Hình bình haønh thì coù vectô baèng nhau neân taïo ra pheùp tònh tieán theo vectô DC khi đó dựa trên quan hệ cạnh bằng nhau nên => góc AEB AECD là hình bình haønh.. Vẽ hai tam giác đềuAM[r]
(1)*****TÍNH CHIA HEÁT A ñònh lí chia coù dö B caùc pheùp chia heát- quy taéc C caùc vd minh hoïa: cmr: A= 20062002+20062003+20062004+20062005 chia heát cho 223 Ta nhóm số đầu và số cuối tạo số 2007= 223.9 là xong/ cmr với x khác -6 thì A= (x+1`)(x+3)(x+5)(x+7) chia hết cho x+6 Ta nhận thấy có số 8=3+5=1+7 nên tha nhóm lại và thành tích để tạo x+6 chi A=x95+x94+ +x+1 vaø B= x31+x30+…+x+1 cmr A chia heát cho B ta nhóm cụm 32 số từ đầu đến cuối là tạo A=B.X xong cho M=n4-4n3- 4n2+16n với n chẵn và n > Cmr M chia hết cho 384 Nhoùm n-4 vaø taïo daïng tích cuûa caùc soá haïng Sau đó ta dùng n chẵn tức là n=2k tạo 16 tích số liên tiếp nên chia hết cho 24.16 xong c/m M=300(72006+72005+…+7+1) +50 CHIA HEÁT CHO 72007 Ta phân tích số 300= 50.6 vì số có lien quan đặc biệt đến số là 6=7-1 Mặt khác ta nhận thấy bên ngoặc là có dạng bình phương thiếu tổng nên tạo HĐT xn-1 ta KQ : 50.7.2007 xong c/m n là số tự nhiên chẵn thì : A=20n+16n-3n-1 chia hết cho 323 Ta nhaän thaùy 323= 17.19 vaø nguyeân toù cuøng Ta c/m A chia heát cho 17 mvaø 19 Ta nhận thấy có số 20 và lại 16 và tạo 17 nen nhóm lại và dùng HÑT nhö threân bta taïo soá 17 Ta lại nhận thấy có 20 và1 16 và nên tương tự ta tạo 19 c/m : A= 3638 +4133 chia heát cho 77 Ta nhaän thaáy 77= 11.7 Ta chia A hết 11 ta nhận thấy 36 tạo 33 và 41 tạo 44 thì rút gọn Thêm bớt các đại lượng 338 và 333 zsau đó tính ntoán là Ta nhận thấy 36 gần 35 chia hết cho và 41 gần 42 tạo số thêm bớt số cmr soá : A= 1.2.3.4…2006(1+1/2+1/3+…+1/2006) chia heát cho 2007 Ta đặt m= cái trước và n là cái sau Ta nhóm n thành cặp số hạng đầu và số hạng cuối 1+1/2006 nhằm tạo 2007 chung còn không xét Còn m không liên quan cmr: A=7n+2+82n+1 chia heát cho 57 Ta Nhaän xeùt 57 = 19.3 Lop8.net (2) Ta Nhaän xeùt coù 72 laø 49 vaø 82=64 coøn Ta nhaän thaáy 49= 57-8 vaø nhoùm laïi Còn 64= 57+7 64n và 7n nhóm lại Tạo 57 10.cmr : M= 3n+63 chia hết cho 72 với n chẵn Ta nhaän thaáy 72=9.8 N chaün vaø 63 chia heát cho neân laø xong Ta nhận thấy n chẵn nên 32 chi dư 3n dư và kết hợp 63 là xong 11.cho P= (a+b)(b+c)(c+a)- abc với a,b,c nguyên cmr : a+b+c chia hết cho thì P chia heát cho Ta phân tích hết và nhóm lại mục đích tạo a+b+c để dùng Sau đó tạo 2.abc thì ta biện luận sau 12.tồn hay không số tự nhiên n : 10n+2007 chia hết cho 102007-1 Ta nhẩmvài số để thử xem Ta đoán là không Ta thấy 102007 -1 chia hết cho vì 10=9+1 nên dự đoán số không chia hết cho Từ 10n +2007 ta tạo số = 10 -1 để tạo 2008, nhóm 10 và tạo 2006 dược là xong 13.toång 2139+3921 coù chia heát cho 45? Ta nhaän thaáy 45=5.9 Ta thấy 21 thì thừa còn 39 thiếu nên thêm bớt số vào là Ta nhaän thaáy caû 21 vaø 39 deàu chia heát cho neân raát deã thaáy chia heát cho 14 *****PHÖÔNG TRÌNH NGHIEÄM NGUYEÂN A Nghieäm nguyeân? B Phöông phaùp C Caùc ví duï minh hoïa: tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: (x+1)(y+2) = 2xy Ta thaáy coù xy neân nhaân vaø nhoùm laïi taïo : (x-1)(y-2) =4 vaø bieän luaän Các ước số tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: x2+x+6=y2 Ta thaáy duøng HÑT soá cho Veá traùi vaø taïo HÑT soá tieáp nhöng laøm theá coøn phaân soá khoù tìm nghieäm nguyeân neân nhaân vaøo veá Sau đó làm trên tạo ra: (2y+2x+1)(2y-2x-1) =23 và biện luận tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: x2+y2-x-y=8 Ta nhaän thaáy coù theå duøng HÑT soá cho x vaø y nhöng cuõng khoâng tieän neân tha nhân vào trước tạo ra: (2x-1)2+(2y-1)2=34 Lop8.net (3) Ta thaáy veá traùi coù toång hai bình phöông neân taùch VP ra? 34= 25+9=52+32 Bieän luaän – caån thaän khoâng sai nghieäm tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình: 3x2+2y2+z2+4xy+2xz= 26-2yz Ta nhaän thaáy coù daïng HÑT soá cho soá x;y vaø soá x;y;z Coøn dö soá x2 ta phan tích 26 = 02+11+52 laø sai vì caùc soá döông Ta phaân tích 26= 25 +1= 12+32+42 Bieän luaän tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: xy+x= 2y +2011 Ta không nhận dạng Ta rút y theo x để xem => y= -1+2009/(x-2) Vậy là xong x-2 là các ước 2009 tìm các ước.1;41;49 và 2009 cmr phöông trình sau khoâng coù nghieäm nguyeân: x3+y3+z3= x+y+z+2006 Ta nhaän thaáy coù lieân quan x3 – x neân chuyeån qua vaø nhoùm laïi chia heát cho maø VP khoâng chia heát cho laø voâ lí tìm nghieäm nguyeân döông cuûa phöông trình: 1/x+1/y+1/z =2 Ta nhận thấy vami trò các số là nên ta giả sử x y z Khi đó ta Đánh giá dựa vào số để tìm dược z y và x tìm nghiệm nguyên dương phương trình:x3+7x=y3+7y với x > y >0 ta nhận thấy vế phép toán nên x > y thì V.T > VP và ngược lại nên x=y sai lầm Ta nhaän thaáy coù khaû naêng duøng HÑT soá ta ñöa veà tích vaø chuù yù x-y > Neân x2+xy+y2=7 Đưa (x-y)2= 7- 3xy từ đó 7-3xy nên x=2 và y=1 10 D *****SOÁ NGUYEÂN TOÁ A Số nguyên tố? Hợp số?phân tích thừa số nguyên tố B Phöông phaùp C Vaøi VD minh hoïa cmr với n là số tự nhiên lớn thì:A=n8+n4+1 là hợp số Ta nhận thấy không thể làm nên phải tạo lượng phụ Ta chuyển lũy thừa cách dùng HĐT số nên thêm vào 2n4-n4 sau đó duøng HÑT soá Ta nhận thấy tích số này lớn nên ta => kết tìm n để : P=a4+a2+1 là số nguyên tố Cmr : a= 20062007-1 là hợp số Lop8.net (4) Deã daøng nhaän thaáy coù HÑT vaø taïo 2005 tìm số tự nhiên n để M là số nguyên tố M= 12n2-5n-25 Ta nhaän thaáy caùc soá chöa lieân quan Ta thaáy 12 vaø 25 neân taùch soá 5? Ta đoán -5 = 15-20 để tỉ lệ 12/15=20/25 đúng Ta phaân tích laø xong tìm số p: p+94 và p+1994 là số nguyên tố Ta nhaän xeùt p phaûi laø soá leû Kiểm tra p=3 đúng Lieäu p > thì ? Ta laáy laøm chuaån: xeùt p = 3k 1 laø xong D *****SOÁ CHÍNH PHÖÔNG A Soá chính phöông? Daáu hieäu chia heát cuûa soá chính phöông Số chính phương có chữ số tận cùng là 1;4;5;6;9 Số chính phương chia cho dư Số chính phương chia dư B Phöông phaùp C Moät vaøi VD minh hoïa cmr tích số tự nhiên lien tiếp cộng thêm là số chính phương Ta dùng cách gọi và phân tích thành nhân tử và nhóm tạo thành HĐT là xoøng cho x=11111…1111 (có 2004 chữ số 1) và y=1000…005 ( có 2003 chữ số 0) Cmr xy+1 laø soá chính phöông Ta coá gaéng taïo daïng HÑT neân ta taïo y= 9999….999 +6 (coù 2004 soá 9)= 9x+6 Khi đó : xy+1= x(9x+6)+1 = 9x2 +6x +1= (3x+1)2 xong tìm tất các số tự nhiên n : n2 -14n-256 là số chính phương ta có n2-14n nên để tạo HĐT số thù ta cần 49 ta thêm vào 49 Ta (n-7)2-305 Ta giải sử nó là số chính phương tức là: (n-7)2-305 = k2, với k là số nguyên nào đó Khi đó: (n-7)2-k2 = (n+k-7)(n-k-7)= 305 305 baèng bao nhieâu 305= 5.61 ño ta bieän luaän tìm n vaø k Lop8.net (5) cho A là số chính phương gồm chữ số, ta thêm chữ số A đơn vị thì ta dược số chính phương B hãy tìm A và B giả sử số đó là abcd đó ta có ngay: abcd= m2 và abcd +1111= n2 Khi đó ta có ngay: m2-n2= 1111 tức là (m+n)(m-n)=1111 Ta thaáy ngay: 1111= 101.11 Bieän luaän tìm m vaø => A vaø B D *****TÌM GTNN CUÛA BT A lyù thuyeát B Phương pháp Ta biến đổi nhằm tạo HĐT số và dạng A= ()2+()2…+a đó A a đạt các BT C Minh hoïa: tìm GTNN cuûa BT M=x2+2x+3 M= 4x2+4x+11 2x2-8x+10 M=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) Ta nhaän daïng thaáy soá -1+6 =2+3 neân nhoùm chuùng thaønh nhoùm Xem nhô aån phuï y=x2+5x M=x2-2x+y2-4y +7 ta duøng HÑT soá cho 2nhoùm tìm GTNN cuûa M= 2/(6x-5-9x2) Ta chuyển từ GTNN sang GTLN Mẫu số M= (3x2-8x+6)/(x2-2x+1) Ta nhận thấy MS đã là bình phương ta cần phân tích tử làm nhóm cho goïn: 3x2-8x+6= 2x2-4x+1+(x2-4x+4) laø xong D *****TÌM GTLN CUÛA BT A lyù thuyeát B Phương pháp Ta biến đổi nhằm tạo HĐT số và dạng A= -()2-()2…+a đó A a đạt các BT C Minh hoïa: M= 5-8x-x2 M= -5x2-4x+1 5-x2+2x-4y2-4y M= (3-4x)/(x2+1) Ta thấy MS không thể phân tích nên phân tích tử Lop8.net (6) Phaûi taïo HÑT neân theâm vaøo TS=x2-4x+4-1-x2=(x-2)2-(x2+1) chia cho MS Ta GTNN là -1 x=2 Vậy GTLN? Ta tạo cách khác: có –(4x+x2+4)+7+X2 đó chia ta ? khoâng Ta phải tạo có x2+1 nên ta tách -4x-4x2-1+4x2+4 M=(x4+1)/(x2+1)2 Ta phải tách chưab thấy gì? Tách T có dạng x2 nên TS= x2+1)2- 2x2 đó M= 1- (2x/(x2+1))2 laø thaáy Ngoài bài này ta dùng bunhiacôpxki thì thấy GTNN là ½ Cách : ta tạo 1/M=1+2x2/(x4+1) Khi đó ta dùng và 2x2/(x4+1)1 để tìm GTNN và GTLN tìm GTNN cuûa M={3x-1{2-4{3x-1{+5 Ta dùng tính chất trị tuyệt đối Nếu ta Nhận xét hai trị tuyệt đối là sai Phải xen ẩn phụ y={3x-1{ Khi đó: M=y2-4y+5 đó y tìm GTNN vaø GTLN cuûa: M= (x2+2x+3)/(x2+2) Ta phân tích TS= 2x2+4x+4 –x2-2x -1 nhằm tạo dấu – để có GTNN Ta phân tích nhằm tạo dấu +()2 để tìm GTLN? Ts= x2+2 không Nhaân vaøo taïo 2M roài nhoùm cho x;y : 3x+y=1 tìm GTNN cuûa M=3x2+y2 vaø GTLN cuûa N=xy Ta rút và thay vào tính bình thường tìm GTNN cuûa : 9x3-6x+5, x2+3x-1; (x2+5x+4)(x+2)(x+3) Vaø (x-1)(x3)(x2-4x+5) 10.tìm GTLN cuûa: 3-x2+4x.; -2x2+3x+1; -5x2-4x-19/5, 11.tìm GTNN cuûa : A= 2x2+2xy+y2-2x+2y +2 vaø B= x4-8xy-x3y+x2y2xy3+y4+200 12.timg GTLN cuûa : A= -x2+2xy-4y2+2x+10y+5 vaø B= -x2-2y2-2xy+2x-2y15 13.tìm GTNN: A= {x-7{+{x+5{; B= (2x-1)2-3{2x-1{+2 ; C= {x2+x+1{+{x2+x-12{ 14.cho a-b =1 tìm GTNNcuûa: A=a3-b3-ab 15.cho 3a+5b=12 tìm GTLN cuûa: B=ab 16.cho a;b > vaø a+b =1 tìm GTNN cuûa: M=(1+1/a)2+(1+1/b)2 : 17.Cho x;y thoûa: 2x2+1/x+y/4 =4, tìm GTNN cuûa xy Lop8.net (7) 18.tìm GTNN của: A= x2-x+4+1/(x2-x+1) B= x2+2x+1)/(x+2) Với x > -2 19.tìm GTLn cuûa: A=3/(4x2-4x+5) Vaø B= (x2-6x+14)/(x2-6x+12) 20 D *****CHUYÊN ĐỀ BĐT A LYÙ THUYEÁT B PHÖÔNG PHAÙP: Ñònh nghóa caùc tính chaát cô baûn a a > b b < a b tính chaát baéc caàu c A > b a +c > b+c d A > c vaø b > d thì a+b > c+d e A > b vaø c < d thì a –c < b-d f Nhaân g Lũy thừa h các BĐT thường dùng a HÑT soá vaø b Coâsi c Bu nhiacoãpki d Trị tuyệt đối e các phương pháp thường dùng a biến đổi tương đương b C minh hoïa: c/m a2+b2 2ab với avà b cùng dấu cmr a > b thì 1/a < 1/b c/m: a/b +b/a cho a ;b laø soá döông, cmr: 1/a+1/b 4/(a+b) c/m BÑT coâsi cho soá c/m : (a-a2+1)/(a-a2-1) < Ta chuyển vế và trừ c/m nhỏ vì: a-a2-1= -(a2-a+1) < cm : a2+b2+c2 ab+bc+ac nhaân2 vaøo Lop8.net (8) c/m neáu a,b,c laø caïnh cuûa tam giaùc thì : a2+b2+c2 < 2(ab+bc+ac) Ta dùng a-b < c < a+b ta chuyển nửa qua trái thôi, a2-ab+b2-bc+c2-ac = a(a-b)+b(b-c) +c(c-a) < ac+ab+cb Đúng Cộng vế c/m: a4+b4+c4+d4 4abcd Neáu ta duøng coâsi thì nhieân ta coù caùch khaùc Ta thaáy muoán duøng HÑT thì phaûi nhoùm laïi soá a4+b4 2a2b2 vaø c4+d4 2c2d2 Khi đó V.T 2( a2b2+c2d2) 4abcd Xong 10.c/m: 2(a2+b2) (a+b)2 11.c/m: 3(a2+b2+c2) (a+b+c)2 12.với a;b;c dương c.m: a2/b+b2/c+ c2/a a+b+c ta nhận dạng? Nếu ta chọn và ghép thì? Quy đồng mẫu? Sai lầm Ta nhóm thử a2/b và b ? Dấu trừ a2/b-b = (a2-b2)/b không gì Ta thêm a+b+c vào vế để dấu + xem A2+b2 2ab nên a2/b +b 2a cộng lại đúng 13.với a;b;c dương c/.m: a2/(a+b) +b2/(b+c) + c2/(c+a) (a+b+c)/2 Ta taïo a2/(a+b) ? Ta xuaát phaùt coù a2 + ? b Phaûi coù a+b vaøo Vạy a2 + (a+b)2 2a.(a+b) không có chia VP Vaäy : a2 + (a+b)2/22 2a.(a+b)/2= a(a+b) => a2/(a+b) a- (a+b)/4 Cộng lại ta đpcm 14 D Boå Sung: ((a+b)/2)2 > ab a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d+e) cho a+b=1 c/m: a3+b3+ab > ½ cho x+y =2 c/m: x4+y4 Ta xuất phát từ (x2-y2)2 => x4+y4 (x2+y2)2/2 Xuất phát từ (x-y)2 => x2+y2 C/M KHÔNG SỐ dương a;b;c thỏa mãn Bất đẳng thức: a+1/b <2;b+1/c<2vaø c+1/a<2 Ta dùng phương pháp p/c, giả sử Bất đẳng thức cùng sảy đó cộng lại có quan hệ và ta thấy vô lí a2+b2+1 ab+a+b a2+b2+c2 a(b+c) Lop8.net (9) (x+y+z)2 3(xy+yz+zx) x2(1+y2)+y2(1+z2)+z2(1+x2) 6xyz 10.cho a;b;c laø caùc soá khoâng aâm, c/m (a+1)(ab+1) 4ab 11.cho a2+b2=1 vaø c2+d2=1 c/m: {ac+bd{ 12.cho soá thoûa : xy+yz+zx =1 c/m: x4+y4+z4 16/3 13.cho a vaø b : a+b =1, c/m: a2+b2 ½ Vaø a4+b4 1/8 14.tìm GTNN cuûa : {x-2006{+{x-2007{ 15 E *****CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THAØNH NHÂN TỬ: A LYÙ THUYEÁT: B PHÖÔNG PHAÙP: 16.caùc HÑT 17.biến đổi linh hoạt- thêm bớt C VAÄN DUÏNG: (1+ x2)2-4x(1-x2) (x2-8)2+36 (x2+xy)2-(y2+xy)2 x2-y2+2x+1 5x2-5xy+7y-7x 3x2+6xy+3y2-3z2 ab(x2+y2)+xy(a2+b2) a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) a3+b3+c3+3abc 10.(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 11.x2-x-6 12.x4+4x2-5 13.x4+64 14.x5+x4+1 taïo theâm x3 15.(x2+2x)(x2+2x+4)+3 16.(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2 17.x4-2x3-3x2+4x+4 ta dùng đồng thức để đưa bình phương tam thức 18.x4+2x3-23x2-24x+144 19.x3-9x2+26x-24 20.x4-x3-x2+2x-2 21.x3(x2-7)2-36x Lop8.net (10) 22.cmr: n3(n2-7)2-36n luôn chia hết cho với n nguyên Nhận xét chia quaù deã 23.giaûi phöông trình: (x2-25)2-(x-5)2=0 24.tính giá trị biểu thức: M= 2x2+4x+xy=2y với x=88 và y=-76 25.ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a) 26.a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2) 27.x8+4 28.x6-1 29.x8+x4+1 30.x4-x3-3x2+5x -2 31.x4+6x3+7x2-6x+1 32.x4-13x2-36 33.x3-4x2+4x-1 34.x3-19x-30 nhaåm nghieäm -2 35.x5-x4-x3-x2-x-2 36.x9-x7-x6-x5+x4+x3+x2+1 37.x5+x+1 38.(x2-x)2-12(x2-x)+24 39.(x2-x+1)2+3x(x2-x+1)+2x2 40.(a+b+c)3-a3-b3-c3 41.8(x+y+z)3-(x+y)3-(y+z)3-(z+x)3 42.(x+y+z)3-(x+y-z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3 43.cmr: n5-5n3+4n chia hết cho 120 với n nguyên 44.n4+6n3+11n2+30n-24 chia heát cho24 45.n3-3n2-n+3 chia heát cho 48 nleû 46.cho a;b;c là các số hữu tỉ thỏa: ab+bc+ca =1 cmr: (a2+1)(b2+1)(c2+1) là bình phương số hữu tỉ 47.cho a+b+c =0 tính A=(a-b)c3+(b-c)a3+(c-a).b3 48.cho a2+b2=1; c2+d2=1 vaø ac+bd=0 c/m: ab+cd=0 49.cho soá phaân bieät a;b;c c/m: A= a4(b-c)+b4(c-a)+c4(a-b) khaùc 50.phân tích thừa số:A=2a2b2+2b2c2+2a2c2-a4-b4-c4 51.ccmr neáu a;b;c laø caïnh cuûa tam giaùc thì A treân > 52.tìm n để: n4+4 là số nguyên tố 53.tìm n để : n1994+n1993+1 là số nguyên tố., 54.tìm nghieäm nguyeân cuûa phöông trình: x+y=xy 55.tìm nghiệm nguyên phương trình: p(x+y) =xy đó p là số nguyên tố 56.5xy-2y2-2x2+2 =0 10 Lop8.net (11) 57.cdmr nếu: x2-xy=a; y2-yz=b và z2-xy =c đó x;y;z là số nguyên Thì ax+by+cz chia heát cho a+b+c ta duøng: x3+y3+z3-3xyz= (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) laø xong 58.cmr: nn+n-n2-1 chia heát cho (n-1)2 D *****CJUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC A kiến thức bản: B phöông phaùp: 18.trước c/m cần chuẩn bị gì? 19.tìm caùch c/m? 20.đọc và phân tích đề bài? 21.giaû thieát cho ? 22.keát luaän caàn? 23.sựi dây nối rtừ gt và kl là kiến thức nào? 24.muốn dùng kiến thức đó cần có điều kiện gì? Vd định lí pytago thì tam giác vuoâng 25.kẽ đường phụ nào cho hợp lý và có lợi? 26.caùch trình baøy? 27.mở rộng bài toán? 28.đặcbiệt hóa bài toán C Các dạng toán thường gặp: c/m hai đoạn thẳng nhau.: a phöông phaùp tam giaùc- taïo tam giaùc b Tính chaát baéc caàu c Tam giaùc caâ- hinhnf thang caân d Hình bình haønh e Đường trung bình f Cung vaø daây g Phản chứng c/m goùc baèng nhau? a dùng tính chất đối đỉnh b Duøng tính chaát song song c Tam giaùc caân vaø hình thang caân d Tính chaát nbaéc caàu e Tam giác và tam giác đồng dạng f 11 Lop8.net (12) c/m hai đường thẳng vuông góc a duøng Ñònh nghóa b Duøng tính chaát baéc caàu c Dùng đường thẳng song song d Dùng các tính chất trung trực và đườngcao e Dùng định lí pytago đảo đã cho độ dài f c/m các đường thẳng đồng quy a c/m gọi điểm hai đường thẳng và c/m nằm trên đường thẳng thứ b Duøng caùch c/m ñieåm thaúng haøng c Dùng các đường thẳng đặc biệt tam giác d Ta dựng qua điểm haio đường và c/m nó có tính chất đó e c/m đường thẳng cùng qua điểm đã trước f Dùng tổng độ dài AB+BC=AC thì…… g D aùp duïng: cho tam giác ABC, dựng các hình vuông: ABEF và ACGH miền ngoài tam giác Dựng AD BC, vẽ đường thẳng AD cắt FH M c/m : FM=MH cho Tứ giác ABCD có AD =BC , gọi M và N là trung điểm AB và DC, đường thẳng MN cắt AD E và BC F.c/m góc AEM=BFM cho tam giác ABC có tỷung tuyến AD;BE và CF qua E vẽ đường thẳng // AB cắt đường thẳng vẽ từ F // BE tạ G c.m AD//CG cho tam giác ABC dựng các hình vuông: ABDE và AØCG miền ngoài tam giác Gọi H;K;L là trung điểm EB;BC và CG c/m HK KL cho tam giác ABC, dựng các hình vuông: ABEF và ACGH miền ngoài tam giác Dựng AD BC c/m : AD ;BE và CG đồng quy E *****CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN VAØ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTE A *****CHUYÊN ĐỀ ĐỊNH LÍ FECMART A LYÙ THUYEÁT: B PHÖÔNG PHAÙP: C VAÄN DUÏNG: 12 Lop8.net (13) cho caùc soá nguyeân a vaø b c/mr: a32b3 khoâng chia heát cho 19 Ta coù a18: 19 vaø b19: 19 Ta dùng HĐT số để nhân lên tạo Ta dùng phương pháp pc để c/m c/m: 2312 – 2310-238+234+232-1 chia heát cho 105 Ta nhaän thaáy 105= 3.5.7 D *****CHUYÊN ĐỀ PHÉP BIÉN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG: A LYÙ THUYEÁT: Định nghĩa ánh xạ, các kiến thức liên quan Ñònh nghóa pheùp bieán hình caùc pheùp bieán hình vaø tính chaát các bước giải bài toán dựng hình a B1: phaân tích b Dựng c c/m d giới hạn B phöông phaùp: C vaän duïng: cho góc xOy và đường thẳng d xác định A Ox và B Oy : đoạn thẳng AB nhận d làm trung trực x O y g/s đã dựng A vàB yêu cầu đó: AB nhận d làm trung trực nên theo tính chất phép đối xứng trục thì B đối xứng A qua d mặt khác B nằm ntrên Oy nên B thỏa tính chất là nằm trên Oy và đường thẳng đỗi xứng Ox qua phép đối xứng trục d xong trên tia phân giác góc ngoài mđỉnh C ▲ ABC lấy điểm M bất kì: c/m CA+CB MA+MB y A M 13 Lop8.net (14) ta caàn coù CA+CB vaø MA+MB ta thấy nên chuyển thành đoạn thaúng ta muốn CA+CB thành đoạn thẳng nên ta laáy A’ đối xứng A qua cy đó CA+CB= BA’ Ta caàn so saùnh MA+MB vaø BA’ thì coù MA=MA’ cho ▲ ABC coù goùc A=200 vaø B= 800 treân caïnh AC laáy ñieåm M: AM=BC Tính goùc BMC? A đầu tiên ta nhận thấy tam giác ABC cân taïi A Laøm duøng Gt AM=BC? Gọi d là đường trung trực AB, gọi O đối xứng M qua d đó AMOB là hình thang cân Suy ra: goùc OBA= MAB = 200 => ▲ OBC caân M mà góc OBC=600 nên ▲ OBC Ta c/m ▲ OMC cân O (góc nhau) => OM=OC, gọi I =d AC đó: ▲ IAB caân taïi O I neân goùc IAB=IBA=200 => B;I;O thaúng haøng Ta coù AB//MO neân ABI=MOI= 200 => OMI=200 Maø OB=OM=> MOI=2.MBO => MBO= 100.neân B C BMC=30 cho hình vuông ABCD và hai đường thẳng a;d xác định điểm E trên cạnh hình vuông và điểm F nằm trên a: EF nhận d làm trung trực g/s đã dựng E và F đó ta có EF nhận d làm trung trực nên 14 Lop8.net (15) E đối xứng F qua d nên E nằm trên đa thức a’ đối xứng a qua d maët khaùc E naèm treân hv neân E laø giao ñieåm cuûa a’ vaø hv Bieän luaän tuøy cho đường thẳng m và n, và đường tròn (O;R) dựng hình vuông ABCD: A thuoäc ñöông troøn, C n coøn B:D m ta có Nhận xét B và D là đường chéo nên là trục đối xứng hv Khi đó A và C đối xứng qua M mặt khác C n nên A là điểm đối xứng nên n’ đối xứng n qua m mà A (O;R) nên A là đtròn và n’, sau đó => C coù taâm cuûa hv neân coù B vaø D xong hai quoác loä thaúng caét taïo thaønh goùc nhoïn Laøng A naèm goùc nhọn đó, hãy xác định đường khép kín nối liền làng A với hai đường quốc lộ đó cho tổng độ dài hai đường quốc lộ là ngắn cho đường tròn (O;R) và (O;R) cắt A và B đường thẳng d //OO’cắt haoi đường tròn C:D và E:F theo thứ tự C;E (O) còn D:F (O’) a c/m CDO’O laø hình bình haønh b Cho AB =a tính CD=? c c/m soá ño goùc CAD khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí d//O’O cho xOy =900, điểm A cố định nằm góc đó Dựng góc vuông đỉnh A có hai cạnh thay đổi cắt Ox B và Oy C tìm vị trí M đối xứng A qua BC Phaàn thuaän: Ta có A và M đối xứng qua BC mà BAC=90 nên BMC=90=> Bac =BOC =BMC=90 đó A;B;O;M và C (I) đó I là trung điểm BC Ta có CA=CM (tính chất đối xứng) nên sđcung AC=cung CM => COA=COM 15 Lop8.net (16) Nên M a đối xứng đường thẳng OA qua Oy Khi C =O thì M=D Khi B=O thì M=E Vậy quỹ tích M là đoạn thẳng DE cho xAy khác 1800, lấy G miền góc xAy Dựng B tia Ax, C Ay: G aø troïng taâm ▲ ABC Ta coù G coá ñònh Maø A coá ñònh neân neáu G laø troïng taâm thì I trung ñieåm BC coá ñònh Khi đó B và C đối xứng qua tâm I Mà B Ax nên C a đó a đối xứng Ax qua I ta dựng C sau đó => B xong 10 cho ▲ ABC, O là điểm các trung trực, H là trực tâm, M là điểm bncủa BC Gọi K là điểm đối xứng H qua M c/m A và K đối xứng qua O chú ý Tứ giác có đường chéo cắt trung điểm dường là hình bình haønh 11.cho (O;R) và hai điểm A;C cố định cho đường thẳng AC không cắt (O) dựng hình bình hành ABDC Tìm quỹ tích D 12.cho (O;R) và (O’;R’) cắt A và B hãy dựng qua A đường thẳng d cắt (O) và (O’) các điểm thứ hai là M và N: A là trung điểm MN 13.cho điểm C di động trên (O;R) có đường kính AB cố định, trên tia AC lấy P: AC=C P Tìm quyõ tích caùc ñieåm Qlaø ñænh cuûa hình bình haønh coù hai caïnh PA vaø PB 14.cho goùc xOy vaø ñieåm M naèm goùc xOy 16 Lop8.net (17) a qua điểm M dựng đường thẳng d cắt Ox A và Oy B: Mlà trung ñieåm cuûa AB b c/m : ▲ OAB nhận cách dựng trên có diện tích nhỏ nhẩttong tất các tam giác tạo bỡi tia Ox và Oy và đường thẳng qua M 15.cho tam giác, phép tịnh tiến hãy tạo tam iác có cạnh có độ dài trung tuyến tam ngiác đó Từ đo => trung tuyến nhỏ toång hai trung tuyeán 16.cho (O;R) vaø (O’;R) caét ntaïi M vaø N goïi A vaø B laø ñieåm cuûa hai đường trung trực Mn với các đường trònvà nằm cùng phía đường thaúng MN c/m: MN2+AB2=4R2 Cho bán kính đúng 17.dựg hình thang ABCD (AB//CD), biết hai dường chéo AC=a và BD=b, góc ABC = x và đường trung bình MN=c 18.cho (O;5), M là điểm di động trên (O;5) Gọi A là điểm cố định cho: OA=12 dựng hình bình hành OMBA Tìm? a quỹ tích điểm B M di động trên đường tròn b Quỹ tích I là điểm đường chéo hình bình hành OMBA 17 Lop8.net (18) 19.cho điểm B và C cố định trên (O) và điểm thay đổi trên (O) tìm quỹ tích trực tâm H ▲ ABC Ta lấy B’ đối xứng B qua O đó dùng phép tịnh tiến theo vectơ B’C 20.cho Tứ giác ABCD có M,N,P và Q là btrung điểm AB;BC;CD và DA Cmr Tứ giác ABCD là hình bình hành và MP+ NQ = ½.(AB+BC+CD+DA) Ta nhận thấy MP phải liên quan đến AB và CD nên chắn để dấu sảy thì AB và CD phải tạo thành đường thẳng Nên ta xét phép tịnh tiến theo vectơ BC để đưa BC D? Khi đó BC?D là hình bình hành nên trung điểm CD trùng B? nên => AD? Thaúng haøng Khi đó MẶT PHẲNG =1/2.AE= ? Tương tự 21.cho Tứ giác ABCD có AB= 3; BC =3; CD=2 3.;góc BAD=CDA=600 tính ABC vaø BCD Ta thaáy coù: Goùc A vaø D coù lieân quan neân neáu ta taïo taïi A moät goùc lieân quan thì coù soá ñieàu khaùc Ta neân taïo hình bình haønh ? Hình bình haønh thì coù vectô baèng neân taïo pheùp tònh tieán theo vectô DC đó dựa trên quan hệ cạnh nên => góc AEB (AECD là hình bình haønh) Dựa trên AB và AE ta có ▲ Abe vuông nên có BE và góc BEC kết hợp BC đó: nên ▲ BCE câ => góc B cà C 22.cho ▲ AOB vaø goùc x goïi A’ laø aûnh cuûa A, B’ laø aûnh cuûa B pheùp quay taâm O goùc x cmr: a AB=A’B’ b Góc AB và A’B’ x 23.cho điểm A,M,B theo thứ tự Vẽ hai tam giác đềuAMC và BMDở cùng phía đường thẳng AMB Gọi I,J là trung điểm AD và BC c/m MỊ là tam giác Ta nhaän thaáy coù MA=MC; MB=MD va hai goùc 600 neân ta duøng pheùp quay taâm M vaø 600 Khi đó ta có nagy MI=MJ và góc 600 nên có tam giác 24.cho ▲ ABC vuoâng caân taïi , moät ñieåm M naèm tam giaùc cho: MA=2; MB=1; MC=3 tính AMB? 18 Lop8.net (19) Ta nhaän thaáy coù AB=AC neân duøng pheùp quay taâm A vaø coù goùc baøi laø 900 neân bieán C thaønh B vaø M thaønh D Khi đó MAD=900 Và MA=MD; BD=CM đó ta tính DM Khi đó dùng định lí pytago đảo thì ta ▲ MBD vuông M đó có kq: 90+45 25.điểm M nằm ▲ ABC mà MA=3;MB=4 và MC=5 tính góc AMB? Tương tự ta xét phép quay tâm B góc 600 Khi đó ta c/m ▲ MAD vuông đó ta có đpcm 26.cho điểm M nằm điểm A và B vẽ phía AB các hình vuoâng AMCD vaø BMEF c/m AE BC Ta nhaän thaáy M coù vò trí ñaëc bieät neân ta xeùt taïi M Khi đó có MA=MC và ME=MB nên ta xét phép quay tâm M góc 900 Duøng tính chaát veà goùc laø xong 27.cho ▲ ABC, trên cạnh AB và AC ta dựng ngoài các hình vuoângABDE,ACFG a c/m EC=BG vaø EC BG b Gọi I,N,K và M là trung điểm EG,GC,CB và GE c/m INKM laø hvuoâng c Goïi AH BC Haõy c/m I,A,H thaúng haøng d Nếu ▲ ABC cố định, AH=h, BC =m, thì I chuyển động trên đường naøo? Ta nhận thấy có các hình vuông nên ta dùng góc 900, ta phép quay taâm A Biến E thành B và G thành C đó có câu a Dùng tính chất đường trung bình c muốn c/m I,A,H thẳng hàng đó phải có IA BC Ta có B biến thành E nên BC với E? đó ? là ảnh C phép quay trên VẬY ? LAØ GÌ? Vì CAG =900 nên J;A:G thẳng hàng J đối xứng G qua A d ta xét IH=IA+AH =1/2.EJ+h mà EJ=BC xong, đường thẳng // và cách BC là m/2+h 28.cho b và c là hai đường thẳng // Điểm A không nằm trên hai đường thẳng đó Dựng M b và N c: ▲ AMN Để đạt ▲ AMN thì N là ảnh M qua phép quay tâm A góc 600 Maø M naèm treân b neân N naèm treân b’ laø aûnh cuûa b qua pheùp quay treân Vaäy N laø ñieåm cuûa b’ vaø c 19 Lop8.net (20) Ta có đường thẳng b’ (gọi H là hình chiếu A lên b đó có H’ qua phía) 29.cho đường thẳng a và b cắt O và A thuộc miền góc nhọn Dựng ▲ABC vuông cân A đó B a và C b vì ta caàn tam giaùc naøy vuoâng caân taïi A neân C laø aûnh cuûa B qua pheùp quay taâm A goùc 900 Tương tự bài trên 30.cho (O;R), A laø ñieåm coá ñònh naèm (O) ( A khoâng truøng O), BC laø daây cung (O), BC di động sđBC=1200 gọi I là trng điểm BC Vẽ ▲ AIJ Tìm tập hợp J vì ta coù cung 1200 neân goùc BOC=1200 Coù I laø trung ñieåm BC neân laáy H laø ñieåm cuûa OI baø cung BC Khi đó góc BOI=600 Vì tam giác AIJ mà tìm quỹ tích J nên ta tìm quỹ tích I trước đã Ta thaáy ▲ OBI vuoâng taïi I? Ta coù ? OB=R vaø goùc 600 neân OI? Neân OI= R/2 J liên quan gì đến I? 31.cho điểm M chuyển động trên nửa đường tròn tâm O, bán kính AB=2R dựng phía ngoài tam giác AMB hình vuông MBCD Hãy tìm quỹ tích điểm C M chuyển động trên nửa đường tròn tâm O trên tia Bx AB B và nằm trên cùng phía với nửa đường tròn, ta lấy điểm O’: BO’=BO, c.m : OM O’C ta nhaän thaáy neáu laø hình vuoâng thì B laø ñieåm ñaëc bieät Ta laïi thaáy: BM =BC Neân C laø aûnh cuûa M qua pheùp quay taâm B goùc 900 Ta duøng tính chaát cuûa pheùp quay treân laø xong 32.trong ▲ ABC, ntìm M: MA+MB+MC nhoû nhaát Để tìm GTNN cảu tổng các đoạn thẳng ta nên dùng BĐT tam giác Muốn dấu sảy thì ta phải tạo thành đoạn thẳng Vậy làm đưa MA và MB cùng MC đường thẳng? Ta duøng pheùp quay? Choïn taâm quay laø A vaäy goùc quay laø? Nên chọn 600 vì không có góc đặc biệt Quay ngược chiều kim đồng hồ Quay M-> M’ vaø B-> B’ Khi đó MA+MB+MC = MM’+B’M+MC B’C M B’C 20 Lop8.net (21)