Đang tải... (xem toàn văn)
DAÏY CAÙCH GIAÛI MOÄT PHÖÔNG TRÌNH VOÂ Tæ CHO NHIỀU ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH Trong một lớp học trình độ học sinh rất không đồng đều ,do vậy việc lên kế hoạch cho một tiết dạy để tất cả học sin[r]
(1)DAÏY CAÙCH GIAÛI MOÄT PHÖÔNG TRÌNH VOÂ Tæ CHO NHIỀU ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH Trong lớp học trình độ học sinh không đồng ,do việc lên kế hoạch cho tiết dạy để tất học sinh lớp thu lượng kiến thức phù hợp với khả mình là điều khó ,tôi luôn cố gắng làm điều đó Bài viết này mong chia sẻ quý đồng nghiệp mong muốn trên tôi Sau đây là tiết dạy “Cách giải phương trình voâ tæ “maø theo toâi laø hieäu quaû Bài toán 1: Giaûi phöông trình: x 2x x 2x Baøi giaûi: Đối với học sinh trung bình bước đầu cảm nhận phương trình vô tỉ có thể có cách suy nghỉ,muốn giải phương trình có chứa thức bậc hai ta cần bình phương hai vế và kèm theo điều kiện để phá ,do đó các em đó có thể hình thành cách giải sau : Caùch :1 Ta coù: ïìï x + 2x + ³ ïìï đúng " x - x - 2x = x + 2x + Û ïí Û í ïï - x - 2x = (x + 2x + 3)2 ïï - (x + 2x ) = (x + 2x )2 + 6(x + 2x ) + ïî ïî 2 Û (x + 2x ) + 7(x + 2x ) + = 0(1) 2 Đặt x x t đó (1) t 7t t 1vt 6 Với t = -1 ta có x x 1 x x x 1 Với t = -6 ta có x x 6 x x (vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = -1 Nếu em học sinh kỉ tính,thấu đáo thì em đặt điều kiện cho t cách giải Trong cách đặt điều kiện 2x t x2 x t ,nếu học sinh hiểu theo lô gic ,mệnh đề thì đặt điều kiện sau: x để tồn x và ' t t còn nhìn góc độ đánh giá theo BĐT thì thì ta có thể đặt điều 2 kieän nhö sau: x 2x t x x t ( x 1) t t Trong vieäc tìm ñieàu kieän cuûa cuûa t thì coù lợi gì?và không có điều kiện t thì cách giải có gì sai không? Khoâng coù ñieàu kieän cuûa t thì caùch giaûi khoâng sai vaø neáu theâm ñieàu kieän cuûa t thì vieäc giaûi noù goïn hôn cuï theå ta đã loại trường hợp t=-6 Với ý thức quan sát nghiêm túc ,một ý thức muốn hoàn thiện,một nhu cầu thẩm mỹ từ cách giải cho chúng ta nghỉ đến cách giải Caùch 2: x2 x Ta coù: Ñaët x 2 x ( x2 x x2 t t t ,do đó (2) x) x (2) x2 t 3 t t 1vt t t 6t 7t t 3 t x x2 x ( x 1) Với t = -1 Vaäy x=-1 laø nghieäm cuûa phöông trình Với xu hướng cách giải 2,bạn đừng vội vàng thì bạn có cách giải thứ Caùch3: Ta coù: Ñaët x2 x x2 x2 x x (3 x 2 x ) (3) 0) ,do đó (3) t t t2 t x2 x x2 x x Với t = Vaäy x = -1 laø nghieäm cuûa phöông trình x2 x t (t Lop10.com t 2vt (loại) t (2) 2x Các cách giải trên đưa phương trình x giaûi naøo khoâng?.Coøn toâi laïi giaûi nhö sau: Caùch 4: Ta coù: x2 x Ñaët ( x 1) x2 x ( x 1) ( x 1) ( x 1) có gợi cho bạn trò mò hay hướng (4) t (t 2) t 5t t t 0) ,do đó (4) t 0vt (loại) ( x 1) x Với t = Vaäy x = -1 laø nghieäm cuûa phöông trình 5t 0(t 0) coù nghieäm nhaát neân ta coù yù ñònh CM phöông trình (4) coù nghieäm nhaát baèng Ta thaáy t cách nhẩm nghiệm và chứng minh nghiệm Caùch 5: Ta coù: t (t x2 x x2 x ( x 1) ( x 1) 2 (4) t t (5) Ñaët ( x 1) t (t 0) ,do đó (4) ÑK: t Ta thaáy t = laø nghieäm cuûa phöông trình (5) Với t 4 t và t + > 2,do đó (5) vô nghiệm trên trên miền t Vaäy t = laø nghieäm nhaát cuûa (5) ( x 1) x Với t = Một cách nhìn thông thoáng hơn,mềm mại hơn,chiến lượt bạn có thể giải theo cách thứ Caùch 6: Ñaët: 0) Khi đó ta có:u = v và u v x v(v u(u 0) x u v u v Ta coù heä phöông trình: u v x2 x x2 x 3 x Với u=v=2 ta có: 2x x Vaäy phöông trình coù moät nghieäm x = - Bài toán : (ĐH Khối D-2005) Giaûi phöông trình: x + + x + - x + = (*) Giaûi: Caùch 1: Ta coù: x + + x + - x + + vì hai vế dương nên bình phương hai vế ta x + = Û x + 2+ x + = phöông trình töông ñöông 4(x + + x + 1) = x + + x + + 16 Û 3x = Û x = Caùch 2: Đặt t = x + (t ³ 0) ,khi đó (*) Û t + + 2t -t = Û t + - t = Û + t = Û t = Với t= ta có: x + 1= Û x= Caùch 3: (Ñ aùn cuûa boä) Ta coù: x + + x + - x + = Û ( x + + 1)2 - x + = Û 2( x + + 1) - x + = Û Caùch 4: Đặt 2= a >0 đó (* ) Û a x + + x + - x + = a2 Û a2 - a x + + x + + x + = Ta coù: (* ) Û D = x + + x + - x + = ( x + - 1) 2 Lop10.com x+ 1= 2Û x = (3) Þ a= hay x + 2+ x + - x + 1+ x + 2+ x + - va= x + 2+ x + + x + 1- x + + = 2a x + + x + + x + - = 2a Với a =2 ta có x + + x + - x + = (1) x + + x + + x + = 5(2) Từ (*) &(1) ta có: x + = - vô nghiệm Từ (*) &(2) ta có: x + = Û x + = Û x = Thay vào (*) thỏa Vậy x=3 là nghiệm phương trình NHỮNG GỢI Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Trong quá trình để giải loại toán này chúng ta cần chú ý đến các tính chất sau: 1*.Các tính chất đẳng thức: +) A = B Û A + C = B + C ( " C ) ;+) A = B Û a A = a B ( " a ¹ 0) ;+) A = B ³ Û A n = B n ( " n Î Z ) +) A= B Û A= B³ 2.*Các tính chất bất đẳng thức: éa A > a B neáu a > +) A > B Û A + C > B + C ( " C ) ;+) A > B Û êê ;+) A > B ³ Û A n > B n ( " n Î N ) +) a A < a B neáu a < ê ë A> B Û A> B³ 3*.Các dạng phương trình vô tỉ thường gặp: ìï f (x ) = g2 (x ) ìï f (x ) = g(x ) ï D1: f (x ) = g(x ) Û í ;D2: f (x ) = g(x ) Û ïí ïï f (x ) ³ g(x) ³ ïï g(x) ³ ïî ïî ìï ï f (x ) = ( g(x ) + h(x ) ) D3: f (x ) = g(x ) + h(x ) Û ïí ;D4: f (x ) = g(x ) Û f (x ) = g2 (x ) ïï f (x ) ³ ; g(x) ³ 0; vaø h(x) ³ ïî 3.*Các dạng bất phương trình vô tỉ thường gặp: ïì f (x ) > g(x ) D1: f (x ) > g(x ) Û ïí ïï g(x) ³ ïî D3: D5: ìï f (x ) > g2 (x ) ïì f (x ) ³ ;D2: f (x ) > g(x ) Û ïí ïí ïï g(x) ³ ïï g(x) < ïî ïî ìï ìï f (x ) < g2 (x ) ïï f (x ) > ( g(x ) + h(x ) ) ï ;D4: f (x ) > g(x ) + h(x ) Û í f (x ) < g(x ) Û í ïï f (x ) ³ ; g(x) ³ 0; vaø h(x) ³ ïï g(x) > vaø f(x) ³ ïî ïî ïìï f (x ) < g(x ) + h(x ) ( ) f (x ) < g(x ) + h(x ) Û ïí D6: f (x ) > g(x ) Û f (x ) > g2 (x ) ïï f (x ) ³ ; g(x) ³ 0; vaø h(x) ³ ïî D7: f (x ) < g(x ) Û f (x ) < g2 (x ) 4.Định lí dấu tam thức bậc hai: I)ÑÒNH LÍ: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax bx c (a 0) và b 4ac Nếu < thì f(x) cùng dấu với hệ số a với x (a f ( x) x) b -b (a f ( x) x ) Nếu = thì f(x) cùng dấu với hệ số a với x 2a 2a Nếu > thì f(x) = có hai nghiệm x1,x2 giả sử x1<x2 đó f(x) cùng dấu với hệ số a x [ x1;x ] và f(x) trái dấu với a x (x1 , x2 ) BAÛNG TOÙM TAÉT: Dấu biệt thức <0 Daáu cuûa f(x) a f ( x) x R Lop10.com (4) -b -b vaø f( ) 2a 2a + a f ( x) x (-, x1 ) ( x2 , ) =0 a f ( x) x > f(x)=0 coù hai nghieäm x1<x2 + a f ( x) x ( x1 , x2 ) II.ĐỊNH LÝ ĐẢO: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax bx c (a 0) và số thực Nếu a f ( ) thì tam thức bậc hai có hai nghiệm và nằm hai nghiệm đó Hệ 1:Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai f ( x) ax bx c =0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt laø toàn taïi cho a f ( ) Hệ 2: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax bx c (a 0) và hai số thực , Điều kiện cần và đủ để phương trình f(x)= có hai nghiệm đó nghiệm nằm khoảng ( , ) ,nghiệm nằm ngoài đoạn [ , ] á laø f ( ) f ( ) *Dạng 1:Sử dụng ẩn phụ để đưa phương trình bậc hai Ví duï 1:Giaûi phöông trình Giaûi: ( x 4)2 x x x Ta coù: ( x 4)2 x x x x x x x (1) Ñaët : t x x 9(t 0) Khi đó (1) t 9t t 1vt Với t= x x x 1vx 8 9 301 9 301 vx Với t = x x 64 x 2 301 Vaäy phöông trình coù nghieämx=-1,x=-8,x= vaø x 9 *Dạng 2.Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình tích a>Sử dụng ẩn phụ: Ví duï 2:Giaûi phöông trình x x 1(2) 301 Giaûi:Ñaët t x ÑK: t Khi đó phương trình (2) có dạng (t 1)2 t t(t 1)(t t 1) t 0, t 1, t Vì t nên loại t Với t=0 thì x = -1 Với t=1thì x =0 1 1 ,t 2 1 Với t 1 thì x Vậy phương tình đã cho có nghiệm x = -1,x=0 và x b>Sử dụng hai ẩn phụ 2 Ví duï 3:Giaûi phöông trình 2( x x 2) x (T2/252) Giaûi: x 1vx 2 x x x ÑK: hay x x 2 x Lop10.com (5) Ñaët u x x , v x (u>0,v 0) Khi đó phương trình đã cho tương đương 2(u2 v ) 3uv (u 2v)(2u v) u 2v (Vì 2u+v>0) Do đó ta có x x x x x x x 13 So sánh với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x 13 *Dạng 3:Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp Ví duï 4:Giaûi phöông trình x x x x (4) Giaûi:ÑK: x PT(4) x (3 x 2) x x Đặt y x 2( y 0) Ta có : 2x y xy (5).PT(5) là phương trình đẳng cấp xvà y Đặt y=tx thì (5) x t x tx x (2 t t ) t t (Vì x ) Ta tìm t = ;t=-2 Với t=1 thì x= y đó x x x x x 1vx 2 Với t=-2 thì y=-2x mà x nên y<0 (loại) So sánh với ĐK ta có nghiệm phương trình là x=1 và x= *Dạng 4:Sử dụng ẩn phụ đưa phương trình ẩn phụ đó,còn ẩn ban đầu coi là tham số Ví duï 5:Giaûi phöông trình x 10 x (4 x 1) x x (6) Giaûi:Ñaët x x t(t 0) PT(6) coù daïng t (4 x 1)t x Coi ñaây laø phöông trình baäc aån t (x laø tham soá ) (4 x 1)2 16 x (4 x 1)2 Tìm t=-1 (loại) và t=4x x 3 59 x Với t=4x thì x x x Tìm đượ c 6 x x 16 x 3 59 Vaäy PT(6) coù nghieäm x *Dạng 5.Sử dụng ẩn phụ đưa hệ phương trình có chứa ẩn cũ toàn là ẩn Ví duï 6:Giaûi phöông trình: x 3(2 x )2 2(7) (T2/246) Giaûi:Ñaët y x thay vaøo (7) ta coù x 3y x 3y (8) Vaäy (7) Trừ vế theo vế (8) và(9) ta có: x y 3( y x ) ( x y )(1 x 3y ) y x (9) Với x-y=0 x y thay vào (8) ta có: x x x 1vx 21 21 3x vx Với 1-3x-3y=0 y thay vaøo (9) ta coù: x x x 6 4 Ví duï 7:Giaûi phöông trình : 27 x x (10) Giaûi:Ñaët a 27 x ; b x (a; b 0) a b Thay vào (10) ta có:a+b=4.Ta lại có: a b 32 Từ đó ta có hệ phương trình: 4 a b 32 Giải hệ tìm a b (thoả mãn ĐK).Từ đó suy x= 11 *Dạng 6.Sử dụng các BĐT để đánh giá đưa điều kiện xảy dấu “=” Lop10.com (6) Ví duï 8:Giaûi phöông trình x x x x (11) Giaûi:Ta coù: x x ( x 1)2 x x 2x vaø x x ( x 1)2 2x x Do đó (11) x Vaäy phöông trình coù nghieäm x = x *Dạng 7.Sử dụng tính chất x : 1 x 0,2 sao cho sin x ,để đưa phương trình lượng giác Ví duï 9:Giaûi phöông trình: x 2006 2007 x Giaûi: ÑK: 2006 £ x £ 2007 Þ £ x - 2006 £ vaø £ 2007 - x £ Ví duï 10: Giaûi phöông trình : x + - x - = 2 - x (1) Giaûi: ìï x + ³ ïï ï ÑK: ïí x - ³ Û £ x £ ïï ïï - x ³ ïî Khi đó (1) Û x+ 3= x - + 2 - x Û x + = x - + x - - x + - 4x Û 4x - = x - - x Û (x - 1)2 = (x - 1)(2 - x ) Û (x - 1)[(x - 1) - + x ] = Û (x - 1)(2x - 3) = Û x = v x= So sánh với điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = 1, x = Ví duï 11: Giaûi phöông trình : x + x + = 2x - Giaûi: ìï x + x + = 4(x - 1)2 (1) Ta coù: (1) Û ïí ïï x ³ ïî Ñaët t = x + Þ x= t -2 (t ³ 3) Khi đó : (1) Û t + t - = 4(t - 3)2 Û 4t - 25t - t + 38 = Û (t - 2)(4t + 8t - 9t - 19) = 0(2) Với t ³ ta có 4t + 8t - 9t - 19 = t (4t - 9) + 8t - 19 > Do đó (2) Û t - = Û t = (thỏa) Với t = Þ x = Vậy phương trình có nghiệm x =2 Moät soá ví duï veà baát phöông trình voâ tæ Ví duï 1: (ÑH KA-2004) Giaûi baát phöông trình : 2(x - 16) x- + x- 3> 7- x x- Giaûi: Đk: x ³ ,khi đó BPT đã cho tương đương với bpt 2(x - 16) > 10 - 2x +Neáu x >5 thì bpt thoûa maõn vì Vt döông ,vp aâm +Neáu £ x £ thì bpt 2(x - 16) > 10 - 2x Û 2(x - 16) > (10 - 2x )2 Û x - 20x + 66 < Û 10 Þ 10 - 34 < x £ Vaäy nghieäm cuûa bpt laø: x > 10 - 34 Lop10.com 34 < x < 10 + 34 (7) éïì f (x ) ³ êï êíï êïïî g(x ) < f (x ) > g(x ) Û ê êïì g(x ) ³ êï êí êïï f (x ) > êïî ë Chuù yù: Ví duï:2 (ÑH Khoái A-2005) Giaûi baát phöông trình : 5x - Giaûi: ĐK: x ³ đó ta có: 5x - - x- 1> 2x - Û 0 g2 (x ) x- 1> 5x - > 2x - x - + 2x - Û 5x - > x - + x - 2x - + 2x - Û x + > Û (x + 2)2 > (x - 1)(2x - 4) Û x - 10x < Û < x < 10 Keát (x - 1)(2x - 4) hợp với điều kiện ta có nghiệm bpt là: £ x < 10 Ví duï 3: (ÑH khoái D-2002) Giaûi baát phöông trình : (x - 3x ) 2x - 3x - ³ Giaûi: Ta coù: Chuù éìï x - 3x ³ êïï êí 2 (x - 3x ) 2x - 3x - ³ Û êïïï 2x - 3x - > Û êî ê 2x - 3x - = ê ë éïì x £ v x ³ êïï êí êï x < - v x> - êïïî Û x£ vx³ ê ê êx = v x= - ê ë v x=2 ég(x ) = ê ïìï f (x ).g(x ) ³ ê Û êìïï f (x ) ³ yù: í ïï g(x ) ³ êí ïî êï g(x ) > êïîï ë Baøi taäp reøn luyeän: Baøi 1: (ÑH khoái B-2006) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x + mx + = 2x + Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: 1) 2x - + x - 3x + = (KD2006) 2) x + 34 - x - = (Bộ đề 12);3) 2x - = x 16 - 2x + (Bộ đề 48) 4) (4x - 1) x + = 2x + 2x + (Bộ đề 78);5) x + (1 - x )3 = x 2(1 - x ) (Bộ đề 108);6) x - + x - = 2x - 7) x2 3x - 3x - = - x ;8) x+ x- 1+ x- x- 1= x+ ;9) x - = x - 3x + 10) (x + 1) x - = x + ;11) x 35 - x (x + 35 - x ) = 30 ;12) x + = 2x - ;13) 57 - x + x + 40 = 14) x - + x + = 2x + ;15) x + - x - = x - ;16) x + - x - + x + - x - = 17) x + - x + = ;18) x - + - x = x - 6x + 11 ;19) 3x - 7x + - x - = 3x - 5x - - x - 3x + 20) 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = - 2x - x Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình sau: 1) x + 31 ³ 2x - + 7- x (CÑCNII-2005) ;2) 4) (x - 5x + 6) x - £ ;5) x - 8) 2x < 2x + 2x + - ;9) x- x - + x- x - 2(x - 1) ³ x - ;3) x - 1(x + 1) ³ x + > x - ;6) x+ 3³ 2x - + x- ;10) x x- 3+ - x ³ x - 8x + 18 1- x > 7- x ;7) - x + 4x - x ³ Các bạn hoàn toàn có thể nhẩm nghiệm trước giải,việc này có ý nghĩa , vì nó giúp cho các bạn định hướng lời giải mình ,ví dụ nhẩm nghiệm bạn có thể đưa pt phương trình tích cách nhân lượng liên hợp (chú ý nhân thì biểu thức nhân vào phải khác 0) Lop10.com (8) Tôi muốn chia với tất các bạn yêu thích toán cùng với quí thầy cô vì mục tiêu để học hỏi từ quí vị nhiều hơn.Rất mong ủng hộ quí vị Lop10.com (9)