Lý thuyết: Định nghĩa hàm số : Cho tập hợp khác rỗng D R Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc nhờ đó với mỗi số x thuộc D luôn xác định được một số thực y duy nhất.. Số thực y đ[r]
(1)GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Môc tiªu : Chuyên đề : Đa thức (6 TIẾT) Sau học xong chuyên đề này học sinh cần nắm vững các khái niệm vÒ ®a thøc víi hÖ sè lµ nh÷ng sè thùc cã kü n¨ng thµnh th¹o thùc hiÖn c¸c phÐp toán cộng, trừ, nhân, chia đa thức Từ đó vận dụng giải phương trình đa thức bậc hai, bậc ba trên sở nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Biết vận dụng định lý viét vào việc giải các bài toán tính chất, mối liên hệ các nghiệm phương trình bậc 2, phương trình bậc Néi dung : Häc sinh ®îc häc 11 tiÕt gåm c¸c néi dung sau : Kh¸i niÖm ®a thøc Các phép toán đa thức ( Cộng, trừ, nhân, chia ) Định lý viét phương trình bậc Định lý viét phương trình bậc Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö Trong mçi bµi gi¶ng häc sinh ®îc tiÕp cËn c¸c lý thuyÕt liªn quan vµ ®îc lµm các ví dụ vận dụng Sau bài giảng, với hệ thống bài tập vận dụng theo mức độ từ dễ đến khó học sinh có điều kiện để phát triển tư nghiên cứu khoa học Nội dung chuyên đề này soạn mức độ bám sát và phần nhỏ mức độ nâng cao TiÕt Kh¸i niÖm ®a thøc §a thøc vµ hµm ®a thøc: §Þnh nghÜa : a) §a thøc f(x) lµ mét biÓu thøc cã d¹ng : f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0 Trong đó n là số tự nhiên a0 an là số thực, ẩn x nhận giá trị thùc tuú ý b) NÕu f(x) lµ mét ®a thøc th× hµm sè y=f(x) gäi lµ mét hµm ®a thøc : víi mçi sè thùc c f(c) gäi lµ gi¸ trÞ cña hµm ®a thøc f(x) t¹i ®iÓm c VÝ dô 1: a) Với số thực a đã cho ta có đa thức f(x) =a Khi đó, giá trị đa thức điểm c a §Æc biÖt a=0, ta cã ®a thøc 0, gäi lµ ®a thøc kh«ng x 16 lµ mét ®a thøc v× x2+4 víi x2 ( x 4)( x 4) x cã d¹ng ®a thøc = x 4 b) g(x) = g(x) mäi x R Gi¸ trÞ cña g(x) t¹i x=1 lµ g(1)=12-4=-3 Lop10.com (2) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= TÝnh nhÊt cña biÓu diÔn ®a thøc: §Þnh lý 1: a) NÕu ®a thøc f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0 b»ng kh«ng, th× tÊt c¶ c¸c hÖ sè b»ng kh«ng: an=an-1= =a1=a0=0 b) Mỗi đa thức f(x) khác không có cách viết dạng: f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0 VÝ dô 2: Víi mäi gi¸ trÞ x: x3-4x2+1=a3+bx2+cx+d h·y t×m a,b,c,d Gi¶i : Tõ tÝnh nhÊt cña ®a thøc kh¸c kh«ng, ta suy a=1, b=-4, c=0, d=1 §Þnh nghÜa 2: Cho ®a thøc f(x) kh¸c kh«ng f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0 Ta gäi: Sè tù nhiªn n lµ bËc cña f(x), ký hiÖu deg f(x) =n; C¸c sè thùc a0, ,an lµ c¸c hÖ sè cña f(x); Anxn lµ h¹ng tö cao nhÊt, a0 lµ h¹ng tö bËc hay h¹ng tö h»ng; h¹ng tö akxk, ak lµ h¹ng tö bËc k Ta quy íc r»ng ®a thøc kh«ng cã bËc Từ định nghĩa và định lý , ta suy hệ sau: HÖ qu¶ : Mét ®a thøc b»ng vµ chØ mäi hÖ sè cña nã b»ng Hai ®a thøc kh¸c lµ b»ng vµ chØ chóng cã cïng bËc vµ c¸c hÖ sè cña mçi h¹ng tö cïng bËc lµ b»ng Bµi tËp Trong c¸c hµm sè sau ®©y, hµm sè nµo lµ hµm ®a thøc ? H·y chØ bËc vµ h¹ng tö cao đa thức đó x 5x g ( x) x x 1 f ( x) h( x) x x p( x) x 1 x 1 q( x) sin x r ( x) T×m a,b,c biÕt r»ng víi mäi sè thùc x, ta cã : a(x+2)2+b(x+3)2=cx x 2x bx c a 2 x 1 x 1 x a b c ( x 1) ( x 2) ( x 2) x x T×m a,b,c biÕt r»ng víi mäi sè thùc x ta cã : T×m a,b,c cho : Lop10.com (3) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= TiÕt Tæng, hiÖu vµ tÝch hai ®a thøc Tæng vµ hiÖu cña hai ®a thøc : VÝ dô 1: T×m tæng vµ hiÖu cña hai ®a thøc sau : f ( x) x x g ( x) 3x x x Lêi gi¶i : Ta viÕt : 2 x x (a) x x x f(x)+g(x) = 3x x ( 1) x BËc (f(x)+g(x)) =3=bËc g(x) 2 x x (b) x x x f(x)-g(x) = 3x x ( 1) x deg ( f(x)-g(x))=3=deg g(x) Từ các quy tắc phép toán đại số ta rút kết luận : Tæng , hiÖu cña hai ®a thøc lµ mét ®a thøc PhÐp céng ®a thøc cã tÝnh chÊt giao ho¸n vµ kÕt hîp, nghÜa lµ : f(x)+g(x)= g(x)+ f(x) f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+( g(x)+h(x)) NÕu deg f(x)>deg g(x) th× deg (f(x)+g(x) )=deg f(x) NÕu deg f(x)=deg g(x) th× deg (f(x)+g(x) ) deg f(x) C¸c tÝnh chÊt trªn cho phÐp ta chän mét c¸ch tÝnh thuËn lîi nhÊt cho tæng, hiÖu cña nhiÒu ®a thøc TÝch cña hai ®a thøc VÝ dô : Cho p(x) = 2x2+x+1 vµ q(x) =x2+4 T×m f(x)=p(x).q(x) Nh vËy p(x).q(x)=(2x2+x+1)4+(2x2+x+1)x2=2x4+x3+9x2+4 x+4 Deg p(x).q(x)=4=deg p(x)+degq(x) Từ các quy tắc phép toán đại số ta suy : TÝch cña hai ®a thøc kh¸c kh«ng lµ mét ®a thøc kh¸c ®a thøc kh«ng vµ bËc cña ®a thøc tÝch b»ng tæng c¸c bËc cña mçi ®a thøc PhÐp nh©n ®a thøc cã tÝnh chÊt giao ho¸n vµ kÕt hîp, nghÜa lµ : f(x).g(x)= g(x) f(x) f(x).g(x).h(x)= f(x).( g(x).h(x)) PhÐp thÕ ®a thøc: VÝ dô 3: Cho hai ®a thøc f(x)=2x2+x+1 vµ g(x) =x+2 Ta thay Èn x bëi g(x) ta ®îc : f(g(x))=f(x+2)=2(x+2)2+(x+2)+1=2x2+9x+11 Lop10.com (4) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Nh vËy, phÐp thay thÕ Èn cña mét ®a thøc bëi mét ®a thøc kh¸c l¹i cho kÕt qu¶ là đa thức Tính chất này sử dụng để giải các phương trình đa thức cách đặt ẩn phụ Bµi tËp Xác định bậc và hạng tử bậc cao các đa thức sau : f ( x) (2 3x) 2 g ( x) ( x 3) ( x 5) h( x) ( x 1) x p ( x) ( x 1)( x 1) x(1 x ) x T×m mét ®a thøc f(x) bËc cho f(x+1)-f(x)=x Viết đa thức f(g(x) các trường hợp sau: f ( x) x g(x)=2x3-x+1 f(x) =x5+x2+2; g(x)=x2 Đặt t=x+ , tìm f(t) các trường hợp sau: x x4+5x3+6x2+5x+1 f(x)= f(x)= x4-3x3+4x2-3x+1 TiÕt PhÐp chia ®a thøc §Þnh lý vÒ phÐp chia ®a thøc víi d §Þnh lý 1: Cho hai ®a thøc f(x) vµ g(x) kh¸c kh«ng Tån t¹i nhÊt ®a thøc q(x) vµ r(x) cho : f(x)=g(x)q(x)+r(x) Trong đó r(x)=0 r(x) và deg r(x) < deg g(x) Đa thức q(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư phép chia f(x) cho g(x) Ví dụ 1: Tìm thương và dư phép chia đa thức f(x) =2x4-3x3+x+1 cho đa thức g(x) =-x2+2x+2 Lời giải : Ta thực phép chia f(x) cho g(x) sơ đồ sau : x 3x x 2x 4x 4x -x2+2x+2 Lop10.com (5) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= x 4x x 2x2 x x 2x 2x x 3x x 12 x 12 r ( x) 15 x 13 Qu¸ tr×nh chia dõng l¹i ta thu ®îc d r(x) cã deg r(x) < deg g(x) h¹¬c r(x) =0 Vậy ta thu thương q(x) =-2x2 – x -6 và dư r(x)=15x+3 Chia cho đa thức x-c, sơ đồ hoóc-ne Ví dụ 2: Bằng cách chia đã trình bày trên, ta thu x x x ( x 2)(3 x x x 16 x 33) 67 Các hệ số đa thức thương q(x) = 3x x x 16 x 33 tính sau : 3=3 lµ hÖ sè cña x5 f(x) 6=2.3+0 lµ hÖ sè cña x4 f(x) 8=2.6-4 -4 lµ hÖ sè cña x3 f(x) 16=2.8+0 lµ hÖ sè cña x2 f(x) 33=2.16+1 lµ hÖ sè cña x f(x) Mét c¸ch tæng qu¸t chia ®a thøc : f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0 cho x-c, ta thu thương : q(x)= bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + + b1x+ b0 Trong đó : bn-1=a1 bn-2=cbn-1+an-1 b1=cb2+a2 b0=cb1+a1 f(c)=cb0+a0 và dư và f(c) Ta viết các kết trên sơ đồ sau, gọi là sơ đồ hoóc-ne c an bn 1 a n 1 bn a1 b0 a0 f (c ) Bằng sơ đồ hoóc-ne ta thử lại phép chia ví dụ 2: 3 4 16 33 67 Ta thu ®îc q(x)= 3x x x 16 x 33 , r(x)=f(2)=67 3 NghiÖm cña ®a thøc NhËn xÐt : Khi chia ®a thøc f(x) cho x-c ta ®îc d r(x) =f(c) lµ mét sè thùc Nh vËy ta cã : f(c)=0 f(x) chia hÕt cho x-c §iÒu nµy cã nghÜa : c lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x) vµ chØ f(x) chia hÕt cho x-c Sơ đồ Hoóc-ne cho phép ta kiểm tra c có phải là nghiệm f(x) hay Lop10.com (6) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= không Vấn đề đặt là chọn số c nào để thử ? Ta có số kết quan träng sau ®©y : Cho đa thức f(x)= anxn + an-1xn-1 + + anx+ a0, đó : NÕu a0+a1+ +an=0, th× f(1) =0 NÕu tæng c¸c hÖ sè bËc lÓ b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc ch½n th× f(-1) =0 NÕu a0, an lµ nh÷ng sè nguyªn vµ c= p q lµ mét ph©n sè tèi gi¶n vµ lµ mét nghiÖm cña ®a thøc f(x) , th× q lµ mét íc cña an, p lµ mét íc cña a0 §Æc biÖt nÕu an b»ng hoÆc -1 th× mçi nghiÖm h÷u tû lµ mét nghiÖm nguyªn Ví dụ 3: Giải phương trình f(x)= 3x4+ 4x3+ 2x2- x-2=0 Gi¶i : V× tæng c¸c hÖ sè bËc ch½n b»ng tæng c¸c hÖ sè bËc lÎ :3+2-2=4-1=3 Do đó -1 là nghiệm phương trình Sử dụng sơ đồ Hoóc –ne ta 1 3 1 2 2 vËy f(x) =(x+1)g(x), g(x) = 3x3+x2+x-2 NghiÖm h÷u tû nÕu cÝ cña g(x) ph¶i cã d¹ng p q đó p và q là hai số nguyên nguyên tố cùng , q=1,3; p= 1;2 Lại sử dụng sơ đồ Hoóc-ne, ta VËy g(x) =(x- )q( x) , 3 1 2 2/3 3 đó q(x)=3x2+3x+3 Đa thức q9x) có biệt thức âm nên không có nghiệm thực Vậy phương trình có hai nghiệm -1 và Bµi tËp Cho ®a thøc f ( x) x x 43x T×m ®a thøc g(x) cho : f(x) = ( x+7) g(x) vµ giải phương trình f(x) =0 Cho ®a thøc p( x) x x x x Tìm đa thức q(x) cho : p(x)= (x-1)(x+1).q(x) và giải phương trình p(x) =0 Cho ®a thøc f ( x) ax ax bx c T×m a,b,c biÕt r»ng f(x) chia hÕt x-2 vµ chia f(x) cho x2-1 th× ®îc d lµ x Tìm nghiệm hữu tỷ, sau đó giải phương trình: 3x2 – 7x -5=0 5x3+ 8x2+ 6x -4 =0 2x5-8x4+ 9x3- 3x2 + 4=0 Chứng minh với n nguyên dương, ta có đa thức : (x+1)2n+1+ xn+2 chia hÕt cho ®a thøc x2+x+1 TiÕt Định lý vi-ét phương trình bậc hai Đa thức bậc hai hay thường gọi là tam thức bậc hai: f(x)=ax2+ bx+ c víi a,b,c thùc vµ a có thể viết dạng chính tắc là : b f ( x) a ( x ) , b 4ac 2a 4a Lop10.com (7) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Do đó, phương trình f(x) =0 b 2a Cã hai nghiÖm ph©n biÖt , nÕu 0 b , nÕu 2a nÕu Cã mét nghiÖm V« nghiÖm, Tổng và tích các nghiệm phương trình bậc hai Định lý 1: ( Định lý Vi- ét thuận ) Nếu phương trình bậc hai f(x)=0 có hai nghiệm ph©n biÖt hoÆc trïng th× tæng S vµ tÝch P cña hai nghiÖm nµy tho¶ m·n hÖ thøc; b S a P c a Định lý 2: ( Định lý Vi-ét đảo ) Hai số thực có tổng S và tích P thì chúng là hai nghiệm phương trình bậc X2+Sx+P=0 Các định lý Vi-ét có nhiều ứng dụng việc giải phương trình và xét các tính chất nghiệm phương trình bậc hai Giải phương trình bậc hai: Ví dụ 1; Giải phương trình 3x2-5x+2=0 Giải : Vì tổng các hệ số nên phương trình có nghiệm Theo định lý Vi-Ðt, nghiÖm thø hai lµ VÝ dô 2: T×m hai sè thùc biÕt tæng cña chóng b»ng vµ tÝch cña chóng b»ng Giải : Theo định lý Vi-ét đảo, hai số đó là nghiệm phương trình bậc hai x26x+1=0 Phương trình này có biệt thức 36 32 , đó phương trình có hai nghiÖm x1 32 32 2; x 3 2 2 §ã lµ hai sè thùc cÇn t×m Tính biểu thức đối xứng hai nghiệm: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm phương trình bậc hai: f(x)=ax2+bx+c=0 §Æt : S0= x10 x 20 S1= x11 x 12 b a Sn= x1n x 2n ; n=0,1,2 Vấn đề đặt là cần biểu thị Sn qua a, b, c Ví dụ 3: Cho x1,x2 là hai nghiệm phương trình x2-ax+1=0 Tính S3 Gi¶i : Ta cã : Lop10.com (8) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= x12 ax1 x 22 ax Rõ ràng các nghiệm là khác không Nhân hai vế phương trình thứ với x1, phương trình thứ hai với x2, ta x13 ax12 x1 x 23 ax 22 x Suy : S x13 x 23 a( x12 x 22 ) ( x1 x ) aS S Ta cã : S1=a S x12 x 22 a ( x1 x ) aS a Do đó: S3=a(a2-2)-a=a3-3a VÝ dô 4: T×m mét ®a thøc bËc ba cã hÖ sè nguyªn nhËn a= Gi¶i: §Æt x1= ; x2= 2 lµ nghiÖm , ta cã; x1+x2=a x1.x2=1 Vậy x1,x2 là hai nghiệm phương trình x2-ax+1=0 Theo ví dụ ta có : S x13 x 23 a 3a a 3a 10a 30a 29 Phương trình bậc ba 10x3-30x-29=0 nhận a là nghiệm Đó là phương trình cần tìm Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai Sử dụng định lý Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm mà không cần giải phương tr×nh Ta dùa vµo kÕt qu¶ sau: Định lý 3: Phương trình bậc hai f(x)=ax2+bx+x=0 có: Hai nghiệm dương phân biệt Hai nghiÖm Hai nghiÖm b S a c P a b ©m ph©n biÖt S a c P a c tr¸i dÊu P a Ví dụ 5: Xét phương trình x2-2(a-1)x+a-3=0 Lop10.com (9) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Chứng minh với a phương trình luôn có nghiệm T×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo a Tìm a để phương trình có hai nghiệm trái dấu có giá trị tuyệt đối Gi¶i: a Ta cã ' (a 1) (a 3) a 3a (a ) Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b.Gọi x1,x2 là hai nghiệm phương trình, theo định lý Vi-ét ta có : x1+x2=2(a-1) x1.x2=a-3 Suy ra: x1+x2-2x1.x2=4 Lµ mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo a c.Điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối là: x1.x2=a-3<0 x1+x2=2(a-1)=0 Từ đó a=1 Vậy a=1 là giá trị cần tìm Bµi tËp Bằng cách đặt X=x và sử dụng định lý Vi-ét, hãy giải các phương trình sau : x x x x 56 x 17 x 72 Giải các hệ phương trình sau : x y xy 10 x y x y xy 10 xy x y xy 16 Cho hai số thực p và q, tìm điều kiện cần và đủ để phương trình; x2+ px+ q=0 Cã hai nghiÖm cã hiÖu b»ng a) Cho u,v là hai nghiệm phương trình x2-mx+1=0, với m> H·y tÝnh S7= u7+v7 theo m b) T×m mét ®a thøc bËc nhËn m= 5 lµm nghiÖm 10 Chứng minh a1a2 2(b1+b2 ) thì ít hai phương trình sau cã nghiÖm : x2+a1x+b1=0 x2+a2x+b2=0 11 Cho u,v là hai nghiệm phương trình x2-6x+ =0 Lop10.com (10) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Chứng minh với số nguyên dương n, số Sn= un +vn là số nguyên kh«ng chia hÕt cho 12 Cho u, v là hai nghiệm phương trình : x2+2mx+4=0 a H·y tÝnh c¸c biÓu thøc sau theo m: A u v; B u v b Xác định m cho u4+v4 c Xác định m cho : 32 u v v u 13 Tìm m để phương trình x2-mx+m2-3=0 có nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh mét tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn b»ng TiÕt Định lý vi-ét phương trình bậc ba Ngµy d¹y: §Þnh lý Vi-Ðt Định lý thuận : Nếu x1, x2, x3 là ba nghiệm phương trình bậc ba ax3+ bx2+cx+d=0 víi a, b, c thùc vµ a th× ta cã : b x1 x x a b x1 x x x x x1 a d x1 x x a Định lý đảo : Nếu ba số x1, x2, x3 thoả mãn x1 x x S x1 x x x x x1 S x x x S Thì ba số này là ba nghiệm phương trình bậc ba : x3+ S1x2+ S2x+ S3=0 10 Lop10.com (11) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Định lý Vi-ét phương trình bậc ba có nhiều ứng dụng Sau đây ta xét mét sè øng dông c¬ b¶n Giải hệ phương trình đối xứng Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau : x y z x y yz zx x y.z 1 Lời giải: Theo định lý Vi-ét đảo x,y,z là x,y,z là ba nghiệm phương trình bậc ba: t3- 3t2 + t + =0 Vì tổng các hệ số phương trình có nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm, đó là các hoán vị ba nghiệm phương trình bËc ba ë trªn Cô thÓ lµ: (1,1 ,1 ) ; (1,1 ,1 ) ; (1 ,1,1 ) (1 ,1 ,1) ; (1 ,1,1 ); (1 ,1 ,1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: x y z x y yz zx x y.z 1 Gi¶i: Ta cã: 9= x2+y2+z2=(x+y+z)2-2(xy+yz+zx)=1-2(xy+yz+zx) Suy xy+yz+zx=-4 MÆt kh¸c, ta cã; 1= x3+y3+ z3=(x+y+z)[( x2+y2+ z2)-(xy+yz+zx)]+3xyz Suy xyz=-4 Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với; x y z x y yz zx 4 x y.z 4 Theo định lý Vi-ét đảo x,y,x là ba nghiệm phương trình t3-t2-4t+4 =0 (t-1)(t2-4)=0 Phương trình này có ba nghiệm 1,2,-2; đó ( x,y,z) gồm sau giá trị đó là các ho¸n vÞ cña 1,2,-2( gi¶i nh vÝ dô ) Chứng minh bất đẳng thức; Ví dụ 3: Cho a,b là số dương cho phương trình x3-x2+3ax-b=0 (1) Cã ba nghiÖm ph©n biÖt Chøng minh r»ng a3 27b 28 b3 11 Lop10.com (12) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Giải: Gọi x1, x2, x3 là ba nghiệm phương trình (1) Vì a và b dương nên phương trình không thể có nghiệm âm Vậy ba nghiệm dương Theo định lý Vi-Ðt ta cã ; x1 x x x1 x x x x x1 3a x x x b áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 3a= x1x2+ x2x3+ x3x1 33 x12 x 22 x 32 33 b Suy : a b (2) MÆt kh¸c ta cã : 1=x1+x2+x3 33 x1 x x = 33 b Suy b 27 (3) Tõ (2) vµ (3) suy ra: a3 27b (27b 1)(b 1) 27b 27b 28 28 b b b b3 Từ đó suy đpcm Tính giá trị các biểu thức đối xứng với các nghiệm Giả sử x1, x2, x3 là các nghiệm phương trình bậc ba : ax3+ bx2+cx+d=0 ; a và n là số nguyên dương Ta muốn tính: sn= x1n x 2n x 3n qua c¸c hÖ sè a,b,c,d Ví dụ 4: Cho ba số x,y,z thoả mãn hệ phương trình x y z 33 x y yz zx 27 x y.z T×m x3+y3+z3 Gi¶i: Ta cã : S x y x 33 S x y z ( x y z ) 2( xy yz zx) 33 2.27 1035 S ( x y z )[( x y z ) ( xy yz zx)] xyz 33273 S 33273 lµ sè cÇn t×m Bµi tËp Giải các hệ phương trình sau: 12 Lop10.com (13) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= x y z x y z 1 x y yz zx 2 x y z x y z x y z 1 x y z 2 1 1 2 x y z xy yz zx 0 x y z x y z 5 x y z 30 x y z Tìm điều kiện cần và đủ số thực m để phương trình : x3+5x2-8x+m=0 có hai ba nghiệm có tổng -1 Giải phương trình trường hợp này Tìm điều kiện cần và đủ số thực a để phương trình : x3-ax+1=0 có ba nghiệm, đó có nghiệm hai lần nghiệm Biết phương trình : ax3+ bx2+cx+d=0 ; a cã ba nghiÖm thùc x1, x2, x3 Chøng minh r»ng; x17 x 27 x 37 b3c 81a Chứng minh với số thực a, phương trình x3-x2+18ax-2a=0 không thể có ba nghiệm dương phân biệt TiÕt Ph©n tÝch ®a thøc Ngµy d¹y: Vấn đề phân tích đa thức thành đa thức không phân tích có liên quan mật thiết đến việc giải phương trình, bất phương trình và việc khảo sát hàm số, tính tích ph©n ( ë líp 12 ) Sù ph©n tÝch mét ®a thøc; Định nghĩa 1: Mỗi đa thức có bậc dương gọi là không phân tích nó không thể viết dạng tích hai đa thức có bậc dương Người ta đã chứng minh hai định lý sau đây làm sở cho phân tích ®a thøc §Þnh lý 1: Mçi ®a thøc víi hÖ sè thùc, bËc nhÊt hoÆc bËc hai kh«ng cã nghiÖm thùc lµ kh«ng ph©n tÝch ®îc §¶o l¹i mçi ®a thøc kh«ng ph©n tÝch ®îc ph¶i cã bËc nhÊt hoÆc bËc hai vµ kh«ng cã nghiÖm thùc VÝ dô 1: §a thøc ax+b, a , a,b thùc, lµ kh«ng ph©n tÝch ®îc §a thøc 2x2-3x+2 cã 4 , kh«ng cã nghiÖm thùc nªn kh«ng ph©n tÝch ®îc 13 Lop10.com (14) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Tæng qu¸t, ®a thøc hai Èn ax2+bxy+cy2, víi a,b,c thùc vµ a,c kh¸c Cã thÓ xem đa thức ẩn x với hệ số thực a, by,cy2 Khi đó nó không phân tích vµ chØ y (by ) 4acy (b 4ac) y 0, y b 4ac Định lý Mỗi đa thức với hệ số thực có bậc dương phân tích thành tích h÷u h¹n ®a thøc kh«ng ph©n tÝch ®îc C¸c thõa sè sù ph©n tÝch trªn lµ nhÊt sai kh¸c mét h»ng sè thùc Sau đây ta trình bày số phương pháp để phân tích đa thức, dựa trên các định lý 1,2 Ta hiểu việc phân tích đa thức thành nhân tử có nghĩa là ta viết đa thøc thµnh tÝch nh÷ng ®a thøc kh«ng ph©n tÝch ®îc Phương pháp nhóm số hạng VÝ dô 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö : f(x,y)=x3+ x2y+x2+xy2+y2+y3 Gi¶i: Nhãm c¸c sè h¹ng cña f(x,y) ta ®îc f(x,y)=(x3+xy2)+(x2y+y3)+(x2+y2) = (x2+y2)(x+y+1) Bµi tËp Ph©n tÝch thµnh nh©n tö c¸c ®a thøc sau: x x x x x y x xy x x x x y y x y 6 x 17 x y 16 y Tìm a, b để đa thức x x 3x ax b là bình phương đa thức khác Phương pháp hệ tử bất định: Nội dung phương pháp này là sau: Để phân tíhc f(x) thành tích nhân tử ta đặt f(x)=p(x).q(x) Khai triển tích vế phải dựa vào định nghĩa hai đa thức ta đồng các hệ tử cùng bậc hai vế Khi đó ta phải giải hệ phương trình để tìm các hệ số p9x) và q(x) Ví dụ 3: Tìm a để đa thức f(x)= x x ax 3x chia hết cho đa thức x2-x-1 Với gi¸ trÞ t×m ®îc cña a h·y ph©n tÝch f(x) thµnh nh©n tö Giải: Ta có deg f(x) =4 và deg ( x2-x-1) =2, đó ta đặt f(x)= ( x2-x-1)(6x2+bx+c) Khai triÓn vÕ ph¶i ta ®îc : x x ax x = x (b 6) x (c b 6) x (b c) x c §ång nhÊt c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö cïng bËc, ta ®îc; 14 Lop10.com (15) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= b 7 c b a b c c Suy a=-7; b=-1; c=-2 Vật a=-7 là giá trị cần tìm và đó ta có : x x x x ( x x 1)(6 x x 2) Chó ý r»ng : x2-x-1 cã biÖt thøc ©m nªn kh«ng ph©n tÝch ®îc §a thøc x x (2 x 1)(3 x 2) VËy sù ph©n tÝch thµnh nh©n tö cña f(x) lµ : f(x)= ( x x 1)(2 x 1)(3x 2) Phương pháp tìm nghiệm dùng lược đồ Hoóc-ne VÝ dô 4: Ph©n tÝch ®a thøc thõa sè: f(x)= 3x x x x Gi¶i: NghiÖm h÷u tû nÕu cã cña f(x) ph¶i cã d¹ng p , ( p, q ) 1, p 1;2; q 1;3 q Thử thấy : x1=2 và x2= là hai nghiệm Dùng lược đồ Hoóc –ne, ta có : f(x)=-3(x-2)(x+ ) (x2+x+1)=-(x-2)(3x+1)(x2+x+1) C¸c ®a thøc bËc nhÊt x-2, 3x+1 kh«ng ph©n tÝch ®îc; da thøc x2+x+1 cã 3 còng kh«ng ph©n tÝch ®îc VËy: f(x)= -(x-2)(3x+1)(x2+x+1) lµ sù ph©n tÝch cÇn t×m VÝ dô 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö f(x,y)=x2-4xy-12y2 Gi¶i: Xem f(x,y) nh mét ®a thøc cña Èn x, nã cã mét nghiÖm b»ng 6y, chia f(x,y) cho x-6y ta ®îc: f(x,y)=(x-6y)(x+2y) §a thøc x-6y vµ x+2y lµ bËc nhÊt nªn kh«ng ph©n tÝch ®îc VËy sù ph©n tÝch trªn lµ cÇn t×m Chuyên đề : hàm số (b¸m s¸t) ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ 15 Lop10.com (16) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Tiết Ngày dạy: Lý thuyết: Định nghĩa hàm số : Cho tập hợp khác rỗng D R Một hàm số f xác định trên D là quy tắc nhờ đó với số x thuộc D luôn xác định số thực y Số thực y đó gọi là giá trị hàm số f x kí hiệu là y=f(x) D gọi là tập xác định (miền xác định ) X gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số ) hay đối số hàm số f Định nghĩa đồ thị hàm số: Cho hàm số y=f(x) với tập xác định D Trong mặt phẳng toạ độ, Tập hợp (G) tất các điểm có toạ độ (x;f(x)) với x D gọi là đồ thị hàm số y=f(x) (đối với hệ trục toạ độ) Định nghĩa hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) D Hàm số f(x) gọi l à đồng bi ến (hay t¨ng) trªn kho¶ng(a;b) nÕu x a; b : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Hàm số f(x) gọi l à nghÞch bi ến (hay gi¶m) trªn kho¶ng(a;b) nÕu x a; b : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Đồ thị hàm số đồng biến hay nghịch biến trên khoảng Nếu hàm số đồng biến trên khoảng (a;b) thì trên khoảng đó đồ thị nó lên (kể từ trái sang phải) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b) thì trên khoảng đó đồ thị nó xuống (kể từ trái sang phải) Định nghĩa h àm số ch½n vµ hµm sè lÎ Cho hàm số y=f(x) xác định trên D f(x) gäi lµ hµm sè ch½n nÕu víi mäi x thuéc D ta cã –x còng thuéc D vµ f(x)=f(x) f(x) gäi lµ hµm sè lÎ nÕu víi mäi x thuéc D ta cã –x còng thuéc D vµ f(x)=-f(x) §å thÞ cña hµm sè ch½n vµ hµm sè lÎ Định lý: Hàm số chẵn có thị nhận trục tung làm trục đối xứng; Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc O làm tâm đối xứng Bài tập: Dạng 1: Tìm miền xác định hàm số KiÕn thøc: Hµm sè y= f ( x) x¸c g ( x) f ( x ), g( x ) cùng xác định f(x) định H àm số y= n f ( x ) xác định f ( x ) 16 Lop10.com (17) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= f(x) xác định f (x) Hµm sè y= xác định g( x ) g(x)>0 f(x) Hàm số y f ( x ) g( x ) Xác định g(x) H àm số bậc y=ax+b có tập xác định D=R Hàm số bậc hai y=ax2+bx+c có tập xác định D=R VÝ dô: Bài 1: Tìm miền xác định các hàm số sau đây: y=-x2+3x+1 hàm số xác định D=R x 1 Y= xác định x 0x D R Y= Y= Y= Y= x 1 x 1 x x 1 x 1 xác định x x 0x D R 1 1 xác định x x x 2; D R \ 2; 2 2 2x 5x 2 x2 xác định x x x 3;1 D R \ 3;1 xác định x x x 1;2 D R \ 1;2 x 2x x 3 x 3x x2 xác định x x 0 D R \ 0 Y= x y x xác định 3x+7 x - D - ; y x x xác định x -4x+3 x x D ;1 3; y x xác định x 2 x D 2;2 y x xác định x D=R y x 25 xác định x D=R 1-x y x x xác định 2 x D 1;2 2+x 1-x y x x xác định 2 x D 1;2 2+x y x xác định x x 2 D 2; y xác định x x 3hoặc x<-3 D= -;-3 3; x2 x y xác định x x<1 D= -;1 1 x 17 Lop10.com (18) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= x 2x 1 y xác định x x x D= 2; x x4 x x xác định x D 2; x x 3x x2 x x y xác định 3 x D 2;4 4; x 1; 3 x 3x x 3x x 3 x y ( x 1)( x 3) xác định 1 x<2 D= -;-3 1;2 2 : x 4 x x>2 x+4 x 4 y x4 xác định D 4;2 2x 2-x>0 x y x x 0 x 0 x 1 y x xác định 1 x x D ;1 1 x x 2 2 x x+2 x 2 y xác định D 1; ( x 2) x x+1>0 x 1 Bài 2: Cho biÓu thøc y= x m x Tìm m để biểu thức là hàm số ? Tìm m để hàm số đó có tập xác định có độ dài =1? Lêi gi¶i: x xác định x -1 D1 1; ; m m D2 ; ; Để nó là hàm 2 m D D1 D2 m 2 D 1; 2 m Để hàm số cú độ dài độ dài D là m 0 nÕu x Bài 3: Cho hàm số y=f(x)= x2 nÕu 1<x 2x+1 nÕu x m x xác định m 2x x số Tìm tập xác định hàm số? b) tính f(-1),f(x+m),f(1-m),f(1+m2)? LG: a)Tập xác định D= ;0 1;2 2; f(-1)=0, 0 nÕu m -1 f(1+m)= (1+m)2 nÕu 0<m<1 , 2m+3 nÕu m f(1+m2)=2m2+3 18 Lop10.com (19) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Bài 4: Tìm điều kiện để các hàm số xác định trên 0;1 y= x 2m trên 0;1ta x-m+2 x m Để hàm xác định x 2m -x+2m-1>0 x 2m m m phải có 0;1 D 1 m 2 m m x số xác định x m x-m y= x m x m xác định m Để hàm số xác định trên x 2x-m-1 m 1 0;1ta phải có 0;1 D m 1 3m 2x-3m+4 x-m x xác định y= x 3m 4+ Để hàm số xác định x m 1 x+m-1 x m 3m 4 0m trên 0;1ta phải có 0;1 D x 2m y x m 1 y x 2m xm Bµi tËp øng dông: Tìm tập xác định các hàm số sau đây: x 2x 1 x 3 x y y y x 2 ( x 3) x x 5x x 3 y y ( x 2) x x 3x a) Cho hµm sè b) Cho hµm sè y x2 2x y y x x x 1 2x 3 x 2a Tìm a để y xác định với x>-1? xa2 иp số a<- 3 y x a 3a x Tìm a để y xác định với x ;2 ? 2 иp số a 3 ; 4 TIẾT TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ-HÀM SỐ CHẴN, LẺ Ngày dạy: I KiÕn thøc: 19 Lop10.com (20) GIÁO ÁN TỰ CHỌN 10 ========================================================================= Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D Tập hợp tất các giá trị (miền giá trị) cña hµm sè kH lµ f(X)víi f(X)= f ( x ) | x D Phương pháp: có cách Cách 1: giả sử y0 là nghiệm phương trình f(x)=y f(x)=y0 có nghiệm x D với y0 là tham số Tìm điều kiên tham số y0để phương trình có vô số nghiệm x từ đó suy Tập giá trị hàm số Cách 2: Sử dụng các tính chất bất đẳng thức và hàm số II VÝ dô: Bµi 1: T×m tËp gi¸ trÞ cña c¸c hµm sè sau ®©y: 2x 1 a) y ; Tập xác định hàm số D= R \ 1; cách x 1 2x 1 3 y 2 ; nhËn xÐt 0x y 2x D TËp gi¸ trÞ lµ T=R\ 2 x 1 x 1 x 1 Cách 2: giả sử y0 là nghiệm phương trình y0 b) y 2x 1 y0 x 1 y0 cã nghiÖm x D y0 y0 TGT T=R\ 2 x 1 x2 x2 ; Tập xác định hàm số D= R ; giả sử y0 là nghiệm phương tr×nh x2 y0 c) y x 1 y0 1 x 1 y0 cã nghiÖm x D 2x 1 x2 x y0 y0 TGT T= -1;1 y0 Tập xác định hàm số D= R ;giả sử y0 là nghiệm phương tr×nh y0 4 19 4 19 y x ( y 2) x y c ã nghiÖm x y ; 0 0 15 15 x2 x 2x 1 4 19 4 19 ; 15 15 TGT T= d) y x x Tập xác định hàm số D= 1;2;giả sử y0 là nghiệm phương trình ta có 3 y02 x0 x02 ( x0 )2 y02 cã nghiÖm x y0 hoÆc y0 2 III Bµi tËp øng dông T×m tËp gi¸ trÞ cña c¸c hµm sè sau ®©y: x2 x 1 1 y x (1 x )4 TGT : T ; y TGT : T ;3 8 3 x x 1 4x TGT : T ; 2 0; y TGT : T R \ 4 y x 2 x 1 D¹ng 3: hµm sè ch½n , hµm sè lÎ 20 Lop10.com (21)