2.Phương pháp phản chứng Các bạn đã biết phương pháp phản chứng từ khi học lớp 6.Dùng phương pháp phản chứng giải phương trình vô tỷ nhiều khi khá tốt.Chẳng hạn trong các ví dụ sau: Chún[r]
(1)http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh Những phương pháp giải PT vô tỷ 1.Phương pháp đặt ẩn phụ Vi dụ 1:Giải phương trình : 15x-5= Pương trình trên tương đương với: ( -15x+5) + Ta đặt t= +t-6=0 =2; =-3(loại) Với t=2, ta có: =2 -15x+7=0 Ta có =7; = Sau thử lại ta thấy =7 và = đúng là nghiệm phương trình đã cho Nếu không dùng phương pháp đặt ẩn phụ thì các bạn phải bình phương đa thức và giải phương trình bậc Ví dụ 2:Giải phương trình + =2 Ta có: + =2 Đặt t= 0, ta viết được: + =2 + =2 Ở đây vì t dương nên (t+1),(t+3) dương và ta có: (t+1)+(t+3)=2 Như phương trình vô nghiệm Ví dụ 3: - Lời giải:ĐK:x t=-1 +2 -6x=0 (1) -2 (*).Phương trình (1) viết lại: - 3x(x+2) + =0 (2) Đặt t= 0.Lúc này (2) trở thành: -3x +2 =0 Do đó x=y x=-2y Với x=y ta có: (x+2y)=0 x= Với x=-2y ta có: x=2(thỏa mãn) x=-2 x=2-2 (thỏa (*)) Vậy phương trình đã cho có nghiệm:x=2 và x=2-2 Ví dụ 4:Giải phương trình sau: x+ =6 Lời giải: ĐK: x (1).Đặt y= ,y (2) thì phương trình trở thành: + -10 -y+20=0 ( +y-4)( -y-5)=0 =5 (3) Bài viết em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế nickname nguyenphihung Lop10.com (2) http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh Giải có: = ; = ; = ; Loại và vì trái điều kiện (2) Thay , vào (2) được: = Loại = ; ; = vì vế trái điều kiện (1) Thử lại thấy đúng.Vậy phương trình có nghiệm = 2.Phương pháp phản chứng Các bạn đã biết phương pháp phản chứng từ học lớp 6.Dùng phương pháp phản chứng giải phương trình vô tỷ nhiều khá tốt.Chẳng hạn các ví dụ sau: Chúng ta thử giải ví dụ phương pháp trên: - 0(số Đầu tiên ta nhận thấy : Nếu phương trình có nghiệm là thì bậc 2) Ta có: + > Mà > và >2 nghĩa là: + >2 Điều này trở nên vô lý, vì là nghiệm thì vế trái phương trình phải vế phải nghĩa là 2.Do đó phương trình đã cho vô nghiệm Ở PP phản chứng hay nó có hạn chế là dùng để chứng minh phương trình vô nghiệm 3.Phương pháp hệ: Phương pháp hệ dùng để giải phương trình vô tỉ có dạng: =k (1) Ta có thể thử dễ dàng đẳng thức sau đây: ( = =( +(a-c)( - ) (2) Như vậy,việc giải (1) t đưa đến việc giải hệ: Ta tìm ax+b cx+d và đó xác định x.Trong thực hành,khi đã quen thì việc thành lập (2) khá nhanh gọn Ví dụ 5:Giải phương trình: + =4 ( + =( Từ đó,ta viết được: + -3,5=16 Bài viết em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế nickname nguyenphihung Lop10.com (3) http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh + = Sau nhân vế với ,ta có: + + = 4+ = x=52-8 Thử lại vào phương trình đã cho không có nghiệm nào khác vì: + =là phương trình vô nghiệm(tổng số dương không thể là số âm) Ví dụ 6:Giải phương trình : + =4 Đây là trường hợp a=c,nên ta có: =4 =1 Cộng vế với vế phương trình này với phương trình đã cho,ta có: =5 x= 4.Phương pháp Bất Đẳng Thức Giải phương trình có dạng: A=B.Nếu A C; B C thì pt Nhiều dùng PP này các bạn có cách làm hay, ngắn gọn mà ko thể sử dụng cách khác.Các bạn thấy điều đó số ví dụ sau: *BĐT Đại số: Ví dụ: Giải phuong trình a) + = - 8x + 18 (1) b) Loi giải : a) ĐK : + x =2 (*) Ta có: Theo BDT quen thuộc 2( + ) ( 2(x - + - x) = Do đó VT = + Mạt khác ta có : VP = - 8x + 18 = +2 Dâú "=" phuong trình (1) đã cho xảy và VT = VP = Khi đó x = , thoả mãn điêù kiện (*) Vậy x = là nghiệm cuả phuong trình b) Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz ta có : ( x+ + Dâú "=" xãy và x= x= x=1 x + )( = tgx = + )=4 =1 x= +k (k Z) Bài viết em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế nickname nguyenphihung Lop10.com (4) http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh Ví dụ 7(THTT10-2005)Giải phương trình:13 Lời giải: ĐK:x Áp dụng BĐT AM_GM ta có: VT(1)=13.2 +3.2 Vậy:(1) +9 =16x (1) 13(x-1+ )+3(x+1+ )=16x x= (thỏa mãn) Ví dụ 8(THTT-3.2005)Giải phương trình:16 +5=6 Lời giải: (1) Vì +5>0 nên >0 Do đó x>0 Áp dụng BDT AM_GM cho số dương 4x,4 +1,2 ta có: =3 Từ (1)và(2) suy ra: 16 +5 (2x-1)^{2} Lại vì: 4x+4 +1+2=4 +4x+3 (2) +4x+3 (2 +2x+1) (3) (Vì +2x+1>0 0 x) x nên từ (3) suy 2x-1=0 x= (thỏa (1)) Ví dụ 9:Giải phươntg trình + = (1) Lời giải: Với x>0, Áp dụng BĐT CauChy_Schwarz cho cặp ; và ; = ta có: (8+x+1)( + Vậy (1) = : x= (thỏa mãn x Ví dụ 10:Giải phương trình lượng giác sau: 0) )= x+9 cosx + cos3x =1 (1) Lời giải: ĐK:cosx>0, cos3x>0 (*) Với ĐK(*) ta có: (1) + =1 (2) Áp dụng BĐT AM_GM cho số dương cosx và 1-cosx ta có: cosx- x=cosx(1-cosx) = Tương tự ta có Vậy VT(1) Dấu "=" xảy nghĩ là (2) có nghiệm và khi: Bài viết em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế nickname nguyenphihung Lop10.com (5) http:///www.toanthpt.net Administrator PhúKhánh (3) Ta có: cos3x=-3cosx + x Khi cosx= thì cos3x= +4 = -1 (3) vô nghiệm tức là (1) vô nghiệm Bài toán tự sáng tác.Giải phương trình sau: + Lời giải: = ( + ) ĐK: x (*) Áp dụng các BDT quen thuộc (Cauchy_Schwarz ; AM_GM) liên tiếp ta có: VT= ( + = + 22x - 3)= (11x + = ) =VP Dấu "=" xảy * BĐT Véc tơ Ví dụ 11(PH) Giải phương trình + = Lời giải: Gọi =(4-x; ) | |= =(5+x;3 ) | |= Ta có: + =(9;5 ) | + |= x= (thỏa (*)) Mà:| + | | |+ | | + Dấu"=" xãy = x= Bài viết em Nguyễn Phi Hùng Học sinh lớp 11CT , KPTCT ,Trường ĐHKH Huế nickname nguyenphihung Lop10.com (6)