Đang tải... (xem toàn văn)
iii Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử trong đó mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch được gọi là một trường.. là một trường khi và chỉ khi các tính chất sau đây được th[r]
(1)1 ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG (2) Chöông I NHOÙM §1 Phép toán hai ngôi 1.1 Ñònh nghóa Phép toán hai ngôi (gọi tắt là phép toán) trên tập hợp X là moät aùnh xaï f : X × X −→ X (x, y) −→ f(x, y) Ta duøng kyù hieäu xfy thay cho f(x, y) 1.2 Ñònh nghóa Cho phép toán ∗ trên tập hợp X Ta nói phép toán ∗: (i) giao hoán, với x, y ∈ X, x ∗ y = y ∗ x; (ii) kết hợp, với x, y, z ∈ X, (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z); (iii) có phần tử trung hòa trái (tương ứng, phải) là e e ∈ X và với x ∈ X, e ∗ x = x (tương ứng, x ∗ e = x) Nếu e vừa là phần tử trung hòa trái vừa là phần tử trung hòa phải thì ta nói e là phần tử trung hòa phép toán ∗ (3) §2 Khaùi nieäm veà nhoùm 2.1 Ñònh nghóa Nhóm là vị nhóm mà phần tử khả đối xứng Nói cách khác, tập hợp G khác rỗng với phép toán nhân gọi là nhóm các tính chất sau thỏa: (G1 ) Với x, y, z ∈ G, (xy)z = x(yz); (G2 ) Tồn e ∈ G cho với x ∈ G, ex = xe = x; (G3 ) Với x ∈ G, tồn x−1 ∈ G cho xx−1 = x x = e −1 Nếu phép toán trên G là cộng thì các tính chất trên trở thành: (G1 ) Với x, y, z ∈ G, (x + y) + z = x + (y + z); (G2 ) Tồn ∈ G cho với x ∈ G, 0+x = x+0 = x; (G3 ) Với x ∈ G, tồn −x ∈ G cho x + (−x) = (−x) + x = Trường hợp phép toán trên nhóm G giao hoán thì ta nói G là nhóm giao hoán hay là nhóm Abel Nhóm G gọi là nhóm hữu hạn tập hợp G hữu hạn Khi đó số phần tử G gọi là cấp nhóm G Nếu nhóm G không hữu hạn thì ta nói G là nhóm vô hạn 2.2 Định lý Cho nhóm (G, ) và x, y, x1, , xn ∈ G Khi đó: (i) Phần tử đơn vị e là (ii) Phần tử nghịch đảo x−1 x là và (x−1 )−1 = x (iii) xy = e và yx = e Hơn đó y = x−1 (4) (iv) (x1 xn)−1 = xn −1 x1−1 Ñaëc bieät (xn )−1 = (x−1 )n với n nguyên dương (v) Phép toán nhân có tính giản ước, nghĩa là với x, y, z ∈ G, từ đẳng thức xy = xz hay yx = zx dẫn đến y = z 2.3 Kyù hieäu Trong nhóm nhân (G, ), với x ∈ G và n nguyên dương ta ñaët: x0 = e xn = x.x x(ncopy) x−n = (x−1 )n Khi đó với m, n nguyên xm xn = xm+n vaø (xm )n = xmn , ∀m, n ∈ Z Ký hiệu tương ứng xn cho nhóm cộng (G, +) là nx Khi đó mx + nx = (m + n)x vaø m(nx) = (mn)x 2.4 Định lý Cho (G, ) là nửa nhóm khác rỗng Các mệnh đề sau tương đương: (i) (G, ) laø moät nhoùm; (ii) Với a, b ∈ G, các phương trình ax = b và ya = b có nghiệm G; (iii) Trong G có phần tử đơn vị trái e và với x ∈ G, tồn taïi x ∈ G cho xx = e; (iv) Trong G có phần tử đơn vị phải e và với x ∈ G, toàn taïi x ∈ G cho xx = e (5) Bài 1.8 Cho nhóm (G, ) Giả sử tồn ba số nguyên i liên tiếp cho với x, y ∈ G, (xy)i = xiy i Chứng minh G giao hoán (6) §3 Nhóm hoán vị 3.1 Ñònh nghóa Cho tập hợp X = Ø gồm n phần tử (ta có thể đồng X với {1, 2, · · · , n}) Khi đó tập hợp Sn gồm tất các song ánh từ X vào X là nhóm với phép hợp nối ánh xạ Ta gọi Sn là nhóm hoán vị bậc n Nhóm hoán vị Sn là nhóm hữu hạn có cấp n!, có phần tử trung hòa là ánh xạ đồng IdX và phần tử nghịch đảo σ ∈ Sn là ánh xạ ngược σ −1 Nhóm này không giao hoán n ≥ 3.2 Một số thuật ngữ và ký hiệu 1) Phép hoán vị σ ∈ Sn gọi là r-chu trình hay chu trình có chiều dài r tồn các phần tử phân biệt i1, i2, , ir ∈ X cho σ(i1) = i2, · · · , σ(ir−1) = ir , σ(ir ) = i1 và σ(i) = i, ∀i ∈ X \ {i1 , i2, · · · , ir } Khi đó ta viết σ = (i1i2 · · · ir ) Hai chu trình σ = (i1i2 · · · ir ), σ = (j1 j2 · · · js ) gọi là rời hay độc lập {i1 , i2, · · · , ir }∩{j1 , j2 , · · · , js } = Ø 2) Mỗi 2-chu trình Sn gọi là chuyển vị Như chuyển vị có dạng (i j) với ≤ i = j ≤ n 3.3 Nhaän xeùt Hai chu trình σ và τ rời thì chúng giao hoán lẫn nhau, nghóa laø στ = τ σ 3.4 Định lý Mọi phép hoán vị bậc n khác ánh xạ đồng phân tích thành tích các chu trình rời có chiều dài lớn hay Cách phân tích là sai khác đổi chỗ các chu trình (7) 3.5 Bổ đề Mọi chu trình Sn phân tích thành tích cuûa caùc chuyeån vò 3.6 Định lý Mọi phép hoán vị σ Sn phân tích thaønh tích cuûa caùc chuyeån vò Caùch phaân tích khoâng nhaát nhöng tính chaün leû cuûa soá caùc chuyeån vò k phaân tích laø nhaát Ñaët sgn(σ) = (−1)k Neáu k chaün, nghóa laø sgn(σ) = 1, thì ta nói σ là hoán vị chẵn Nếu k lẻ, nghĩa là sgn(σ) = −1, thì ta nói σ là hoán vị lẻ 3.7 Định lý Với σ, τ ∈ Sn thì sgn(στ ) = sgn(σ)sgn(τ ) 3.8 Heä quaû Neáu σ laø moät r-chu trình thì (i) sgn(σ) = (−1)r−1 ; (ii) σ chaün ⇔ r leû; vaø σ leû ⇔ r chaün Bài 1.10 Chứng minh nhóm hoán vị Sn , hoán vị có cấp lẻ thì đó phải là hoán vị chẵn Xét chiều đảo Bài 1.11 Trong nhóm hoán vị S10, xét các phép hoán vị 10 ; σ1 = 10 σ2 = (1 7)(2 5)(1 3) a) Viết σ1 và σ2 dạng tích các chu trình rời và dạng tích các chuyển vị Suy tính chẵn, lẻ và cấp chuùng b) Viết σ1 σ2; σ22; σ2−1 ; σ2−2; σ12σ2 ; σ1σ22 dạng tích các chu trình rời Xét tính chẵn, lẻ và cấp chúng c) Tìm σ ∈ Sn thoûa σ1σσ2−2 = σ13 Bài 1.14 Xét nhóm hoán vị Sn và σ là k-chu trình (8) Chứng minh với l ∈ N, σ l là k-chu trình và (k, l) = Bài 1.44 Xét nhóm hoán vị S4 Chứng minh tập hợp K = {Id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} laø nhoùm chuaån taéc cuûa G (Ta goïi K laø nhoùm Klein) Bài 1.45 Chứng minh rằng: a) Nhóm hoán vị Sn sinh các chuyển vị b) Nhoùm thay phieân An laø nhoùm chuaån taéc cuûa Sn vaø sinh các 3-chu trình c) Nếu H là nhóm chuẩn tắc An và H có chứa ít nhaát moät 3-chu trình thì H = An (9) §4 Nhoùm 4.1 Ñònh nghóa Nhoùm H cuûa nhoùm G laø moät taäp oån ñònh cuûa nhoùm G cho cùng với phép toán cảm sinh H là nhóm Ký hiệu H ≤ G để H là nhóm G 4.2 Ñònh lyù Cho H laø moät taäp khaùc roãng cuûa nhoùm (G, ) Các mệnh đề sau tương đương: (i) H ≤ G; (ii) Với x, y ∈ H, xy ∈ H và x−1 ∈ H; (iii) Với x, y ∈ H, x−1 y ∈ H 4.3 Ví duï 1) Các tập hợp {e} và G là các nhóm G Ta gọi đây là các nhóm tầm thường G 2) Gọi An là tập hợp gồm tất hoán vị chẵn nhóm hoán vị Sn Khi đó An ≤ Sn Ta gọi An là nhóm thay phieân baäc n 3) Tập hợp SL(n, R) gồm các ma trận vuông cấp n với hệ số thực có định thức là nhóm nhóm tuyến tính đầy đủ GL(n, R) Ta gọi SL(n, R) là nhóm tuyến tính đặc bieät baäc n treân R 4.4 Ñònh lyù Giao cuûa moät hoï khoâng roãng caùc nhoùm cuûa moät nhoùm G cuõng laø nhoùm cuûa G 4.5 Ñònh nghóa Cho S là tập nhóm G Nhóm sinh S là nhóm nhỏ G chứa S và ký hiệu là S Tập hợp S gọi là tập sinh nhóm S Nếu S hữu (10) hạn: S = {x1, , xn} thì ta nói S là nhóm hữu hạn sinh với các phần tử sinh x1 , , xn mà ta thường ký hiệu nhóm này là x1 , , xn 4.6 Định lý Cho S là tập nhóm G Khi đó: (i) Neáu S = Ø thì S = {e} (ii) Neáu S = Ø thì S = {x1 ε1 xnεn |n ∈ N∗, xi ∈ S, εi = ±1} 4.7 Chuù yù Neáu H vaø K laø hai nhoùm cuûa nhoùm G thì H ∪K khoâng thiết là nhóm G Ta ký hiệu H ∨ K để nhóm sinh H ∪ K Bài 1.15b Chứng minh rằng: x y 2 H = | x; y ∈ Q; x + y > laø moät nhoùm 2y x cuûa nhoùm (GL(2, Q), ) Ví duï Cho nhoùm (G, ) vaø H, K laø hai nhoùm cuûa G Chứng minh HK là nhóm G và HK = KH Baøi 1.18 Cho (G, ) laø moät nhoùm vaø H laø moät nhoùm G Chứng minh với x ∈ G, tập hợp x−1Hx là nhóm G (Ta gọi đây là các nhóm liên hợp với H) Bài 1.20 Cho H, K là các nhóm nhóm G Chứng minh raèng H ∪ K laø nhoùm cuûa G vaø chæ H ⊂ K hay K ⊂ H Baøi 1.22 Cho (G, ) laø moät nhoùm Abel vaø H laø moät nhoùm G Với n ∈ N ta đặt Hn = {x ∈ G| xn ∈ H}.Chứng 10 (11) minh với m, n ∈ N ta có a) Hn là nhóm G, và Hn chứa H b) Hm ∩ Hn = Hd , đó d = (m, n) Suy điều kiện để Hm ∩ Hn = H Baøi 1.23 Cho (G, ) laø moät nhoùm Abel vaø H laø moät nhoùm G Đặt K = {x ∈ G| ∃n ∈ N∗, xn ∈ H} Chứng minh raèng a) K là nhóm chuẩn tắc G, và K chứa H b) nhóm thương G/K không có phần tử nào có cấp hữu hạn lớn Baøi 1.24 Cho nhoùm (G, ) vaø H, K laø hai nhoùm cuûa G Chứng minh H và K có số hữu hạn G thì nhóm H ∩ K có số hữu hạn G Bài 1.25 Cho nhóm (G, ) hữu hạn và H, K là hai nhóm G Chứng minh |HK||H ∩ K| = |H||K| 11 (12) §5 Nhoùm cyclic vaø nhoùm cyclic 5.1 Ñònh nghóa Cho G là nhóm Nhóm a G sinh phần tử a ∈ G gọi là nhóm cyclic sinh a Nếu tồn phần tử a ∈ G cho a = G thì ta nói G là nhóm cyclic và a là phần tử sinh G 5.2 Mệnh đề Nhóm cyclic sinh a là tập hợp gồm tất các lũy thừa an với n ∈ Z, nghĩa là a = {an | n ∈ Z} Cho (G, ) laø moät nhoùm vaø a ∈ G Xeùt nhoùm cyclic a Khi đó có hai trường hợp có thể xảy ra: Trường hợp Tất các lũy thừa an (n ∈ Z) khác đôi Trong trường hợp này a là nhóm vô hạn Trường hợp Tồn lũy thừa a nhau, chẳng hạn ak = al (k > l) Khi đó ak−l = e với k − l > Do đó tồn số nguyên dương m cho am = e Gọi n là số nguyên dương nhỏ cho an = e Khi đó các phần tử e, a, , an−1 ñoâi moät khaùc vaø a = {e, a, , an−1} Thaät vậy, với ≤ i < j ≤ n − 1, vì < j − i < n nên tính chất nhỏ n suy aj−i = e, nghĩa là aj = Hơn nữa, với x ∈ a , toàn taïi m ∈ Z cho x = am Chia m cho n ta tìm q, r ∈ Z với ≤ r ≤ n − cho m = qn + r Khi đó x = am = aqn+r = (an )q ar = eq ar = ar , và khẳng định trên chứng minh Tóm lại, tất các lũy thừa a khác thì a là nhóm vô hạn, còn tồn lũy thừa a thì a là nhóm hữu hạn cấp n: a = {e, a, , an−1}, 12 (13) đó n là số nguyên dương nhỏ cho an = e Từ ñaây ta coù ñònh nghóa sau: 5.3 Ñònh nghóa Cấp phần tử a nhóm G là cấp nhóm cyclic a Ta thường ký hiệu o(a) hay |a| để cấp phần tử a 5.4 Heä quaû Cho (G, ) laø moät nhoùm vaø a ∈ G Ta coù: (i) a có cấp vô hạn và với k ∈ Z, ak = e thì k = (ii) a có cấp hữu hạn và tồn k ∈ Z∗ cho ak = e (iii) Nếu a có cấp hữu hạn thì cấp a là số nguyên dương n nhỏ cho an = e Hơn nữa, đó với k ∈ Z, ak = e vaø chæ k laø boäi soá cuûa n 5.5 Ví duï 1) Nhóm cộng các số nguyên Z là nhóm cyclic sinh 2) Với n nguyên dương, quan hệ đồng dư modulo n trên Z định x ≡ y(mod n) ⇔ x − y chia heát cho n Đây là quan hệ tương đương trên Z với các lớp tương đương laø x = {x + kn|k ∈ Z} Tập thương Z theo quan hệ đồng dư modulo n định Zn = {x|x ∈ Z} = {0, 1, , n − 1} Trên Zn ta định nghĩa phép toán cộng sau: x + y = x + y 13 (14) Khi đó Zn trở thành nhóm giao hoán Hơn nữa, Zn là nhóm cyclic hữu hạn cấp n sinh Ta gọi Zn là nhóm cộng caùc soá nguyeân modulo n 3) Trong nhóm hoán vị Sn , r-chu trình σ = (i1 i2 ir ) luôn luôn có cấp r vì σ r = Id và σ l = Id với < l < r 5.6 Định lý Mọi nhóm nhóm cyclic là nhóm cyclic Hơn nữa, H ≤ a và H = {e} thì H = an đó n là số nguyên dương nhỏ cho an ∈ H 5.7 Heä quaû H laø moät nhoùm cuûa nhoùm coäng caùc soá nguyên Z và H có dạng nZ = {nk|k ∈ Z} với n∈N Bài 1.26 Chứng minh nhóm hoán vị Sn , k-chu trình có cấp k và cấp tích các chu trình rời baèng boäi chung nhoû nhaát cuûa caùc caáp cuûa caùc chu trình naøy Bài 1.27 a) Hãy mô tả tất các phần tử có cấp 20 S9 b) Chứng minh S9 không tồn phần tử nào có caáp 18 Bài 1.29 Tìm hai phần tử a, b nhóm G cho a, b có cấp hữu hạn ab lại có cấp vô hạn Bài 1.30 Cho nhóm (G, ) và a, b ∈ G Chứng minh a) Caáp cuûa ab baèng caáp cuûa ba b) Caáp cuûa a−1 baèng caáp cuûa a c) Giả sử ab = ba và a có cấp r, b có cấp s, đó r, s nguyên tố cùng nhau; đó ab có cấp rs d) Giả sử ab = ba và a có cấp r, b có cấp s, đó a ∩ b = {e}; đó ab có cấp [r, s] 14 (15) Bài 1.31 Chứng minh G là nhóm có phần tử và có hai nhóm là {e} và G thì G phải là nhoùm cyclic caáp nguyeân toá Bài 1.32 Chứng minh điều kiện cần và đủ để nhóm G có hữu hạn nhóm là G hữu hạn Bài 1.34 Cho nhóm cyclic G = x hữu hạn cấp n Chứng minh với k, l ∈ Z ta có a) Cấp xk n/d, đó d = (n, k) b) xk = xl vaø chæ (n, k) = (n, l) c) G = xk và (n, k) = Từ đó suy số các phần tử sinh G d) Haõy moâ taû taát caû caùc nhoùm cuûa G Bài 1.35 Cho hai nhóm G1 và G2 , đó nhóm có ít hai phần tử Chứng minh nhóm G1 × G2 cyclic và G1 và G2 là các nhóm cyclic hữu hạn có cấp nguyên toá cuøng 15 (16) §6 Nhoùm chuaån taéc vaø nhoùm thöông 6.1 Ñònh lyù Cho (G, ) laø moät nhoùm vaø H laø moät nhoùm cuûa G Xeùt quan heä ∼ treân G nhö sau: x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H Khi đó (i) ∼ laø moät quan heä töông ñöông treân G (ii) Lớp tương đương chứa x là x = xH, đó xH = {xh|h ∈ H} Ta gọi xH là lớp ghép trái H (bởi phần tử x) Tập hợp thương G theo quan hệ ∼, ký hiệu là G/H, gọi là taäp thöông cuûa G treân H vaø |G/H| laø chæ soá cuûa nhoùm H G, kyù hieäu laø [G : H] 6.2 Chuù yù Hoàn toàn tương tự, ta định nghĩa quan hệ ∼ trên G nhö sau: x ∼ y ⇔ xy −1 ∈ H Khi đó ∼ là quan hệ tương đương trên G và lớp tương đương chứa x là x = Hx, đó Hx = {hx|h ∈ H} Ta gọi Hx là lớp ghép phải H (bởi phần tử x) 6.3 Định lý Lagrange Cho G là nhóm hữu hạn và H là nhóm G Khi đó |G| = |H|[G : H] 16 (17) 6.4 Hệ Cho G là nhóm hữu hạn Khi đó: (i) Cấp nhóm G là ước số cấp cuûa G (ii) Cấp phần tử thuộc G là ước số cấp cuûa G (iii) Neáu G coù caáp nguyeân toá thì G laø nhoùm cyclic vaø G sinh phần tử khác e 6.5 Ñònh nghóa Một nhóm H nhóm (G, ) gọi là chuẩn tắc với x ∈ G và h ∈ H, x−1 hx ∈ H Ký hiệu H G để chæ H laø moät nhoùm chuaån taéc cuûa G 7.6 Mệnh đề Cho H là nhóm nhóm (G, ) Các mệnh đề sau tương đương: (i) H G; (ii) ∀x ∈ G, x−1 Hx ⊂ H; (iii) ∀x ∈ G, x−1 Hx = H; (iv) ∀x ∈ G, xH = Hx; đó x−1 Hx = {x−1hx|h ∈ H} 6.6 Nhaän xeùt 1) Nếu G giao hoán thì nhóm G chuẩn taéc 2) Các nhóm tầm thường {e} và G chuẩn tắc G 6.7 Ví duï 1) Nhoùm thay phieân baäc n laø nhoùm chuaån taéc cuûa nhoùm 17 (18) hoán vị Sn vì với hoán vị chẵn τ ta có σ −1 τ σ là hoán vị chẵn với hoán vị σ ∈ Sn 2) Nhoùm tuyeán tính ñaëc bieät SL(n, R) laø nhoùm chuaån tắc nhóm tuyến tính đầy đủ GL(n, R) vì với X ∈ GL(n, R) vaø A ∈ SL(n, R) ta coù det(X −1 AX) = (detX)−1 (detA)(detX) = det(A) = 1, nghóa laø X −1 AX ∈ SL(n, R) 6.8 Ñònh lyù Cho G laø moät nhoùm vaø H laø nhoùm chuaån tắc G Khi đó tập thương G/H cùng với phép toán nhân định (xH)(yH) = xyH là nhóm, gọi là nhóm thương G trên H (phần tử đơn vị G/H là lớp eH = H, đó e là phần tử đơn vị G, còn phần tử nghịch đảo lớp xH chính là x−1 H) 6.9 Ví duï 1) Vì nhóm cộng các số nguyên Z giao hoán nên với n nguyeân döông nhoùm nZ chuaån taéc Z Nhoùm thöông Z/nZ chính laø nhoùm coäng Zn caùc soá nguyeân modulo n 2) Ta có An Sn Nếu σ và τ là hai hoán vị lẻ thì σ −1τ là hoán vị chẵn nên σ −1 τ ∈ An , từ đó σAn = τ An Điều này chứng tỏ nhóm thương Sn /An có đúng hai phần tử: Sn /An = {An , An }, đó An = Sn \ An Baøi 1.38 Cho H, K laø hai nhoùm cuûa nhoùm (G, ) Chứng minh rằng: a) Neáu H chuaån taéc G thì HK laø nhoùm cuûa G 18 (19) b) Nếu H, K chuẩn tắc G thì HK là nhóm chuaån taéc cuûa G Baøi 1.39 Cho H, K laø hai nhoùm chuaån taéc cuûa nhoùm (G, ) thỏa H ∩ K = {e} Chứng minh xy = yx với x ∈ H, y ∈ K Bài 1.40 Cho nhóm (G, ) và S ⊂ G thỏa x−1 Sx ⊂ S với x ∈ G Chứng minh S chuẩn tắc G Bài 1.41 Cho G là nhóm hữu hạn và H là nhóm G có số [G : H] = Chứng minh H là nhóm chuaån taéc cuûa G Haõy toång quaùt hoùa keát quaû treân Bài 1.43 Cho nhóm (G, ) Ta gọi hoán tử hai phần tử x và y G là phần tử [x, y] = x−1 y −1 xy Nhóm G sinh tất các hoán tử các phần tử G gọi là nhóm hoán tử G và ký hiệu là [G, G] Chứng minh raèng: a) [G, G] laø nhoùm chuaån taéc cuûa G b) Với H là nhóm chuẩn tắc G, nhóm thương G/H giao hoán và [G, G] ⊂ H Suy nhóm thương G/[G, G] giao hoán 19 (20) §7 Đồng cấu 7.1 Ñònh nghóa Một ánh xạ f từ nhóm G vào nhóm G gọi là đồng cấu (nhóm) f bảo toàn phép toán, nghĩa là với x, y ∈ G, f(xy) = f(x)f(y) Một đồng cấu từ nhóm G vào G gọi là tự đồng cấu G Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi là tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu từ nhóm G vào nhóm G thì ta nói G đẳng cấu với G , ký hiệu G G 7.2 Ví duï 1) Ánh xạ đồng idG nhóm G là tự đẳng cấu, gọi là tự đẳng cấu đồng G 2) Giả sử H là nhóm nhóm G Khi đó ánh xạ bao haøm iH : H −→ G (iH (x) = x) laø moät ñôn caáu, goïi laø ñôn caáu chính taéc 3) Giả sử H là nhóm chuẩn tắc nhóm G Khi đó ánh xạ π : G −→ G/H định π(x) = xH là toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc 4) Giả sử G và G là hai nhóm tùy ý Khi đó ánh xạ f : G −→ G định f(x) = e (e là phần tử trung hòa G ) là đồng cấu, gọi là đồng cấu tầm thường 5) Ánh xạ x → cos 2πx + i sin 2πx là đồng cấu từ nhóm cộng các số thực R vào nhóm nhân các số phức khác không C∗ 20 (21) 6) Ánh xạ x → ex là đẳng cấu từ nhóm cộng các số thực R lên nhóm nhân R+ các số thực dương 7) Ánh xạ x → ln x là đẳng cấu từ nhóm nhân R+ các số thực dương lên nhóm cộng các số thực R 8) Ánh xạ sgn : Sn −→ ({−1; 1}, ) là đồng cấu 9) Ánh xạ det : GL(n, R) −→ R∗ là toàn cấu 10) Cho (G, ) laø moät nhoùm vaø a ∈ G AÙnh xaï ϕa : G −→ G định ϕa (x) = axa−1 là tự đẳng cấu G Thật vậy, ϕa là đồng cấu vì ∀x, y ∈ G, ϕa (xy) = a(xy)a−1 = (axa−1)(aya−1) = ϕa (x)ϕa(y) Mặt khác, ϕa là song ánh vì với y ∈ G, tồn x = a−1 ya ∈ G cho y = ϕa(x) Ta gọi ϕa là tự ñaúng caáu cuûa nhoùm G 7.3 Mệnh đề Nếu f : G −→ G là đồng cấu nhóm thì f(e) = e và f(x−1 ) = (f(x))−1 với x ∈ G (e và e là các phần tử đơn vị các nhóm G và G ) 7.4 Mệnh đề Tích hai đồng cấu nhóm là đồng cấu nhóm Đặc biệt, tích hai đơn cấu (tương ứng: toàn cấu, đẳng cấu) là đơn cấu (tương ứng: toàn cấu, đẳng cấu) 7.5 Mệnh đề Ánh xạ ngược đẳng cấu nhóm là ñaúng caáu nhoùm 7.6 Định lý Cho đồng cấu nhóm f : G −→ G và H là nhóm G, H là nhóm G Khi đó: (i) f(H) laø moät nhoùm cuûa G 21 (22) (ii) f −1 (H ) là nhóm G Hơn nữa, H là nhoùm chuaån taéc cuûa G thì f −1 (H ) laø nhoùm chuaån taéc cuûa G Ñaëc bieät, Imf = f(G) laø nhoùm cuûa G vaø Kerf = f −1 (e ) laø nhoùm chuaån taéc cuûa G Ta goïi Imf laø aûnh cuûa f vaø Kerf laø haït nhaân cuûa f 7.7 Định lý Đồng cấu nhóm f : G −→ G là đơn cấu và chæ Kerf = {e} 7.8 Định lý đẳng cấu Cho đồng cấu nhóm f : G −→ G Khi đó ánh xạ f : G/Kerf −→ G định f(xKerf) = f(x) laø moät ñôn caáu Ñaëc bieät, G/Kerf Imf 7.9 Ñònh lyù ñaúng caáu Cho G laø moät nhoùm vaø H, K laø hai nhóm G, H chuẩn tắc G Khi đó HK ≤ G, H HK, H ∩ K K vaø K/H ∩ K HK/H qua đẳng cấu k(H ∩ K) → kH, đó HK = {hk|h ∈ H, k ∈ K} 7.10 Ñònh lyù ñaúng caáu Cho G laø moät nhoùm vaø H laø moät nhoùm chuaån taéc cuûa G Ta coù (i) K laø moät nhoùm cuûa G/H vaø chæ K coù daïng K = K/H với K ≤ G và H ≤ K (ii) K laø moät nhoùm chuaån taéc cuûa G/H vaø chæ K có dạng K = K/H với K G và H ≤ K Hơn nữa, đó (G/H)/(K/H) G/K qua ñaúng caáu xH(K/H) → xK 7.11 Hệ Mọi nhóm cyclic vô hạn đẳng cấu với nhóm cộng các số nguyên Z Mọi nhóm cyclic hữu hạn cấp n đẳng cấu với nhóm cộng Zn các số nguyên mod n 22 (23) 7.12 Ví duï 1) Đồng cấu f : R −→ C∗ định f(x) = cos 2πx + i sin 2πx có Kerf = Z và Imf = U đó U = {z ∈ C∗ | |z| = 1} Do đó R/Z U 2) Đồng cấu sgn : Sn −→ ({−1; 1}, ) có Kerf = An và Imf = {±1} neân Sn /An {±1} 3) Toàn cấu f = det : GL(n, R) −→ R∗ có Kerf = {A ∈ GL(n, R)|detA = 1} = SL(n, R) neân GL(n, R)/SL(n, R) R∗ Bài 1.46 Cho (G, ) là nhóm giao hoán Chứng minh ánh xạ f : x → xk với k là số nguyên cho trước, là đồng cấu nhóm Hãy xác định Kerf Bài 1.47 Cho (G, ) là nhóm Chứng minh ánh xạ x → x−1 là tự đẳng cấu nhóm G và G giao hoán Bài 1.48 Xét đồng cấu nhóm cộng f : Z −→ Z Chứng minh raèng a) Imf có dạng nZ với n ∈ N; b) Kerf = {0} Kerf = Z; c) Tìm tất các tự đồng cấu nhóm cộng Z Bài 1.49 Xét đồng cấu nhóm cộng f : Q −→ Z a) Chứng minh với n ∈ N∗ , f(1) = nf(1/n) b) Suy f(1) = và f phải là đồng cấu tầm thường Bài 1.50 Hãy mô tả tất các tự đồng cấu f : Z12 −→ Z12 Bài 1.58 Chứng minh rằng: 23 (24) a) GL(n, R)/SL(n, R) R∗ b) Nhóm thương R/Z đẳng cấu với nhóm nhân T gồm các số phức có môđun Baøi 1.64 Cho nhoùm (G, ) a) Chứng minh tập hợp tất các tự đẳng cấu G cùng với phép toán tích các ánh xạ là nhóm Ta ký hiệu nhoùm naày laø Aut(G) b) Với g ∈ G, ánh xạ ϕg : x → gxg −1 là tự đẳng cấu G Ta gọi đây là các tự đẳng cấu G c) Gọi Int(G) là tập tất các tự đẳng cấu G Chứng minh Int(G) là nhóm chuẩn tắc Aut(G) d) Chứng minh G/C(G) Int(G), đó C(G) là tâm cuûa G Bài 1.66 Xét ánh xạ f : Z → Z định f(x) = nx, đó n ∈ N∗ cho trước Chứng minh rằng: a) f là đồng cấu nhóm cộng Tìm Imf và Kerf b) f là đẳng cấu nhóm cộng từ Z đến nZ Từ đó, hãy moâ taû taát caû caùc nhoùm cuûa nhoùm nZ c) Với m ∈ N, Z/mZ nZ/mnZ 24 (25) Chöông II VAØNH VAØ TRƯỜNG §1 Khaùi nieäm veà vaønh 1.1 Ñònh nghóa Vành là tập hợp R cùng với hai phép toán cộng và nhân thoûa caùc tính chaát sau: (R1 ) (R, +) laø nhoùm Abel; (R2 ) (R, ) là nửa nhóm; (R3 ) Phép nhân phân phối phép cộng, nghĩa là với moïi x, y, z ∈ R, ta coù x(y + z) = xy + xz; (y + z)x = yx + zx Phần tử trung hòa phép cộng gọi là phần tử không, ký hiệu là 0; phần tử đối xứng phần tử x ∈ R là phần tử đối x ký hiệu là −x Nếu phép nhân giao hoán thì ta nói vành R giao hoán; phép nhân có phần tử đơn vị thì vành R gọi là vành có đơn vị Phần tử đơn vị ký hiệu là e hay 25 (26) 1.2 Nhaän xeùt Cho R là vành có đơn vị e Phần tử x ∈ R gọi là khả nghịch x khả đối xứng với phép nhân, nghĩa là tồn y ∈ R cho xy = yx = e Kyù hieäu R∗ = {x ∈ R| x khaû nghòch} Khi đó R∗ là nhóm phép nhân, gọi là nhóm các phần tử khả nghịch R 1.3 Ví duï 1) Treân nhoùm coäng Zn caùc soá nguyeân modulo n, ta ñònh nghĩa phép toán nhân sau: với x, y ∈ Zn , x y = xy Khi đó Zn trở thành vành giao hoán có đơn vị 2) Tập M(n, R) các ma trận vuông cấp n với hệ số thực cùng với phép cộng và nhân ma trận thông thường là vành có đơn vị Vành này không giao hoán n ≥ 3) Giả sử R1 , R2 , · · · , Rn là các vành Khi đó tích Descartes n Ri = {(x1 , x2, · · · , xn )|x1 ∈ R1, x2 ∈ R2, · · · , xn ∈ Rn } i=1 cùng với phép cộng (xi ) + (yi) = (xi + yi ) và phép nhân (xi )(yi) = (xi yi ), là vành, gọi là vành tích trực tiếp R1 , R2, · · · , Rn Hiển nhiên vành Ri giao hoán (tương ứng, có đơn vị) thì vành tích trực tiếp giao hoán (tương ứng, có đơn vị) 1.4 Mệnh đề Cho R là vành Khi đó với x, y, z ∈ R vaø n ∈ Z ta coù (i) x(y − z) = xy − xz vaø (y − z)x = yx − zx (ii) 0x = x0 = 26 (27) (iii) x(−y) = (−x)y = −(xy) vaø (−x)(−y) = xy (iv) (nx)y = x(ny) = n(xy) Ñaëc bieät, neáu R coù ñôn vò e thì nx = (ne)x = x(ne) Ví dụ Chứng minh vành Zn phần tử k khả nghòch vaø chæ (k, n) = Baøi 2.3 Giaûi caùc phöông trình a) 21x + 24 = 101 Z103 b) 68(x + 24) = 102 Z492 c) 78x − 13 = 35 Z666 Baøi 2.4 Tìm taát caû caùc soá nguyeân n thoûa ñieàu kieän trường hợp sau: a) 27n − 18 chia heát cho 133 b) 92n + 18 chia heát cho 100 c) 95n − 15 chia heát cho 335 27 (28) §2 Vaønh con, Ideal vaø vaønh thöông 2.1 Ñònh nghóa Cho R laø moät vaønh (i) Tập A khác rỗng R gọi là vành R A ổn định hai phép toán vành R và A cùng với hai phép toán cảm sinh là vành (ii) Vành I R gọi là ideal trái (tương ứng, ideal phải) R với r ∈ R và x ∈ I ta có rx ∈ I (tương ứng, xr ∈ I ) Ta nói I là ideal R I vừa là ideal trái vừa là ideal phải R 2.2 Ñònh lyù (Ñaëc tröng cuûa vaønh con) Cho A laø moät taäp khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương đương: (i) A laø moät vaønh cuûa R; (ii) Với x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A; (iii) Với x, y ∈ A, x − y ∈ A và xy ∈ A 2.3 Ñònh lyù (Ñaëc tröng cuûa ideal) Cho I laø moät taäp khác rỗng vành R Các mệnh đề sau tương dương: (i) I laø moät ideal cuûa R; (ii) Với x, y ∈ I và r ∈ R, x + y ∈ I, −x ∈ I, rx ∈ I vaø xr ∈ I; (iii) Với x, y ∈ I và r ∈ R, x − y ∈ I, xr ∈ I và rx ∈ I 2.4 Nhaän xeùt 1) Các tập {0} và R là các ideal R, gọi là các ideal tầm thường 28 (29) 2) Nếu vành R giao hoán thì các khái niệm ideal trái, ideal phaûi vaø ideal laø truøng 3) Giả sử R là vành có đơn vị và I là ideal trái hay phải R Khi đó I = R ⇔ I chứa ít phần tử khả nghịch ⇔ I chứa phần tử đơn vị 4) Với I, J là hai ideal R, đặt I + J = {x + y|x ∈ I, y ∈ J }; IJ = { n xi yi |xi ∈ I, yi ∈ J, n ∈ N∗ } i=1 Khi đó I + J và IJ là các ideal R, gọi là tổng và tích cuûa caùc ideal I vaø J 2.5 Ví duï 1) I là ideal Z và I có dạng nZ với n ∈ Z 2) M(n, Z) laø vaønh cuûa M(n, Q) nhöng khoâng laø ideal 3) M(n, 2Z) laø ideal cuûa M(n, Z) Từ Định nghĩa 2.1 ta thấy giao họ khác rỗng các vành (tương ứng, ideal) vành R là vành (tương ứng, ideal) vành R Giả sử S là tập vành R Khi đó S chứa ít vành (tương ứng, ideal) R, chẳng hạn S ⊂ R Giao tất các vành (tương ứng, ideal) R có chứa S là vành (tương ứng, ideal) R có chứa S Ta có ñònh nghóa sau: 2.6 Ñònh nghóa Cho S laø moät taäp khaùc roãng cuûa vaønh R Ta ñònh nghóa: 29 (30) (i) Giao tất các vành R có chứa S là vành sinh S (ii) Giao tất các ideal R có chứa S là ideal sinh S, ký hiệu là S Từ định nghĩa ta thấy vành (tương ứng, ideal) R sinh tập hợp S chính là vành (tương ứng, ideal ) nhỏ R có chứa S Đặc biệt {0} là vành và là ideal sinh tập rỗng Mệnh đề sau đây mô tả vành và ideal sinh các tập hợp khác rỗng 2.7 Ñònh lyù Cho S laø moät taäp khaùc roãng cuûa vaønh R Khi đó (i) Vaøn h R sinh S là tập hợp s1 s2 · · · sn |si ∈ S hay − si ∈ S, n ∈ N∗ hữu hạn (ii) Nếu R có đơn vị thì ideal sinh S là tập hợp n S = xi si yi |xi, yi ∈ R, si ∈ S, n ∈ N∗ i=1 (iii) Nếu R giao hoán có đơn vị thì n xi si |xi ∈ R, si ∈ S, n ∈ N∗ S = i=1 2.8 Ñònh nghóa Cho S là tập vành R và I = S Ta nói I sinh S và S là tập sinh I Nếu S hữu hạn thì ta nói I hữu hạn sinh Đặc biệt, S = {a} thì ta viết I = a , gọi là ideal chính sinh a 2.9 Nhaän xeùt Nếu vành R giao hoán, có đơn vị thì ideal chính sinh a 30 (31) laø: a = {xa|x ∈ R} Ta còn ký hiệu tập hợp trên là Ra 2.10 Định lý Giả sử I là ideal vành (R, +, ) Trên nhóm thương (R/I, +) ta định nghĩa phép toán nhân sau: (x + I)(y + I) = xy + I Khi đó (R/I, +, ) là vành, gọi là vành thương R trên ideal I 2.11 Nhaän xeùt 1) Nếu vành R giao hoán thì vành thương R/I giao hoán Chiều đảo lại không đúng 2) Neáu vaønh R coù ñôn vò e thì vaønh thöông R/I coù ñôn vò là e + I Chiều đảo lại không đúng 2.12 Ví duï Vaønh thöông cuûa vaønh caùc soá nguyeân Z treân ideal nZ chính là vành Zn các số nguyên modulo n, đó ngoài phép cộng đã biết, ta có phép toán nhân định (x + nZ)(y + nZ) = xy + nZ Đây chính là vành mà ta đã xét ví dụ 1.3 Baøi 2.7 Cho R laø moät vaønh tuøy yù a) Với a ∈ R, tập hợp C(a) = {x ∈ R|ax = xa} gọi là tâm hoá tử a Chứng minh C(a) là vành R có chứa a b) Tập hợp C(R) = {x ∈ R|ax = xa, ∀a ∈ R} gọi là tâm R Chứng minh C(R) là vành giao hoán cuûa R 31 (32) c) Tìm taâm cuûa vaønh M(n, R) Baøi 2.10 Cho R laø moät vaønh tuøy yù, I vaø J laø hai ideal cuûa R Ñaët I + J = {x + y| x ∈ I, y ∈ J } Chứng minh I + J là ideal R Nếu R là vành các soá nguyeân vaø I = mZ; J = nZ thì I + J coù daïng theá naøo? Baøi 2.11 Cho R laø moät vaønh tuøy yù, I vaø J laø hai ideal cuûa R Ñaëêt IJ = n xi yi | n ∈ N, xi ∈ I, yi ∈ J i=1 Chứng minh IJ là ideal R Nếu R là vành các soá nguyeân vaø I = mZ; J = nZ thì IJ coù daïng theá naøo? Bài 2.13 Cho R là vành tùy ý và a ∈ R Chứng minh tập hợp aR = {ax| x ∈ R} là ideal phải R, và tập hợp Ra = {xa| x ∈ R} là ideal trái R Suy R giao hoán thì aR = Ra là ideal R; nữa, giả thiết thêm R có đơn vị thì đây chính là ideal chính sinh a Bài 2.14 Cho R là vành có đơn vị và a ∈ R Chứng minh raèng a) a khaû nghòch phaûi vaø chæ aR = R b) a khaû nghòch traùi vaø chæ Ra = R c) a khaû nghòch vaø chæ aR = Ra = R 32 (33) Bài 2.15 a) Cho R là vành giao hoán và a ∈ R Chứng minh tập hợp Ann (a) = {x ∈ R|ax = 0} laø moät ideal cuûa R b) Tìm Ann (4) vaønh Z32 Bài 2.16 Cho R là vành tùy ý Một phần tử x ∈ R gọi là lũy linh tồn số n nguyên dương cho xn = a) Chứng minh R có đơn vị là e và x lũy linh thì e + x khaû nghòch b) Giả sử R giao hoán, có đơn vị và u ∈ R khả nghịch Chứng minh x lũy linh thì u + x khả nghịch c) Giả sử R giao hoán Chứng minh tập hợp N(R) gồm tất các phần tử lũy linh R là ideal R và vành thương R/N(R) không có phần tử lũy linh nào khác khoâng (Ta goïi N(R) laø nil-caên cuûa R) 33 (34) §3 Đồng cấu 3.1 Ñònh nghóa Một ánh xạ f từ vành R vào vành R gọi là đồng cấu vành f bảo toàn các phép toán, nghĩa là với x, y ∈ R, f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y) Một đồng cấu từ R vào R gọi là tự đồng cấu R Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi là tự đẳng cấu Nếu tồn đẳng cấu từ R vào R thì ta nói R đẳng cấu với R , ký hiệu là R R 3.2 Ví duï 1) Ánh xạ đồng idR vành R là tự đẳng cấu, gọi là tự đẳng cấu đồng R 2) Giả sử A là vành vành R Khi đó ánh xạ bao hàm: iA : A −→ R định iA (x) = x là đơn cấu, gọi là ñôn caáu chính taéc 3) Giả sử I là ideal vành R Khi đó ánh xạ π : R −→ R/I định π(x) = x + I là toàn cấu, gọi là toàn cấu chính taéc 4) Giả sử R, R là hai vành Khi đó ánh xạ f : R −→ R định f(x) = 0R (0R là phần tử không vành R ) là đồng cấu, gọi là đồng cấu tầm thường 5) Cho R laø moät vaønh coù ñôn vò vaø a ∈ R khaû nghòch Khi đó ánh xạ f : R −→ R định f(x) = axa−1 là tự đẳng cấu R Thật vậy, dễ thấy f là song ánh, f là 34 (35) đồng cấu vì f(x + y) = a(x + y)a−1 = axa−1 + aya−1 = f(x) + f(y), f(xy) = a(xy)a−1 = (axa−1)(aya−1) = f(x)f(y); vaäy f laø ñaúng caáu 6) Xét ánh xạ f : Z6 −→ Z6 định f(x) = 4x Khi đó f là đồng cấu vành vì f(x + y) = f(x + y) = 4(x + y) = 4x + 4y = f(x) + f(y), f(x y) = f(xy) = 4xy = 4x y+12x y = 16x y = (4x)(4y) = f(x)f(y) 3.3 Mệnh đề Nếu f : R −→ R là đồng cấu vành thì f(0R ) = 0R và f(−x) = −f(x) với x ∈ R 3.4 Mệnh đề Tích hai đồng cấu vành là đồng cấu vành Đặc biệt, tích hai đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành là đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng caáu) vaønh 3.5 Mệnh đề Ánh xạ ngược đẳng cấu vành là ñaúng caáu vaønh 3.6 Định lý Cho đồng cấu vành f : R → R và A là vành R, A là vành R Khi đó (i) f(A) laø moät vaønh cuûa R (ii) f −1 (A) là vành R Hơn nữa, A là moät ideal cuûa R thì f −1 (A) cuõng laø ideal cuûa R Ñaëc bieät, Imf = f(R) laø vaønh cuûa R vaø Kerf = f −1 (0R ) laø ideal cuûa R Ta goïi Imf laø aûnh cuûa f vaø Kerf laø haït nhaân cuûa f 3.7 Định lý Đồng cấu vành f : R −→ R là đơn cấu và chæ Kerf = {0R } 35 (36) 3.8 Định lý đẳng cấu Cho đồng cấu vành f : R −→ R Khi đó ánh xạ f : R/Kerf −→ R định f (x+Kerf) = f(x) laø ñôn caáu vaønh Ñaëc bieät, R/Kerf Imf 3.9 Ñònh lyù ñaúng caáu Cho R laø moät vaønh vaø I laø moät ideal, A là vành R Khi đó I + A là vành R; I laø ideal cuûa I + A; I ∩A laø ideal cuûa A vaø A/I ∩A (I + A)/I qua ñaúng caáu vaønh x + I ∩ A → x + I 3.10 Ñònh lyù ñaúng caáu Cho R laø moät vaønh vaø I laø moät ideal R Khi đó (i) A laø moät vaønh cuûa vaønh thöông R/I vaø chæ A có dạng A/I với A là vành R và A chứa I (ii) A laø moät ideal cuûa vaønh thöôngR/I vaø chæ A có dạng A/I với A là ideal R và A chứa I Hơn nữa, ta coù (R/I)/(A/I) R/A qua ñaúng caáu (x + I) + (A/I) → x + A 3.11 Ví duï Xét đồng cấu vành f : Z6 −→ Z6 định f(x) = 4x, ta có Imf = 4Z6 = 2Z6 = {2x|x ∈ Z6 }; Kerf = {x ∈ Z6 |4x = 0} = {x ∈ Z6 |4x ≡ 0( mod 6)} = {x ∈ Z6 |x ≡ 0( mod 3)} = 3Z6 Theo Ñònh lyù ñaúng caáu ta coù Z6/3Z6 2Z6 Bài 2.19 Cho f là tự đồng cấu vành R Chứng minh tập hợp I = {x ∈ R|f(x) = x} 36 (37) laø moät vaønh cuûa R 37 (38) §4 Miền nguyên và trường 4.1 Ñònh nghóa (i) Cho R là vành giao hoán Phần tử x ∈ R \ {0} gọi là ước tồn y ∈ R \ {0} cho xy = (ii) Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều phần tử và không có ước không gọi là miền nguyên (iii) Một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều phần tử đó phần tử khác khả nghịch gọi là trường 4.2 Nhaän xeùt 1) Trong miền nguyên R, phép nhân có tính giản ước cho các phần tử khác không nghĩa là xy = xz và x = thì y = z Thật vậy, từ xy = xz ta suy x(y − z) = xy − xz = từ đó y − z = 0, nghĩa là y = z (do x = và R không có ước khoâng) 2) Mọi trường R có hai ideal là {0} và R 3) (R, +, ) là trường và các tính chất sau đây thỏa: i) (R, +) laø nhoùm Abel; ii) R \ {0} laø nhoùm Abel; iii) Phép nhân phân phối với phép cộng 4.3 Ví duï 1) Tập các số nguyên Z với phép cộng và nhân thông thường là miền nguyên không là trường 38 (39) 2) Tập hợp các số hữu tỷ Q với phép cộng và nhân thông thường là trường Ta gọi đó là trường các số hữu tỷ Q Tương tự, ta có trường các số thực R và trường các số phức C 3) Vành Zn các số nguyên modulo n là trường và n = p nguyeân toá (Baøi taäp 2.25) 4.4 Định lý (i) Mọi trường là miền nguyên (ii) Mọi miền nguyên hữu hạn là trường 4.5 Nhaän xeùt Giả thiết hữu hạn (ii) Định lý 4.4 không thể bỏ Chẳng hạn Z là miền nguyên vô hạn không phải là trường 4.6 Ñònh nghóa Cho R là trường và I là tập khác rỗng R ổn định hai phép toán R Ta nói I là trường R I với hai phép toán cảm sinh từ R là trường 4.7 Ví duï Trường các số hữu tỷ Q là trường trường các số thực R Tương tự, R là trường C 4.8 Định lý (Đặc trưng trường con) Cho R là trường và I là tập R có chứa ít hai phần tử Các mệnh đề sau tương đương: (i) I là trường R; (ii) Với x, y ∈ I, x + y ∈ I, xy ∈ I, −x ∈ I và nữa, x = thì x−1 ∈ I; (iii) Với x, y ∈ I, x − y ∈ I và nữa, x = thì x y ∈ I −1 39 (40) Xét R là trường với phần tử đơn vị e Trong nhóm cộng R, phần tử đơn vị e có cấp hữu hạn có cấp vô hạn Giả sử e có cấp hữu hạn là n Khi đó n phải là số nguyên tố, vì không thì có < m, k < n cho n = mk dẫn đến = ne = (mk)e = (me)(ke), suy me = ke = 0, mâu thuẫn với tính chất cấp n Vậy e có cấp hữu hạn thì cấp đó phải là số nguyên tố Trường hợp e có cấp vô hạn, ta nói R là trường có đặc số (hoặc đặc trưng) 0, ký hiệu là charR = Trường hợp e có cấp hữu hạn p, ta nói trường R có đặc số (hoặc đặc trưng) p, ký hiệu là charR = p 4.9 Ví duï 1) Các trường số Q, R, C có đặc số 0; 2) Với p nguyên tố, trường Zp các số nguyên modulo p có ñaëc soá p 4.10 Định lý Cho R là trường Các mệnh đề sau tương ñöông: (i) charR = 0; (ii) Với x ∈ R \ {0} và n ∈ Z, nx = thì n = 0; (iii) R chứa trường đẳng cấu (vành) với Q 4.11 Định lý Cho R là trường và p là số nguyên tố Các mệnh đề sau tương đương: (i) charR = p; (ii) Với x ∈ R \ {0} và n ∈ Z, nx = và p|n; (iii) R chứa trường đẳng cấu (vành) với Zp Bài 2.23 Trong trường các số phức C xét √ √ Q( 2) = {a + b 2| a, b ∈ Q} vaø Q(i) = {a + bi| a, b ∈ Q} 40 (41) C √ a) Chứng minh Q( 2) và Q(i) là các trường √ b) Chứng minh Q( 2) và Q(i) không đẳng cấu √ c) Tìm tất các trường Q( 2); Q(i) Bài 2.24 Chứng a a) K = −b với Q(i) a b) F = 2b √ với Q( 2) minh raèng b : a, b ∈ Q là trường đẳng cấu a b a : a, b ∈ Q là trường đẳng cấu Bài 2.25 Cho n là số nguyên dương Chứng minh caùc khaúng ñònh sau töông ñöông: a) Zn laø moät mieàn nguyeân; b) Zn là trường; c) n laø moät soá nguyeân toá Bài 2.26 Cho R là vành giao hoán có đơn vị; I là ideal cuûa R vaø I khaùc R Ta noùi i) I là ideal tối đại R có hai ideal chứa I là I vaø R ii) I là ideal nguyên tố R tính chất sau thỏa: Với x, y ∈ R, xy ∈ I thì x ∈ I hay y ∈ I Chứng minh a) R/I laø mieàn nguyeân vaø chæ I laø ideal nguyeân toá b) R/I là trường và I là ideal tối đại 41 (42) Bài 2.27 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và R có phần tử Chứng minh các khẳng định sau tương ñöông: a) R là trường; b) R chæ coù hai ideal laø {0} vaø R c) Mọi đồng cấu vành từ R vào vành là đồng cấu là đơn cấu Bài 2.35.Tìm tất các tự đồng cấu các trường sau: a) Truờng các số hữu tỉ Q √ b) Trường Q( 2) c) Trường Q(i) d) Trường các số thực R e) Trường các số phức C cho các tự đồng cấu đó thu hẹp trên R là ánh xạ đồng 42 (43) Chöông III VAØNH ĐA THỨC §1 Vành đa thức ẩn 1.1 Ñònh nghóa Giả sử R là vành giao hoán và có đơn vị Gọi A là tập hợp tất các dãy (a0, a1, , an, ), đó các ∈ R, ∀i ∈ N và tất trừ số hữu hạn Như A là phận lũy thừa Descartes RN Ta ñònh nghóa pheùp coäng vaø nhaân A nhö sau: Giả sử f = (a0, a1, , an, ) và g = (b0 , b1, , bn, ) là các phần tử tùy ý A Khi đó f + g = (a0 + b0, a1 + b1, , an + bn , ), fg = (c0 , c1 , , cn, ), đó ck = bj , k = 0, 1, 2, i+j=k 43 (44) Dễ dàng kiểm tra lại A cùng với hai phép toán đó lập nên vành giao hoán, có đơn vị là (1, 0, 0, ), phần tử không vành này là (0, 0, 0, ) Ta ký hiệu phần tử đơn vị A là và phần tử không A là Ñaët x = (0, 1, 0, 0, ) Deã thaáy raèng x2 = (0, 0, 1, 0, ); x3 = (0, 0, 0, 1, 0, ); xn = (0, 0, , 0, 1, 0, ) n phần tử Ta quy ước x0 = (1, 0, 0, ) và phần tử a ∈ R có thể đồng với dãy (a, 0, 0, ) nhờ đơn cấu vành R −→ A a −→ (a, 0, 0, ) Nhö vaäy axn = (0, 0, , 0, a, 0, ), ∀a ∈ R n phần tử Do đó f = (a0 , a1, , an, 0, 0, ) = a0 + a1x + + an xn , và thường viết là f(x) = an xn + + a1 x + a0 Cách biểu thị là phần tử f ∈ A Noùi caùch khaùc, an xn + + a1x + a0 = bn xn + + b1x + b0 44 (45) vaø chæ a n = bn , , a = b1 , a = b0 Vành A nói trên gọi là vành đa thức ẩn x (hoặc biến x) với các hệ số R, và ký hiệu là R[x] Mỗi phần tử R[x] gọi là đa thức ẩn x trên R Đa thức dạng axn (a ∈ R) gọi là đơn thức Giả sử f(x) = an xn + + a1x + a0 với an = Khi đó ta nói đa thức f(x) có bậc là n và ký hiệu degf = n hay degf(x) = n Phần tử gọi là hệ số thứ i f(x), phần tử an gọi là hệ số cao nhất, còn phần tử a0 gọi là hệ số tự Bậc đa thức quy ước là −∞ Deã daøng thaáy raèng: i) deg(f(x) + g(x)) ≤ max{degf(x), degg(x)} ii) deg(f(x)g(x)) ≤ degf(x) + degg(x) với f(x) và g(x) là hai đa thức trên R 1.2 Ñònh lyù Neáu D laø moät mieàn nguyeân thì D[x] cuõng laø miền nguyên, nữa, với f(x), g(x) ∈ D[x], ta có deg(f(x)g(x)) = degf(x) + degg(x) 1.3 Định lý (Phép chia Euclide) Giả sử K là trường và f(x), g(x) ∈ K[x], g(x) = Khi đó tồn các đa thức q(x), r(x) ∈ K[x] cho f(x) = g(x)q(x) + r(x), với degr(x) < degg(x) Các đa thức q(x) và r(x) gọi tương ứng là thương và dö pheùp chia f(x) cho g(x) 45 (46) 1.4 Ví duï Trong thực hành, để thực phép chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) ta đặt việc chia số nguyên Chẳng hạn Z11[x], để tìm thương và dư phép chia đa thức f(x) = −1x3 − 7x2 + 3x − cho g(x) = −2x2 + 2x − 1, ta vieát −1x3 − 7x2 + 3x − −2x2 + 2x − −1x3 + 1x2 − 6x 6x + − 8x + 9x − − 8x2 + 8x − 1x − Vaäy −1x3 − 7x2 + 3x − = (−2x2 + 2x − 1)(6x + 4) + 1x − 1.5 Ñònh nghóa Cho các đa thức f(x), g(x) ∈ K[x], đây K là trường vaø g(x) = Neáu toàn taïi q(x) ∈ K[x] cho f(x) = q(x)g(x) thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) (hay g(x) là ước f(x)) K[x] Một đa thức d(x) ∈ K[x] là ước hai đa thức f(x) và g(x) gọi là ước chung f(x) và g(x) Nếu d(x) là ước chung f(x) và g(x), đồng thời d(x) chia hết cho ước chung khác f(x) và g(x) thì d(x) gọi là ước chung lớn f(x) và g(x), viết tắt là UCLN, ký hiệu là d(x) = (f(x), g(x)) Để đảm bảo tính UCLN, ta 46 (47) quy ước hệ số cao UCLN lấy 1.6 Thuaät chia Euclide Để tìm UCLN hai đa thức f(x), g(x) ∈ K[x] ta dùng thuật chia Euclide cách thực số hữu hạn phép chia lieân tieáp nhö sau: f(x) = g(x)q(x) + r(x), degr(x) < degg(x) g(x) = r(x)q1 (x) + r1 (x), degr1(x) < degr(x) rk−2 (x) = rk−1 (x)qk (x) + rk (x), degrk (x) < degrk−1 (x) rk−1 (x) = rk (x)qk+1 (x) Đa thức dư cuối cùng khác dãy phép chia nói trên chính laø rk (x) vaø UCLN = rk (x) heä soá cao nhaát cuûa rk (x) 1.7 Ví duï Trong R[x] cho các đa thức f(x) = 4x4 − 2x3 − 16x2 + 5x + vaø g(x) = 2x3 − x2 − 5x + Tìm d(x) = (f(x), g(x)) và tìm các đa thức u(x), v(x) ∈ R[x] cho f(x)u(x) + g(x)v(x) = d(x) 47 (48) Giải Để tìm UCLN f(x) và g(x), ta thực dãy các phép chia lieân tieáp 4x4 − 2x3 − 16x2 + 5x + 2x3 − x2 − 5x + 4x4 − 2x3 − 10x2 + 8x 2x − 6x − 3x + f(x) = g(x)q(x) + r(x), r(x) = −6x2 − 3x + 9, q(x) = 2x Nhân g(x) với chia cho r(x): 6x3 − 3x2 − 15x + 12 6x3 + 3x2 − 9x − 6x2 − 6x + 12 − 6x2 − 3x + − 3x + −6x2 − 3x + −x + 3g(x) = r(x)q1(x) + r1(x), q1(x) = −x + 1, r1 (x) = −3x + Laáy r(x) chia cho r1 (x) ta coù −6x2 − 3x + −3x + −6x2 + 6x 2x + − 9x + − 9x + r(x) = (2x + 3)r1 (x) Do đó ta có r1 (x) = −3x + là dư cuối cùng khác Theo quy ước, ta lấy d(x) = (f(x), g(x)) = x − Theo quaù trình treân ta coù r1 (x) = 3g(x) − r(x)q1(x) = 3g(x) − q1(x)(f(x) − g(x)q(x)) = (3 + q(x)q1(x))g(x) − q1(x)f(x) 48 (49) Suy d(x) = −x + 2x2 − 2x − f(x) + g(x) 3 1.8 Đa thức bất khả quy trên miền nguyên Neáu D laø mieàn nguyeân thì D[x] cuõng laø mieàn nguyeân (Ñònh lý 1.2) Đa thức f(x) ∈ D[x] khác không, không khả nghịch goïi laø baát khaû quy D[x] (hay coøn goïi laø baát khaû quy trên D) nó không có ước thực D[x], tức là f(x) = g(x)h(x) (g(x), h(x) ∈ D[x]) thì g(x) hay h(x) phaûi laø phần tử khả nghịch D Nói riêng, K là trường thì các phần tử khả nghịch K[x] chính là các phần tử khác không K Đa thức f(x) ∈ K[x], khaùc khoâng, khoâng khaû nghòch laø baát khaû quy treân K vaø chæ neáu f(x) = g(x)h(x), (g(x), h(x) ∈ K[x]) thì g(x) hay h(x) là phần tử khác không K Số các đa thức bất khả quy trên trường là vô hạn Cụ thể ta có định lý sau: Bài 3.2 Xác định các số thực a, b, c cho đa thức f(x) = 2x4 + ax2 + bx + c chia heát cho x + vaø chia cho x2 − thì dö x Bài 3.4 Cho F là trường và K là trường F Chứng minh với f, g ∈ K[x], f là ước g K[x] và f là ước g F [x] Bài 3.12 Cho F là trường và a, b ∈ F ; a = Chứng minh raèng f(x) ∈ F [x] baát khaû qui vaø chæ f(ax + b) baát khaû qui 49 (50) §2 Nghiệm đa thức 2.1 Ñònh nghóa Giả sử c ∈ R và f(x) = an xn + + a1x + a0 ∈ R[x] Phần tử f(c) = an cn + a1c + a0 gọi là giá trị f(x) c Nếu f(c) = thì c gọi là nghiệm f(x) Tìm nghiệm f(x) R là giải phương trình đại số an xn + + a1x + a0 = R 2.2 Định lý Bezout Phần tử c trường K là nghiệm đa thức f(x) ∈ K[x] và f(x) chia hết cho x − c 2.3 Sơ đồ Horner Cho f(x) = an xn + + a1x + a0 ∈ K[x] vaø c ∈ K Ta duøng sơ đồ Horner đây để tìm q(x) = bn−1 xn−1 + + b1 x + b0 vaø r = f(c) thuaät chia Euclide f(x) = (x − c)q(x) + r c an bn−1 = an an−1 bn−2 = an−1 + cbn−1 a1 b0 = a1 + cb1 a0 r= a0 + cb0 2.4 Ví duï a) Trong Q[x] cho f(x) = 3x5 + 4x4 − 2x3 + 5x2 − x + và c = ∈ Q Ta có sơ đồ Horner sau: 4 16 −2 −1 62 253 1011 50 4050 (51) Vaäy f(x) = (x − 4)q(x) + r với q(x) = 3x4 + 16x3 + 62x2 + 253x + 1011 vaø r = f(4) = 4050 b) Trong Z7 [x] cho f(x) = 2x5 −x3 +3x2 −2 vaø c = −3 ∈ Z7 Ta có sơ đồ Horner sau: −1 −2 −3 −3 Vậy f(x) = (x + 3)q(x) với q(x) = 2x4 + x3 + 3x2 + x − 3, r = Đa thức f(x) chia hết cho x + nên c = −3 là nghiệm cuûa f(x) 2.5 Định lý Cho đa thức f(x) trên trường K, degf(x) = n ≥ Khi đó f(x) có nhiều n nghiệm trên K 2.6 Hệ Nếu hai đa thức trên trường K có cùng bậc n và lấy giá trị n + phần tử khác cuûa K thì chuùng baèng 2.7 Nhaän xeùt Thực Hệ 2.6 còn đúng cho các đa thức trên miền nguyeân R Neáu R khoâng phaûi laø mieàn nguyeân thì heä quaû treân không đúng 2.8 Ñònh nghóa Cho đa thức f(x) trên trường K a) Neáu f(x) = a0 ∈ K, ñaët f (x) = Neáu f(x) = với n ≥ 1, đặt f (x) = cuûa f(x) n n a k xk k=0 kak xk−1 Ta gọi f (x) là đạo hàm k=1 51 (52) b) Ñaët f (0)(x) = f(x), f (1)(x) = f (x), f (2) (x) = (f (1)(x)) , , f (k) (x) = (f (k−1) (x)) , ∀k ∈ N∗ Ta nói f (m) (x) là đạo hàm caáp m cuûa f(x), ∀m ∈ N 2.9 Khai trieån Taylor Cho đa thức f(x) trên trường K và degf(x) = n Khi đó với c ∈ K đa thức f(x) có thể khai triển daïng n f(x) = ck (x − c)k k=0 Thật vậy, thực phép chia f(x) cho x − c ta có f(x) = (x − c)g(x) + c0 , đó c0 ∈ K và g(x) ∈ K[x] (degg(x) = n − 1) xác định theo Định lý 1.3 Lại tiếp tục thực phép chia g(x) cho x − c ta coù nhaát c1 ∈ K vaø g1 (x) ∈ K[x] cho g(x) = (x − c)g1 (x) + c1 , degg1 (x) = n − Khi đó ta có f(x) = (x − c)2 g1 (x) + c1(x − c) + c0 Lặp lại quá trình trên, cuối cùng ta f(x) = cn (x − c)n + cn−1 (x − c)n−1 + · · · + c1 (x − c) + c0 Nhờ sơ đồ Horner ta dễ dàng thu các hệ số c0 , , cn baûng sau: c c an an an an−1 ∗ ∗ c c an cn = a n cn−1 52 a1 ∗ c1 a0 c0 (53) 2.10 Ví duï Trong vành Q[x], để phân tích đa thức f(x) = x4 − x3 + theo các lũy thừa x − ta lập sơ đồ Horner 3 3 1 1 1 −1 11 21 45 18 81 55 Từ đó f(x) = (x − 3)4 + 11(x − 3)3 + 45(x − 3)2 + 81(x − 3) + 55 2.11 Nhaän xeùt Trong trường hợp K là trường có đặc số thì các hệ số ck khai triển Taylor có thể tính theo các đạo hàm đa thức f(x) sau: f (k) (c) , ck = k! nghóa laø n f (k) (c) (x − c)k f(x) = k! k=0 2.12 Ñònh nghóa Giả sử k là số tự nhiên khác không, R là miền nguyên Phần tử c ∈ R gọi là nghiệm bội k đa thức f(x) ∈ R[x] neáu f(x) chia heát cho (x − c)k nhöng khoâng chia heát cho (x − c)k+1 , nghóa laø f(x) coù theå phaân tích thaønh f(x) = (x − c)k g(x) 53 (54) với g(x) ∈ R[x] và g(c) = 2.13 Nhaän xeùt i) Neáu f(x) = n ck (x − c)k laø khai trieån Taylor cuûa ña k=0 thức f(x) thì c là nghiệm bội m và cm = và ci = 0, ∀i < m ii) Nói riêng, f(x) ∈ K[x] với charK = thì c ∈ K là nghieäm boäi m cuûa f(x) vaø chæ f (m) (c) = vaø f (i)(c) = 0, ∀i < m 2.14 Ví duï Trong Z7 [x], cho f(x) = 2x4 − 3x3 + 2x − vaø c = −2 ∈ Z7 Để kiểm tra xem c có là nghiệm f(x) hay không, có thì là nghiệm bội bao nhiêu, ta dùng sơ đồ Horner số laàn lieân tieáp nhö sau: −3 −3 −2 0 −2 −2 −1 Căn vào sơ đồ Horner ta thấy c = −2 là nghiệm kép cuûa f(x) Bài 3.5 Chứng minh vành C[x], f(x)|g(x) và nghiệm f(x) là nghiệm g(x) và nghiệm bội cấp k f(x) là nghiệm bội cấp l với l ≥ k cuûa g(x) Bài 3.6 Trong các trường hợp sau hãy chứng minh f|g Q[x] a) f(x) = x(x+1)(2x+1) vaø g(x) = (x+1)2n −x2n −2x−1 54 (55) b) f(x) = x2 − x + vaø g(x) = (x − 1)n+2 + x2n+1 c) f(x) = x2 + x + vaø g(x) = x3k + x3m+1 + x3n+2 đó k, m, n là các số nguyên dương Bài 3.7 Tìm điều kiện k, m, n ∈ N để f|g Q[x] cho trường hợp sau: a) f(x) = x2 + x + vaø g(x) = x2n + xn + b) f(x) = x2 + x + vaø g(x) = (x + 1)n + xn + c) f(x) = x2 − x + vaø g(x) = (x − 1)n + xn + d) f(x) = x2 − x + vaø g(x) = x3k − x3m+1 + x3n+2 Bài 3.8 Với số nguyên dương k, đặt fk (x) = xk − là đa thức với hệ số hữu tỉ Chứng minh với m, n ∈ N∗ , a) fm |fn vaø chæ m|n b) (fm , fn ) = fd với d = (m, n) Bài 3.9 Cho F là trường Q hay trường Z5 và f, g ∈ F [x] Tìm h = (f, g); k = [f, g] vaø u, v ∈ F [x] thoûa h = uf + vg các trường hợp sau: a) f(x) = 4x4 − 2x3 − 16x2 + 5x + vaø g(x) = 2x3 − x2 − 5x + b) f(x) = x5 +3x4 +x3 +x2 +3x+1 vaø g(x) = x4 +2x3 +x+2 c) f(x) = 4x4 −8x3 +9x2 −5x+1 vaø g(x) = 4x4 +x2 +3x+1 Bài 3.10 Trong các trường hợp sau hãy tìm khai triển Taylor đa thức f ∈ R[x] x0 Xét xem x0 là nghiệm bội cấp f và tìm các đạo hàm f (i) (x0) với ≤ i ≤ a) f(x) = x5 − 2x4 − 5x3 + 15x2 − 12x + 12 vaø x0 = b) f(x) = x5 − 5x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + vaø x0 = 55 (56) c) f(x) = x6 − 6x5 + 13x4 − 15x3 + 18x2 − 20x + vaø x0 = d) f(x) = 8x6 −12x5 +6x4 +7x3 −12x2 +6x−1 vaø x0 = 1/2 56 (57) §3 Đa thức nội suy Lagrange 3.1 Bài toán Cho x1, x2 , , xn , c1, c2, , cn là các phần tử trường K, đó xi = xj , ∀i = j Tìm tất các đa thức f(x) ∈ K[x] cho f(xi ) = ci , ∀i Ñaët ϕ(x) = (x − x1)(x − x2) (x − xn ) = n (x − xj ), j=1 ϕi (x) = ϕ(x) = (x − xj ), ≤ i ≤ n, (x − xi ) j=i ψi(x) = (x − xj ) ϕi (x) = , ≤ i ≤ n, ϕi (xi) (xi − xj ) j=i f0 (x) = c1 ψ1(x) + c2 ψ2(x) + + cn ψn (x) = n ci ψi (x) i=1 Khi đó ta có kết sau: 3.2 Mệnh đề Với giả thiết và ký hiệu trên, đa thức f(x) ∈ K[x] thoûa maõn ñieàu kieän f(xi ) = ci , i = 1, 2, , n vaø chæ f(x) coù daïng f(x) = f0 (x) + g(x)ϕ(x) (1) với g(x) là đa thức nào đó K[x] 3.3 Nhaän xeùt Trong (1), lấy g(x) là đa thức không thì ta có f(x) = f0(x) là đa thức thỏa điều kiện f(xi ) = ci , degf(x) ≤ n − 57 (58) 3.4 Ví duï Tìm tất các đa thức f(x) ∈ R[x] cho f(−4) = 2, f(−1) = 3, f(5) = −6 vaø f(7) = Giaûi Ñaët ϕ(x) ϕ1 (x) ϕ2 (x) ϕ3 (x) ϕ4 (x) = = = = = (x + 4)(x + 1)(x − 5)(x − 7), (x + 1)(x − 5)(x − 7), (x + 4)(x − 5)(x − 7), (x + 4)(x + 1)(x − 7), (x + 4)(x + 1)(x − 5) Suy ϕ1 (−4) = −297, ϕ2(−1) = 144, ϕ3(5) = −108, ϕ4(7) = 176 1 1 ϕ1 , ψ = ϕ2 , ψ = − ϕ3 , ψ = ϕ4 297 144 108 176 Khi đó tất các đa thức cần tìm có dạng Ñaët ψ1 = − f(x) = 2ψ1(x)+3ψ2 (x)−6ψ3(x)+9ψ4(x)+g(x)ϕ(x), g(x) ∈ R[x] Bài 3.11 Trong các trường hợp sau hãy tìm tất các đa thức f thỏa điều kiện đã cho: a) f ∈ R[x] thoûa f(2) = 4; f(3) = 6; f(4) = b) f ∈ Z5 [x] thoûa f(2) = 1; f(−1) = 3; f(3) = c) f ∈ Z101[x] thoûa f(2) = 30; f(5) = 21; f(3) = −13 58 (59) §4 Đa thức trên trường số thực và phức 4.1 Định lý Đại số Mọi đa thức f(x) bậc n ≥ trên trường số phức có n nghiệm phức (kể số bội) 4.2 Hệ Các đa thức bất khả quy vành C[x], C là trường số phức, là các đa thức bậc 4.3 Mệnh đề Nếu số phức α là nghiệm đa thức f(x) với hệ số thực thì số phức liên hợp α là nghiệm f(x) 4.4 Định lý (Các đa thức bất khả quy R[x]) Các đa thức bất khả quy R[x] là các đa thức bậc và các đa thức bậc hai ax2 + bx + c với biệt số Δ = b2 − 4ac < Bài 3.14 Trong các trường hợp sau hãy phân tích f thành tích các đa thức bất khả qui trên Q, trên R và trên C: a) f(x) = x5 + 2x4 − 2x3 − 15x − 18 b) f(x) = x5 + 2x4 − 7x3 − 14x2 − 18x − 36 c) f(x) = x5 − 2x4 − 4x3 + 4x2 − 5x + d) f(x) = 16x6 − 36x5 − 84x4 + 99x3 + 201x2 + 45x − 25 e) f(x) = 9x6 − 30x5 + 49x4 − 28x3 − 4x2 + 16x + f) f(x) = −4x6 − 23x5 − 63x4 − 85x3 − 57x2 − 8x − 16 59 (60) §5 Đa thức trên trường số hữu tỷ 5.1 Nghiệm hữu tỷ đa thức với hệ số hữu tỷ Cho f(x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1x + a0, an = là đa thức với hệ số hữu tỷ Khi đó f(x) có thể viết dạng f(x) = b−1 (bn xn + bn−1 xn−1 + + b1 x + b0) = b−1 g(x), đó b là mẫu số chung các phân số (i = 1, 2, , n) và bi là số nguyên Tập nghiệm f(x) tập nghiệm g(x) Vậy việc tìm nghiệm đa thức với hệ số hữu tỷ có thể đưa việc tìm nghiệm đa thức với hệ số nguyên Do đó giả sử f(x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1x + p a0, n ≥ là đa thức với hệ số nguyên và α = , (p, q) = q là nghiệm hữu tỷ f(x) Khi đó a) p là ước a0 còn q là ước an b) p − q là ước f(1) còn p + q là ước f(−1) 5.2 Ví duï Tìm nghiệm hữu tỷ đa thức f(x) = x5 − 8x4 + 20x3 − 20x2 + 19x − 12 Vì toång caùc heä soá cuûa f(x) baèng neân laø moät nghieäm cuûa f(x) Chia f(x) cho x − ta đa thức thương là g(x) = x4 − 7x3 + 13x2 − 7x + 12 Dễ thấy g(α) > 0, ∀α < 0, đó g(x) không có nghiệm âm Các nghiệm hữu tỷ g(x) nguyên và phải là các 60 (61) ước dương 12 Ta xét các ước dương 12 là 2, 3, 4, 6, 12 ta coù g(1) = 12, g(−1) = 40, g(−1) 40 = , 1+2 g(−1) 40 = , 1+6 g(−1) 40 = + 12 13 khoâng phaûi laø caùc soá nguyeân neân caùc soá 2, 6, 12 khoâng phaûi laø nghiệm g(x) (theo tính chất 2b) Với α = và α = thì g(1) g(−1) , 1−α 1+α nguyên nên chúng có thể là nghiệm g(x) Ta lại sử dụng sơ đồ Horner để kiểm tra xem và có phải là nghiệm g(x) hay khoâng −7 13 −4 1 −7 12 −4 0 Vậy ta có các nghiệm nguyên g(x) là và Do đó các nghiệm hữu tỷ f(x) là 1, và 5.3 Bổ đề Nếu f(x) là đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hôn vaø f(x) khoâng baát khaû quy Q[x] thì f(x) phaân tích thành tích đa thức bậc lớn với hệ số nguyeân 5.4 Tieâu chuaån Eisenstein Giả sử f(x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1x + a0 (n > 1) là đa thức với hệ số nguyên và giả sử tồn số nguyên tố p cho: 61 (62) i) heä soá cao nhaát an khoâng chia heát cho p, taát caû caùc heä soá còn lại chia hết cho p; ii) hệ số tự a0 không chia hết cho p2 Khi đó f(x) là đa thức bất khả quy Q[x] 5.5 Ví duï Dùng tiêu chuẩn Eisenstein để chứng minh các đa thức sau ñaây baát khaû quy Q[x] a) x4 − 8x3 + 12x2 − 6x + 2; b) x4 − x3 + 2x + Giải a) Xét tiêu chuẩn Eisenstein với p = 2, ta thấy hệ soá cao nhaát khoâng chia heát cho 2, taát caû caùc heä soá coøn laïi chia hết cho 2, hệ số tự không chia hết cho 22 Vậy đa thức đã cho baát khaû quy Q[x] b) Để đa thức đã cho ta không áp dụng tiêu chuẩn Eisenstein nên ta phân tích đa thức theo lũy thừa x − 1, ta coù x4 − x3 + 2x + = (x − 1)4 + 3(x − 1)3 + 3(x − 1)2 + 3(x − 1) + Đa thức y + 3y + 3y + 3y + là bất khả quy vì thỏa mãn tiêu chuẩn Eisenstein với p = Do đó đa thức đã cho bất khả quy Q[x] Bài 3.15 Chứng minh các đa thức sau bất khả qui trên Q a) x4 − 8x3 + 12x2 − 6x + b) x4 − x3 + 2x + c) xp−1 + + x + với p là số nguyên tố dương d) 5x3 + 6x2 + 5x + 25 62 (63) e) 7x3 + 6x2 + 11x + 11 f) x3 − 3n2 x + n3 với n nguyên dương g) 3x4 + 5x3 − 4x + h) x4 − 9x3 + 6x − i) x4 + 8x3 + x2 + 2x + 63 (64)