Đang tải... (xem toàn văn)
Trong dạng toán này ta kí hiệu n X là số phần tử của tập X. Các ví dụ minh họa. Tìm số học sinh biết chơi cả 2 môn bóng. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên.. Biết rằng có [r]
(1)CHƯƠNG I : MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
§3: TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Tập hợp
•Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa
•Cách xác định tập hợp:
+ Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc { … } + Chỉ tính chất đăc trưng cho phần tử tập hợp
•Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu
2 Tập hợp – Tập hợp nhau
• A B x A x B
Các tính chất:
+ A A, A + A A, + A B B, C A C
• A B (A B B A) x x, A x B
3 Một số tập tập hợp số thực
Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn
Tập số thực ;
Đoạn a ; b {x |a x b}
Khoảng a ; b Khoảng ( ; )a Khoảng (a ; )
|
{x a x b}
|
{x x a}
{x |a x}
Nửa khoảng a ; b
Nửa khoảng a ; b Nửa khoảng ( ; ]a Nửa khoảng [a ; )
{x |a x b}
{x |a x b}
{x |x a}
{x |x a}
4 Các phép tốn tập hợp
• Giao hai tập hợp: A B { |x x A x B}
• Hợp hai tập hợp: A B { |x x A x B}
• Hiệu hai tập hợp: A B\ { |x x A x B} Phần bù: Cho B A C BA A B\
/ / / / / [ ] / / / /
/ / / / / ( ) / / / /
) / / / / / /
/ / / / / (
/ / / / / [ ) / / / /
(2)B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xác định tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng
0 ; 1; 2; 3;
A
0 ; 4; 8; 12;16
B
1;2;4;8;16
C
Lời giải
Ta có tập hợp A B C, , viết dạng nêu tính chất đặc trưng
|
A x N x
{ |
B x N x x 16}
{2 |n
C n n N}
Ví dụ 2: Cho tập hợp A x |x2
x
a) Hãy xác định tập A cách liệt kê phần tử
b) Tìm tất tập tập hợp A mà số phần tử nhỏ
Lời giải
a) Ta có
2 2 2
x
x
x x với x x ước hay x 2; 1;0;1;2
Vậy A 2; 1;0;1;2
b) Tất tập tập hợp A mà số phần tử nhỏ Tập khơng có phần tử nào:
Tập có phần tử: , , , ,
Tập có hai phần thử: 2; , 2;0 , 2;1 , 2;2 , 1;0 1;1 , 1;2 , 0;1 , 0;2 , 1;2
Ví dụ 3: Cho A 4; 2; 1;2;3;4 B x |x Tìm tập hợp X cho
a) X B A\ b) A X B
c) A X B với X có bốn phần tử
Lời giải
Ta có x 4 x x 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4
x x
Suy B 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4 a) Ta có B A\ 3;0;1
Suy X B A\ tập hợp X
, , , , 3;0 , 3;1 , 0;1 , 3;0;1
b) Ta có 4; 2; 1;2;3;4 X 4; 3; 2; 1;0;1;2;3;4 suy tập hợp X
4; 2; 1;2;3;4 , 4; 2; 3; 1;2;3;4 , 4; 2; 1;0;2;3;4
(3)c) Ta có A X B với X có bốn phần tử tập hợp X
4; 3;0;1 , 3; 2;0;1 , 3; 1;0;1 , 3;0;1;2 , 3;0;1;3 , 3;0;1;4
Ví dụ 4: Cho tập hợp:
2
|
|2
A x R x x x
B x N x
{2 |
C x x Z x 4}
a) Hãy viết lại tập hợp A, B, C dạng liệt kê phần tử b) Tìm A B A, B B C, \ , CA B B C\
c) Tìm (A C) \ B
Lời giải
a) Ta có: x2 7x x2
2
2
7
6
4
x x x
x
x
2 x
x
Vậy A 6; 2; 1;2
Ta có 0,1,2, 3,
2
x N x N
x
x x
Vậy B 0;1;2;3;4
Ta có 2, 1, 0,1,2, 3,
2
x Z
x
x
Suy C 3; 1;1;3;5;7;9
b) Ta có: A B 6; 2; 1;0;1;2;3;4 , A B , B C\ 0;2;4
\ \ \ 6; 2; 1;1;3
A B
C B C A B B C
c) Ta có: A C 6; 3; 2; 1;1;2;3;5;7;9 Suy (A C) \B 6; 3; 2; 1;5;7;9
2 Bài tập luyện tập
Bài 1.27: Xác định tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng 4; 3; 2; 1;0 ; 1; 2; 3;
A , B ; 3; 5; 7; , C 0;1;4;9;16;25
Bài 1.28: a) Trong tập sau đây, tập tập tập
1;2;3 2
0;
A B n N n
C D x R x
b) Tìm tất tập X thoả mãn bao hàm thức sau; 1;2 X 1;2;3;4;5
Bài 1.29: Cho tập hợp | 14
3
A x
x
a) Hãy xác định tập A cách liệt kê phần tử b) Tìm tất tập tập hợp A
(4)a) X B A\
b) A B\ X A với X có hai phần tử
Bài 1.31: Cho tập A 1;1;5;8 , B ="Gồm ước số nguyên dương 16" a) Viết tập A dạng tính chất đặc trưng phần tử
Viết tập B dạng liệt kê phần tử
b) Xác định phép toán A B A B A B, , \
Bài 1.32: Cho tập hợp E { x N | x 7}
2
| – –
{ }
A x N x x x B {x N x| số nguyên tố nhỏ 6} a) Chứng minh A E B E
b) Tìm C A C B C A BE ; E ; E( )
c) Chứng minh : E\(A B) E A\ \E B
➢ DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN 1 Phương pháp giải
Chuyển tốn ngơn ngữ tập hợp
Sử dụng biểu đồ ven để minh họa tập hợp
Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương trình) từ tìm kết tốn
Trong dạng tốn ta kí hiệu n X số phần tử tập X
1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Mỗi học sinh lớp 10A1 biết chơi đá cầu cầu lơng, biết có 25 em biết chơi đá cầu
, 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi hai Hỏi lớp 10A1 có em biết đá cầu? bao
nhiêu em biết đánh cầu lông?Sĩ số lớp bao nhiêu?
Lời giải
Dựa vào biểu đồ ven ta suy số học sinh biết đá cầu 25 15 10 Số học sinh biết đánh cầu lông 30 15 15
Do ta có sĩ số học sinh lớp 10A1 10 15 15 40
Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn cịn 24 bạn khơng biết chơi mơn bóng Tìm số học sinh biết chơi mơn bóng
Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh có 25 em thích mơn Văn, 20 em thích mơn Tốn, 18 em thích mơn Sử, em khơng thích mơn nào, em thích ba mơn Hỏi số em thích mơn ba mơn
Lời giải
Gọi a b c, , theo thứ tự số học sinh thích mơn Văn, Sử, Toán;
x số học sịnh thích hai mơn văn tốn
y số học sịnh thích hai mơn Sử tốn
z số học sịnh thích hai mơn văn Sử Ta có số em thích môn 45 39 Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình
25
(5)5 25 (1)
5 18 (2)
5 20 (3)
5 39 (4)
a x z
b y z
c x y
x y z a b c
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có
2 15 63
a b c x y z (5)
Từ (4) (5) ta có
2 39 15 63
a b c a b c
20
a b c
Vậy có 20 em thích mơn ba mơn
Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi mơn Tốn, 15 học sinh giỏi môn Lý 11 học sinh giỏi môn
Hóa Biết có học sinh vừa giỏi Tốn Lý, học sinh vừa giỏi Lý Hóa, học sinh vừa giỏi Hóa Tốn, có 11 học sinh giỏi hai mơn
Hỏi có học sinh lớp a) Giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa
b) Giỏi mơn Tốn, Lý hóa
Lời giải
Gọi T L H, , tập hợp học sinh giỏi mơn Tốn, Lý, Hóa B tập hợp học sinh giỏi hai môn
Theo giả thiết ta có n T 16,n L 15,n H 11,n B 11
9, 6,
n T L n L H n H T
a) Xét tổng n(T L) n(L H) n(H T) phần tử tập hợp T L H tính ba lần ta có
( ) ( ) ( )
nT L n L H n H T n T L H n B
Hay
1
( ) ( ) ( )
3
n T L H nT L n L H n H T n B Suy có học sinh giỏi ba mơn Tốn, Lý, Hóa
b) Xét n T L n L T phần tử tập hợp T L H tính hai lần số học sinh giỏi mơn tốn
16
n T n T L n H T n T L H
Tương tự ta có
Số học sinh giỏi mơn Lý
15 4
n L n T L n L H n T L H
Số học sinh giỏi mơn Hóa
11
n H n H T n L H n T L H
Suy số học sinh giỏi mơn Tốn, Lý hóa
Ví dụ 4. Trong khoảng thời gian định, địa phương, Đài khí tượng thủy văn thống kê được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số ngày có gió: ngày; Số ngày lạnh: ngày; Số ngày mưa gió: ngày;
11(H)
15(L) 16(T)
6(LH) 8(TH)
9(LT)
z
y x
c
b a
5
18(S) 20(T)
(6)Số ngày mưa lạnh : ngày; Số ngày lạnh có gió: ngày; Số ngày mưa, lạnh có gió: ngày Vậy có ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)?
Lời giải
Ký hiệu A tập hợp ngày mưa, B tập hợp ngày có gió, C tập hợp ngày lạnh Theo giả thiết ta có:n A 10, n B , n C 6,
5, 4,
( ) ( ) ( ) 3, ( )
n A B n A C n B C n A B C
Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven(hình vẽ) Ta cần tính
( )
n A B C
Xét tổng n A n B n C : tổng này, phần tử A giao B, B giao C, C giao A tính làm hai lần nên tổng n A n B n C ta phải trừ tổng n A( B) n B( C) n C( A)
Trong tổng n A n B n C tính n A B C lần,
( ) ( ) ( )
n A B n B C n C A
cũng tính n A B C lần Vì
( ) ( ) ( ) ( )
n A B C n A n B n C n A B n B C nC A n A B C
10 (5 3) 13
Vậy số ngày thời tiết xấu 13 ngày
Nhận xét: Với A B C, , tập ta ln có
n A B n A n B n A B
( ) ( ) ( ) ( )
n A B C n A n B n C n A B n B C n C A n A B C
2 Bài tập luyện tập
Bài 1.33: Một nhóm học simh giỏi mơn : Anh , Tốn , Văn Có em giỏi Văn , 10 em giỏi Anh , 12
em giỏi Toán , em giỏi Văn Toán , em giỏi Toán Anh , em giỏi Văn Anh , em giỏi ba mơn Hỏi nhóm có em ?
Bài 1.34: Có 40 học sinh giỏi, em giỏi mơn Có 22 em giỏi Văn, 25 em giỏi Tốn, 20 em giỏi Anh Có em giỏi hai mơn Văn, Tốn; Có em giỏi hai mơn Tốn, Anh; Có em giỏi hai mơn Anh, Văn Hỏi: Có em giỏi ba mơn Văn, Tốn, Anh?
Bài 1.35: Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, trường kết số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc sau: Về mơn Tốn: 48 thí sinh; Về mơn Vật lý: 37 thí sinh; Về mơn Văn: 42 thí sinh; Về mơn Tốn mơn Vật lý: 75 thí sinh; Về mơn Tốn mơn Văn: 76 thí sinh; Về mơn Vật lý mơn Văn: 66 thí sinh; Về mơn: thí sinh Vậy có học sinh nhận danh hiệu xuất sắc về:
C B A
1
6 10
3
(7)a) Một môn? b) Hai mơn?
c) mơn?
➢ DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH TẬP HỢP BẰNG NHAU, TẬP HỢP CON 1 Phương pháp giải
Để chứng minh A B
Lấy x x, A ta chứng minh x B Để chứng minh A B ta chứng minh + A B B A x x, A x B
2.Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tập hợp ,
A k k Z , ,
3
B k k Z
2
,
3
k
C k Z
a) Chứng minh A B b) A C
Lời giải
a) Ta có 0 : 0
3
x A k Z x k suy
0
2
1
3
x k k
Vì k0 Z k0 Z x B suy A B(1)
0
2 :
3
x B k Z x k suy
0
2
1
3
x k k
Vì k0 Z k0 Z x A suy B A (2) Từ (1) (2) suy A B
b) Ta có 0 : 0
3
x A k Z x k suy
0
2 2
3
k k
x
Vì k0 Z k0 Z x C Suy A C
Ví dụ 2: Cho A B hai tập hợp Chứng minh
a) A B\ A b) A B A\ c) A B A\ A B
Lời giải
a) Ta có x x, A B\ x A x A
x B
(8)b) Ta có \
\
x A
x A
x A B A x B x
x B A
x A
Suy A B A\
c) Ta có \
\
x A
x A x A
x B
x A B A x A B
x B A x B
x A Ví dụ 3: Cho tập hợpA B, C Chứng minh
a) A B C A B A C
b) A B C A B A C
c) A B C\ A B \C
Lời giải
a) Ta có
x A x A
x B x A B C
x B C
x C
x A
x B x A B
x A B A C
x A x A C
x C
Suy A B C A B A C
b) Ta có
x A x A
x B x A B C
x B C
x C
x A
x B x A B
x A B A C
x A x A C
x C
Suy A B C A B A C
c) Ta có \
\
x A x A
x B x A B C
x B C
x C \
x A B
x A B C
x C
Suy A B C\ A B \C
3 Bài tập luyện tập
Bài 1.36: Cho A {x N x| chia hết cho 4}, B {x N x| chia hết cho 6} C {x N x| chia hết cho 12}
(9)Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/
b) A B C c) A B
Bài 1.37: Cho tập hợp ,
6
A k k Z , 11 ,
6
B k k Z
,
3
k
C k Z
a) Chứng minh A B b) A C
Bài 1.38: Cho tập hợp A B C, D Chứng minh
a) A C B D b) A C B c) C A AB B
Bài 1.39: Cho tập hợpA B, C Chứng minh a) A B\ B A\ A B \ A B
b) A\ B C A B\ A C\ c) A\ B C A B\ A C\
➢ DẠNG TOÁN 4: PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC 1 Phương pháp giải
Để tìm A B ta làm sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần điểm đầu mút tập hợpA B, lên trục số - Biểu diễn tập A B, trục số(phần không thuộc tập gạch bỏ)
- Phần khơng bị gạch bỏ giao hai tập hợp A B, Để tìm A B ta làm sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần điểm đầu mút tập hợpA B, lên trục số - Tô đậm tập A B, trục số
- Phần tơ đậm hợp hai tập hợp A B, Để tìm A B\ ta làm sau
- Sắp xếp theo thứ tự tăng dần điểm đầu mút tập hợpA B, lên trục số
- Biểu diễn tập A trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A), gạch bỏ phần thuộc tập B trục số
- Phần khơng bị gạch bỏ A B\
2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tập hợp:
| |1 |
A x R x B x R x C x R x
a) Hãy viết lại tập hợp A B C, , kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn b) Tìm A B A B A B, , \
c) Tìm B C \ A C
Lời giải
a) Ta có: A ;3 B 1;5 C 2;4 b) Biểu diễn trục số
Suy A B ;5
( ) ]
(10)Biểu diễn trục số Suy A B 1;3
Biễu diễn trục số Suy A B\ ;1
c) Bằng cách biểu diễn trục số ta có
2;3
A C B C 2;5
Suy ta có B C \ A C 3;5
Nhận xét: Việc biểu diễn trục số để tìm phép tốn tập hợp ta làm giấy nháp trình bày kết
quả vào
Ví dụ 2: Xác định tập số sau biểu diễn trục số:
a) 4;2 0;4 b) 0;3 1;4
c) 4;3 \ 2;1 d) \ 1;3
Lời giải
a) Ta có 4;2 0;4 0;2 Biểu diễn tập trục số b) Ta có 0;3 1;4 0;4 Biểu diễn tập trục số
c) Ta có 4;3 \ 2;1 4; 1;3 Biểu diễn tập trục số
d) Ta có \ 1;3 ;1 3; Biểu diễn tập trục số
Ví dụ 3: Cho tập hợp A ;m B 3m 1;3m Tìm m để
a) A B b) B A
c) A C B d) C A B
Lời giải
Ta có biểu diễn trục số tập A B hình vẽ a) Ta có A B
1
3
2
m m m
Vậy
2
m giá trị cần tìm
b) Ta có 3
2
B A m m m
Vậy
2
m giá trị cần tìm
c) Ta có C B ;3m 3m 3;
Suy 1
2
A C B m m m
Vậy
2
m giá trị cần tìm
( / / / /)\/\//\/\]\ \ \ \
/ / / / /[ ]/ / / / / /
/ / / / ( ]/ / / / / /
/ / /[ )/ / / /( ]/ / /
)[/ / / /](
)/ / / / / / / /
(11)d) Ta có C A m; suy 3
2
C A B m m m
Vậy
2
m giá trị cần tìm
3 Bài tập luyện tập
Bài 1.40: Xác định tập hợp A B A C A, \ , B Cvà biểu diễn trục số
tập hợp tìm biết:
a) A x R x ,B x R x ,C ;1
b) A x R x ,B x R x ,C ;0
Bài 1.41: Cho tập A = [-1; 2), B = (-3; 1) C = (1; 4]
a) Viết tập A, B, C dạng tính chất đặc trưng phần tử biểu diễn chúng trục số b) Xác định phép toán A B B, C A B, \
Bài 1.42: Cho hai tập hợp A 0;4 ,B x / x Hãy xác định tập hợp
A B A, B A B, \
Bài 1.43: a) Cho A = { x R | x 5} B={ x R | x 0hoặc x 6} C={
|
x R x }
Tìm A B A C B C, , \ biểu diễn cách lấy kết trục số b) Cho A , , B [2m 1, ) Tìm m để A B R
Bài 1.44: a) Tìm m để 1;m 2;
b) Viết tập A gồm phần tử x thỏa mãn điều kiện
3
1
0 x x x
dạng tập số
Bài 1.45: Cho A m m; B n n; Tìm điều kiện số m n để A ∩ B =
Bài 1.46: Cho tập hợp 1;
2 m
A m B ; 2; Tìm m để
a) A B b) A B
Bài 1.47: Cho hai tập khác rỗng :A m – 1;4 , B –2 ;2m , với m Xác định m để :
a) A B ; b) A B ;
https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/