, − α, α) với α ∈ R tùy ý Vậy V(λ1)={( − α,− α, α)| α ∈ R} = {α(−1, −1,1)| α ∈ R} = <(−1, −1,1)> Suy V(λ1) có dim V(λ1) = với sở {(−1, −1,1)} §5 CHÉO HÓA MA TRẬN 5.1 Định nghĩa Ma trận A ∈ Mn(F) gọi là chéo hóa tồn ma trận khả nghịch P ∈ Mn(F) cho P−1AP = D với D là ma trận chéo Khi đó ta nói ma trận P làm chéo hóa A và D là dạng chéo A ⎛ −1 ⎞ ⎟ Ta thấy A không phải là ma trận chéo Ta 2⎠ Ví dụ Xét ma trận A sau đây: A = ⎜ ⎝0 A chéo hóa Thật vậy, đặt ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ −1 P=⎜ ⎟⇒P =⎜ ⎟ ⎝0 ⎠ ⎝ 1⎠ ta có ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ ⎞ P −1 AP = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟=D ⎝ 1⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ với D là ma trận chéo, đó A chéo hóa thỏa: 5.2 Định lý Ma trận A ∈ Mn(F) chéo hóa và hai tính chất sau 1) Đa thức đặc trưng ϕA(λ) phân tích thành tích các đa thức bậc 1: r r r ϕA (λ) = (−1)n (λ − λ1 ) (λ − λ ) (λ − λ k ) k 2) Với trị riêng λi (1 ≤ i ≤ k), không gian riêng V(λ i ) có dim V(λ i ) = ri (= số bội λi ϕA(λ)) Hơn nữa, đó gọi Bi là sở V(λi) (1 ≤ i ≤ k) và đặt P là ma trận có cách dựng các vectơ B1, B2 , , Bk thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và: 28 (29) 5.3 Hệ Nếu A là ma trận vuông cấp n và có n trị riêng phân biệt thì A chéo hóa 5.4 Thuật toán chéo hóa ma trận Thuật toán chéo hóa ma trận A ∈ Mn(R) gồm các bước sau: Bước 1: Tìm đa thức đặc trưng ϕA(λ) • Nếu ϕA(λ) không thể phân tích thành tích các đa thức bậc thì A không chéo hóa và thuật toán kết thúc • Trường hợp ngược lại, phân tích ϕA(λ) thành tích các đa thức bậc 1: r r r ϕA (λ) = (−1)n (λ − λ1 ) (λ − λ ) (λ − λ k ) k và chuyển sang Bước Bước 2: Tìm các trị riêng λi cùng với các số bội ri tương ứng (1 ≤ i ≤ k) Bước 3: Với ≤ i ≤ k, tìm sở Bi và số chiều dimV(λi) các không gian riêng V(λi): • Nếu tồn ≤ i ≤ k cho dimV(λi) < ri thì A không chéo hóa và thuật toán kết thúc • Trường hợp ngược lại, nghĩa là dimV(λi) = ri với ≤ i ≤ k thì A chéo hóa được, và chuyển sang Bước Bước 4: Đặt P là ma trận có cách dựng các vectơ B1, B2 , , Bk thành các cột, ta có P làm chéo hóa A và P−1AP có dạng chéo Định lý 5.2 Nhận xét Do không gian riêng có số chiều dương nên λi là nghiệm đơn đa thức đặc trưng thì luôn luôn có dimV(λi) = 1(= ri) Do đó, cần biết A có chéo hóa hay không (mà không cần tìm ma trận P làm chéo hóa A) thì Bước ta cần so sánh các số chiều dimV(λi) với các số bội ri ứng với các trị riêng λi có số bội ri > Ví dụ Các ma trận sau đây có chéo hóa không? ⎛ −3 − ⎞ a) A = ⎜⎜ −2 −2 ⎟⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0⎞ b) A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ 29 (30) ⎛ −2 ⎞ c) A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ d) Giải a) ϕA(λ) = |A – λI| = − (λ2 – 1)(λ − 2) Vậy ϕA(λ) = ⇔ λ = –1, λ = 1, λ = Đa thức đặc trưng có nghiệm phân biệt, tức ma trận A có trị riêng phân biệt Vì A là ma trận vuông cấp và có trị riêng phân biệt nên A chéo hóa b) ϕA(λ) = |A – λI| = − (λ − 3)(λ − 2)2 ϕA(λ) = ⇔ λ = (bội 1), λ = (bội 2) Vậy A có trị riêng λ1 = (bội 1), λ2 = (bội 2) Để khảo sát tính chéo hóa A ta cần xét dimV(λ2) ứng với trị riêng λ2 = (bội 2) (không cần xét dimV(λ1) vì trị riêng λ1 = là nghiệm bội 1) Không gian riêng V(λ2) ứng với trị riêng λ2 = là không gian nghiệm hệ: ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ Au = λ 2u ⇔ ⎜ ⎟ (x1 , x , x ) = 2(x1 , x , x ) ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎧ x1 = ⇔ (3x1 , 2x , x + 2x ) = (2x1 , 2x , 2x ) ⇔ ⎨ ⎩x2 = (1) Hệ (1) có ẩn tự nên dimV(λ2) = < (= số bội λ2) Do đó A không chéo hóa c) ϕA(λ) = |A – λI| = − (λ − 2)(λ − 3)2 ϕA(λ) = ⇔ λ = (đơn), λ = (bội 2) Vậy A có trị riêng λ1 = (bội 1), λ2 = (bội 2) Để khảo sát tính chéo hóa A ta cần xét dimV(λ2) ứng với trị riêng λ2 = (bội 2) Không gian riêng V(λ2) ứng với trị riêng λ2 = là không gian nghiệm hệ: ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ Au = λ 2u ⇔ ⎜ ⎟ (x1 , x , x ) = 3(x1 , x , x ) ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⇔ (2x1 − 2x , 3x , 3x ) = (3x1 , 3x , 3x ) ⇔ − x1 − 2x = (1) Hệ (1) có ẩn tự nên dimV(λ2) = (= số bội λ2) Do đó A chéo hóa d) ϕA(λ) = |A – λI| = − (λ − 4)(λ2 + 4) Trong R[x], ϕA(λ) không thể phân tích thành tích các đa thức bậc Do đó A không chéo hóa 30 (31) Ví dụ Chéo hóa ma trận thực A sau đây: Tính An với n là số tự nhiên Giải - Đa thức đặc trưng: ϕA(λ) = |A – λI| = − (λ – 5)2(λ −1) - Trị riêng: ϕ(λ) = ⇔ λ = (bội 2), λ = (bội 1) Vậy A có trị riêng λ1 = 5(bội 2), λ2 = 1(bội 1) - Không gian riêng: • Không gian riêng V(λ1) ứng với trị riêng λ1 = là không gian nghiệm hệ: ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ Au = λ1u ⇔ ⎜ −2 ⎟ (x1 , x , x ) = 5(x1 , x , x ) ⎜ 0 5⎟ ⎝ ⎠ ⇔ (3x1 − 2x , −2x1 + 3x , 5x ) = (5x1 , 5x , 5x ) ⇔ −2x1 − 2x = (1) Giải hệ (1), ta tìm nghiệm tổng quát (x1, x2, x3) =(−α, α, β) với α, β ∈ R tùy ý Vậy: V(λ1) = { (− α, α, β)|α, β ∈ R}={α(−1,1,0) + β(0, 0, 1)|α, β ∈ R}=<(−1, 1,0);(0, 0,1)> Suy V(λ1) có dim V(λ1) = (= số bội λ1) với sở B1 = {(−1, 1,0); (0, 0,1)} • Không gian riêng V(λ2) ứng với trị riêng λ2 = là không gian nghiệm hệ: Giải hệ (2), ta tìm nghiệm tổng quát (x1, x2, x3) = (α, α, 0) với α ∈ R tùy ý Vậy: V(λ2) = { (α, α, 0)|α ∈ R} = { α(1, 1, 0)|α ∈ R} = < (1, 1, 0) > Suy V(λ2) có dim V(λ2) = với sở B2 = {(1, 1, 0)} 31 (32) Vì các không gian riêng A có số chiều số bội các trị riêng tương ứng nên A chéo hóa Lập ma trận P cách dựng các vectơ B1 = {(−1, 1, 0); (0, 0, 1)} và B2 = {(1, 1, 0)} thành các cột: Khi đó (3) Để tìm An , ta lũy thừa n hai vế (3): Với ta tìm P −1 ⎛ −1 ⎞ 1⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ Từ đó ta có: 2⎜ ⎟ ⎝ 1 0⎠ ⎛ 5n ⎜ An = P ⎜ ⎜0 ⎝ 5n 0⎞ ⎟ ⎟ P −1 ⎟⎠ ⎛ + 5n ⎜ ⎜ ⎜ − 5n =⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 32 − 5n + 5n ⎞ 0⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 5n ⎟ ⎟ ⎠ (33) §6 CHÉO HÓA TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH 6.1 Định nghĩa Cho f là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V hữu hạn chiều Số λ ∈ R gọi là trị riêng f tồn vectơ u ∈ V\{0} cho f(u) = λu Khi đó vectơ u gọi là vectơ riêng f ứng với trị riêng λ 6.2 Định lý Cho f là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V với sở B = {u1, u2, , un} và A = [f]B Với λ ∈ R, ta có λ là trị riêng f và λ là trị riêng A Hơn nữa, đó vectơ u = x1u1 + x2u2 + + xnun ∈ V\{0} là vectơ riêng f và vectơ (x1, x2, , xn) ∈ Rn\{0} là vectơ riêng A (ứng với trị riêng λ) 6.3 Định nghĩa Cho f là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V hữu hạn chiều Ta nói f chéo hóa tồn sở B V cho [f]B là ma trận chéo Khi đó B gọi là sở làm chéo hóa f 6.4 Định lý Cho f là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V với sở B1= {u1, u2, , un} và A = [f ]B Ta có f chéo hóa và ma trận A chéo hóa Hơn nữa, đó P là ma trận làm chéo hóa A, nghĩa là P–1AP = D với D là ma trận chéo, thì [f ]B = D với B2 là sở V thỏa PB → B = P , nghĩa là P là ma trận chuyển sở từ B1 2 sang B2 Ví dụ Cho toán tử tuyến tính f: R3 → R3 định bởi: f(x, y, z) = (3x – 2y, –2x + 3y, 5z) Xét xem f có chéo hóa không Tìm sở B làm chéo hóa f (nếu có) Giải Ma trận biểu diễn f theo sở chính tắc B0 = {e1, e2, e3} R3 là: Theo Ví dụ 2, mục 5.4, ta biết A chéo hóa và đó Do đó f chéo hóa Gọi B = {u1, u2, u3} là sở R3 cho PB 33 →B = P , nghĩa là: (34) u1 = −1.e1 + 1.e2 + 0.e3 = (−1, 1, 0); u2 = 0.e1 + 0.e2 + 1.e3 = (0, 0, 1); u3 = 1.e1 + 1.e2 + 0.e3 = (1, 1, 0), ⎛ 0⎞ ta có B làm chéo hóa f và [f ]B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ BÀI TẬP Bài Trong không gian R4 cho u1 = (1, 0, 1, 0); u2 = (2, 1, 4, 4); u3 = (3, 1, 5, 4); u4 = (6, 2, 10, 4); v1 = (1, 1, 1, 1); v2 = (1, 2, 5, 8); v3 = (3, 5, 11, 17); v4 = (1, 0, −3, −6) W1 = <u1, u2, u3, u4> Đặt và W2 = <v1, v2, v3, v4> Xét tính độc lập tuyến tính u1, u2, u3, u4 và v1, v2, v3, v4 Tìm sở, số chiều cho W1, W2, W1+W2, W1∩W2; sau đó bổ sung vào sở W1∩W2 số vectơ để sở R4 Tìm điều kiện để vectơ u = (a1, a2, a3, a4) thuộc W1, W2 Đáp số: u1, u2, u3, u4 phụ thuộc tuyến tính; dimW1 = với sở {(1,0,1,0); (1,1,2,4); (0,0,0,−4)}; v1, v2, v3, v4 phụ thuộc tuyến tính; dimW2 = với sở {(1,1,1,1); (0,1,4,7)}; W1 + W2 = R4 có dim(W1 + W2) = với sở chính tắc B0 dim(W1∩W2) = với sở là {(2,1,5,8)} ⎧⎪3a − 4a + a = 0; (a1 , a , a , a ) ∈ W1 ⇔ ⎨ ⎪⎩6a1 − 7a + a = (a1 , a , a , a ) ∈ W2 ⇔ a1 + 2a − a = Bài Trong không gian R3[x] cho u1(x) = x3 + 2x2 + x + 3; u2(x) = 2x3 + 5x2 + 4x; u3(x) = 4x3 + 9x2 + 6x + 6; u4 (x) = x3 + x2 − x + 9; v1(x) = x3 − x2 + 2x + 1; v2(x) = x3 + x2 − x + 9; v3(x) = 2x3 − 4x2 + 7x − 5; v4(x) = x3 + 3x2 − 4x + 17 Đặt W1 = <u1, u2, u3, u4> và W2 = <v1, v2, v3, v4> Xét tính độc lập tuyến tính u1, u2, u3, u4 và v1, v2, v3, v4 Tìm sở, số chiều cho W1, W2, W1+W2, W1∩W2; sau đó bổ sung vào sở W1∩W2 số vectơ để sở R3[x] Tìm điều kiện để vectơ u = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 thuộc W1, W2 34 (35) Đáp số: u1, u2, u3, u4 phụ thuộc tuyến tính; dimW1 = với sở { x3 + 2x2 + x + 3, x2 + 2x −6}; v1,v2, v3, v4 phụ thuộc tuyến tính; dimW2 = với sở {x3 − x2 + 2x + 1, 2x2 − 3x + 8, 2} W1 + W2 = R4 có dim(W1 + W2) = với sở chính tắc B0 dim(W1∩W2) = với sở là { x3 + x2 − x + 9} ⎪⎧3a − 2a + a1 = 0; u = a x3 + a x2 + a1 x + a ∈ W1 ⇔ ⎨ ⎪⎩15a − 6a − a = u = a x3 + a x2 + a1 x + a ∈ W2 ⇔ a − 3a − 2a1 = Bài Trong các trường hợp sau đây, đặt: ⎧ ⎪ ⎪ Wi = ⎨(x1 , x2 , x , x ) ∈ R ⎪ ⎪ ⎩ ⎛ x1 ⎞ ⎫ ⎜ ⎟⎪ x ⎪ A i X = 0, X = ⎜ ⎟ ⎬ , i = 1, ⎜ x3 ⎟ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ x4 ⎠ ⎭ Hãy tìm sở và số chiều W1, W2, W1+W2, W1∩W2: ⎛1 ⎜ a) A1 = ⎜ ⎜3 ⎜ ⎝4 ⎛1 ⎜ b) A1 = ⎜ ⎜3 ⎜ ⎝2 −3 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ −11 ⎟ 2 ; A2 = ⎜ ⎟ ⎜ −14 4 ⎟ ⎜ −17 ⎠ ⎝5 −1 ⎞ ⎟ −1 − ⎟ −3 − ⎟ ⎟ −6 ⎠ −3 5⎞ −6 ⎞ ⎛ 1 −5 ⎟ ⎜ ⎟ −13 22 ⎟ 2 −9 −13 ⎟ ⎜ ; A2 = ⎜ 3 −14 −19 ⎟ −2 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ −7 ⎠ ⎝ 5 −23 −30 ⎠ Đáp số: 3a) dimW1 = với sở {(−2,1,0,0); (−2,0,5,1)}; dimW2 = với sở {(5,0,5,1); (−1,1,0,0)}; dim(W1 + W2) = với sở {(−2,1,0,0); (0,2,−10, −2);(0,0,5,1)}; dim(W1∩W2) = với sở là {(12,−7,5,1)} 3b) dimW1 = với sở {(1,0,17,10); (0,1,29,17)}; dimW2 = với sở {(1,10,1,1)}; dim(W1 + W2) = với sở {(1,0,17,10); (0,1,29,17);(0,0, −306, −179)}; dim(W1∩W2) = với sở là ∅ Bài Xét không gian R4 Trong các trường hợp sau đặt: W1 = <u1, u2, u3, u4> 35 (36) ⎧ ⎛ x1 ⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ⎟⎪ x ⎪ ⎪ W2 = ⎨(x1 , x2 , x , x4 ) ∈ R 4| A i X = 0, X = ⎜ ⎟ ⎬ ⎜ x3 ⎟ ⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎝ x4 ⎠ ⎭ ⎩ Tìm điều kiện để vectơ u = (x1, x2, x3, x4) thuộc W1 Tìm sở và số chiều W1, W2, W1 + W2, W1∩W2 a) u1 = (1, 2, 1, 1); u2 = (1, 3, 0, –4); u3 = (0, –1, 0, 1); u4 = (2, 5, 1, –1); ⎛1 ⎜ A=⎜ ⎜2 ⎜ ⎝2 b) u1 = (–1, 1, 1, 2); 1⎞ ⎟ 2⎟ 12 ⎟ ⎟ 14 ⎠ u2 = (2, –1, 1, –1); u3 = (1, 0, 2, 1); u4 = (3, –1, 3, 0), ⎛2 ⎜ A=⎜ ⎜3 ⎜ ⎝ 10 9⎞ ⎟ 3⎟ 12 ⎟ ⎟ 18 ⎠ Đáp số: 4a) Mọi vectơ u = (x1, x2, x3, x4) thuộc W1 dimW1 = với sở chính tắc B0 dimW2 = với sở {(0,−1,0,1); (−3, −2,1,0)}; dim(W1 + W2) = với sở chính tắc B0 dim(W1∩W2) = với sở là {(0,−1,0,1); (−3, −2,1,0)}; ⎧3x1 + 3x2 − x3 = 0; 4b) (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ W1 ⇔ ⎪⎨ ⎪⎩ x1 + 3x2 − x4 = dimW1 = với sở {(−1,1,0,2); (0,−1, −3, −3)}; dimW2 = với sở {(−2,1,0,0); (0,0,−3,1)}; dim(W1 + W2) = với sở {(−1,1,0,2); (0,−1, −3, −3); (0,0,−3,1)}; dim(W1∩W2) = với sở {(−2,1,−3,1)}’ Bài Cho u = (a, b); v = (c, d) là hai vectơ R2 cho: ac + bd = 0, a2 + b2 = c2 + d2 = a) Chứng minh B = (u, v) là sở R2 b) Tìm tọa độ vectơ w = (x, y) theo sở B 36 (37) Đáp số: 5b) [v]B = ⎛ dx − cy ⎞ ⎜ ⎟ ad − bc ⎝ − bx + ay ⎠ Bài Trong các trường hợp sau, đặt: W = <u1, u2, u3> Chứng minh B1 = {u1, u2, u3} và B2 = {v1, v2, v3} là hai sở W Tìm ma trận chuyển sở từ B1 sang B2 Tìm điều kiện để vectơ u = (a, b, c, d) thuộc W và xác định [u]B ;[u]B trường hợp này: a) b) u1 = (3, 6, 2, 3); v1 = (2, 5, 2, 0) u2 = (1, 2, 2, 0); v2 = (6, 11, 6, 6) u3 = (2, 3, 2, 3); v3 = (4, 7, 2, 6) u1 = (1, 2, 1, 1); v1 = (2, 4, 2, 3) u2 = (2, 6, 3, 2); v2 = (5, 14, 7, 7) u3 = (3, 8, 4, 4); v3 = (8, 22, 11, 6) Đáp số: 6a) u = (a, b, c, d) ∈ W ⇔ 18a − 6b − 3c − 4d = 0; ⎛ −2a + 2b − c ⎞ ⎛ −10a + 6b − c ⎞ ⎟ ⎟ 1⎜ 1⎜ [u]B = ⎜ −6a + 2b + 3c ⎟ ;[u]B = ⎜ 2a − 2b + 3c ⎟ ; 4⎜ 8⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 8a − 4b ⎠ ⎝ 4a − 4c ⎠ ⎛ 1 1⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 1⎜ PB → B = ⎜ 1 −1 ⎟ ; PB → B = ⎜ 1 ⎟ 2 2⎜ ⎜ −1 1 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −1 ⎠ 6b) u = (a, b, c, d) ∈ W ⇔ b − 2c = 0; [u]B PB 1 ⎛ 8a − 2b − 2d ⎞ ⎛ 70a − 26b + 2d ⎞ ⎟ ⎟ 1⎜ ⎜ b − 2d ⎟ ;[u]B = = ⎜ −42a + 12b + 12d ⎟ ; ⎜ 2⎜ 42 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −2a + 2d ⎠ ⎝ 14a − b − 8d ⎠ →B ⎛ −1 ⎞ ⎛ 10 −6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ = ⎜ −1 ⎟ ; PB → B = −3 ⎟ ⎜ 21 ⎜ ⎜ −2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎠ Bài Trong các trường hợp sau chứng tỏ B1 = (u1, u2, u3) và B2 = (v1, v2, v3) là hai sở R3 Tìm các ma trận chuyển sở từ B1 → B0, B2 → B0, B1 → B2, B2 → B1 (B0 là sở chính tắc) Cho u = (1, 2, 3), [v]B ⎛1⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −1 ⎟ Tìm v và [u]B ;[u]B ;[v]B ⎜2⎟ ⎝ ⎠ 37 (38) a) b) u1 = (1, 2, 2); v1 = (1, 0, 2) u2 = (1, –1, –1); v2 = (1, –1, 1) u3 = (0, 2, 3); v3 = (2, 2, 3) u1 = (2, –1, 3); v1 = (4, 1, 5) u2 = (1, –2, 3); v2 = (1, 0, 3) u3 = (2, 1, 0); v3 = (2, 1, 2) Đáp số: 7a) PB → B0 ⎛ −2 ⎞ ⎛ −5 −1 ⎞ ⎟ ⎟ 1⎜ 1⎜ = ⎜ −3 ⎟ ; PB → B = ⎜ −1 −2 ⎟ 3⎜ 3⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎛ −3 −4 ⎞ ⎛ −8 ⎟ 1⎜ 1⎜ PB → B = ⎜ ⎟ ; PB → B = ⎜ −2 2 3⎜ 3⎜ ⎟ ⎝ 6 3⎠ ⎝ 2 ⎛1⎞ ⎛ 5⎞ 1⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ v = (0,7, 9);[u]B = ⎜ ⎟ ;[u]B = ⎜ −4 ⎟ ;[v]B 2 3⎜ ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 10 ⎞ ⎟ −8 ⎟ −1 ⎟⎠ ⎛ 29 ⎞ ⎟ 1⎜ = ⎜ −25 ⎟ 3⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎛ −3 ⎞ ⎛ −4 − ⎞ ⎟ ⎟ 1⎜ 1⎜ 7b) PB → B = ⎜ −6 −4 ⎟ ; PB → B = ⎜ −3 2 ⎟ 3⎜ 3⎜ ⎟ ⎟ ⎝ −3 −3 ⎠ ⎝ −3 ⎠ ⎛ 19 12 10 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎟ ⎟ 1⎜ 1⎜ −1 −4 ⎟ PB → B = ⎜ −14 −9 −8 ⎟ ; PB → B = ⎜ −2 2 3⎜ 3⎜ ⎟ ⎟⎠ ⎝ −6 −6 −3 ⎠ ⎝ −10 −14 ⎛ 8⎞ ⎛ −8 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ v = (5, 3, 0);[u]B = ⎜ −7 ⎟ ;[u]B = ⎜ ⎟ ;[v]B = ⎜ −3 ⎟ 2 3⎜ ⎟ ⎜ −4 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 14 ⎠ ⎝ ⎠ Bài Trong không gian M2(R) cho ⎛1 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎛2 ⎞ ⎛4 A1 = ⎜ ⎟ ; A2 = ⎜ ⎟ ; A3 = ⎜ ⎟ ; A4 = ⎜ ⎝3 4⎠ ⎝5 7⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 17 ⎛ −1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛0 ⎞ ⎛0 B1 = ⎜ ⎟ ; B2 = ⎜ ⎟ ; B3 = ⎜ ⎟ ; B4 = ⎜ ⎝0 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝0 11 ⎞ ⎟; 25 ⎠ 0⎞ ⎟ 1⎠ a) Chứng tỏ B1 = (A1, A2, A3, A4) và B2 = (B1, B2, B3, B4) là hai sở M2(R) Tìm các ma trận chuyển sở từ B1 → B0, B2 → B0, B1 → B2, B2 → B1 (B0 là sở chính tắc) 38 (39) ⎛ −1 ⎞ ⎟ , [D]B ⎝ −1 ⎠ b) Cho C = ⎜ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 = ⎜ ⎟ vaø [E]B = ⎜ ⎟ Tìm D, E và [C]B ;[C]B ;[D]B vaø 2 ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝1⎠ ⎝1⎠ [E]B Đáp số: ⎛ −1 ⎞ ⎛1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 0⎟ −1 −2 −1 ⎟ ⎜ ⎜ 8a) PB → B = ;P = ⎜ −2 −1 ⎟ B → B ⎜ 1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −1 −1 ⎠ ⎝1 1 1⎠ ⎛ −1 −1 ⎞ ⎛ 1 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −5 −1 ⎟ 15 ⎟ ⎜ ⎜ PB → B = ;P = ⎜ −5 −1 ⎟ B → B ⎜ 17 32 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ 10 16 30 57 ⎠ ⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1⎞ ⎛ 14 ⎞ 5⎟ 0⎟ 19 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −6 ⎟ 8b)D = ⎜ ⎟;E = ⎜ ⎟ ;[C]B = ⎜ ⎟ ;[C]B = ⎜ ⎟ ;[D]B = ⎜ ⎟ ;[E]B1 = ⎜ ⎟ −4 41 ⎝ −1 ⎠ ⎝ 22 32 ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 73 ⎠ ⎝ 1⎠ Bài Trong không gian R3[x] cho u1(x) = x3 + x2; u2(x) = x + 1; u3(x) = x3 + 4; u4(x) = 2; v1(x) = x3 + 2x2 + 3x + 4; v2(x) = 2x3 – x2 + 4x – 3; v3(x) = 3x3 – 4x2 – x + 2; v4(x) = 4x3 + 3x2 –2x –1 a) Chứng tỏ B1= (u1, u2, u3, u4) và B2 = (v1, v2, v3, v4) là hai sở R3[x] Tìm các ma trận chuyển sở từ B1 → B0, B2 → B0, B1 → B2, B2 → B1 (B0 = (x3, x2, x, 1) là sở chính tắc) b) Cho u(x) = x3 − x2 + x − 1, [v]B ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎟ ⎜ = vaø [w]B = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝1⎠ Tìm v, w và [u]B ;[u]B ;[v]B vaø [w]B 2 Đáp số: 9a) PB → B0 ⎛ ⎜ 1⎜ 0 = ⎜ −2 ⎜⎜ ⎝ −4 −1 ⎛ 4⎞ 0⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟ ⎜ −1 −3 ⎟ ;P = ⎟ B → B 30 ⎜ −4 −1 ⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎠ −2 −1 ⎟⎠ ⎝4 39 (40) ⎛ ⎛ 17 ⎞ −2 −8 6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −2 −4 ⎟ 1⎜ ⎜ 1 −10 −6 ⎟ = PB → B = ;P 2 ⎜ −2 14 ⎟ B → B 30 ⎜ −1 11 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ −2 ⎟⎠ ⎝ −19 −25 −3 ⎠ ⎝ −3 ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ 1 ⎜ 5⎟ −1 9b)v = x + 3; w = 6x + 2x2 + 2x − 4;[u]B = ⎜ ⎟ ;[u]B = ;[v]B = ⎜ ⎟ ;[w]B = ⎜ 1 2 ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ 15 ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −5 ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎝ −11 ⎠ Bài 10 Trong các trường hợp sau, đặt B = B(m) = (u1, u2, u3) Tìm điều kiện để B là sở R3, đó tìm [u]B Đặt B1 = B(m1) và B2 = B(m2) Chứng tỏ B1, B2 là hai sở R3 và tìm ma trận chuyển sở từ B1 sang B2 và từ B2 sang B1 Cho biết: [v]B ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ vaø [w]B = ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tìm v, w và [v]B vaø [w]B a) b) u1 = (m–7, –10, –12); u2 = (12, m+19, 24); u3 = (–6, –10, m–13) u1 = (m + 2, m – 5, m + 5); u2 = (2, m – 2, 2); u3 = (1, –3, m+3); u = (m, 2m, 0) m1 = m2 = u = (1, –1, 1) m1 = m2 = Đáp số: ⎛ m(m − 17) ⎞ ⎜ ⎟ 10a) m ≠ ±1; [u] = ⎜ m(m − 14) ⎟ m −1⎜ ⎟ ⎝ −36m ⎠ ⎛ −13 24 −12 ⎞ ⎛ −15 24 −12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ 1⎜ PB → B = ⎜ −20 39 −20 ⎟ ; PB → B = ⎜ −20 37 −20 ⎟ 2 3⎜ ⎜ −24 48 −25 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −24 48 −27 ⎠ ⎛ −37 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ v = (−1, 0,1); w = (−17, −30, −34);[v]B = ⎜ ⎟ ;[w]B = ⎜ −60 ⎟ ⎜ −74 ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 40 (41) ⎛ m+2 ⎞ ⎜ ⎟ 10b) m ≠ 0; ±1; [u] = ⎜ −2m − ⎟ m −1⎜ ⎟ ⎝ −3 ⎠ ⎛ −6 −8 −6 ⎞ ⎛ 33 14 9⎞ ⎟ ⎟ 1⎜ ⎜ −37 −6 −21 ⎟ PB → B = ⎜ 16 15 ⎟ ; PB → B = ⎜ 2 2⎜ 40 ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 6 8⎠ ⎝ −6 19 ⎠ ⎛ 3⎞ ⎛ −9 ⎞ ⎜ ⎟ 1⎜ ⎟ v = (3, 0, 2); w = (9, −6, 26);[v]B = ⎜ −2 ⎟ ;[w]B = ⎜ 17 ⎟ 5⎜ ⎟ ⎜ 11 ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ ⎠ Bài 11 Trong không gian R3 cho các vectơ: u1 = (1, 0, 1); u2 = (0, 1, 1); u3 = (1, 1, 0) Gọi f là toán tử tuyến tính trên R3 định bởi: f(x, y, z) = (x – y, y – z, z – x) a) Chứng tỏ B1 = (u1, u2, u3) là sở R3 Tìm ma trận chuyển sở từ B1 sang sở chính tắc B0 R3 b) Tìm ma trận biểu diễn f theo sở B1 c) Cho u = (1, 2, 3) Hãy tìm tọa độ u và f(u) theo sở B1 d) Tìm sở và số chiều Im(f) và Ker(f) Ánh xạ f có là song ánh không? Giải thích Đáp số: ⎛ −1 ⎞ ⎟ 1⎜ 11a) PB → B = ⎜ −1 1 ⎟ ; 2⎜ ⎟ ⎝ 1 −1 ⎠ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 11c) [u]B = ⎜ ⎟ ;[f (u)]B = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 11b) [f]B ⎛ −1 ⎞ ⎟ 1⎜ = ⎜ −1 ⎟ ; 2⎜ ⎟ ⎝ −1 ⎠ 11d) dimKer(f) = với sở {(1,1,1)}; dimIm(f) = với sở {(1,0,−1); (0,1,−1)}; f không là song ánh vì Ker(f) ≠ {0} Bài 12 Trong không gian R3 cho các vectơ: u1 = (1, 0, 1); u2 = (0, 1, 1); u3 = (0, 0, 1) và f là toán tử tuyến tính trên R3 định bởi: f(x, y, z) = ((9m + 2)x + 3y + 2z, x+my + z, x + y + z) 41 (42) a) Chứng tỏ B1 = (u1, u2, u3) là sở R3 Xác định ma trận chuyển sở từ B1 sang sở chính tắc B0 R3 b) Tìm ma trận biểu diễn f theo sở B1 c) Cho u = (1, –1, 1) Hãy tìm tọa độ u và f(u) theo sở B1 d) Định m để f là song ánh Khi đó hãy tìm biểu thức f –1 e) Với m = hãy tìm sở và số chiều Im(f), Ker(f) Đáp số: ⎛ ⎜ 12a) PB → B = ⎜ 1 ⎜ −1 −1 ⎝ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 12c) [u]B = ⎜ −1 ⎟ ;[f (u)]B ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 9m + 1⎞ −2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0⎟; 12b) [f]B = ⎜ m + 1 ⎟; ⎜ −9m − − m − −2 ⎟ ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 9m + ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ − m⎟ ⎜ −2 − 8m ⎟ ⎝ ⎠ 12d) m ≠ 0;1; f −1 (x, y, z) = (m − 1)x − y − (2m − 3)z, 9my − 9mz, (1 − m)x − (9m − 1)y + (9m2 + 2m − 3)z ; 9m(m − 1) ( ) 12e) dimKer(f) = với sở {(−1,0,1)}; dimIm(f) = với sở {(1,−1,0); (0,3, 1)} Bài 13 Cho ánh xạ tuyến tính f: R3 → R3 định bởi: f(1, 1, 1) = (2, 5, 12); f(0, 1, 1) = (1, 3, 7); f(0, 0, 1) = (–1, 0, –1) a) Xác định biểu thức ánh xạ f b) Tìm sở và số chiều Im(f), Ker(f) Đáp số:13a) f(x,y,z) = (x+ 2y − z, 2x + 3y,5x+ 8y − z) 13b) dimKer(f) = với sở {(−3,2,1)}; dimIm(f) = với sở {(1,0,1); (0,1,2)} Bài 14 Cho ánh xạ tuyến tính f: R3 → R3 phụ thuộc tham số m ∈ R thỏa: f(1, –2, 1) = (m + 1, – m, 2m – 5); f(2, –1, 0) = (2m + 1, m – 1, 2m + 1); f(1, 0, 0) = (m + 1, m – 2, m + 2) a) Xác định biểu thức ánh xạ f b) Định m để f là song ánh Khi đó tìm biểu thức f–1 c) Với m = 4, hãy tìm sở và số chiều Im(f), Ker(f) 42 (43) Đáp số: 14a) f(x,y,z) = ((m + 1)x+ y+ 2z, (m − 2)x + (m − 3)y + z, (m + 2)x + 3y + (m − 1)z); 14b) m ≠ 0; 2; 4; f −1 (x, y, z) = ⎛ m(m − 4)x − (m − 7)y − (2m − 7)z, − m(m − 4)x + (m2 − 2m − 5)y + (m − 5)z, ⎞ ⎜ ⎟; ⎟ m3 − 6m2 + 8m ⎝⎜ −m(m − 4)x − (2m + 1)y + (m2 − 3m − 1)z ⎠ 14c) dimKer(f) = với sở {(1,1, −3)}; dimIm(f) = với sở {(1,0,0); (0,1,3)} Bài 15 Cho ánh xạ tuyến tính f: R3 → R3 phụ thuộc tham số m ∈ R thỏa: f(1, –2, 1) = (m – 4, – 2m, 0); f(2, –1, 0) = (2m – 4, – 2m, m + 2); f(1, 0, 0) = (m – 1, 2, m + 2) a) Xác định biểu thức ánh xạ f b) Định m để f là song ánh Khi đó tìm biểu thức f –1 c) Với m = –2, hãy tìm sở và số chiều Im(f), Ker(f) Đáp số: 15a) f(x,y,z) = ((m − 1)x+ 2y+ z, 2x + 2my + (2m + 2)z, (m + 2)x + (m + 2)y + (m + 2z); 15b) m ≠ −2; f −1 (x, y, z) = ⎛ −(2m + 4)x − (m + 2)y + (2m + 4)z, 2m(m + 2)x + (m2 − 4)y − 2(m2 − 2)z, ⎞ ⎜ ⎟⎟ ; 4m + ⎜⎝ 2(1 − m)(m + 2)x − (m − 3)(m + 2)y + 2(m + 1)(m − 2)z ⎠ 15c) dimKer(f) = với sở {(0, −1,2)}; dimIm(f) = với sở {(1, −2,0); (0,1,0)} ⎛a b⎞ Bài 16 Trong không gian M2(R) cho ma trận A = ⎜ ⎟ và ánh xạ f: V → V định f(X) = ⎝ c d⎠ AX a) Chứng minh f là toán tử tuyến tính trên V b) Tìm điều kiện để f là song ánh c) Tìm ma trận biểu diễn f theo sở chính tắc V Đáp số: 17b) ad – bc ≠ 0, ⎛a ⎜ 17c) ⎜ ⎜c ⎜⎜ ⎝0 b 0⎞ ⎟ a b⎟ d 0⎟ ⎟ c d ⎟⎠ Bài 17 Tìm trị riêng và vectơ riêng các ma trận sau: 43 (44) ⎛ −5 ⎞ a) ⎜⎜ −7 ⎟⎟ ⎜ −9 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎞ b) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎛1 2⎞ c) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ 0⎞ ⎛ 0 ⎜ ⎟ 1 −4 −8 ⎟ ⎜ d) ⎜ −4 −4 ⎟ ⎜ ⎟ 1⎠ ⎝ −1 −8 −4 Đáp số: 17a) Trị riêng: 0; Tập các vectơ ứng với trị riêng là {(α,2α,3α)| α∈ R\{0}}, ứng với trị riêng là {(α,α,α)| α∈ R\{0}} 17b) Trị riêng: −2; Tập các vectơ ứng với trị riêng −2 là {(0,0,α)| α∈ R\{0}}, ứng với trị riêng là {(3α,0,5α)| α∈ R\{0}} 17c) Trị riêng: 0; 1; Tập các vectơ ứng với trị riêng là {(−2α,0,α)| α∈ R\{0}}, ứng với trị riêng là {(α,0,0)| α∈ R\{0}}; ứng với trị riêng là {(0, α,0)| α∈ R\{0}} 17d) Trị riêng: 1; −9; Tập các vectơ ứng với trị riêng là {(40α,−α,−8α, 9α)| α∈ R\{0}}, ứng với trị riêng −9 là {(0, 2α, α, 2α)| α∈ R\{0}}; ứng với trị riêng là {(0,−α −β, 2β, α)| α, β ∈ R, α2 + β2 > 0} Bài 18 Khảo sát tính chéo hóa các ma trận sau: ⎛2 a) ⎜⎜ ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ d) ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 0⎞ ⎟ 0⎟ 2 ⎟⎠ 0 0⎞ ⎟ 0 −4 ⎟ 4⎟ ⎟ 1 ⎠ ⎛ 0 −1 ⎞ b) ⎜⎜ −3 ⎟⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛0 0 ⎞ c) ⎜⎜ −9 ⎟⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −1 −2 ⎞ e) ⎜⎜ −3 ⎟⎟ ⎜ −3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −40 −56 −63 ⎞ f) ⎜⎜ 56 100 126 ⎟⎟ ⎜ −28 −56 −75 ⎟ ⎝ ⎠ Đáp số: 18a) Chéo hóa được; 18b) Không chéo hóa được; 18c) Không chéo hóa được; 18d) Không chéo hóa được; 18e) Chéo hóa được; 18f) Chéo hóa Bài 19 Với giá trị nào các tham số a, b, c, d, e, f ∈ R, ma trận sau đây chéo hoá được? ⎛1 ⎜ a) ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 a 0 b d ⎛a ⎜ d) ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 a 0 b d c⎞ ⎟ e⎟ f⎟ ⎟ 2⎠ c⎞ ⎟ e⎟ f⎟ ⎟ 2⎠ ⎛1 ⎜ b) ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 a 0 b d ⎛a ⎜ e) ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 b a 0 b d c⎞ ⎟ e⎟ f⎟ ⎟ 2⎠ c⎞ ⎟ e⎟ f⎟ ⎟ 2⎠ ⎛1 ⎜ c) ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 a 0 b d ⎛a ⎜ f)⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 b a 0 b d a 44 c⎞ ⎟ e⎟ f⎟ ⎟ 2⎠ c⎞ ⎟ e⎟ f⎟ ⎟ 2⎠ (45) Đáp số: 19a) d = e = f = 19b) a = f = 19c) a = b = d = 19d) a ≠ 2, d = e = f = 19e) a = 2, b = c = d = e = f = a ≠ 2, b = f = 19f) a = 2, b = c = d = e = f = a ≠ 2, b = d = Bài 20 Chéo hóa các ma trận sau đây: ⎛ −3 −2 ⎞ a) ⎜⎜ −2 −2 ⎟⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ −8 ⎞ ⎛ −3 ⎜ b) ⎜ 22 −21 44 ⎟⎟ ⎜ 12 −12 25 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −8 26 −13 ⎞ c) ⎜⎜ 26 31 −26 ⎟⎟ ⎜ 26 52 −47 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ −4 −8 ⎞ d) ⎜⎜ −4 −4 ⎟⎟ ⎜ −8 −4 ⎟ ⎝ ⎠ Đáp số: ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ 20a) P = ⎜ ⎟ ; P AP = ⎜ ⎟ ; ⎜ 1⎟ ⎜ 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 −2 ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ 20b) P = ⎜ 11 ⎟ ; P AP = ⎜ ⎟ ; ⎜ 1⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −2 ⎞ ⎛ 18 0⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ 20c) P = ⎜ ⎟ ; P AP = ⎜ −21 0⎟ ; ⎜ 1⎟ ⎜ 0 −21 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ −1 −1 ⎞ ⎛ −9 0 ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ 20d) P = ⎜ ⎟ ; P AP = ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎜ 0 9⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ Bài 21 Cho ma trận A = ⎜ −1 ⎟ Tính A100 ⎜ 1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 ⎛ −1 − ⎞ ⎛ −1 0 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ 100 Đáp số: 21) P = ⎜ −1 1 ⎟ ; P AP = ⎜ ⎟ ; A = P ⎜ 2100 ⎜⎜ ⎜ 0⎟ ⎜ 0 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0 Bài 22 Tìm trị riêng và vectơ riêng các toán tử tuyến tính sau; 45 ⎞ ⎟ ⎟ P −1 ⎟ 3100 ⎟⎠ (46) a) f: R3 → R3 định f(x,y,z) = (2x + 4z, 6y, 0) b) f: R4 → R4 định f(x,y,z,t)= (−x,−x − y + 4z + 8t,−2x + 4y − 7z + 4t, x + 8y + 4z−t) Đáp số: 22a) Trị riêng: 0; 2; Tập các vectơ ứng với trị riêng là {(−2α,0,α)| α∈ R\{0}}, ứng với trị riêng là {(α,0,0)| α∈ R\{0}}; ứng với trị riêng là {(0, α,0)| α∈ R\{0}} 22b) Trị riêng: −1; −9; Tập các vectơ ứng với trị riêng −1 là {(40α,−α,−8α, 9α)| α∈ R\{0}}, ứng với trị riêng −9 là {(0,−α −β, 2β, α)| α, β ∈ R, α2 + β2 > 0}; ứng với trị riêng là {(0, 2α, α, 2α)| α∈ R\{0}} Bài 23 Khảo sát tính chéo hóa các toán tử tuyến tính f: R3 → R3 định bởi: a) f(x,y,z) = (0, x − 9z, y + 6z) b) f(x,y,z) = (40x + 56y + 63z, −56x − 100y − 126z, 28x + 56y + 75z) Đáp số: 23a) Không chéo hóa 23b) Chéo hóa Bài 24 Chéo hóa các ma trận các toán tử tuyến tính f: R3 → R3 sau đây: a) f(x,y,z) = (8x − 26y + 13z, −26x − 31y + 26z, −26x − 52y + 47z) b) f(x,y,z) = (−2x + 8y + 16z, 8x − 14y + 8z, 16x + 8y −2z) Đáp số: 24a) B = ((1,2,2);( − 2,1,0);(1,0,1));[f ]B ⎛ −18 0 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 21 ⎟ ; ⎜ 0 21 ⎟ ⎝ ⎠ 24b) B = ((2,1, 2); (−1, 2, 0); (−1, 0,1));[f ]B ⎛ 18 0⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ −18 0⎟ ⎜ 0 −18 ⎟⎠ ⎝ Bài 25 Chứng minh u là vectơ riêng ứng với trị riêng λ ma trận A thì u là vectơ riêng An ứng với trị riêng λn 46 (47)