Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - MTBT DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI Phibonacci Bài 1:.. a Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy số.[r]
(1)Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - MTBT DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI (Phibonacci) Bài 1: Cho dãy số: u1 = ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; …) a) Tính u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7 b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị un với u1 = ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; …) c) Sử dụng quy trình trên, tính giá trị u22 ; u23 ; u24 ; u25 Bài 2: cho dãy số u0 = ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, …) a) Lập quy trình tính un+1 b) Tính u2, u3, u4 , u5, u6 c) Tìm công thức tổng quát un Bài 3: Cho dãy số u0 = ; u1 = ; un+1 = un2 + un-12 a) Lập quy trình tính un b) Tính u2 , u3, u4 , u5 Bài 4: Cho dãy số thứ tự u1 , u2 , u3 , …, un, un + 1… Biết u1 = 1; u2 = ; u3 = và un = un – + 2un – + 3un – a) Tính u4 , u5 ; u6 ; u7 b) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n c) Sử dụng quy trình trên để tính giá trị u22 , u25 ; u28 ; u30 Bài 5: Cho dãy số: Un = n n (3 ) (3 ) a) Tính số hạng đầu tiên dãy số b) Chứng minh: Un + = 6Un + – 4Un Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un + trên máy Casio n n 5 5 Với n = 1; 2; 3; … Bài 6: Cho dãy số : Un = 2 a) Tính số hạng đầu tiên dãy b) Lập công thức truy hồi để tính Un + theo Un và Un + Lập quy trình ấn phím liên tục tính Un + trên máy casio Bài 7: Cho dãy số u1 = ; u2 = 13 , un+1 = un + un-1 (n = 2; 3; …) a) Lập quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un+1 với n b) Sử dụng quy trình trên tính giá trị u13 ; u17 (2 ) n (2 ) n Bài 8: Cho dãy số un = n = 0; 1; 2; … a) Tính số hạng đầu tiên dãy số này b) Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un c) Lập quy trình tính un trên máy casio d) Tìm tất các số tự nhiên n để un chia hết cho n n 3 3 n = 0; 1; 2; … Bài 9: Cho dãy số un = 2 Chuyên đề: Dãy số – Nguyễn Thoan Lop10.com (2) Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - MTBT a) Tính số hạng đầu tiên b) Lập công thức truy hồi để tính un+1 theo un và un-1 c) Lập quy trình tính un+1 trên máy casio d) Chứng minh un = 5m2 n chẳn và un = m2 n lẻ Bài 10: cho un với u1 = ; u2 = 14 ; u3 = -18 và un+1 = 7un-1 – 6un-2 với n = 3; … a) Lập công thức tính un và tính u4; u5 ; u6 … u20 b) Lập và chứng minh công thức tổng quát un c) Chứng minh với số nguyên tố p thì up chia hết cho p (5 ) n (5 ) n Bài 11: Cho dãy số: un = (1) a) Lập công thức truy hồi b) Lập quy trình tính trên máy casio để tính un và tính u1; u2 ; u3 … u10 n n 3 3 Bài 12: Cho dãy số un = 2 a) Lập công thức truy hồi b) Lập công thức tính trên máy casio để tính un và tính u0 đến u4 Bài 13: Cho u1 = ; u2 = và dãy số xác định Nếu n chẳn: u2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - Nếu n lẻ : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1 a) Lập quy trình tính trên máy casio để tính u12, u13 , S12 ; S13 (S12 tổng các số hạng dãy ứng n = 12) b) Tính u12 ; u13 và tính tổng S12 ; S13 Chú ý1: Dãy số un = aun-1 + bun-2 (1) gọi là công thức truy hồi để tính un Dãy số : un = c1u1n + c2u2n (2) gọi là công thức tổng quát để tính un Công thức (1) và (2) cùng biểu diễn để tính giá trị un và có quan hệ với Ở công thức (2) u1 và u2 là nghiệm phương trình: u2 = au + b hay u2 – au – b = Do biết công thức truy hồi ta tìm công thức tổng quát và ngược lại Chuyên đề: Dãy số – Nguyễn Thoan Lop10.com (3) Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - MTBT HƯỚNG DẪN Ví dụ1: (Bài 2) cho dãy số u0 = ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, …) Tìm công thức tổng quát un Giải: Công thức tổng quát có dạng: un = c1x1n + c2x2n Trong dó x1 và x2 là nghiệm phương trình: x2 – 10x + = (*) Giải pt (*) có x1 = ; x2 = - un = c1( )n + c2(5 - )n u0 = ; u1 = 10 nên ta có: c1 c c1 = c = ( ) c ( ) c 10 Vậy công thức tổng quát: un = ( )n + (5 - )n Ví dụ 2: (Bài 8) (2 ) n (2 ) n Cho dãy số : Un = Với n = 0; 1; 2; 3; … Lập công thức truy hồi để tính Un + theo Un và Un + Giải: Cách 1: Ta biểu diễn Un dạng tổng quát un = c1u1n + c2u2n sau: 1 1 Un = ; c2 = ; u1 = 2+ ;u2 = 2- (2 ) n ( ) n c1 = 3 3 Trong đó u1; u2 là nghiệm pt: (u – 2- )(u – 2+ ) = Hay: u2 – 4u + = u2 = 4u – Vậy công thức truy hồi: un+2 = 4un + - un với u1 = ; u2 = Cách 2: Đặt a = + ; b = - Ta có: un = an / - bn / ; un + = an(2 + )2 /2 – bn(2 - )2 / = an(4 + + 3) / - bn(4 - + 3) /2 = an (8 + - 1)/2 - bn (8 - - 1) / = 4an(2 + ) / - 4bn(2 - ) / - (an /2 - bn/2 ) = un+1 - un Vậy ta có công thức truy hồi: un+2 = 4un + - un Chuyên đề: Dãy số – Nguyễn Thoan Lop10.com (4) Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - MTBT Chú ý 2: Để lập quy trình tính trên máy casio fx 570 MS có nhiều quy trình ta nên sử dụng theo quy trình sau là ngắn gọn nhất: Ví dụ 1: Cho dãy số: u1 = ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; …) Viết quy trình bấm phím liên tục để tính các giá trị un với u1 = ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; …) Giải: /shift / sto A (gán u1 vào A) 20 /shift / sto B (gán u2 vào B) Alpha /A / Alpha / = /2 /Alpha /B / + / Alpha / A / Alpha / : Alpha /B / Alpha / = /2 /Alpha /A / + / Alpha / B / Alpha / = (được u3) Lặp lại dấu “ =” ta các số hạng … Ví dụ 2: Cho dãy số un = un – + 2un – + 3un – Biết u1 = 1; u2 = ; u3 = Viết quy trình bấm phím liên tục để tính giá trị un với n /shift / sto A (gán u1 vào A) /shift / sto B (gán u2 vào B) /shift / sto C (gán u3 vào C) Alpha /A / Alpha / = /Alpha /C / + / / Alpha / B / + / /Alpha /A / Alpha /: Alpha /B / Alpha / = /Alpha /A / + / / Alpha / C / + / /Alpha /B / Alpha /: Alpha /C / Alpha / = /Alpha /B / + / / Alpha / A / + / /Alpha /C / Alpha / = (u4) Lặp lại dấu “ =” ta các số hạng … Ví dụ 3: Cho u1 = ; u2 = và dãy số xác định Nếu n chẳn: u2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - Nếu n lẻ : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1 a)Lập quy trình tính trên máy casio để tính u12 ; u13 ; S12 ; S13 (S12 tổng các số hạng dãy ứng n = 12) b) Tính u12 ; u13 và tính tổng S12 ; S13 Giải : Thiết lập quy trình tính trên máy sau Gán u1 = vào A (lẻ) ( /shift / sto/ A ) u2 = vào B (chẳn) (2 /shift / sto/ B) S2 = vào C (3 /shift / sto /C) Nhập: A = 5B + 3A : (u3) (Alpha/A/Alpha/=/5/Alpha/B/+/3/Alpha/A/Alpha /:/) C = C + A : (S3) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/A /:/) B = 3A + 5B - 1: (u4) (Alpha/B/Alpha/=/3/Alpha/A/+/5/Alpha/B/-/1/Alpha /:/) C=C+B (S4) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/B/=/=/=/=/… Ấn liên tiếp các dấu bằng: Lần “=” (được u3) Lần “=” (được S3) Lần “=” (được u4) Lần “=” (được S4) Lặp lại dấu “=” ta tìm dãy số theo chu kì: (u3, S3, u4, S4) ; (u5, S5, u6, S6) (u7, S7, u8, S8) … Như ta dễ dàng giải bài toán: u12 =11980248 ; S12 =15786430 ; u13 =69198729 ; S13 =84985159 Chuyên đề: Dãy số – Nguyễn Thoan Lop10.com (5) Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - MTBT ĐÁP ÁN: DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI Bài 1: a) u3 = 42 ; u4 = 104 ; u5 = 250 ; u6 = 604 ; u7 = 1458 1b) gán: A ; 20 B ; ghi A = 2B + A : B = 2A + B ấn liên tục dấu “=” 1c) u22 = 850268156 ; u23 = 1941675090 ; u24 = 4687618336; u25 = 11316911762 Bài 2: a) gán: A ; 10 B ; ghi A = 10B - A : B = 10A - B ấn liên tục dấu “=” b) u2 = 89 ; u3 = 970 ; u4 = 9602 ; u5 = 95050 ; u6 = 940898 c) CTTQ: có dạng Un = C1x1n + C2x2n đó x1 ; x2 là nghiệm pt: x2 = 10x – (*) (*) có nghiệm: x1 = + ; x2 = - thay vào un ta tìm c1 = c2 = Vậy công thức tổng quát: un = (5 + )n + (5 - )n Bài 3: a) gán: A ; B ; ghi A = B2 + A2 : B = A2 + B2 ấn liên tục dấu “=” b) u2 = 13 ; u3 = 178 ; u4 = 31853 ; u5 = 1014645293 Bài 4: a) gán: A ; B ; C ghi A = C + 2B + 3A : B = A + 2C + 3B : C = B + 2A + 3C ấn liên tục dấu “=” các số hạng dãy b) u22 = 53147701 ; u25 = 711474236 ; u28 = 9524317645 ; u30 = 53697038226 Bài 5: a) u0 = ; u1 = ; u2 = ; u3 = 21 3 a n bn a n bn b) Đặt a = + ; b = - ta có: un = ; un + = 5 a n 18 b n 18 a n bn un+2 = = 5 a n b n = 6u - 4u vậy: u = 6u - 4u a n bn 4 =6 n+1 n n+2 n+1 n 5 c) gán: A ; 3/2 B ; ghi A = 6B - 4A : B = 6A - 4B bấm “=” (được u2) = … B6a) u1 = ; u2 = 10,5 ; u3 = 35,75 ; u4 = 113,125 ; u5 = 354, 8125; u6 = 1118,34375 b) Chứng minh tương tự bài 5b ta có: un + = 5un + – 23/4un – 21/4 c) gán: A ; 10,5 B ; ghi A = 5B – 23/4A – 21/4 : B = 5A – 23/4B – 21/4 bấm “=” (được u3) = = … (được các số hạng dãy tiếp theo) B7a) : gán: A ; 13 B ; ghi A = B + A : B = A + B bấm “=” (được u2) = … b) u13 = 2584 ; u17 = 17711 Bài 8: u1 = ; u2 = ; u3 = 15; u4 = 56; u5 = 209; u6 = 780; u7 = 2911; u8 = 10864 b) C/m tương tự bài 5b ta có: un+2 = 4un + - un với u1 = ; u2 = c) gán: A ; B ; ghi A = 4B - A : B = 4A - B bấm “=” (được u3) = … d) Để un chia hết cho n = 3k Bài 9: a) u0 = ; u1 = ; u2 = ; u3 = 16 ; u4 = 45 b) Tương tự bài 5b ta lập công thức truy hồi: un + = 3un+1 – un + c) gán: A ; B ; ghi A = 3B – A + : B = 3A – B + bấm “=” (u2) = … Chuyên đề: Dãy số – Nguyễn Thoan Lop10.com (6) Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - MTBT Bài 10: a) gán: A ; 14 B ; -18 C ghi A = 7B –6A : B = 7C – 6B : C = 7A – 6C bấm “=” (u4) = (u5) … u4 = 98; u5 = -210; u6 = 794 ; u7 = -2058 ; u8 = 6818 ; u9 = -19170 ; u10 = 60074 u11 = -175098 ; u12 = 535538 ; u13 = -1586130 ; u14 = 4799354; u15 = -14316138 u16 = 43112258 ; u17 = - 129009090 ; u18 = 387682634 ; u19 = -1161737178; u20 = 3487832978 10b) Công thức tổng quát có dạng: un = C1x1n + C2x2n + C3x3n (*)trong đó x1 ; x2 ; x3 là nghiệm phương trình x3 = 7x – x1 = 2; x2 = -3; x3 = thay vào (*) un = C12n + C2(-3)n + C3 Xét n = 1; n = ; n = ta tìm C1 = C2 = C3 = Vậy công thức tổng quát là: un = 2n + (-3)n + Chứng minh phương pháp quy nạp: … Bài 11: a) Tương tự bài 5b ta lập được: un + = 10un+1 – 18un với u1 = 1; u2 = 10 b) gán: A ; 10 B ; ghi A = 10B -18A : B = 10A - 18B bấm “=” ( u3) = … u3 = 82; u4 = 640; u5 = 4924; u6 = 37720 ; u7 = 288568 ; u8 = 2206720; u9= 16872976; u10 = 129008800 Bài 12: a) Tương tự bài 5b ta lập CT: un+2 = 3un+1 - un với u0 = ; u1 = b) gán: A ; B ; ghi A = 3B -A : B = 3A - B bấm “=” ( u2) = … u2 = 7; u3 = 18 ; u4 = 47; u5 = 123 Bài 13: Gán u1 = vào A (lẻ); u2 = vào B (chẳn) ; S2 = vào C Nhập: A = 5B + 3A : C = C + A : B = 3A + 5B - 1: C = C + B Bấm liên tiếp các dấu bằng: Lần “=” (được u3) Lần “=” (được S3) Lần “=” (được u4) Lần “=” (được S4) Lặp lại dấu “=” ta tìm dãy số theo chu kì: (u3, S3, u4, S4) ; (u5, S5, u6, S6) (u7, S7, u8, S8) … Như ta dễ dàng giải bài toán: u12 =11980248 ; S12 =15786430 ; u13 =69198729 ; S13 =84985159 Chuyên đề: Dãy số – Nguyễn Thoan Lop10.com (7)