Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ.. Biết tích một nghiệm của phương trình 1 với một nghiệm của phương trình 2 là một ng[r]
(1)GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 MÔN: ĐẠI SỐ I – PHƯƠNG TRÌNH (BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x2 – x + m = có hai nghiệm dương x1, x2 cho P = x14 x24 x15 x25 đạt GTLN HD: P = x1x2(1 – 3x1x2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (BT_363_9/07) Cho a ≠ Giả sử b, c là hai nghiệm phân biệt phương trình x2 – ax =0 Chứng minh 2a b4 + c4 ≥ + (BT_363_9/07)Cho a,b,c,d R Chứng minh ít phương trình sau có nghiệm ax2 + 2bx + c = 0, bx2 + 2cx + d = 0, cx2 + 2dx + a = 0, dx2 + 2ax + b = (BT_367_1/08) Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh ba phương trình x2 – 2ax + b = 0, x2 – 2bx + c = , x2 – 2cx + a = có ít phương trình có hai nghiệm phân và ít phương trình vô nghiệm (BT_366_12/07) Giải phương trình x2(x4 – 1)(x2 + 2) + = HD: Chuyển A2 = 2 x2 x2 x2 (BT_366_12/07) Giải phương trình 20 20 x2 x 1 x 1 x2 x2 HD: Đặt u = ,v= Chuyển phương trình dạng aA + b A.B + cB = x 1 x 1 (BT_366_12/07) Giải phương trình x4 = 24x + 32 HD: Chuyển A2 = B2 (BT_359_5/07) Cho phương trình ax2 + bx + c = có các số a, b, c là các số nguyên lẻ Chứng minh phương trình có nghiệm thì các nghiệm phương trình không thể là số hữu tỷ (BT_368_2/08) Giải phương trình x4 - 2x3 + 4x2 – 3x – = 10 (Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x2 + ax + = 0(1), x2 + bx + = (2) , x2 + cx + = (3) Biết tích nghiệm phương trình (1) với nghiệm phương trình (2) là nghiệm phương trình (3) Chứng minh a2 + b2 + c2 + abc = x1 a x1 (4) x x b (5) Nhân (4); (5) ta có ab c HD: Áp dụng Định lí viét x2 x2 x2 x1 (6) c x1 x2 x1 x2 1 Từ (4),(5) ta có x12 a ; x22 b Nhân lại ta có x1 x2 2 x1 x2 (a 2)(b 2) x1 x2 4 x1 x2 x2 x1 11 Nghiệm phương trình x2 + ax + b + = là các số tự nhiên khác Chứng minh a2 + b2 là số tự nhiên 12 Có thể có hay không biệt số phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với hệ số nguyên a, b, c 23 13 Giả sử a, b, c là các số cho 2a , a + b, c là các số nguyên Chứng minh với x Z thì ax2 + bx + c nguyên 14 Tìm a Z để phương trình có nghiệm nguyên a) x2 + ax + a = b) x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 2 Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (2) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An c) x2 – (1 + 2a)x + 19 – a = d) x2 + (a + 1)x + a + = 1 là các số nguyên x y 16 Cho f(x) = ax2 + bx + c Biết phương trình f(x) = x vô nghiệm Chứng minh phương trình af2(x) + bf(x) + c = x vô nghiệm 17 Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ thoả mãn |f(x) ≤ 2008 | x | ≤ Chứng minh |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008 18 Giả sử |ax2 + bx + c| ≤ |x| ≤ 1.Chứng minh |cx2 + bx + a| ≤ |x| ≤ HD: Giả sử a ≥ 19 Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ a) Chứng minh rằng: Nếu ac < thì Phương trình f(f(x)) = có nghiệm HD: ay1 > PT: ax2 + bx + c = y1 có nghiệm b) Cho a = Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt Chứng minh phương trình f(f(x)) = x có nghiệm phân biệt (b + 1)2 > 4(b + c + 1) 20 Cho f(x) = ax2 + bx + c Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ Chứng minh a) |a| + |b| + |c| ≤ b) |f(x) | ≤ với |x| ≤ Cho f(x) = ax2 + bx + c Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ Chứng minh |f(x) | ≤ , |x| ≤ 21 22 II– PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1 x 1 (BT_364_10/07) Giải phương trình x 2 15 Tìm các số hữu tỷ dương x, y cho x + y và HD: Đặt u = x,v= x Chuyển hệ phương trình 2 (BT_364_10/07) Giải phương trình HD: Đặt t = x x Tính x x2 x x2 x x theo t Chuyển phương trình ẩn t (BT_364_10/07) Giải phương trình HD: x 22 x 28 x x 13 31x 14 x 3( x 2) x 22 x 28 (2 x 1) 3(3 x) 3(3 x) x x 13 (2 x 1) 3( x 2) 3( x 2) 31x 14 x 13 (2 x 1) 3(3 x 1) 3( x 2) (BT_363_9/07) Giải phương trình x x 2x x x x , v = 2x Chuyển HPT x x C2: Chuyển PT tích dạng A2 = B2 HD: C1: Đặt u = x (BT_365_11/07) Giải phương trình 2( x 8) x HD: Phương trình dạng đẳng cấp aA + b A.B + cB = (BT_366_12/07) Giải phương trình x2 + = x HD: C1: aA + b A.B + cB = C2: Chuyển A2 = (BT_366_12/07) Giải phương trình x y z x y z HD: Chuyển A2 + B2 + C2 = Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (3) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An (BT_366_12/07) Giải phương trình x x x HD: Đặt t = 1 x 2 Chuyển phương trình ẩn t (BT_366_12/07) Giải phương trình x x 2008 2008 x 2008 Chuyển hệ phương trình HD: Đặt y = 10 (BT_366_12/07) Giải phương trình x x x x x HD: C1: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp C2: Đặt a x x 1, b x x Chuyển hệ phương trình ẩn a, b 11 (BT_366_12/07) Giải phương trình x x ( x 1)(9 x ) 38 10 x x x x x Chuyển phương trình ẩn t HD: Đặt t = x x x x3 3x x 12 (BT_366_12/07) Giải phương trình 2( x 1) Chuyển hệ phương trình HD: Đặt u = (x + 1)2, v = 13 (BT_362_8/07) Giải phương trình x x HD: Đặt z = x6,y= z Chuyển hệ phương trình “Hoán vị vòng quanh” Giả sử x ≥ y ≥ z 14 (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình m x 3 x x có nghiệm HD: Đặt t = x 1 Do t = nên ≤ t < Chuyển vẽ bảng biến thiên hàm số bậc hai x 1 x 1 15 (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình HD: Đặt t = x 4m x x (m 3) x có nghiệm x2 Tìm điều kiện t Chuyển bài toán theo tam thức bậc hai x 1 16 (BT_359_5/07) Giải phương trình HD: Áp dụng công thức x2 x2 x2 A2 | A | 17 (BT_359_5/07) Giải phương trình x x2 x x x2 x 18 (BT_368_2/08) Gải phương trình x x x 19 (BT_368_2/08) Giải phương trình x x 10 x 20 (Olympic 04) Giải phương trình x HD: Đặt t = x 1 1 1 x x x x Chuyển phương trình bậc ẩn t, xem x là tham số x x 1 x 1 1 x 1 x t t x 1.t t = 2( x 1) v t = x x x PT: t = 2( x 1) Vô nghiệm PT x PT: t = x Bình phương hai vế chuyển ( x x 1) 21 (Olympic 99) Giải phương trình x x x x2 HD: Chuyển phương trình đẳng cấp Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page x 1 1 (4) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 22 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x 3 x HD: Đặt y = 3 x Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y 23 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x x x HD: Đặt x = y – Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y 24 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x x x x 3 x x HD: Giải PT phương pháp đánh giá VT ≥ ≥ VP x3 25 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x x , x ≥ - HD: Đặt x3 = y + Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y 26 (Olympic 95-05) Giải phương trình 2( x x 2) x HD: Chuyển phương trình đẳng cấp 15 (30 x x) 2004( 30060 x 1) 27 (Olympic 95-05) Giải phương trình 15 ( 30060 x 1) Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II HD: Đặt y = 28 (Olympic 95-05) Giải phương trình x 14 x x x 20 x HD: Chuyển vế bình phương hai vế Chuyển phương trình đẳng cấp 29 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x3 x2 x 1 2(m 1) 4(1 m) 4m x x x x HD: Đặt t = x ; t ≥ Chuyển tam thức bậc hai x 30 (Olympic 95-05) Giải phương trình HD: Đặt ẩn phụ u = x x(1 x) (1 x)3 x x x (1 x) x , v = x Chuyển phương trình tích 31 (Olympic 95-05) Giải phương trình x x 19 x x 13 13 x 17 x 3( x 2) HD: Phân tích các (2x – 1)2 Áp dụng BĐT A2 B | A | 32 (Olympic 95-05) Giải phương trình x x 816 x 10 x 267 2003 HD: Phương pháp BĐT | a b || a | | b | Xét a (4 x; 20 2), b(5 x;11 2) 33 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm x x x m x HD: Đặt ẩn phụ t x x , - ≤ t ≤ 34 (Olympic 95-05) Giải phương trình x 15 32 x 32 x 20 HD: Đặt ẩn phụ x 15 y Chuyển HPT đối xứng loại II 35 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm x x x x m HD: Đặt ẩn phụ t x x , ≤ t ≤ m 36 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm x2 x x2 x m 3 HD: Xét A( ; ), B ( ; ), M ( x;0) Ta có AB = và PT |AM – BM| < AB = 2 2 37 (Olympic 06) Giải phương trình ( x 1) x x x Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (5) GV: Trần Đình Hiền HD: Đặt t = - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An x x Tính x2 , Chuyển phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số x x2 2x2 HD: Chuyển phương trình chứa gt tuyệt đối VT, phân tích thành nhân tử VP 38 (Olympic 06) Giải phương trình 39 (Olympic 06) Giải phương trình ( x x )( x x 2007) 2005 x x 30 x x 2006 HD: PT ( x x 1) 2005( x x ) 30 x x 3x 1 40 (Olympic 04_11) Giải phương trình x x2 HD: Chuyển vế Bình phương Chuyển phương trình đối xứng bậc 1 x 41 (Olympic 06) Giải phương trình 1 4x x HD: Quy đồng Nhân liên hợp 42 (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 32 x 4 x 4 x 4 m 43 (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 44 III - BẤT PHƯƠNG TRÌNH x x x x m (BT_359_5/07) Giải bất phương trình x x x x 11 x x (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình HD: Bình phương hai vế Đặt t = 8 x 32 Chuyển bất phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình HD: Nhân hai vế với x 16 2 x x Phân tích Chọn O(0;0), M(x;y), A(2; 0), B(- 1; x (1 3) x x (1 3) x x x ( x 2) x ( x 1) ( x 3) ( x 1) ( x 3) ), C(- 1; - ) Ta có BPT MA + MB + MC ≤ và ABC đều.Dùng phép quay QB60 MA + MB + MC = AM + MM1 + M1C ≥ AC1 = BPT M O (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình x HD: Đặt x = x x 1 35 12 , Đặt t = a + a a IV - HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( x 1)( y 1) xy (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình x y 2 x 1 y 1 1 HD: Đặt u = x + , v = y + y x x x y y (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình 2 x y HD: Giải PT(1) Thế vào PT(2) TH1: x = v x = 1 13 TH2: C/m PT vô nghiệm Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (6) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 1 1 1 20 x 11 y 2008 z (BT_363_9/07) Giải hệ phương trình x y z xy yz zx x2 x xy yz zx 20( x y )( x z ) 1 HD: c/m x, y , z cùng dấu 20 x 20 Tương tự 20 x x x x c/m xy < Suy HPT vô nghiệm 1 3( x ) 4( y ) 5( z ) x y z (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình xy yz zx x y x (BT_367_1/08) Giải hệ phương trình y xy x y (BT_365_11/07) Giải hệ phương trình 2 x y x y HD: PT(2) x3 + y3 = 1(x2 + y2) x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2) x y z xy yz zx (BT_366_12/07) Giải hệ phương trình 2008 y 2008 z 2008 32008 x x y m (BT_361_7/07) Hệ phương trình có nghiệm (x;y) Tìm GTLN , GTNN P = x3 + y3 x y m 3 x y y m (BT_361_7/07) Tìm m > để hệ phương trình có nghiệm 3 y x x m x 2( x x y ) 10 (BT_359_5/07) Giải hệ phương trình y 2( y y x) HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II 2 x x y y 11 (BT_368_2/08) Giải hệ phương trình y x 2.x 2008 y 2007 z 2006 12 (BT_368_2/08) Giải hệ phương trình 2 y 2008 z 2007 x 2006 2.z 2008 x 2007 y 2006 x ( y z ) (3 x x 1) y z 13 (Olympic 05) Giải hệ phương trình y ( z x) (4 y y 1) z x z ( x y ) (5 z z 1) x y HD: TH1: xyz = Xét các khả TH2: xyz ≠ Chia hai vế các phương trình cho x2y2z2 Đặt a 1 ; b ; c Cộng hai vế các phương x y z trình Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (7) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 1 x1 ( x2 x ) 1 x2 ( x3 ) x3 14 (Olympic 02) Giải hệ phương trình 1 x2008 ( x1 x ) HD: Nếu hệ phương trình có nghiệm (x1; x2;….;x2008) thì x1, x2,….,x2008 phải cùng dấu và (-x1; -x2;….;-x2008) là nghiệm HPT Ta xét x1, x2,….,x2008 > Áp dụng BĐT Cauchy ta có xi ≥ Cộng theo vế các phương trình ta có x1 + x2 + 1 ….+x2008 = Từ đó ta có x1= x2=….= x2008 = x1 x2 x2008 Suy x1= x2=….= x2008 = ± y x 12 x 15 (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình z y 12 y x z 12 x HD: Cộng theo vế chyển tổng các lập phương Xét các trường hợp TH1: x > y, z > HPT vô nghiệm TH2: x < y, z < HPT vô nghiệm TH3: x = y = z = xy yz zx 12 16 (Olympic 06) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm tập các số xyz x y z thực dương Chứng minh hệ có nghiệm với x, y, z thực phân biệt 11z x y z HD: Nhận xét (2;2;2) là nghiệm HPT xy z z 12 z2 (x + y)2 ≥ 4xy (z – 2)2(2z + 11)(2z + 1) ≤ 6 x y (1 x ) 17 (Olympic 06) Giải hệ phương trình 6 y z (1 y ) 6 z x(1 z ) 2 HD: TH1: Xét y = , TH2: Xét y ≠ Rút x2 = theo y Suy ≤ y < Tương tự 3 y ≤ x,y,z < KN1: x = y = z = KN2: = … ≤ 1.Tương tự x y2 x xy 25 y 18 (Olympic 02_11) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình z Tính giá trị P = xy + 3 z xz x 16 2yz + 3zx HD: Xét ABC có AB = 4, BC = 5, CA = và điểm M ABC cho Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (8) GV: Trần Đình Hiền y MBC có các cạnh x, MCA có các cạnh y - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An A ,5 và BMC 1500 A , z ,3 và CMA 900 MAB có các cạnh x, z , và AAMB 1200 Ta có S BMC SCMA S AMB S ABC Suy P = 24 1 4 x y y x 19 (Olympic 02_11) Giải hệ phương trình 1 2 2 3 x y 3 y x x y HD: Tính , theo x, y Quy đồng và cộng trừ theo vế Suy tính (x + y)5 và (x – y)5 x y y x x mx 20 (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y y my HD: Hệ đối xứng loại II 2 x y y 21 (BT) Giải hệ phương trình 2 y x x 3 x y 22 (BT) Giải hệ phương trình 2 x y x y x3 y 23 (BT) Giải hệ phương trình xy ( x y ) 2 x y ( x y )(2 xy 3) 24 (BT) Giải hệ phương trình x xy y y x y x 25 (BT) Giải hệ phương trình y 3x x y 2 y ( x y ) x 26 (BT) Giải hệ phương trình x( x y ) 10 y HD: Xét x = 0, y = Chia hai phương trình đặt t = x y x y xy 27 (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình x y x y 28 (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình y x x y Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (9) GV: Trần Đình Hiền HD: Đặt t = - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An x Giải phương trình (1) theo ẩn t y 12 1 x 2 y 3x 29 (BT_364_10/07)* Giải hệ phương trình 1 12 y y 3x HD: Chia x hai vế cho phương trình (1), Chia y hai vế cho PT(2) Cộng và trừ hai PT ta HPT Nhân hai vế hai PT Giải phương trình đẳng cấp 1 x y z x y z 1 118 30 (BT_365_11/07) Giải hệ phương trình x y z x y z 1 728 x x y y z z 27 x x y y z z 1 HD: Đặt a = x ,b= y ,c= z Ta có 3(a +b)(b +c)(c + a) = (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) x z y x y y x x x 31 (BT_361_7/07) Giải hệ phương trình y x x y y y HD: Hệ phương trình đối xứng loại II x y m 32 (BT_361_7/07) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm y x m HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II Nhân hai vế với biểu thức liên hợp 2y y 42 x 33 (Olympic 2000) Giải hệ phương trình x 2 y 42 x HD: Chia PT (1) cho y , chia PT(2) cho phương trình ta có phương trình đẳng cấp x Cộng và trừ theo vế ta có hai phương trình Nhân theo vế hai x y m 34 (Olympic 95-05) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y 3m HD: Đặt ẩn phụ u x 1; v y , u, v ≥ Chuyển hệ phương trình đối xứng loại I x 21 y y 35 (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình y 21 x x HD: Hệ phương trình đối xứng loại II Trừ vế theo vế Sau đó nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp 2 x y m 36 (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm y x m Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (10) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An HD: Đặt ẩn phụ u , v x y 37 (BT) Giải hệ phương trình y 1 x x y m 38 (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y xy m 39 V - BẤT ĐẲNG THỨC (BT_364_10/07) Cho a,b,c >0 và ab + bc + ca =1 Chứng minh 1 1 1 3 1 1 1 ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 HD: BĐT 1 1 1 ab bc ca a2 b2 c2 Quy đồng cặp VT và phân tích đa thức thành nhân tử Thay VP = ab + bc + ca Sau đó phân tích đa thức thành nhân tử cho các tử thức c ( a b) a (b c) b (c a ) ,y ,z Đặt x ab bc ca BĐT x y z xy yz zx (BT_364_10/07) Cho a,b,c ≥ thoả mãn abc + ab + bc + ca + a +b + c ≥ Chứng minh a + b + c ≥ HD: Phân tích GT, Đặt x = a + 1, y = b +1, z = c + 1, Ta có GT xyz ≥ Cần c/m x + y + z ≥ TH1: x,y, z > 0, TH2: x,y < 0, z > c/m < xy ≤ (BT_364_10/07) Tìm số thực m lớn cho số thực k 1; để bất đẳng thức 2k a b c 1 1 (k 1)(a b c) m thoả mãn a,b,c >0 b c a a b c 2k HD: Cho a = b = c Ta có ≥ 9(k +1) + m Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli c/m m ≤ 54 và dấu “=” xảy k = Chứng minh BĐT đúng với m = 54, k = Áp dụng BĐT Cauchy 10 (BT_363_9/07) Cho a,b, c > và a + b + c = Chứng minh a b c b c a a b c (BT_363_9/07) Cho a,b,c > và a + b + c = abc Chứng minh b c a a HD: BĐT Cauchy Tương tự ab b b x y (BT_365_11/07) Tìm GLNN, GTLN biểu thức P = x y4 (BT_366_12/07) Cho x > y và xy = Chứng minh x2 y 2 x y x y ( x y ) xy ( x y) HD: Áp dụng BĐT Cauchy x y x y x y Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page 10 (11) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An x y z x yz y zx z xy HD: Áp dụng BĐT Cauchy các mẫu thức Sau đó áp dụng BĐT x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx (BT_366_12/07) Giả sử a, b, c là độ dài các cạnh ABC Chứng minh a b c a 3bc b 3ca c 3ab HD: BĐT Svácsơ và BĐT Bunhiacôpsky cho mẫu thức Sau đó c/m BĐT 4(a + b + c)3 – 9(a3 + b3 + c3 + 9abc) ≥ cách aGA bGB cGC aGA2 + bGB2 + cGC2 > abc (BT_366_12/07) Cho x, y, z > và x2 + y2 + z2 = xyz Tìm GTLN P = 10 (BT_362_8/07) Cho a,b,c > và a + b + c = Tìm GTNN P bc5 ca4 ab3 1 a 2b 3c 2 9(a b c) 2a 2b 2c 11 (BT_362_8/07) Cho a, b, c > Chứng minh 1 1 1 b c a ab bc ca HD: Áp dụng BĐT Bunhiacôpsky C/m x2 ( y z) y ( z x) z ( x y) 12 (BT_361_7/07) Cho x, y, z > và xyz = Tìm GTNN P y y 2z z z z 2x x x x y y HD: Áp dụng BĐT Cauchy cho các tử Đặt a x x , b y y , z c c Áp dụng BĐT Svácsơ 13 (BT_359_5/07) Cho x, y R và x2 – xy + y2 ≤ Chứng minh 1 x xy y 1 a4b b4 c c4 a 2a b 2b c 2c a HD: Áp dụng BĐT Cauchy Sau đó nhân thêm abc vào tử và mẫu Áp dụng BĐT Cauchy cho mãu 4a abcd abcd 15 (BT_368_2/08) Cho a, b, c, d > Tìm GTNN P = abcd abcd abcd HD: Đặt t = Theo BĐT Cauchy C/m t ≥ 4 abcd 16 (BT_368_2/08) Cho x,y thoả mãn (x2 + y2 + 1)2 – 4x2 – 5y2 + 3x2y2 +1 = Tìm GTNN, GTLN P = x2 + 2y2 – 3x2y2 HD: (x2 + y2 + 1) – 4x2 – 5y2 + 3x2y2 +1 = (x2 + y2)2 – 3(x2 + y2) + = - x2 – 3x2y2 ≤ Đặt t = x2 + y2 với ≤ t ≤ Vẽ bảng biến thiên hàm số P = t2 – t + , với t 1; Suy GTNN, GTLN P ab (a b ) 17 (BT_368_2/08) Cho hai số thực a, b 2007; 2008 Tìm GTNN, GTLN P = ab a 2007 t Tìm GTNN, GTLN P = (t + 1)(t + ) HD: TH1: 2007 ≤ a ≤ b ≤ 2008 Đặt t = , điều kiện b 2008 t Chứng minh hàm số P(t) đồng biến và áp dụng tính chất hàm số f(x) đồng biến trên x1; x2 thì f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) a TH2: 2007 ≤ b ≤ a ≤ 2008 Đặt t = b 1 18 (BT_368_2/08) Cho hai số x, y ≠ thay đổi thoả mãn (x + y)xy = x2 + y2 – xy Tìm GTLN P = x y 1 1 1 HD: Đặt t = Giả thiết Ta có x y x xy x y y 14 (BT_359_5/07) Cho a, b, c > và ab + bc + ca ≤ 3abc Chứng minh 2 1 11 31 11 1 t t2 x y 4 x y 4 x y 4 x y Chứng minh ≤ t ≤ Do đó P = t Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page 11 (12) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 1 20 Tìm GTNN P = x + y + z + x y z 11 2 20 (BT_368_2/08) Cho x, y R thay đổi thoả mãn điều kiện 2(x + y ) = xy + Tìm GTNN, GTLN P = 7(x4 + y4) + 4x2y2 1 21 (BT_368_2/08) Cho x, y, z a; b với < a < b Tìm GTLN P = (x + y+ z)( ) x y z 1 16 22 (BT_368_2/08) Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh ac bc x2 y2 z2 23 (BT_368_2/08) Cho x, y, z > và x + y + z ≥ Tìm GTNN P yz zx x y HD: Áp dụng BĐT Svácsơ 24 (BT_368_2/08) Cho a, b, c ≥ và a + b + c = Tìm GTLN P ab bc ca abc 25 (Olympic 05) Cho x,y,z,t ≥ thoả mãn x2 + y2 + z2 + t2 = 2007 Tìm GTNN biểu thức x y z t P 2007 2007 yzt 2007 2007 ztx 2007 2007 txy 2007 2007 xyz x y z t ;b ;c ;d HD: Đặt a Ta có a,b,c,d ≥ và a2 + b2 + c2 + d2 = Suy 2007 2007 2007 2007 a,b,c,d 0; Áp dụng BĐT Svácsơ c/m: + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≥ a + b+ c + d + abcd 1 1 26 (Olympic 01) Cho x,y,z 0; Tìm GTLN P = (x + y + z) x y z 19 (BT_368_2/08) Cho x, y, z > và x + y + z ≤ x y y z HD: Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z ≤ Ta có 1 1 0; 1 1 Nhân và cộng theo vế Ta có P = y z x y x y y z z x x z 2 z x y x z x x z x 1 1 Đặt t = ,t ;1 Ta có (2 t ) t t Thay vào P z t 2 2 xyz 27 (Olympic 06) Cho x, y, z ≥ và x + y + z = Chứng minh xy + yz + zx ≤ 7 xyz 2 HD: TH1: x ≥ suy xy và y + z ≤ Từ đó xy+xz < 9 2 ( y z) (1 x) x (1 x) 2 x(1 x) TH2: x < yz ≤ = BĐT cần c/m (1 ) 4 7 (x + 1)(3x – 1)2 ≥ 1 28 (Olympic 06) Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Tìm GTNN P 2(ab bc ca ) abc HD: – 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 Thay tử số hạng thứ Áp dụng BĐT Svácsơ (2a b c) (2b c a ) (2c a b) 29 (Olympic 06) Cho a, b, c > Chứng minh 8 2a (b c) 2b (c a ) 2c (b a ) HD: Giả sử a + b + c = Thay b + c = – a vào số hạng thứ C/m ( x 3) 4 x Cộng theo vế 2 3 x (3 x) ta có đpcm 30 (Olympic 06) Cho a, b, c ≥ và a + b + c = Tìm GTLN P = 9ab + 10ac + 22bc Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page 12 (13) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An HD: P = 10 (a b) 3(a b) 12 b 3b 3ab Xét hàm số f(t) = - t2 + t, ≤ t ≤ 31 (Olympic 06) Cho x, y R và x2 + xy + y2 = Tìm GTLN P = x3y + xy3 x xy y HD: Bài toán trở thành tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y xy m Đặt u = x2 + y2, v = xy ab bc ca 32 (Olympic 06) Cho a, b, c > và a + b + c = Tìm GTNN P c(b c) a (c a ) b(a b) HD: Áp dụng BĐT Svácsơ Hoặc áp dụng BĐT Bunhiacôpski 48 33 (Olympic 06) Cho x, y > và x + y = Tìm GTNN biểu thức P 51x 23 y x 7y 48 HD: Áp dụng BĐT Cauchy P 2( x y ) (49 x ) (21 y ) x 7y 34 (Olympic 06) Cho a, b, c > Chứng minh 1 1 1 2008 2008 42008 2008 2008 2008 2008 a b c (a 2b c) (a b 2c) (2a b c) 22009 a 2008 b 2008 (a b) 2008 35 (Olympic 03_11) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh tam giác Chứng minh a2b(a – b) + b2c(b – c) + c2a(c – a) ≥ HD: Đặt a = x + y, b = y + z , c = z + x Áp dụng BĐT Bunhiacôpski HD: Áp dụng BĐT Cauchy ta có 36 (Olympic 04_11) Tìm GTLN P x x 13 x x , với |x| ≤ x2 x4 ≤ HD: Áp dụng BĐT Cauchy x x ≤ ? , 2 37 (BT) Tìm GTNN P = x2 – 2xy + 3y2 – 4x + 8y – HD: Giải theo tam thức bậc hai a > 0, < 38 (BT) Tìm GTLN P = - 4x2 + 12xy – 9y2 - 4x + 6y + HD: Giải theo tam thức bậc hai a < 0, < 11 39 (BT) Chứng minh 3x2 + 4xy + 2b2 + 2a + 3b + ≥ HD: Giải theo tam thức bậc hai a > 0, < 20 27 (b c) 2 HD: Giả sử a = Max a,b,c Chuyển BĐT theo ẩn a với a cách áp dụng bc 41 (BT) Cho a,b,c thoả mãn ≤ a, b, c ≤ và a + b + c = Chứng minh a b3 c HD: Giả sử a = Max a,b,c Chuyển BĐT theo ẩn a với ≤ a ≤ cách VT ≤ a3 + b3 + c3 + 3bc(b + c) 42 (BT) Cho a,b,c thoả mãn ≤ a, b, c ≤ và a + b + c = Chứng minh a2 + b2 + c2 ≤ 14 HD: Giả sử a = Max a,b,c Chuyển BĐT theo ẩn a với ≤ a ≤ cách VT ≤ a2 + b2 + c2 + 2(b – 1)(c – 1) 43 (BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 + xy + y2 = Tìm GTNN, GTLN P = x2 – 2xy + 3y2 x HD: C1: Đặt t = xét tỷ số P/ = ? y C2: Tìm gt m để hệ phương trình có nghiệm.x2 + xy + y2 = và x2 – 2xy + 3y2 = m 44 (BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 - xy + y2 = Tìm GTNN, GTLN P = xy + y2 40 (BT) Cho a,b,c thoả mãn ≤ a, b, c ≤ và a + b + c = Chứng minh ab bc ca 2abc Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page 13 (14) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An x xét tỷ số P/ = ? y C2: Tìm gt m để hệ phương trình có nghiệm.x2 - xy + y2 = và xy + y2 = m a5 b5 c5 (a b c ) 45 Cho a, b, c > và abc = Tìm GTNN P 3 b c c a a b a (b3 c )a ≥ ? HD: Áp dụng BĐT Cauchy b c2 1 1 1 46 Cho a, b, c, d > và a + b + c + d ≤ Chứng minh 2 (a 1) (b 1) (c 1) (d 1) 47 HD: C1: Đặt t = Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page 14 (15)