Ứng dụng của tích phân nhiều lớp Bài 1.. Tích phân đường và tích phân mặt Bài 1.[r]
(1)BÀI TẬP GIẢI TÍCH - 2018
Chương Hàm nhiều biến A Tính giới hạn
1 lim
(x,y)→(0,2)
p
x2+ (y−2)2+ 1−1 x2+ (y−2)2
2 lim
(x,y)→(0,0)
(1 +x2+y2)
1
x2+y2
3 lim
(x,y)→(0,0)
1 +x2+y2
y2 (1−cosy)
B Đạo hàm vi phân
Bài Tính đạo hàm riêng vi phân toàn phần của: (1) z= ln
q
x+px2+y2
(2) z= ln tanx
y
(3) f(x, y, z) = arctan y
xz
(4) f(x, y, z) =x2+ 3y2z+xz3+exyz Bài Đạo hàm hàm hợp
(1) Choz= ln(u2+v2), u=xy, v=ex+y Tínhz0
xvàz0y
(2) Cho z = ln(3x+ 2y −1), x = et, y = sint Tính
∂z ∂x,
∂z ∂y,
dz dt
(3) Choz=f(xy+y2),flà hàm khả vi Rút gọn biểu thức A= (x+ 2y)∂z
∂x−y ∂z ∂y
(4) Cho hàm:u(x, y, z) = arctany
x+
x
z
2
.Rút gọn biểu thức B =x∂u
∂x+y ∂u ∂y +z
∂u ∂z
Bài Tínhzx0(0,0), zy0(0,0)vớiz=
√ xy
Bài Tínhy0(x)biếty = y(x)là hàm ẩn xác định phương trình
(1) lnp
x2+y2 =arctg x y
(2) xey+yex=
Từ đó, tínhy0(0)biếty(0) =
Bài Tínhdzbiếtz=z(x, y)là hàm ẩn xác định (1) arctgz+z2=exy
(2) z−yex/z= 0
(3) 3x+ 2y+z=e−x−y−z (4) x3+y3+z3= 3xyz
(5) zez=yex+xey.
Bài Tínhy0(x), z0(x)biếty=y(x), z=z(x)xác định (
x+ 2y+ 3z=
x2+y2+z3=
Bài Đạo hàm cấp cao
(1) Chou=px2+y2+z2 Chứng minh rằng: u00x2+u00y2+u00z2 =
2
u
(2) Tính đạo hàm riêng cấp hàm số
f(x, y) =xsin(x2+ 3y) + ln(x+ 2y)
(3) Tính đạo hàm riêng cấp tại(0,1)của hàm số
f(x, y) =e2x+3y+ p
x2+y2
Bài Tìmd2zbiết:
(1) z=x2ln(x+y)
(2) z= arctany
x
(3) z= sin(x2+ 3y)
C Dùng vi phân tính gần đúng A=p1,984+ 3,032
2 B = ln(√1,03 +√30,99−1) C= arctan1 + 0,02
3
0,992
4 D=p(1,04)1,99+ ln(1,02)
D Cực trị hàm nhiều biến Bài Tìm cực trị hàm sau:
(1) f(x, y) =x2+xy+y2−2x−3y.
(2) f(x, y) =x3+y3−15xy
(3) f(x, y) =xy+8
x+
1
y
(4) f(x, y) =y√x−2y2−x+ 7y+ 5.
(5) f(x, y) =x2+ 4y2−2 ln(xy)
(6) f(x, y) =x3+ 3xy2−15x−12y.
(7) f(x, y) =x+ 2y với điều kiệnx2+y2= 5
(8) f(x, y) =x2+y2 với điều kiện x
2 +
y
3 =
Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
(1) f(x, y) =x2+ 3y2+x−y, miền đóngDgiới hạn
bởi đườngx= 1,y= 1,x+y=
(2) f(x, y) =x2−y2 trên miềnD={x2+y2≤9}
(3) f(x, y) =xytrên miền D=nx
2
8 +
y2
2 ≤1
o
(4) z= +xy−x−y, miền đóngDgiới hạn bởiy=x2
(2)Chương Tích phân nhiều lớp A Tích phân hai lớp
Bài Tính tích phân hai lớp sau: (1) I =
Z Z
D
(x−y)dxdy;Dlà miền giới hạn đường
y=x,y= 2−x2
(2) I=
Z Z
D
(x2+2y)dxdy;Dlà miền giới hạn đường
y=x2−1, y=x+ 1.
(3) I =
Z Z
D
(x+y)dxdy;Dlà miền phẳng giới hạn đường y=x, y= 0, x+y= 2, x+y=
(4) I =
Z Z
D
(x3+ 4y)dxdy, Dlà miền phẳng giới hạn đường y= 0; x=√y; y= 2−x
(5) I=
Z Z
D
xydxdy, Dlà miền phẳng giới hạn đường x= 0, y= 1, x2+y2= 2x.
(6) I =
Z Z
D
(3x+ 4y)dxdy, D tam giácOAB,O(0,0),
B(−2,2),C(2,0) (7) I=
Z Z
D
x2
y2dxdy, Dlà miền phẳng giới hạn
đường x= 2, xy= 1, y=x
(8) I=
Z Z
D
xydxdy, Dlà miền phẳng giới hạn đường y=√2x−x2, y= 0
(9) I =
Z Z
D
x2ydxdy, Dlà miền phẳng giới hạn
các đường y=x2, y= x
4 , y=
(10) I=
Z Z
D
(x+ 2y)dxdy,Dlà tam giácABC, vớiA(1,1),
B(2,2),C(4,−2)
Bài Đổi thứ tự lấy tích phân:
(1) I=
1
Z
0 dx
4−x2 Z
√
1−x2
f(x, y)dy
(2) I=
1
Z
0 dx
2x Z
2x−x2
f(x, y)dy
(3) I=
1
Z
0 dy
√
2y Z
√ 2y−y2
f(x, y)dx
(4) I=
1
Z
0 dy
√ 2−y2 Z
y
f(x, y)dx
Bài Tính tích phân sau cách đổi biến: (1) I=
Z Z
D
(x3−y3)dxdy; Dgiới hạn
x+y= 1, x+y= 4, x−y= 1, x−y=−1
(2) I=
Z Z
D p
(x2+y2)3dxdy; D giới hạn đường
x=p1−y2, y=x, y=−x
(3) I=
Z Z
D
(1 +xy)dxdy; D={1≤x2+y2≤2x}
(4) I=
Z Z
D p
x2+y2dxdy,D={x2+y2≤x, y≥0}
(5) I=
Z Z
D
ln(1 +x2+y2)dxdy;
D={x2+y2≤R2, y≥0}
(6) I=
Z Z
D r
1−x a2 −
y2
b2dxdy; D=
nx2
a2 + y2 b2 ≤1
o
(7) I=
Z Z
D
(x+y)dxdy;
D=
(x
−1)2
4 +
(y−1)2
1 ≤1
B Tích phân ba lớp Tính tích phân ba lớp sau: (1) I =
Z Z Z
V
xdxdydz; V tứ diện giới hạn mặt
x+y+z= 1,x= 0,y= 0,z= (2) I=
Z Z Z
V
(x+y+z)dxdydz; V lăng trụ tam giác giới hạn mặtx= 0,y= 0,z= 0,z= 1,x+y= (3) I=
Z Z Z
V
(z+x2+y2)dxdydz; V giới hạn mặt
z=px2+y2, z= 1.
(4) I=
Z Z Z
V
zpx2+y2dxdydz; V giới hạn bởi
z=p2−x2−y2, z=p
x2+y2
(5) I=
Z Z Z
V p
x2+y2+z2dxdydz; đó
V ={x2+y2+z2≤z}
(6) I=
Z Z Z
V
(x2+y2+z2)dxdydz;
(3)C Ứng dụng tích phân nhiều lớp Bài Tính thể tích vật thể giới hạn mặt
(1) 2x+ 3y= 12, x= 0, z= 0, z =1 2y
(2) z=x2+y2, z= 2−x2−y2
(3) z=x2+y2vàz2=x2+y2
(4) z=p2−x2−y2, z=p
x2+y2.
(5) z= 6−x2−y2, z=p
x2+y2
Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn (1) y=x2, y= 2−x, y= 0
(2) y=ex, y=e−2x, y= 4
(3) x2=y, x2= 2y, y2=x, y2= 4x
(4) x2+y2= 2x, x2+y2= 4x, y=x, y=
Chương Tích phân đường tích phân mặt Bài Tính tích phân đường loại 1
(1) I=
Z
d
AB
x2ds,dABlà cungy= lnxvàA(1,0),B(e,1)
(2) I =
Z
d
OA
ds
p
x2+y2+ 4,dOAlà đoạn thẳng nối gốcO(0,0)với
điểmA(1,2) (3) I =
Z
L
(x2+y2)ds,Llà biên tam giácOABvớiO(0,0),
A(1,1),B(−1,1) (4) I=
Z
L
(x+y)ds; L: x2+y2=ax, a >0
(5) I=
Z
L
(x+y+z)ds;Llà đường cong
x= cost, y= sint, z=t, 0≤t≤2π
(6) I=
Z
C
(x43 +y43)ds; C: x23 +y23 =a23, a >0
(7) I=
Z
C p
x2+y2ds; C: x2+y2= 2y.
Bài Tính tích phân đường loại 2 (1) I=
Z
L
yexydx+x4exydy; đóL:y=x2đi từA(0,0)→ B(1,1)
(2) I=
Z
L
x2dy−y2dx
x5/3+y5/3 ; đó:
L:
(
x=Rcos3t
y=Rsin3t , 0≤t≤π/2
(3) I=
I
L
|x|dx+|y|dy; Llà đường gấp khúc nối điểm
A(1,0)→B(0,2)→C(−1,0)→D(0,−2)→A(1,0)
(4) I=
I
L+
(x+y)2dx+ (x−y)dy; L: x
2 a2 +
y2 b2 =
(5) I =
I
L+
2(x2+y2)dx+ (x+y)2dy, Llà biên tam giác
∆LM N,L(1,1),M(2,2),N(1,3) (6) I=
I
L+
(xy+x+y)dx+(xy+x−y)dy; đóL:x2+y2= ax, a >0
(7) I=
(4,3)
Z
(2,1)
exy(1 +xy)dx+x2exydy
(8) I=
I
L+
(−x2y)dx+xy2dy; L: x
4 +
y2
1 =
(9) I=
I
L+
(x+y)dx−(x−y)dy x2+y2 ; L: x
2+y2= 4
(10) I=
(1,1)
Z
(0,0)
(x+y)dx+ (x−y)dy
(11) I=
Z
L
(x+y+z)dx−xdy+xydz; đóLlà đoạn thẳng từA(1,2,3)đến B(2,4,5)
(12) I =
Z
C
(yexy−x2y+ 3x)dx+ (xexy+xy2+ 2y)dy; đóC:x2+y2= 1, y≥0, đi từA(1,0)đếnB(−1,0).
Bài Tính tích phân mặt loại 1 (1) I=
Z Z
S
(x2+y2)dS; Slà phần mặt cầu
x2+y2+z2=a2, z≥0
(2) I=
Z Z
S
(x2+z2)dS; đóSlà phần mặt
z=p2−x2−y2, z≥1.
(3) I=
Z Z
S
dS
(1 +x+y)2; Slà phần mặt
x+y+z= 1nằm góc phần tám thứ
(4) I=
Z Z
S
xdS; S phần mặt
(4)(5) Z Z
S
xyzdS, Slà phần mặtz=x2+y2giới hạn bởiz= 1.
(6) I=
Z Z
S
z+ 2x+4y
dS; đóSlà phần mặt
x
2 +
y
3 +
z
4 = 1nằm góc phần tám thứ
(7) I=
Z
S Z
(x2+z2)dS; Slà biên vật thể giới hạn
y=px2+z2, y= 1.
Bài Tính tích phân mặt loại 2 (1) I=
Z Z
S
zdxdy;
Slà phía ngồi mặt cầux2+y2+z2= 1.
(2) I=
Z Z
S
x2dydz+y2dxdz+z2dxdy; Slà phía ngồi nửa mặt cầux2+y2+z2= 1, z≥0.
(3) I=
Z
S Z
xyzdydx; Slà phía ngồi phần mặt cầu
x2+y2+z2= 1, z ≥0, y≥0
(4) I =
Z Z
S
yzdxdy; Slà mặt phía ngồi vật thể giới hạn
x2+y2≤1, 0≤z≤1.
(5) I =
Z Z
S
y2dxdz+z2dxdy; S mặt phía ngồi vật thể giới hạn bởiz=x2+y2, z=
(6) I=
Z
S Z
z2dxdy, S phía ngồi mặt
x2+y2+ (z−1)2=
Chương Phương trình vi phân A Phương trình vi phân cấp 1
Bài Giải phương trình tách biến (1) xp1−y2dx+y√1−x2dy= 0
(2) y0=x2+xy+y
4 −1
(3) y0= (x+y+ 1)2
(4) y0= cos(x−y−1)
Bài Giải phương trình đẳng cấp (1) y0=e−yx +y
x
(2) xy0−y+xcosy
x=
(3) xy0−y= (x+y) lnx+y
x
(4) y0= y
x+ cos y x
(5) y0= 3x
2−xy−y2 x2
(6) y0= x
2−xy+y2 xy
Bài Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp (1) y0−
x+ 1y= (x+ 1)
3
(2) y0+y=
ex(1−x), y(2) = (3) y0+ 2xy=xe−x2
(4) (x2+y)dx=xdy
(5) (y+ lnx)dx−xdy=
(6) y0cosy+ siny=x
Bài Giải phương trình Becnoulli (1) y0−2xy= 3x3y2
(2) 2y0−x y =
xy x2−1
(3) y0+ 2y=y2ex
(4) xy0+y=y2lnx; y(1) = 1
(5) ydx−(x2y2+x)dy= 0
(6) xy0−2x√ycosx=−2y
Bài Giải phương trình vi phân tồn phần (1) (x+y)dx+ (x−y)dy= 0; y(0) =
(2) (1 +exy)dx+e x y
1−x y
dy=
(3) 2x
y3dx+
y2−3x2 y4 dy=
(4) (1 +y2sin 2x)dx−2ycos2xdy= 0
B Phương trình vi phân cấp 2
Bài Giải phương trình vi phân cấp giảm cấp (1) (1 +x2)y00+ =
(2) y00=y
0
x +x
(3) (1−x2)y00−xy0= 2, y(0) = 0,y0(0) = 0
(4) (y0)2+ 2yy00=
Bài Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số (1) y00−2y0+y= 2e2x.
(2) y00−6y0+ 9y= cos 3x
(3) 2y00+ 3y0+y=xe−x (4) y00+ 2y0+ 2y=x2−4x+
(5) y00−4y0 = 4x2+ 3x+ 2; y(0) = 0, y0(0) =
(6) y00+ 4y0+ 4y= 3e−2x, y(2) =y0(2) = 0
(7) 4y00−4y0+y=xe12x (8) y00+ 2y0+ 2y=exsinx
(5)(11) y00+y= sinx
(12) y00−2y0+y=xex (13) y00−4y0 =x2+ 2x+ 3
(14) y00−2y0 = cos2x
(15) y00−y= e
x
1 +ex (16) y00+y=
sinx
Bài Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số hàm (1) (x2+1)y00−2xy0+2y= 0biết nghiệm riêngy
1=x
(2) x2(lnx−1)y00 −xy0 +y = biết nghiệm riêng
y1=x (3) y00+2
xy
0+y= 0biết nghiệm riêngy
1=
cosx x
(4) (x2−1)y00+ 4xy0+ 2y= 0biết nghiệm riêng
y1= 1 +x
Chương Hình học vi phân
Bài Viết phương trình tiếp diện, pháp tuyến mặt (1) z=x2+y2tạiA(1,2,5)
(2) x2+y2+z2= 14tạiA(1,2,3)
(3) z3+ 2xy+y2= 0tạiA(−1,2,0)
(4) x2−4y2+ 2z2= 0 tạiA(2,3,4)
(5) z2=x2+y2 tạiA(3,4,5).
(6) x2−4y2+ 2z2= 6tạiA(2,2,3)
Bài Viết phương trình tiếp tuyến, pháp diện các đường cong
(1) x= cost, y= sint, z= 2ttạit=π
(2) x=t, y= 2t2, z=t3tạit=
(3) x= e
tsint
√
2 , y= 1, z=
etsint
√
2 tạit=
π
4
Bài Tính độ cong (1) xy= 1tạiA(1,1)
(2) y=x3−3x+ 2,
tạiA(0,2)
(3) (
x= 2t−1
y=t2+ , điểm ứng vớit=
√
3
(4) (
x=a(t−sint)
y=a(1−cost) a>0, điểm ứng vớit=
π
2
(5) y2=xtạiA(1,1)
(6) r=a(1 + cosϕ),a >0
(7) r=eaϕ