h2 c Tính diện tích thiết diện tạo nên do mặt phẳng ACB’ cắt khối lăng trụ.ĐS: 1 cos2 2sin 10 Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp trong đường tròn đường kính AD; SD là đoạn thẳng[r]
(1)Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG MÔN TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP PHẦN TÓM TẮT LÝ THUYẾT: A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với chúng không có điểm nào chung a a / /(P) a (P) (P) II.Các định lý: ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a d (P) d / /a d / /(P) a (P) a / /(P) d / /a a (Q) (P) (Q) d d a (P) (Q) a d (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt cùng song song với đường thẳng thì giao tuyến chúng song song với đường thẳng đó (P) (Q) d d / /a (P) / /a (Q) / /a d a Q P §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song với chúng không có điểm nào chung (P) / /(Q) (P) (Q) P Q Lop10.com (2) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến chúng song song a, b (P) (P) / /(Q) a b I a / /(Q), b / /(Q) (P) / /(Q) a / /(Q) a (P) P a b I Q a P Q R (P) / /(Q) (R) (P) a a / / b (R) (Q) b a P b Q B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nó vuông góc với đường thẳng nằm trên mặt a mp(P) a c, c (P) phẳng đó P II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a và b cùng nằm mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P) a c d d a,d b a, b mp(P) d mp(P) a, b caét P Lop10.com a b (3) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ a trên (P) a a mp(P), b mp(P) b a b a' b a' P §2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với góc chúng 900 II Các định lý: ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với thì đường thẳng a nào nằm (P), vuông góc với giao tuyến (P) và (Q) vuông góc với mặt phẳng (Q) Q a mp(P) mp(Q) mp(P) a mp(Q) a P (P) (Q) (P) (Q) d a (Q) a (P),a d P a Q d ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với và A là điểm (P) thì đường thẳng a qua điểm A và vuông góc với (Q) nằm (P) (P) (Q) A (P) a (P) A a a (Q) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba (P) (Q) a a (R) (P) (R) (Q) (R) P a A Q P R Lop10.com a Q (4) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cáchgiữa hai điểm M và H, đó H là hình chiếu điểm M trên đường thẳng a ( trên mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH O O H a Khoảng cách đường thẳng và mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ điểm nào đó a đến mp(P) d(a;(P)) = OH O a H P Khoảng cách hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH O P H Q 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng đó d(a;b) = AB H P a b A B §4.GÓC Góc hai đường thẳng a và b là góc hai đường thẳng a’ và b’ cùng qua điểm và cùng phương với a và b a a' b' b Góc đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc a và hình chiếu a’ nó trên mp(P) Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc đường thẳng a và mp(P) là 900 a P Lop10.com a' (5) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh Góc hai mặt phẳng là góc hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó b a Q P Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích đa giác (H) mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) (H) trên mp(P’) thì S' Scos , đó là góc hai mặt phẳng (P),(P’) S A C B C THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: a) Thể tích khối hộp chữ nhật: b) Thể tích khối lập phương: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: B : diện tích đáy h : chieàu cao V=Bh với V=abc với a, b, c là ba kích thước V=a3 với a là độ dài cạnh B : diện tích đáy V= Bh với h : chieàu cao Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC ta có: VSABC SA SB SC VSA ' B' C ' SA ' SB' SC' V B, B' : diện tích hai đáy h B B' BB' với h : chieàu cao D DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY- THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY: Hình Khối trụ: trụ- R : bán kính đáy Sxq 2Rl với l : đườngsinh R : bán kính đáy Vtrụ R h với h : đường cao Lop10.com R l h (6) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh Hình nón – Khối nón R : bán kính đáy Sxq Rl với l : đườngsinh R : bán kính đáy Vnón R h với h : đường cao h l R 3.Hình nón cụt – Khối nón cụt: Mặt cầu – Khối cầu: Sxq (R R ')l R' Vnoùncuït (R R '2 RR ')h R,R ' : bán kính đáy với l : đườngsinh h : đường cao h l R S 4R với R : bán kính mặt cầu Vcaàu R với R : bán kính khối cầu R PHẦN 2: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, góc mặt bên và mặt đáy 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Đáp án và biểu điểm:(1đ) S D C I O A B Ta có S.ABCD là khối chóp và AB = a nên đáy là hình vuông cạnh a, suy diện tích đáy là S = a2 Gọi O là tâm hình vuông và I là trung điểm A 600 là góc mặt cạnh BC, ta có SIO 0,25đ 0,25đ bên và mặt đáy khối chóp đã cho Trong tam giác vuông SOI, ta có: 0,25đ Lop10.com (7) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh A a tan 600 a SO OI tan SIO 2 Thể tích khối chóp là: 1 a a3 V SABCD SO a2 3 0,25đ Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Đáp án và biểu điểm(1đ) S G O A D H I B C Từ giả thiết ta có SAB là tam giác cạnh a Gọi G và I là tâm tam giác SAB và tâm hình vuông ABCD Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta có OG(SAB), OI (ABCD) Từ đó ta suy tứ giác OIGH là hình chữ nhật ( với H là trung điểm BC) nên OG = a IH = Ký hiệu R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Trong OGA vuông G ta có: R OA OG GA 0,5đ 0,25đ a2 3a2 a 21 0,25đ Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A với AB = a , AC = a, mặt bên SBC là tam giác và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC Đáp án và biểu điểm:(1đ) S B H C A Lop10.com (8) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh Gọi H là trung điểm BC Do SBC nên SH BC Mà (SBC) (ABC) nên SH(ABC) SH là đường cao hình chóp S.ABC Diện tích đáy hình chóp là a2 AB.AC 2 có ABC vuông 0,25đ 0,25đ SABC Ta A nên BC AB2 AC2 a2 3a2 2a 0,25đ BC a Hơn nũa SBC SH= Thể tích khối chóp là: a3 VS.ABC SABC SH 0,25đ Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cạnh a, AA’= b và đường thẳng AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ theo a và b Đáp án và biểu điểm(1đ) A' C' B' b 60 A a C H B Ký hiệu h và V tương ứng là chiều cao và thể tích khối lăng trụ đã cho, ta có: 1 VACA ' B' VB'.ACC ' A ' V VB'.ABC 2 1 1 1 V V hSABC V V 2 3 2 0,25đ Gọi H là hình chiếu vuông góc A’ trên A ' AH 600 đó (ABC), ta có A’H = h và A 0,25đ h AA '.sin 60 b Thể tích khối lăng trụ là a2 3 V h.SABC b a b 4 Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm là VACA ' B' a2 b 0,25đ 0,25đ Lop10.com (9) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh PHẦN 3: CÁC BÀI TẬP ÔN LUYỆN a3 ) 12 2) Cho khối chóp tứ giác S.ABCD biết AB = a và góc mặt bên và mặt đáy Tính thể tích khối chóp.(ĐS: a3 tan ) 3) Cho khối chóp tam giác S.ABC biết AB = a và SA = b Tính thể tích khối chóp.(ĐS: a 3b2 a2 ) 12 A =600 Đường 4) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông A, AC = a C 1) Tính thể tích khối tứ diện cạnh a.(ĐS: chéo BC’ mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) góc 300 a) Tính độ dài đoạn AC’.(ĐS: 3a) b) Tính thể tích khối lăng trụ.(ĐS: a3 ) 5) Hình chóp cụt tam giác có cạnh đáy lớn 2a, đáy nhỏ là a, góc đường cao với mặt bên là 300 a) Tính diện tích toàn phần hình chóp cụt.(ĐS: 11 a ) 3a3 b) Tính thể tích khối chóp cụt.(ĐS: ) 24 6) Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là hình vuông a) Tính diện tích xung quanh hình trụ và thể tích khối trụ tương ứng.(ĐS: Sxq 4R ; Vtru 2R ) b) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ đã cho.(ĐS: 4R3) 7) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600 a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp a ) 8) Một khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cạnh a, cạnh bên BB’ = a, chân đường vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I cạnh AC a) Tính góc cạnh bên và mặt đáy.(ĐS: 300) b) Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (ĐS: a3 b) Tính thể tích khối lăng trụ.(ĐS: ) c) Chứng minh mặt bên AA’C’C là hình chữ nhật 9) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC vuông B Biết BB’=AB=h và góc B’C làm với mặt đáy A A a) Chứng minh BCA B'CB b) Tính thể tích khối lăng trụ.(ĐS: h3 cot ) h2 c) Tính diện tích thiết diện tạo nên mặt phẳng ACB’ cắt khối lăng trụ.(ĐS: cos2 ) 2sin 10) Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn đường kính AD; SD là đoạn thẳng có độ dài a và vuông góc với mặt phẳng (ABC) a) Chứng minh SAC và SAB là tam giác vuông b) Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABDC.(ĐS: Lop10.com 4a2 ) (10) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh c) Tìm điểm cách điểm A, B, C, D, S 11) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy, góc cạnh SC với mặt bên SAB là Cho SA = a asin A a) Chứng minh BSC và AB cos 2 b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.(ĐS: a3 sin ) 3cos2 12) Cho tứ diện ABCD cạnh a a) Tính độ dài đường cao AH khối tứ dĩện.(ĐS: a ) b) Gọi M là điểm khối tứ diện Chứng minh tổng các khoảng cách từ M đến mặt tứ diện là số không đổi A 13) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy AB = a và ASB 2 a) Tính diện tích toàn phần hình chóp.(ĐS: a2 (1 cot ) ) b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.(ĐS: a3 12 cot ) a3 c) Định để thể tích khối nón là (ĐS: arc cot ) 12 14) Một hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân (AB = AC = a) Đường chéo BC’ mặt bên BCC’B’ tạo với mặt bên ACC’A’ góc A B a) Chứng minh AC' 2 b) Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ (ĐS: a2 1 cos 2 ) sin c) Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ và tính thể tích khối cầu tương ứng.(ĐS: a3 ) 6sin3 15) Một hình nón có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là tam giác vuông cân a) Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khối nón tương ứng.(ĐS: Sxq R 2 , V R ) b) Tính bán kính đáy hình trụ nội tiếp hình nón ấy, biết thiết diện qua trục hình R trụ là hình vuông (ĐS: ) 16) Cho hình cầu tâm O đường kính SS’= 2R Mặt phẳng vuông góc với SS’ cắt mặt cầu theo đường tròn tâm H Gọi ABC là tam giác nội tiếp đường tròn này Đặt SH = x (R < x < 2R) a) Tính độ dài các cạnh tứ diện S.ABC theo R và x.(ĐS: AB BC CA 3x(2R x) , SA SB SC 2Rx ) b) Tính x S.ABC là tứ diện Trong trường hợp này, tính thể tích khối tứ diện 8R 3 R , V= ) 27 17) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy S.ABC (ĐS: x a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.(ĐS: a3 ) 10 Lop10.com (11) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh 15 ) c) Mặt phẳng (P) qua CD cắt SA M; SB N Tứ giác CDMN là hình gì 18) Trong mp(P) cho tam giác ABD nội tiếp đường tròn đường kính AC = 2R Trên đường vuông góc với mp(P) C, lấy điểm M cho CM = 2R b) Tính góc cạnh bên SC với mặt phẳng đáy (ĐS: arctan 2R 3 ) b) Gọi I là trung điểm AM Chứng minh I.ABD là hình chóp tam giác a) Tính thể tích khối chóp M.ABCD theo R.(ĐS: R3 ) 19) Cho hình nón đỉnh S, bán kính đáy R Trên đáy hình nón lấy lục giác ABCDEF Mp(SAB) hợp với mặt đáy hình nón góc c) Tính thể tích khối chóp I.ABD theo R (ĐS: a) Tính diện tích thiết diện qua trục hình nón.(ĐS: R tan ) 3 R tan ) 20) Một hình nón có bán kính đáy R và chiều cao h Xét hình trụ có chiều cao 2x nội tiếp hình nón 2R (h 2x)2 x a) Chứng minh thể tích khối trụ là V h h b) Định x để V đạt giá trị lớn nhất.(ĐS: x ) - b) Tính thể tích khối chóp S.ABCDEF (ĐS: HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN *** A/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ : @ Phần chung cho nâng cao và : I/ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN : Hệ trục toạ độ Đề-các vuông góc không gian gồm ba trục x’Ox , y’Oy, z’Oz vuông góc đôi Gọi i , j , k là các vectơ đơn vị trên các trục x’Ox , y’Oy , z’Oz Điểm O gọi là gốc toạ độ Các mặt phẳng (Oxy) , (Oxz), (Oyz) đôi vuông góc với gọi là các mặt phẳng toạ độ Không gian gắn với hệ toạ độ Oxyz gọi là không gian Oxyz II/ TOẠ ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM : Trong không gian cho điểm M tuỳ ý Oxyz Khi đó ta có OM xi yj zk và gọi ba số (x ; y ; z) là toạ độ điểm M hệ toạ độ Oxyz đã cho Ta viết M = ( x ; y ; z ) M ( x ; y ; z ) III/ TOẠ ĐỘ CỦA MỘT VECT Ơ: Trong không gian Oxyz cho a với a a1i a2 j a3 k Khi đó ba số ( a1 , a2 , a3 ) gọi là toạ độ a hệ toạ độ Oxyz đã cho Ta viết a =( a1 , a2 , a3 ) hay a ( a1 , a2 , a3 ) IV/ BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ : Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) và số k Khi đó ta có : 11 Lop10.com (12) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh a b (a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3 ) ka (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a1 b1 * Lưu ý : a) a b a2 b2 a b 3 b) (0;0;0) c) a và b ( 0) cùng phương có số k cho a1 kb1 b1 ka1 a2 kb2 hay b2 ka2 a kb b ka 3 d) Nếu A ( x A , y A , z A ), B ( xB , yB , z B ) thì • AB ( xB x A ; yB y A ; z B z A ) • Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB là : x x y yB z A z B M( A B ; A ; ) 2 V/ BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG : a) Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) Ta c ó : a.b a1b1 a2b2 a3b3 b) Độ dài vectơ : Cho vectơ a (a1 ; a2 ; a3 ) , ta c ó a a.a a12 a22 a32 c) Khoảng cách hai điểm A ( x A , y A , z A ), B ( xB , yB , z B ) là AB ( xB x A ) ( yB y A ) ( z B z A ) d) Gọi là góc hai vectơ a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) a1b1 a2b2 a3b3 a.b Ta có : cos cos(a , b ) a b a12 a22 a32 b12 b22 b32 Và a b a1b1 a2b2 a3b3 VI/ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU : Trong không gian Oxyz mặt cầu tâm I = ( a ; b ; c ) bán kính r có phương trình : ( x a ) ( y b) ( z c ) r Phương trình : x y z Ax By 2Cz D với A2 B C D là phương trình mặt cầu tâm I ( -A ; -B ; -C ) có bán kính r A2 B C D * NHẮC LẠI : Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu : Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) và mặt cầu ( S ) có phương trình : ( ) : Ax By Cz D ( S ) : ( x a ) ( y b) ( z c ) r Gọi H là hình chiếu vuông góc tâm I ( a ; b ; c ) (S) trên mặt phẳng (α) thì IH là khoảng cách từ I đến (α) 12 Lop10.com (13) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh Vậy IH d ( I , ) a) b) Aa Bb Cc D A2 B C Nếu IH > r thì ( ) ( S ) , tức là mặt phẳng (α) không có điểm chung với mặt cầu (S) Nếu IH = r thì ( ) ( S ) H , ta nói (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H và (α) gọi là mặt phẳng tiếp xúc hay tiếp diện mặt cầu Điểm H gọi là tiếp điểm mặt cầu (S) và mặt phẳng (α) Lưu ý đó (α) vuông góc với bán kính IH H ( S ) c) Nếu IH < r thì giao ( ) ( S ) là đường tròn có tâm là H và bán kính là r r IH @ Phần riêng dành cho nâng cao : Tích có hướng hai vectơ : Tích có hướng (hay tích vecto) hai vec tơ u a, b, c và v a ', b ', c ' là vecto,kí hiệu là u , v (hoặc u v ),được xác định tọa độ sau: b c c a a b u , v ; ; bc ' b ' c; ca ' c ' a; ab ' a ' b b ' c ' c ' a ' a ' b ' * Tính chất tích có hướng : u , v u ; u ; v v tức là u , v .u 0; u ; v .v u , v u v sin(u , v ) u , v u , v cùng phương * Ứng dụng tích có hướng : a) Tính diện tích hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì S ABCD AB, AD b) Tính thể tích khối hộp : Nếu ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp thì thể tích hình hộp đó là : V AB, AD AA * Lưu ý : Thể tích khối tứ diện ABCD thể tích khối hộp có ba cạnh là BA ,BC ,BD Như : VABCD BA, BC BD B/ CÁC BÀI TẬP MẪU: @ DÀNH CHO CẢ NÂNG CAO VÀ CƠ BẢN : Các bài tập sau đây xét không gian Oxyz 1) Cho ba điểm A ( ; ;-2 ) , B ( ; ;- ) , C ( ; -2 ; ) a) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh tam giác b) Tính chu vi tam giác ABC c) Tìm toạ độ trung điểm I cạnh BC d) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC e) Tìm toạ độ điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành f) Tính góc BAC Bài giải : 13 Lop10.com (14) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh AB (1;1;1) a) Không tìm số k : AB k AC tức là hai vectơ AB, AC không cùng phương AC (0; 2; 4) Ba điểm A ,B ,C không thẳng hàng tức là A , B , C là ba đỉnh tam giác b) AB AC Chu vi tam giác ∆ ABC = AB + AC + BC = 19 BC 19 c) Vì I là trung điểm cạnh BC nên : xB xC x I xI y y 1 B C yI Vậy I ( ; ; ) yI 2 2 z z B C zI zI d) G là trọng tâm ∆ ABC OG (OA OB OC ) ( O là gốc toạ độ ) x A xB xC xG 3 y yB yC 1 yG A Vậy G ( ; ; ) 3 3 z A z B zC zG 3 e) ABCD là hình bình hành B C AB DC A D xD xD 1 2 yD yD 3 1 (2) z z D D Vậy D ( ; -3 ; ) AB AC 1.0 1.(2) 1.4 A f) Ta có : cos BAC cos( AB, AC ) 3.2 15 AB AC A Từ đó suy ra: BAC 750 '12, 42 '' 2) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ ,biết A (1; ; ) , B ( ; ; ) , D ( 1; -1 ; ) và C’(4 ;5 ; -5 ) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại ? Bài giải : 2 xC xC Ta có : AB DC 1 yC (1) yC Vậy C (2 ; ;2 ) 2 z z C C 14 Lop10.com (15) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh C B A D C' B' A' D' AA CC A(3;5; 6) Tương tự , từ BB CC B(4;6; 5) DD CC D(3; 4; 6) 3) a) Tìm điểm M thuộc y’Oy cho M cách A ( ; ;0 ) và B ( -2 ; 4;1 ) b) Tìm điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy) cho N cách A ( 1; ;1 ) , B ( -1 ;1 ; ) và C ( ; ; -1 ) Bài giải : a) Vì M yOy nên M(0;y;0) MA MB MA2 MB Ta có : (3 0) (1 y ) (0 0) (2 0) (4 y ) (1 0) 11 10 y 21 y y 11 Vậy M (0; ;0) b) N (Oxz ) N ( x;0; z ) Ta có : NA2 NB NA NB NC NA2 NB NC 2 NA NC 2 2 2 ( x 1) (0 1) ( z 1) ( x 1) ((0 1) z 2 2 2 ( x 1) (0 1) ( z 1) ( x 3) (0 1) ( z 1) x y Vậy N ( ;0; ) 6 4) Viết phương trình mặt cầu (S) biết : a) (S) có tâm I ( -1 ; ;3 ) và qua điểm A ( -2 ; ; ) b) (S) có đường kính AB với A ( ; ;-5 ) và B ( -4 ; ; ) c) (S) có tâm I ( ; ; -7 ) và tiếp xúc với mặt phẳng : ( ) : x y z 42 Bài giải : a) Vì (S) qua A(-2;1;1) bán kính (S) là : r IA (2 1) (1 2) (1 3) Vậy phương trình (S) là : ( x 1) ( y 2) ( z 3) 15 Lop10.com (16) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh b) (S) có đường kính AB nên tâm mặt cầu (S) là trung điểm I AB và bán kính r AB x A xB xI xI y A yB yI Vậy tâm I(1;1;1) Ta có : yI z I z A zB z I AB 248 62 Bán kính r 2 Vậy phương trình (S) là : ( x 1) ( y 1) ( z 1) 62 c) (S) tiếp xúc mặt phẳng ( ) : x y z 42 nên bán kính (S) là : x yI z I 42 121 r d ( I , ( )) I 11 11 36 36 49 Vậy mặt cầu (S) có phương trình : ( x 1) ( y 4) ( z 7) 121 5) Lập phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A ( ; ;0 ) , B ( ; ;2 ) , C ( -1 ; ;2) D ( ; -1 ;2 ) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đó Bài giải : Giả sử mặt cầu (S) có phương trình dạng : x y z 2ax 2by 2cz d 0(a b c d 0) 1 2a 2b d 0(1) 9 6a 2b 4c d 0(2) Do (S) qua A(1;1;0) , B(3;1;2) , C(-1;1;2) , D(1;-1;2) nên ta có : 1 2a 2b 4c d 0(3) 1 2a 2b 4c d 0(4) Lấy (1) - (2) , (1) – (3) , (1) –(4) ta : 12 4a 4c 4 4a 4c 4 4b 4c Giải hệ này ta : a= -1 ; b = -1 ; c = -2 Thay các giá trị này vào (4) ta d = x2 y z 2x y 4z Vậy phương trình mặt cầu là : Tâm mặt cầu (S) là I(1;1;2) và bán kính r a b c d ) Lập phương trình mặt cầu (S) qua ba ểm A ( -2 ; ;1 ) , B ( ; ;-3 ) , C ( -5 ;0 ;0 ) và có t âm nằm trên mặt phẳng : (P) : 2x + y – z + = Bài giải : Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng : x y z 2ax 2by 2cz d 0(a b c d 0) ( (S) có tâm I(-a;-b;-c)) Vì (S) qua A ,B ,C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P) nên ta có hệ phương trình : 16 Lop10.com (17) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh 4 16 4a 8b 2c d 9 6a 2b 6c d 25 10a d 2( a ) (b) (c) Giải hệ trên ta : a= -1 ; b = ; c = -3 ; d = -35 Vậy mặt cầu (S) có phương trình : x y z x y z 35 7) Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : x y z và song song với mặt phẳng (Q) : x + 2y -2z +15 = Bài giải : • (S) có tâm O(0;0;0) và bán kính r = • (P) song song với (Q) nên phương trình (P) có dạng : x + 2y -2z + m = m m 9 • (P) tiếp xúc với (S) d (O, ( P )) r • Vậy có hai mặt phẳng thoả đề bài : (P) : x + 2y -2z +9 =0 và (P’): x + 2y -2z -9 = 8) Cho mặt cầu (S) : x y z x y z và hai đường thẳng x y 1 z (d1 ) : 3 x 7 t (d ) : y 1 t z a) Lập phương trình mặt phẳng ( ) song song d1 , d và tiếp xúc với (S) b) Xác định toạ độ tiếp điểm (S) với ( ) ? Bài giải : a) * (S) có tâm I(2 ;-1;3) và bán kính r = * (d1 ) có vectơ phương là a1 (2; 3; 2) (d ) có vectơ phương là a2 (1; 1;0) * Vì ( ) song song d1 , d nên ( ) nhận n a b (2; 2;1) làm vectơ pháp tuyến Do đó phương trình ( ) có dạng : 2x + 2y +z + m = Vì ( ) tiếp xúc với (S) nên : 4 23 m d ( I , ( )) r 3 22 22 12 m 5 m m 14 Vậy có hai mặt phẳng ( ) thoả mãn đề bài : (1 ) : x y z ( ) : x y z 14 b) Xét đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (1 ), ( ) Lúc đó (d) có vectơ phương là a n (2; 2;1) Phương trình tham số (d) là : x 2t (d ) : y 1 2t (t A ) z t 17 Lop10.com (18) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh * Tiếp điểm A (S) với (1 ) chính là giao điểm (d) và (1 ) và toạ độ A là nghiệm hệ : x 2t y 1 2t z t 2 x y z Giải hệ này ta : A(0;-3;2) * Tiếp điểm B (S) với ( ) chính là giao điểm (d) và ( ) và toạ độ B là nghiệm hệ : x 2t y 1 2t z t 2 x y z 14 Giải hệ này ta : B(4;1;4) 9) Cho điểm A ( ; ;3 ) và mặt cầu (S) : ( x 1) ( y 2) ( z 3) 16 a) Tìm các giao điểm M , N đường thẳng OA với (S) ? b) Viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) M và N Bài giải : a) Đường thẳng OA có vectơ phương là OA (1; 2;3) x t (OA) : y 2t z 3t Toạ độ giao điểm M , N đường thẳng OA với mặt cầu (S) là nghiệm hệ : x t y 2t z 3t ( x 1) ( y 2) ( z 3) 16(1) Thay x , y , z vào (1) ta phương trình : (t 1) (2t 2) (3t 3) 16 Giải phương trình trên ta : t = và t Vậy M(1;2;3) và N ( ; ; ) 7 b) Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) và bán kính r = Mặt phẳng (1 ) tiếp xúc với (S) M ,suy (1 ) có vectơ pháp tuyến là IM (0; 4;0) Vậy phương trình mặt phẳng (1 ) là : 0( x – ) + 4( y – ) + 0( z – ) = hay 4y – = 12 24 Mặt phẳng ( ) tiếp xúc với (S) N ,suy ( ) có vectơ pháp tuyến là IN ( ; ; ) 7 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là : 12 24 ( x ) ( y ) ( z ) hay 8 x 12 y 24 z x y z 7 7 7 10) Cho mặt cầu (S) : ( x 3) ( y 2) ( z 1) 100 và mặt phẳng ( ) : x y z a) Chứng minh (S) và ( ) cắt theo giao tuyến là đường tròn (T) b) Tìm tâm và bán kính đường tròn (T) ? Bài giải : 18 Lop10.com (19) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh a) Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính r = 10 2.3 2(2) 6 Ta có : d ( I , ( )) 1 Vậy d ( I , ( )) r nên (S) cắt ( ) theo giao tuyến là đường tròn (T) b) Gọi J là tâm (T) thì J là hình chiếu I lên ( ) * Xét đường thẳng (d) qua I và vuông góc với ( ) Lúc đó (d) có vectơ phương là a n (2; 2; 1) Phương trình tham số (d) là : x 2t (d ) : y 2 2t (t A ) z 1 t x 2t y 2 2t * Toạ độ J là nghiệm hệ : z 1 t 2 x y z Giải hệ này ta : J(-1;2;3) * Gọi r’ là bán kính (T) , ta có : r r d Với d là khoảng cách từ I đến ( ) Ta có : d = Vậy r 100 36 Tóm lại : J(-1;2;3) và r’= @ BÀI TẬPRIÊNG DÀNH CHO NÂNG CAO : 1) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1 ; ; 1) , B(-1 ; ; 2) , C(-1 ; ; 0) , D(2 ; -1 ; -2) a) Chứng minh A , B , C , D là bốn đỉnh tứ diện b) Tính đường cao tam giác BCD hạ từ đỉnh D và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó c) Tính góc hai đường thẳng AB và CD d) Tính thể tích tứ diện ABCD và từ đó hãy suy độ dài đường cao tứ diện kẻ từ đỉnh A Bài giải : a) Để chứng minh A , B ,C ,D là bốn đỉnh tứ diện ta chứng minh A , B ,C ,D không đồng phẳng Điều này tương đương với ba vectơ BA, BC , BD không đồng phẳng Ta có : A B H D K C BA (2; 1; 1), BC (0;0; 2), BD (3; 2; 4) BA, BC (2; 4;0) BA, BC BD 2.3 4.(2) 0.(4) 2 Vậy BA, BC , BD không đồng phẳng 19 Lop10.com (20) Tài liệu ôn tập môn Toán THPT- Giáo dục trung học Tây Ninh b) Ta có : S BCD BC , BD 2 2 2 2 0 13 2 4 4 3 2 BC 2S 13 S BCD BC.DK DK BCD 13 BC CD (3; 2; 2) Nếu gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD 2p là chu vi tam giác đó thì S BCD p.r Ta có : 2p = BC + BD + CD = + 29 17 p 29 17 S BCD 13 p 29 17 c) Gọi là góc hai đường thẳng AB và CD Vì 00 900 nên bù với góc hai vectơ AB và CD Vậy : AB.CD cos cos( AB, CD) AB CD Do đó : r Ta có : AB (2;1;1), CD(3; 2; 2) AB.CD (2).3 1.(2) 1.(2) 10 AB 6, CD 17 cos 10 10 102 17 Từ đó ta suy góc 1 d) Ta có : VABCD BA, BC BD 2 6 3 3VABCD 1 Gọi AH là đường cao tứ diện ABCD Khi đó : VABCD AH S BCD AH S BCD 13 13 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;3;1) và đường thẳng d có phương trình : x y 1 z 1 Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng đường thẳng d 2 Bài giải : Kí hiệu R là bán kính mặt cầu tâm A , tiếp xúc với đường thẳng d Ta có : R d ( A, d ) d qua M(-2;1;-1) và có vectơ phương là a (1; 2; 2) MA(4; 2; 2) MA, a Vậy R a 2 2 4 2 2 1 2 10 12 22 (2) Vậy phương trình mặt cầu là : 200 ( x 2) ( y 3) ( z 1) - 20 Lop10.com (21)