Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ.. Biết tích một nghiệm của phương trình 1 với một nghiệm của phương trình 2 là một ng[r]
(1)GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10 MÔN: ĐẠI SỐ I – PHƯƠNG TRÌNH (BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x2 – x + m = có hai nghiệm dương x1, x2 cho P = x14 x24 x15 x25 đạt GTLN HD: P = x1x2(1 – 3x1x2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (BT_363_9/07) Cho a ≠ Giả sử b, c là hai nghiệm phân biệt phương trình x2 – ax =0 Chứng minh 2a b4 + c4 ≥ + (BT_363_9/07)Cho a,b,c,d R Chứng minh ít phương trình sau có nghiệm ax2 + 2bx + c = 0, bx2 + 2cx + d = 0, cx2 + 2dx + a = 0, dx2 + 2ax + b = (BT_367_1/08) Cho a, b, c > và a + b + c = Chứng minh ba phương trình x2 – 2ax + b = 0, x2 – 2bx + c = , x2 – 2cx + a = có ít phương trình có hai nghiệm phân và ít phương trình vô nghiệm (BT_366_12/07) Giải phương trình x2(x4 – 1)(x2 + 2) + = HD: Chuyển A2 = 2 x2 x2 x2 (BT_366_12/07) Giải phương trình 20 20 x2 x 1 x 1 x2 x2 HD: Đặt u = ,v= Chuyển phương trình dạng aA + b A.B + cB = x 1 x 1 (BT_366_12/07) Giải phương trình x4 = 24x + 32 HD: Chuyển A2 = B2 (BT_359_5/07) Cho phương trình ax2 + bx + c = có các số a, b, c là các số nguyên lẻ Chứng minh phương trình có nghiệm thì các nghiệm phương trình không thể là số hữu tỷ (BT_368_2/08) Giải phương trình x4 - 2x3 + 4x2 – 3x – = 10 (Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x2 + ax + = 0(1), x2 + bx + = (2) , x2 + cx + = (3) Biết tích nghiệm phương trình (1) với nghiệm phương trình (2) là nghiệm phương trình (3) Chứng minh a2 + b2 + c2 + abc = x1 a x1 (4) x x b (5) Nhân (4); (5) ta có ab c HD: Áp dụng Định lí viét x2 x2 x2 x1 (6) c x1 x2 x1 x2 1 Từ (4),(5) ta có x12 a ; x22 b Nhân lại ta có x1 x2 2 x1 x2 (a 2)(b 2) x1 x2 4 x1 x2 x2 x1 11 Nghiệm phương trình x2 + ax + b + = là các số tự nhiên khác Chứng minh a2 + b2 là số tự nhiên 12 Có thể có hay không biệt số phương trình bậc hai ax2 + bx + c = với hệ số nguyên a, b, c 23 13 Giả sử a, b, c là các số cho 2a , a + b, c là các số nguyên Chứng minh với x Z thì ax2 + bx + c nguyên 14 Tìm a Z để phương trình có nghiệm nguyên a) x2 + ax + a = b) x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 2 Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (2) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An c) x2 – (1 + 2a)x + 19 – a = d) x2 + (a + 1)x + a + = 1 là các số nguyên x y 16 Cho f(x) = ax2 + bx + c Biết phương trình f(x) = x vô nghiệm Chứng minh phương trình af2(x) + bf(x) + c = x vô nghiệm 17 Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ thoả mãn |f(x) ≤ 2008 | x | ≤ Chứng minh |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008 18 Giả sử |ax2 + bx + c| ≤ |x| ≤ 1.Chứng minh |cx2 + bx + a| ≤ |x| ≤ HD: Giả sử a ≥ 19 Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ a) Chứng minh rằng: Nếu ac < thì Phương trình f(f(x)) = có nghiệm HD: ay1 > PT: ax2 + bx + c = y1 có nghiệm b) Cho a = Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt Chứng minh phương trình f(f(x)) = x có nghiệm phân biệt (b + 1)2 > 4(b + c + 1) 20 Cho f(x) = ax2 + bx + c Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ Chứng minh a) |a| + |b| + |c| ≤ b) |f(x) | ≤ với |x| ≤ Cho f(x) = ax2 + bx + c Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ Chứng minh |f(x) | ≤ , |x| ≤ 21 22 II– PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1 x 1 (BT_364_10/07) Giải phương trình x 2 15 Tìm các số hữu tỷ dương x, y cho x + y và HD: Đặt u = x,v= x Chuyển hệ phương trình 2 (BT_364_10/07) Giải phương trình HD: Đặt t = x x Tính x x2 x x2 x x theo t Chuyển phương trình ẩn t (BT_364_10/07) Giải phương trình HD: x 22 x 28 x x 13 31x 14 x 3( x 2) x 22 x 28 (2 x 1) 3(3 x) 3(3 x) x x 13 (2 x 1) 3( x 2) 3( x 2) 31x 14 x 13 (2 x 1) 3(3 x 1) 3( x 2) (BT_363_9/07) Giải phương trình x x 2x x x x , v = 2x Chuyển HPT x x C2: Chuyển PT tích dạng A2 = B2 HD: C1: Đặt u = x (BT_365_11/07) Giải phương trình 2( x 8) x HD: Phương trình dạng đẳng cấp aA + b A.B + cB = (BT_366_12/07) Giải phương trình x2 + = x HD: C1: aA + b A.B + cB = C2: Chuyển A2 = (BT_366_12/07) Giải phương trình x y z x y z HD: Chuyển A2 + B2 + C2 = Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (3) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An (BT_366_12/07) Giải phương trình x x x HD: Đặt t = 1 x 2 Chuyển phương trình ẩn t (BT_366_12/07) Giải phương trình x x 2008 2008 x 2008 Chuyển hệ phương trình HD: Đặt y = 10 (BT_366_12/07) Giải phương trình x x x x x HD: C1: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp C2: Đặt a x x 1, b x x Chuyển hệ phương trình ẩn a, b 11 (BT_366_12/07) Giải phương trình x x ( x 1)(9 x ) 38 10 x x x x x Chuyển phương trình ẩn t HD: Đặt t = x x x x3 3x x 12 (BT_366_12/07) Giải phương trình 2( x 1) Chuyển hệ phương trình HD: Đặt u = (x + 1)2, v = 13 (BT_362_8/07) Giải phương trình x x HD: Đặt z = x6,y= z Chuyển hệ phương trình “Hoán vị vòng quanh” Giả sử x ≥ y ≥ z 14 (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình m x 3 x x có nghiệm HD: Đặt t = x 1 Do t = nên ≤ t < Chuyển vẽ bảng biến thiên hàm số bậc hai x 1 x 1 15 (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình HD: Đặt t = x 4m x x (m 3) x có nghiệm x2 Tìm điều kiện t Chuyển bài toán theo tam thức bậc hai x 1 16 (BT_359_5/07) Giải phương trình HD: Áp dụng công thức x2 x2 x2 A2 | A | 17 (BT_359_5/07) Giải phương trình x x2 x x x2 x 18 (BT_368_2/08) Gải phương trình x x x 19 (BT_368_2/08) Giải phương trình x x 10 x 20 (Olympic 04) Giải phương trình x HD: Đặt t = x 1 1 1 x x x x Chuyển phương trình bậc ẩn t, xem x là tham số x x 1 x 1 1 x 1 x t t x 1.t t = 2( x 1) v t = x x x PT: t = 2( x 1) Vô nghiệm PT x PT: t = x Bình phương hai vế chuyển ( x x 1) 21 (Olympic 99) Giải phương trình x x x x2 HD: Chuyển phương trình đẳng cấp Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page x 1 1 (4) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 22 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x 3 x HD: Đặt y = 3 x Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y 23 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x x x HD: Đặt x = y – Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y 24 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x x x x 3 x x HD: Giải PT phương pháp đánh giá VT ≥ ≥ VP x3 25 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x x , x ≥ - HD: Đặt x3 = y + Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y 26 (Olympic 95-05) Giải phương trình 2( x x 2) x HD: Chuyển phương trình đẳng cấp 15 (30 x x) 2004( 30060 x 1) 27 (Olympic 95-05) Giải phương trình 15 ( 30060 x 1) Chuyển hệ phương trình đối xứng loại II HD: Đặt y = 28 (Olympic 95-05) Giải phương trình x 14 x x x 20 x HD: Chuyển vế bình phương hai vế Chuyển phương trình đẳng cấp 29 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x3 x2 x 1 2(m 1) 4(1 m) 4m x x x x HD: Đặt t = x ; t ≥ Chuyển tam thức bậc hai x 30 (Olympic 95-05) Giải phương trình HD: Đặt ẩn phụ u = x x(1 x) (1 x)3 x x x (1 x) x , v = x Chuyển phương trình tích 31 (Olympic 95-05) Giải phương trình x x 19 x x 13 13 x 17 x 3( x 2) HD: Phân tích các (2x – 1)2 Áp dụng BĐT A2 B | A | 32 (Olympic 95-05) Giải phương trình x x 816 x 10 x 267 2003 HD: Phương pháp BĐT | a b || a | | b | Xét a (4 x; 20 2), b(5 x;11 2) 33 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm x x x m x HD: Đặt ẩn phụ t x x , - ≤ t ≤ 34 (Olympic 95-05) Giải phương trình x 15 32 x 32 x 20 HD: Đặt ẩn phụ x 15 y Chuyển HPT đối xứng loại II 35 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm x x x x m HD: Đặt ẩn phụ t x x , ≤ t ≤ m 36 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm x2 x x2 x m 3 HD: Xét A( ; ), B ( ; ), M ( x;0) Ta có AB = và PT |AM – BM| < AB = 2 2 37 (Olympic 06) Giải phương trình ( x 1) x x x Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (5) GV: Trần Đình Hiền HD: Đặt t = - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An x x Tính x2 , Chuyển phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số x x2 2x2 HD: Chuyển phương trình chứa gt tuyệt đối VT, phân tích thành nhân tử VP 38 (Olympic 06) Giải phương trình 39 (Olympic 06) Giải phương trình ( x x )( x x 2007) 2005 x x 30 x x 2006 HD: PT ( x x 1) 2005( x x ) 30 x x 3x 1 40 (Olympic 04_11) Giải phương trình x x2 HD: Chuyển vế Bình phương Chuyển phương trình đối xứng bậc 1 x 41 (Olympic 06) Giải phương trình 1 4x x HD: Quy đồng Nhân liên hợp 42 (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 32 x 4 x 4 x 4 m 43 (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 44 III - BẤT PHƯƠNG TRÌNH x x x x m (BT_359_5/07) Giải bất phương trình x x x x 11 x x (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình HD: Bình phương hai vế Đặt t = 8 x 32 Chuyển bất phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình HD: Nhân hai vế với x 16 2 x x Phân tích Chọn O(0;0), M(x;y), A(2; 0), B(- 1; x (1 3) x x (1 3) x x x ( x 2) x ( x 1) ( x 3) ( x 1) ( x 3) ), C(- 1; - ) Ta có BPT MA + MB + MC ≤ và ABC đều.Dùng phép quay QB60 MA + MB + MC = AM + MM1 + M1C ≥ AC1 = BPT M O (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình x HD: Đặt x = x x 1 35 12 , Đặt t = a + a a IV - HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( x 1)( y 1) xy (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình x y 2 x 1 y 1 1 HD: Đặt u = x + , v = y + y x x x y y (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình 2 x y HD: Giải PT(1) Thế vào PT(2) TH1: x = v x = 1 13 TH2: C/m PT vô nghiệm Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (6) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 1 1 1 20 x 11 y 2008 z (BT_363_9/07) Giải hệ phương trình x y z xy yz zx x2 x xy yz zx 20( x y )( x z ) 1 HD: c/m x, y , z cùng dấu 20 x 20 Tương tự 20 x x x x c/m xy < Suy HPT vô nghiệm 1 3( x ) 4( y ) 5( z ) x y z (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình xy yz zx x y x (BT_367_1/08) Giải hệ phương trình y xy x y (BT_365_11/07) Giải hệ phương trình 2 x y x y HD: PT(2) x3 + y3 = 1(x2 + y2) x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2) x y z xy yz zx (BT_366_12/07) Giải hệ phương trình 2008 y 2008 z 2008 32008 x x y m (BT_361_7/07) Hệ phương trình có nghiệm (x;y) Tìm GTLN , GTNN P = x3 + y3 x y m 3 x y y m (BT_361_7/07) Tìm m > để hệ phương trình có nghiệm 3 y x x m x 2( x x y ) 10 (BT_359_5/07) Giải hệ phương trình y 2( y y x) HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II 2 x x y y 11 (BT_368_2/08) Giải hệ phương trình y x 2.x 2008 y 2007 z 2006 12 (BT_368_2/08) Giải hệ phương trình 2 y 2008 z 2007 x 2006 2.z 2008 x 2007 y 2006 x ( y z ) (3 x x 1) y z 13 (Olympic 05) Giải hệ phương trình y ( z x) (4 y y 1) z x z ( x y ) (5 z z 1) x y HD: TH1: xyz = Xét các khả TH2: xyz ≠ Chia hai vế các phương trình cho x2y2z2 Đặt a 1 ; b ; c Cộng hai vế các phương x y z trình Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (7) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 1 x1 ( x2 x ) 1 x2 ( x3 ) x3 14 (Olympic 02) Giải hệ phương trình 1 x2008 ( x1 x ) HD: Nếu hệ phương trình có nghiệm (x1; x2;….;x2008) thì x1, x2,….,x2008 phải cùng dấu và (-x1; -x2;….;-x2008) là nghiệm HPT Ta xét x1, x2,….,x2008 > Áp dụng BĐT Cauchy ta có xi ≥ Cộng theo vế các phương trình ta có x1 + x2 + 1 ….+x2008 = Từ đó ta có x1= x2=….= x2008 = x1 x2 x2008 Suy x1= x2=….= x2008 = ± y x 12 x 15 (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình z y 12 y x z 12 x HD: Cộng theo vế chyển tổng các lập phương Xét các trường hợp TH1: x > y, z > HPT vô nghiệm TH2: x < y, z < HPT vô nghiệm TH3: x = y = z = xy yz zx 12 16 (Olympic 06) Chứng minh hệ phương trình có nghiệm tập các số xyz x y z thực dương Chứng minh hệ có nghiệm với x, y, z thực phân biệt 11z x y z HD: Nhận xét (2;2;2) là nghiệm HPT xy z z 12 z2 (x + y)2 ≥ 4xy (z – 2)2(2z + 11)(2z + 1) ≤ 6 x y (1 x ) 17 (Olympic 06) Giải hệ phương trình 6 y z (1 y ) 6 z x(1 z ) 2 HD: TH1: Xét y = , TH2: Xét y ≠ Rút x2 = theo y Suy ≤ y < Tương tự 3 y ≤ x,y,z < KN1: x = y = z = KN2: = … ≤ 1.Tương tự x y2 x xy 25 y 18 (Olympic 02_11) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình z Tính giá trị P = xy + 3 z xz x 16 2yz + 3zx HD: Xét ABC có AB = 4, BC = 5, CA = và điểm M ABC cho Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (8) GV: Trần Đình Hiền y MBC có các cạnh x, MCA có các cạnh y - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An A ,5 và BMC 1500 A , z ,3 và CMA 900 MAB có các cạnh x, z , và AAMB 1200 Ta có S BMC SCMA S AMB S ABC Suy P = 24 1 4 x y y x 19 (Olympic 02_11) Giải hệ phương trình 1 2 2 3 x y 3 y x x y HD: Tính , theo x, y Quy đồng và cộng trừ theo vế Suy tính (x + y)5 và (x – y)5 x y y x x mx 20 (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y y my HD: Hệ đối xứng loại II 2 x y y 21 (BT) Giải hệ phương trình 2 y x x 3 x y 22 (BT) Giải hệ phương trình 2 x y x y x3 y 23 (BT) Giải hệ phương trình xy ( x y ) 2 x y ( x y )(2 xy 3) 24 (BT) Giải hệ phương trình x xy y y x y x 25 (BT) Giải hệ phương trình y 3x x y 2 y ( x y ) x 26 (BT) Giải hệ phương trình x( x y ) 10 y HD: Xét x = 0, y = Chia hai phương trình đặt t = x y x y xy 27 (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình x y x y 28 (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình y x x y Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (9) GV: Trần Đình Hiền HD: Đặt t = - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An x Giải phương trình (1) theo ẩn t y 12 1 x 2 y 3x 29 (BT_364_10/07)* Giải hệ phương trình 1 12 y y 3x HD: Chia x hai vế cho phương trình (1), Chia y hai vế cho PT(2) Cộng và trừ hai PT ta HPT Nhân hai vế hai PT Giải phương trình đẳng cấp 1 x y z x y z 1 118 30 (BT_365_11/07) Giải hệ phương trình x y z x y z 1 728 x x y y z z 27 x x y y z z 1 HD: Đặt a = x ,b= y ,c= z Ta có 3(a +b)(b +c)(c + a) = (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3) x z y x y y x x x 31 (BT_361_7/07) Giải hệ phương trình y x x y y y HD: Hệ phương trình đối xứng loại II x y m 32 (BT_361_7/07) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm y x m HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II Nhân hai vế với biểu thức liên hợp 2y y 42 x 33 (Olympic 2000) Giải hệ phương trình x 2 y 42 x HD: Chia PT (1) cho y , chia PT(2) cho phương trình ta có phương trình đẳng cấp x Cộng và trừ theo vế ta có hai phương trình Nhân theo vế hai x y m 34 (Olympic 95-05) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y 3m HD: Đặt ẩn phụ u x 1; v y , u, v ≥ Chuyển hệ phương trình đối xứng loại I x 21 y y 35 (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình y 21 x x HD: Hệ phương trình đối xứng loại II Trừ vế theo vế Sau đó nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp 2 x y m 36 (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm y x m Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page (10) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An HD: Đặt ẩn phụ u , v x y 37 (BT) Giải hệ phương trình y 1 x x y m 38 (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y xy m 39 V - BẤT ĐẲNG THỨC (BT_364_10/07) Cho a,b,c >0 và ab + bc + ca =1 Chứng minh 1 1 1 3 1 1 1 ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 HD: BĐT 1 1 1 ab bc ca a2 b2 c2 Quy đồng cặp VT và phân tích đa thức thành nhân tử Thay VP = ab + bc + ca Sau đó phân tích đa thức thành nhân tử cho các tử thức c ( a b) a (b c) b (c a ) ,y ,z Đặt x ab bc ca BĐT x y z xy yz zx (BT_364_10/07) Cho a,b,c ≥ thoả mãn abc + ab + bc + ca + a +b + c ≥ Chứng minh a + b + c ≥ HD: Phân tích GT, Đặt x = a + 1, y = b +1, z = c + 1, Ta có GT xyz ≥ Cần c/m x + y + z ≥ TH1: x,y, z > 0, TH2: x,y < 0, z > c/m < xy ≤ (BT_364_10/07) Tìm số thực m lớn cho số thực k 1; để bất đẳng thức 2k a b c 1 1 (k 1)(a b c) m thoả mãn a,b,c >0 b c a a b c 2k HD: Cho a = b = c Ta có ≥ 9(k +1) + m Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli c/m m ≤ 54 và dấu “=” xảy k = Chứng minh BĐT đúng với m = 54, k = Áp dụng BĐT Cauchy 10 (BT_363_9/07) Cho a,b, c > và a + b + c = Chứng minh a b c b c a a b c (BT_363_9/07) Cho a,b,c > và a + b + c = abc Chứng minh b c a a HD: BĐT Cauchy Tương tự ab b b x y (BT_365_11/07) Tìm GLNN, GTLN biểu thức P = x y4 (BT_366_12/07) Cho x > y và xy = Chứng minh x2 y 2 x y x y ( x y ) xy ( x y) HD: Áp dụng BĐT Cauchy x y x y x y Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page 10 (11) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An x y z x yz y zx z xy HD: Áp dụng BĐT Cauchy các mẫu thức Sau đó áp dụng BĐT x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx (BT_366_12/07) Giả sử a, b, c là độ dài các cạnh ABC Chứng minh a b c a 3bc b 3ca c 3ab HD: BĐT Svácsơ và BĐT Bunhiacôpsky cho mẫu thức Sau đó c/m BĐT 4(a + b + c)3 – 9(a3 + b3 + c3 + 9abc) ≥ cách aGA bGB cGC aGA2 + bGB2 + cGC2 > abc (BT_366_12/07) Cho x, y, z > và x2 + y2 + z2 = xyz Tìm GTLN P = 10 (BT_362_8/07) Cho a,b,c > và a + b + c = Tìm GTNN P bc5 ca4 ab3 1 a 2b 3c 2 9(a b c) 2a 2b 2c 11 (BT_362_8/07) Cho a, b, c > Chứng minh 1 1 1 b c a ab bc ca HD: Áp dụng BĐT Bunhiacôpsky C/m x2 ( y z) y ( z x) z ( x y) 12 (BT_361_7/07) Cho x, y, z > và xyz = Tìm GTNN P y y 2z z z z 2x x x x y y HD: Áp dụng BĐT Cauchy cho các tử Đặt a x x , b y y , z c c Áp dụng BĐT Svácsơ 13 (BT_359_5/07) Cho x, y R và x2 – xy + y2 ≤ Chứng minh 1 x xy y 1 a4b b4 c c4 a 2a b 2b c 2c a HD: Áp dụng BĐT Cauchy Sau đó nhân thêm abc vào tử và mẫu Áp dụng BĐT Cauchy cho mãu 4a abcd abcd 15 (BT_368_2/08) Cho a, b, c, d > Tìm GTNN P = abcd abcd abcd HD: Đặt t = Theo BĐT Cauchy C/m t ≥ 4 abcd 16 (BT_368_2/08) Cho x,y thoả mãn (x2 + y2 + 1)2 – 4x2 – 5y2 + 3x2y2 +1 = Tìm GTNN, GTLN P = x2 + 2y2 – 3x2y2 HD: (x2 + y2 + 1) – 4x2 – 5y2 + 3x2y2 +1 = (x2 + y2)2 – 3(x2 + y2) + = - x2 – 3x2y2 ≤ Đặt t = x2 + y2 với ≤ t ≤ Vẽ bảng biến thiên hàm số P = t2 – t + , với t 1; Suy GTNN, GTLN P ab (a b ) 17 (BT_368_2/08) Cho hai số thực a, b 2007; 2008 Tìm GTNN, GTLN P = ab a 2007 t Tìm GTNN, GTLN P = (t + 1)(t + ) HD: TH1: 2007 ≤ a ≤ b ≤ 2008 Đặt t = , điều kiện b 2008 t Chứng minh hàm số P(t) đồng biến và áp dụng tính chất hàm số f(x) đồng biến trên x1; x2 thì f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) a TH2: 2007 ≤ b ≤ a ≤ 2008 Đặt t = b 1 18 (BT_368_2/08) Cho hai số x, y ≠ thay đổi thoả mãn (x + y)xy = x2 + y2 – xy Tìm GTLN P = x y 1 1 1 HD: Đặt t = Giả thiết Ta có x y x xy x y y 14 (BT_359_5/07) Cho a, b, c > và ab + bc + ca ≤ 3abc Chứng minh 2 1 11 31 11 1 t t2 x y 4 x y 4 x y 4 x y Chứng minh ≤ t ≤ Do đó P = t Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page 11 (12) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An 1 20 Tìm GTNN P = x + y + z + x y z 11 2 20 (BT_368_2/08) Cho x, y R thay đổi thoả mãn điều kiện 2(x + y ) = xy + Tìm GTNN, GTLN P = 7(x4 + y4) + 4x2y2 1 21 (BT_368_2/08) Cho x, y, z a; b với < a < b Tìm GTLN P = (x + y+ z)( ) x y z 1 16 22 (BT_368_2/08) Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Chứng minh ac bc x2 y2 z2 23 (BT_368_2/08) Cho x, y, z > và x + y + z ≥ Tìm GTNN P yz zx x y HD: Áp dụng BĐT Svácsơ 24 (BT_368_2/08) Cho a, b, c ≥ và a + b + c = Tìm GTLN P ab bc ca abc 25 (Olympic 05) Cho x,y,z,t ≥ thoả mãn x2 + y2 + z2 + t2 = 2007 Tìm GTNN biểu thức x y z t P 2007 2007 yzt 2007 2007 ztx 2007 2007 txy 2007 2007 xyz x y z t ;b ;c ;d HD: Đặt a Ta có a,b,c,d ≥ và a2 + b2 + c2 + d2 = Suy 2007 2007 2007 2007 a,b,c,d 0; Áp dụng BĐT Svácsơ c/m: + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) ≥ a + b+ c + d + abcd 1 1 26 (Olympic 01) Cho x,y,z 0; Tìm GTLN P = (x + y + z) x y z 19 (BT_368_2/08) Cho x, y, z > và x + y + z ≤ x y y z HD: Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z ≤ Ta có 1 1 0; 1 1 Nhân và cộng theo vế Ta có P = y z x y x y y z z x x z 2 z x y x z x x z x 1 1 Đặt t = ,t ;1 Ta có (2 t ) t t Thay vào P z t 2 2 xyz 27 (Olympic 06) Cho x, y, z ≥ và x + y + z = Chứng minh xy + yz + zx ≤ 7 xyz 2 HD: TH1: x ≥ suy xy và y + z ≤ Từ đó xy+xz < 9 2 ( y z) (1 x) x (1 x) 2 x(1 x) TH2: x < yz ≤ = BĐT cần c/m (1 ) 4 7 (x + 1)(3x – 1)2 ≥ 1 28 (Olympic 06) Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = Tìm GTNN P 2(ab bc ca ) abc HD: – 2(ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 Thay tử số hạng thứ Áp dụng BĐT Svácsơ (2a b c) (2b c a ) (2c a b) 29 (Olympic 06) Cho a, b, c > Chứng minh 8 2a (b c) 2b (c a ) 2c (b a ) HD: Giả sử a + b + c = Thay b + c = – a vào số hạng thứ C/m ( x 3) 4 x Cộng theo vế 2 3 x (3 x) ta có đpcm 30 (Olympic 06) Cho a, b, c ≥ và a + b + c = Tìm GTLN P = 9ab + 10ac + 22bc Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page 12 (13) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An HD: P = 10 (a b) 3(a b) 12 b 3b 3ab Xét hàm số f(t) = - t2 + t, ≤ t ≤ 31 (Olympic 06) Cho x, y R và x2 + xy + y2 = Tìm GTLN P = x3y + xy3 x xy y HD: Bài toán trở thành tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y xy m Đặt u = x2 + y2, v = xy ab bc ca 32 (Olympic 06) Cho a, b, c > và a + b + c = Tìm GTNN P c(b c) a (c a ) b(a b) HD: Áp dụng BĐT Svácsơ Hoặc áp dụng BĐT Bunhiacôpski 48 33 (Olympic 06) Cho x, y > và x + y = Tìm GTNN biểu thức P 51x 23 y x 7y 48 HD: Áp dụng BĐT Cauchy P 2( x y ) (49 x ) (21 y ) x 7y 34 (Olympic 06) Cho a, b, c > Chứng minh 1 1 1 2008 2008 42008 2008 2008 2008 2008 a b c (a 2b c) (a b 2c) (2a b c) 22009 a 2008 b 2008 (a b) 2008 35 (Olympic 03_11) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh tam giác Chứng minh a2b(a – b) + b2c(b – c) + c2a(c – a) ≥ HD: Đặt a = x + y, b = y + z , c = z + x Áp dụng BĐT Bunhiacôpski HD: Áp dụng BĐT Cauchy ta có 36 (Olympic 04_11) Tìm GTLN P x x 13 x x , với |x| ≤ x2 x4 ≤ HD: Áp dụng BĐT Cauchy x x ≤ ? , 2 37 (BT) Tìm GTNN P = x2 – 2xy + 3y2 – 4x + 8y – HD: Giải theo tam thức bậc hai a > 0, < 38 (BT) Tìm GTLN P = - 4x2 + 12xy – 9y2 - 4x + 6y + HD: Giải theo tam thức bậc hai a < 0, < 11 39 (BT) Chứng minh 3x2 + 4xy + 2b2 + 2a + 3b + ≥ HD: Giải theo tam thức bậc hai a > 0, < 20 27 (b c) 2 HD: Giả sử a = Max a,b,c Chuyển BĐT theo ẩn a với a cách áp dụng bc 41 (BT) Cho a,b,c thoả mãn ≤ a, b, c ≤ và a + b + c = Chứng minh a b3 c HD: Giả sử a = Max a,b,c Chuyển BĐT theo ẩn a với ≤ a ≤ cách VT ≤ a3 + b3 + c3 + 3bc(b + c) 42 (BT) Cho a,b,c thoả mãn ≤ a, b, c ≤ và a + b + c = Chứng minh a2 + b2 + c2 ≤ 14 HD: Giả sử a = Max a,b,c Chuyển BĐT theo ẩn a với ≤ a ≤ cách VT ≤ a2 + b2 + c2 + 2(b – 1)(c – 1) 43 (BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 + xy + y2 = Tìm GTNN, GTLN P = x2 – 2xy + 3y2 x HD: C1: Đặt t = xét tỷ số P/ = ? y C2: Tìm gt m để hệ phương trình có nghiệm.x2 + xy + y2 = và x2 – 2xy + 3y2 = m 44 (BT) Cho x, y, z thoả mãn x2 - xy + y2 = Tìm GTNN, GTLN P = xy + y2 40 (BT) Cho a,b,c thoả mãn ≤ a, b, c ≤ và a + b + c = Chứng minh ab bc ca 2abc Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page 13 (14) GV: Trần Đình Hiền - Trường THPT Đặng Thúc Hứa - Thanh Chương - Nghệ An x xét tỷ số P/ = ? y C2: Tìm gt m để hệ phương trình có nghiệm.x2 - xy + y2 = và xy + y2 = m a5 b5 c5 (a b c ) 45 Cho a, b, c > và abc = Tìm GTNN P 3 b c c a a b a (b3 c )a ≥ ? HD: Áp dụng BĐT Cauchy b c2 1 1 1 46 Cho a, b, c, d > và a + b + c + d ≤ Chứng minh 2 (a 1) (b 1) (c 1) (d 1) 47 HD: C1: Đặt t = Thanh Chương, Tháng năm 2008 Lop10.com Page 14 (15)