55 đề luyện thi HSG toán 7

Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E.. 1, Chứng minh BD = CE..[r]

(1)

§Ị sè 1:

đề thi học sinh giỏi huyện Mơn Tốn Lớp

(Thời gian làm 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:

a)

.16

n n 

; b) 27 < 3n < 243 Bµi 2. Thùc hiƯn phÐp tÝnh:

1 1 1 49

( )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

   

Bµi 3. a) T×m x biÕt:

|

2

x

+

3

|=

x

+

2

b) Tìm giá trị nhỏ A =

|

x

−

2006

|+|

2007

−

x

|

Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC

§Ị sè 2:

(Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm)

a) Thực phép tính:









12 10

6 9 3

2

2 25 49

A

125.7 14

 

 

 

b) Chứng minh : Với số nguyên dương n :

2

3n 2n 3n 2n

   chia hết cho 10

Bài 2:(4 điểm)

Tìm x biết:

a





1

3,

3 5

(2)

b









1 11

7 x x

x  x 

   

Bài 3: (4 điểm)

a) Số A chia thành số tỉ lệ theo

2 : :

5 Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A

b) Cho

a c

c b Chứng minh rằng:

2 2

a c a

b c b

   Bài 4: (4 điểm)

Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E cho ME = MA Chứng minh rằng:

a) AC = EB AC // BE

b) Gọi I điểm AC ; K điểm EB cho AI = EK Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng

c) Từ E kẻ EH BC



H

BC



HBE

MEB

Tính HEM BME

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân A có A 20  0, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia

phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC

b) AM = BC

……… Hết ………

Đáp án đề 1toán 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm câu điểm)

a)

.16

n n 

; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4

Bài 2. Thực phép tính: (4 điểm)

1 1 1 49

( )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

   

=

1 1 1 1 1 (1 49)

( )

5 9 14 14 19 44 49 12

             

=

1 1 (12.50 25) 5.9.7.89

( )

5 49 89 5.4.7.7.89 28

 

 

Bài 3. (4 điểm câu điểm) a) T×m x biÕt:

|

2

x

+

3

|=

x

+

2

(3)

+ NÕu x ¿ -

2 th×

|

2

x

+

3

|=

x

+

2

+ NÕu - ¿ x < -

2 Th×

|

2

x

+

3

|=

x

+

2

3 (Tho¶ m·n)

+ NÕu - > x Kh«ng cã giá trị x thoả mÃn

b) Tìm giá trị nhỏ A =

|

x

−

2006

|+|

2007

−

x

|

Khi x thay đổi

+ NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 ¿ x ¿ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 ¿ x ¿ 2007

Bài 4.Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đờng thẳng, ta có:

x – y =

3 (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)

Do đó: x y=

12 =>

x

12=

y

1=

x−y

11 = 3:11=

1 33

 x = 12

33(vòng) =>x=

11 (giê)

Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện

một đờng thẳng 11 giờ

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC

(4 điểm mỗi)

(4)

ABM = Δ DCM v×:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (®®) => BAM = CDM

=>FB // ID => ID ¿ AC

Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3)

vµ E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (®®),

BAH = ACB ( cïng phô ABC)

=> EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => Δ AFE = Δ CAB

=>AE = BC

§Ị sè 2:

(Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm)









12 10

6 9 3

2

2 25 49

A

125.7 14

2

 

 

 

2

3n 2n 3n 2n

Bài 2:(4 điểm)

Tìm x biết:

a





1

3,

3 5

x    

b









1 11

7 x x

x   x  

Bài 3: (4 điểm)

D B

A

H C

I F

(5)

c) Số A chia thành số tỉ lệ theo

2 : :

d) Cho

a c

2 2

a c a

b c b

   Bài 4: (4 điểm)

a) AC = EB AC // BE



H

BC



HBE

MEB

Tính HEM BME

Bài 5: (4 điểm)

phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: c) Tia AD phân giác góc BAC

d) AM = BC

……… Hết ………

Đáp án đề toán 7 Bài 1:(4 điểm):

a) (2 điểm)





























10 12 10 12 12 10

6 9 3 12 12 9 3

2

12 10

12 3

10 12

12

2 25 49 3 7

2 3 7 125.7 14

2

5

2

1 10

6

A       

 

 

 

 



 



(6)

b) (2 điểm)

3n2 2n23n 2n= 3n23n 2n2 2n

=3 (3n 21) (2 n 21)

=3 10 10 2n  n  n  n110

= 10( 3n -2n)

Vậy 3n2 2n2 3n 2n 10 với n số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm)

a) (2 điểm)





1 4 16

3,

3 5 5

1 14

3 5

1 x x x x x x x

x  

                                   



b) (2 điểm)

















1 11

1 10

7

x x x x x x x                









1

10

7

1 ( 7)

7

( 7)

7

10 x x x x x x x x

x  x

                                    

(7)

a) (2,5 điểm)

Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c =

2 : :

5 6 (1)

và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)

Từ (1) 

2

5

a b c

 

= k 

2

; ;

5

k a k b k c 

Do (2) 

2( ) 24309

25 16 36

k   

 k = 180 k =180

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237

+ Với k =180, ta được: a = 72; b =135; c =30

Khi ta có só A =72+( 135) + (30) = 237

b) (1,5 điểm) Từ

a c

c b suy c2 a b.



2 2

a c a a b

b c b a b

 



  =

( )

a a b a b a b b

  

Bài 4: (4 điểm)

a/ (1điểm) Xét AMC EMB có : AM = EM (gt )



AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt )

Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5

điểm

 AC = EB

Vì AMC = EMB  MAC = MEB

(2 góc có vị trí so le tạo đường

thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )

Suy AC // BE 0,5 điểm

K

H

E M

B

A

(8)

b/ (1 điểm )

Xét AMI EMK có : AM = EM (gt )



MAI = MEK ( AMCEMB ) AI = EK (gt )

Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy AMI = EMK

Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

 EMK + IME = 180o

 Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c/ (1,5 điểm )

Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o

 HBE

 = 90o - HBE = 90o - 50o =40o

 HEM

 = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o



BME góc ngồi đỉnh M HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngồi tam giác )

Bài 5: (4 điểm)

a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy DAB DAC 

Do DAB20 : 100 

b) ABC cân A, mà A200(gt) nên

 (1800 20 ) : 800

ABC  

ABC nên DBC 600

Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD800 600 200. Tia BM phân giác góc ABD

nên ABM 100

Xét tam giác ABM BAD có:

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g)

suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC

200

M A

B C

(9)

§Ị sè 3:

đề thi học sinh giỏi Mơn Tốn Lớp (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: Tìm tất số nguyờn a bit a

Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn 10

nhỏ 11

Câu 3. Cho đa thức

P (x) = x + 2mx + m vµ Q (x) = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1)

Câu 4: Tìm cặp số (x; y) biết: 

 

x y

a / ; xy=84

3

1+3y 1+5y 1+7y b/

12 5x 4x

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : A =

|

x

+

1

|

B =

x2+15

x2+3

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC

a Chøng minh: DC = BE vµ DC BE

b Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME ABC = EMA

c Chøng minh: MA BC

Đáp án đề tốn

C©u 1: Tìm tất số nguyên a biết a 4 0 a 4

=>a = 0; 1; 2; ; * a = => a =

* a = => a = hc a = -

(10)

* a = => a = hc a = - * a = => a = a = -

Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn 10

nhỏ 11 Gọi mẫu phân số cần tìm x

Ta cã:

9

10 x 11

 

 

=>

63 63 63 709x 77

  => -77 < 9x < -70 V× 9x 9 => 9x = -72

=> x =

VËy ph©n sè cần tìm

Câu 3. Cho ®a thøc

P (x) = x + 2mx + m vµ Q (x) = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1)

P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1

Q(-1) = – 2m – +m2 = m2 – 2m

§Ĩ P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m = -1/4

Câu 4: Tìm cặp sè (x; y) biÕt: 

x y

a / ; xy=84

3 =>

2 84

4 49 3.7 21

x y xy

   

=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cïng dÊu nªn:

 x = 6; y = 14  x = -6; y = -14

 

1+3y 1+5y 1+7y b/

12 5x 4x

¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã:

     

     

   

1+3y 1+5y 1+7y 7y 5y 2y 5y 3y 2y

12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12

=>

2

5 12

y y

x  x

 

(11)

=> x = Thay x = vào ta đợc:

1

12

y y

y 

  

=>1+ 3y = -12y => = -15y => y =

1 15



VËy x = 2, y = 15



thoả bi

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau :  A =

|

x

+

1

|

Ta cã :

|

x

+

1

|

⇒ A ¿ 5.

DÊu = x¶y ⇔ x= -1.

VËy: Min A = ⇔ x= -1.

 B =

x2+15

x2+3

=

(x2+3)+12

x2+3 = +

12

x2+3

Ta cã: x ¿ DÊu = x¶y ⇔ x = 0 ⇒ x + ¿ ( vÕ d¬ng )

⇒

12

x2+3 ¿ 12

3 ⇒

12

x2+3 ¿ ⇒ 1+

12

x2+3 ¿ 1+ 4 ⇒ B ¿ 5

DÊu = x¶y ⇔ x = 0

VËy : Max B = ⇔ x = C©u 6:

a/

XÐt ADC vµ BAF ta cã: DA = BA(gt)

AE = AC (gt)

DAC = BAE ( cïng b»ng 900 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c )

=> DC = BE

(12)

E1 = C1( DAC = BAE) => EAI = CTI

=> CTI = 900 => DC



b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c) => D1 = MEN, AD = ME

mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (đpcm) (1)

Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 1800

=> BAC = AEM ( )

Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3) Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( đpcm) c/ Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP

XÐt AHC vµ EPA cã:

CAH = AEP ( cïng phơ víi gPAE ) AE = CA ( gt)

PAE = HCA ( ABC = EMA c©u b) => AHC = EPA

=> EPA = AHC => AHC = 900

=> MA

Đề sè 4:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu ( điểm)

Thùc hiÖn phÐp tÝnh :

a-

[

(

3

)

2

−3.

(

3

)

]

b-

(

)

3

.

(

)

2

.(−1)2003

(

)

2

.

(

)

3

(13)

a- Tìm số nguyên a để

a2+a+3

a+1 số nguyên

b- Tìm số nguyên x,y cho x - 2xy + y =

Câu ( điểm)

a- Chứng minh nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b+d) th×

a b=

c

d víi b,d kh¸c 0

b- Cần số hạng tổng S = 1+2+3+… để đợc số có ba chữ số giống

C©u ( ®iĨm)

Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tính góc ADE

C©u ( 1điểm)

Tìm số nguyên tố thoả mÃn : x2 - 2y2 =1

Đáp án đề

Câu Hớng dẫn chấm Điểm

1.a Thc hin theo bớc kết -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực theo bớc kết 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a

Ta cã :

a2+a+3

a+1 =

a(a+1)+3

a+1 =a+

3

a+1

v× a số nguyên nên

a2+a+3

a+1 số nguyên

a+1 là

s nguyên hay a+1 ớc ta có bảng sau :

a+1 -3 -1

a -4 -2

VËy víi a {4,2,0,2}

a2+a+3

a+1 số nguyên

0,25

0,25 0,25 0,25

2.b Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1

Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trờng hợp sau :

1−2 y=1

2x−⇒1=−1

¿

x=0

y=0

¿

{¿ ¿ ¿ ¿

Hc

1−2 y=−1

2x−⇒1=1

¿

x=1

y=1

¿

{¿¿ ¿ ¿

VËy cã cỈp số x, y nh thoả mÃn điều kiện đầu bµi

0,25

(14)

Hay ad=bc Suy

a b=

c

d ( §PCM)

3.b

Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0) Gọi số số hạng tổng n , ta cã :

n(n+1)

2 =111a=3 37 a Hay n(n+1) =2.3.37.a

VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mÃn )

Do n=37 n+1 = 37 Nếu n=37 n+1 = 38 lúc

n(n+1)

2 =703 không thoả mÃn

Nu n+1=37 thỡ n = 36 lúc

n(n+1)

2 =666 tho¶ mÃn

Vậy số số hạng tổng 36

0,25 0,25

0,5

4

B C D

H

A

Kẻ DH Vuông góc với AC ACD =600 CDH = 300 Nên CH =

CD

2 ⇒ CH = BC

Tam giác BCH cân C ⇒ CBH = 300 ⇒ ABH = 150 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân t¹i H

Do tam giác AHD vng cân H Vậy ADB = 450+300=750

0,5

0,5 1,0 1,0

5 Tõ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2

Nếu x chia hết cho x nguyên tố nên x=3 lúc y= nguyên tố thoả mãn

Nếu x khơng chia hết cho x2-1 chia hết cho 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho x2=19 khơng thoả mãn

Vậy cặp số (x,y) tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu (2;3)

0,25 0,25

(15)

§Ị sè 5:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút)

Bài (3đ):

1, Tính: P =

1 1 2

2003 2004 2005 2002 2003 2004

5 5 3

2003 2004 2005 2002 2003 2004

   



   

2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 3, Cho: A =

3 2

2

3 0, 25

x x xy

x y

  

 Tính giá trị A biết

1 ;

x y

số nguyên âm lớn Bài (1đ):

Tìm x biết:

3x + 3x + + 3x + = 117 Bài (1đ):

Một thỏ chạy đường mà hai phần ba đường băng qua đồng cỏ đoạn đường lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy

Hỏi vận tốc thỏ đoạn đường lớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ hai đoạn đường ?

Bài (2đ):

Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh rằng:

1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 1200 Bài (3đ):

Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Từ H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm

1, ∆ABC ∆ ? Chứng minh điều

2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E

Chứng minh: AE = AB

§Ị sè 6:

(16)

Bài (4đ):

Cho đa thức:

A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x +

B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3

C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x +

3

16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị M(x) x =  0, 25 3, Có giá trị x để M(x) = không ? Bài (4đ):

1, Tìm ba số a, b, c biết:

3a = 2b; 5b = 7c 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết:

2x  x  2 x Bài (4đ):

Tìm giá trị nguyên m n để biểu thức 1, P =

2

6 m có giá trị lớn nhất 2, Q =

8

n n



 có giá trị nguyên nhỏ nhất

Bài (5đ):

Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M trung điểm BC kẻ đường vng góc với đường phân giác góc A, cắt đường thẳng AB, AC D, E

1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD BD theo b, c Bài (3đ):

Cho ∆ABC cân A, BAC1000 D điểm thuộc miền ∆ABC cho  10 ,0  200

DBC  DCB . Tính góc ADB ?

§Ị sè 7:

Bài (3đ): Tính: 1,

3

1 1

6 1

3 3

       

   

       

     

 

 

(17)

3,

9 1 1 1 1

10 90 72 56 42 30 20 12 2         Bài (3đ):

1, Cho

a b c

b c a a + b + c ≠ 0; a = 2005. Tính b, c

2, Chứng minh từ hệ thức

a b c d a b c d

 



  ta có hệ thức: a c

b d

Bài (4đ):

Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ?

Bài (3đ):

Vẽ đồ thị hàm số: y =

2 ;

;

x x

 



 

Bài (3đ):

Chứng tỏ rằng:

A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100

Bài (4đ):

Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân

giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh: ID = IE

§Ị sè 8:

Bài (5đ):

1, Tìm n ¿ N biết (33 : 9)3n = 729

2, Tính :

A =

|

4

9

−

(

√

2

)

2

|

|0,(4)+ 3−

2 5−

3

3− 5−

6 |

Bài (3đ):

(18)

a c =

(a+2007b)2 (b+2007c)2

Bài (4đ):

Ba đội công nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành công việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất cơng nhân Hỏi đội có công nhân ? Câu (6đ):

Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE 1, Chứng minh: BE = DC

2, Gọi H giao điểm BE CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ):

Cho m, n ¿ N p số nguyên tố thoả mãn:

p m−1 =

m+n p . Chứng minh : p2 = n + 2.

§Ị sè 9:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm)

a, Cho A=(0,8 7+0.8

2

).(1,25.7−4

5.1,25)+31,64 B=

(11,81+8,19).0,02

9:11,25

Trong hai số A B số lớn lớn lần ?

b) Số A=1019984 có chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho không ?

Câu 2: (2 điểm)

Trên quãng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3:

Tính quãng đờng ngời tới lúc gặp ?

C©u 3:

a) Cho f (x)=ax2+bx+c với a, b, c sè h÷u tØ

Chứng tỏ rằng: f(−2).f(3)≤0 Biết 13a+b+2c=0 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A=

2

6−x có giá trị lớn nhất. Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B E nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F vµ C n»m ë hai nưa mặt phẳng khác bờ AB

a) Chứng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC

C©u 5: (1 ®iĨm)

(19)

A

=

19

890

+

2

(20)

§Ị sè 10:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2 điểm)

a) TÝnh

A=

(

,

3−1,25 +

0,375−0,3+ 11 +

3 12 −0,625+0,5−

11− 12

)

:1890 2005+115

b) Cho

B=1

3+ 32+

1 33+

1 34+ +

1 32004+

1 32005

Chøng minh r»ng B< .

Câu 2: (2 điểm)

a) Chøng minh r»ng nÕu

a b=

c

d th×

5a+3b 5a−3b=

5c+3d

5c−3d

(giả thiết tỉ số có nghĩa) b) Tìm x biết:

x−1 2004+

x−2 2003−

x−3 2002=

x−4 2001

Câu 3: (2điểm)

a) Cho đa thức f(x)=ax2+bx+c với a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên

Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên

b) Độ dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ?

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC lần lợt M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN trung ®iĨm I cđa MN

c) Đờng thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC

C©u 5: (1 ®iĨm)

Tìm số tự nhiên n để phân số

7n−8

(21)

§Ị sè 11:

a) TÝnh: A =

(

0,75−0,6+3 7+

3 13

)

(

11 +

11

13+2,75−2,2

)

(

10

√

,

7 +

22

√

,

)

(

5

√

9

)

|

x

+

3

|+|

x

+

1

|=

3

x

C©u 2: (2 ®iĨm)

a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M=

a a+b+

b b+c+

c

c+a không số nguyên.

b) Cho a, b, c thoả mÃn: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab+bc+ca≤0

Câu 3: (2 điểm)

a) Tìm hai số dơng khác x, y biết tổng, hiệu tích chúng lần lợt tỉ lệ nghịch với 35; 210 vµ 12

b) Vận tốc máy bay, ô tô tàu hoả tỉ lệ với số 10; Thời gian máy bay bay từ A đến B thời gian tơ chạy từ A đến B 16

Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B ?

Câu 4: (3 điểm)

Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ

Chøng minh r»ng góc PCQ 450.

Câu 5: (1 điểm)

Chøng minh r»ng: 5+

1 15+

1 25 + +

1 1985<

9 20

§Ị sè 12:

a) Chứng minh với số n nguyên dơng có: A= 5n(5n+1)−6n(3n+2)  91

b) Tìm tất số nguyên tố P cho P2+14 số nguyên tố.

Bài 2: ( điểm)

a) Tìm số nguyên n cho n2+3  n−1 b) BiÕt

bz−cy

a =

cx−az

b =

ay−bx

c

Chøng minh r»ng:

a x=

b y=

c z

(22)

An Bách có số bu ảnh, số bu ảnh ngời cha đến 100 Số bu ảnh hoa An số bu ảnh thú rừng Bách

+ B¸ch nói với An Nếu cho bạn bu ảnh thú rừng số bu ảnh bạn gấp lần số bu ảnh

+ An trả lời: cho bạn bu ảnh hoa số bu ảnh gấp bốn lần số bu ảnh bạn

Tính số bu ảnh ngời

Bài 4: (3 ®iĨm)

Cho ABC có góc A 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE phân giác ADB

b) Tính số đo góc EDF góc BED

Bài 5: (1 điểm)

Tìm cặp số nguyên tố p, q thoả mÃn: 52p+1997=52p2+q2

Đề số 13:

TÝnh:

(

5 27−10

5 6

)

1 25 +46

3

(

10

)

(

1 3−14

2 7

)

Bài 2: (3 điểm)

a) Chứng minh r»ng: A=3638+4133 chia hÕt cho 77

b) Tìm số nguyên x để

B

=|

x

−

1

|+|

x

−

2

|

c) Chøng minh r»ng: P(x) =ax3+bx2+cx+d cã gi¸ trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ số nguyên

Bài 3: (2 điểm)

a) Cho tØ lÖ thøc

a b=

c

d Chøng minh r»ng:

ab cd=

a2−b2

c2−d2

vµ

(

a

c+d

)

2

=a

2+b2

c2+d2

b) Tìm tất số nguyên dơng n cho: 2n−1 chia hÕt cho 7.

Bài 4: (2 điểm)

Cho cnh hỡnh vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450.

Bài 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng: 3a+2b17⇔10a+b17 (a, b  Z )

§Ị sè 14:

(23)

Bài 1: (2 điểm)

a) Tìm số nguyên dơng a lớn cho 2004! chia hÕt cho 7a

b) TÝnh

P=

1 2+

1 3+

1 4+ .+

1 2005 2004

1 + 2003

2 + 2002

3 + + 2004

Bài 2: (2 điểm) Cho

x y+z+t=

y z+t+x=

z t+x+y=

t x+y+z chøng minh r»ng biểu thức sau có giá trị nguyên

P=x+y

z+t +

y+z

t+x +

z+t

x+y+

t+x

y+z

Bµi 3: (2 ®iĨm)

Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11 km để đến C Vận tốc ngời từ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h

Tính quãng đờng ngời Biết họ đến C lúc A, B, C thẳng hàng

Bµi 4: (3 ®iÓm)

Cho tam giác nhọn ABC Kẻ AH  BC (H  BC) Vẽ AE  AB AE = AB (E C khác phía AC) Kẻ EM FN vng góc với đờng thẳng AH (M, N  AH) EF cắt AH O

Chứng minh O trung điểm EF

Bài 5: (1 điểm)

(24)

§Ị sè 15:

TÝnh : A= 6− 39+ 51 8− 52+

68 ; B=512−

512 −

512 22 −

512 23 − −

512 210

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = b) T×m x, y, z biÕt:

x z+y+1=

y x+z+1=

z

x+y−2=x+y+z (x, y, z )

Câu 3: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng ta có: S=3n+2−2n+2+3n−2n chia hÕt cho 10

b) T×m sè tù nhiên x, y biết: 7(x2004)2=23y2

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, AK trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; tia Ax lấy điểm M cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB lấy điểm N thc Ay cho AN = AB LÊy ®iĨm P trªn tia AK cho AK = KP Chøng minh:

a) AC // BP b) AK  MN

Câu 5: (1 điểm)

Cho a, b, c số đo cạnh tam giác vuông với c số đo cạnh huyền Chứng minh rằng:

a2n+b2nc2n ; n số tự nhiên lớn 0.

Đề số 16:

thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2 điểm)

TÝnh:

A= 83

9 4+3

16 19

1

(

1 34

)

: 24

B=1 3− 8− 54− 108− 180− 270− 378

Câu 2: ( 2, điểm)

1) Tỡm s nguyên m để:

(25)

2) Chøng minh r»ng: 3n+2−2n+4+3n+2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn dơng

Câu 3: (2 điểm)

a) Tìm x, y, z biÕt:

x

2=

y

3 ;

y

4=

z

5 vµ x2−y2=−16

b) Cho f (x)=ax2+bx+c Biết f(0), f(1), f(2) số nguyên Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên vi mi x nguyờn

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH)

a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM

C©u 5: (1 ®iĨm)

Cho 2n+1 lµ sè nguyªn tè (n > 2) Chøng minh 2n−1 hợp số.

Đề số 17:

thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:

A=

(1+2+3+ +99+100)

(

1 3−

1 7−

1

9

)

B=

(

√

3

√

)

4 15)

(

√

)

5

C©u 2: (2 ®iĨm)

a) Tính giá trị biểu thức A=3x2−2x+1 với |x|= b) Tìm x nguyên để

√

x

√

x

C©u 3: ( điểm)

a) Tìm x, y, z biết 3x

8 = 3y

64 = 3z

216 vµ 2x2+2y2−z2=1

b) Một tơ phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đ-ờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 15 phút

Tính thời gian tơ từ A đến B

C©u 4: (3 ®iÓm)

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đờng thẳng AB dựng đoạn AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đờng thẳng AC dựng đoạn AF vng góc với AC AF = AC Chứng minh rằng:

(26)

Câu 5: (1 điểm)

Chứng tỏ rằng: 1− 2+

1 3−

1 4+ .+

1 99− 200= 101+

102+ .+ 199 +

1 200

§Ị sè 18:

a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

M=

0,4−2 9+

2 11 1,4−7

9+ 11

−

3−0,25+ 11

6−0,875+0,7 b) TÝnh tæng: P=1−

1 10− 15− 3− 28− 6− 21

C©u 2: (2 điểm)

1) Tìm x biết:

|

2

x

+

3

|

2

|

4

x

|=

5

2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai 3: Đến lúc gặp vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai 2:

Hỏi gặp họ cách Bắc Giang km ?

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho đa thức f(x)=ax2+bx+c (a, b, c nguyên)

CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho b) CMR:

a b=

c

d th×

7a2+5ac

7a2−5ac=

7b2+5bd

7b2−5bd (Giả sử tỉ số có nghĩa). Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng:

a) AE = AF b) BE = CF c) AE=

AB+AC

Câu 5: (1 điểm)

Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngày 30/4 cần tiết mục văn nghệ có bạn nam, bạn nữ tham gia

Hỏi có nhiều cách lựa chọn để có bạn nh tham gia

§Ị sè 19:

(27)

A=

[

31

7−

(

2 19

)

6+ 6

(

1 3

)

.

(

)

]

31 50

b) Chøng tá r»ng:

B=1−

22− 32−

1

32− − 20042>

1 2004

Câu 2: (2 điểm) Cho phân số:

C=3|x|+2

4|x|−5 (x  Z)

a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn b) Tìm x  Z để C số tự nhiên

C©u 3: (2 ®iĨm) Cho

a b=

c

d Chøng minh r»ng: ab cd=

(a+b)2 (c+d)2 Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB lần lợt E D

a) Chứng minh r»ng: BE = CD; AD = AE

b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh MAB; MAC tam giác vuông cân

c) T A v D vẽ đờng thẳng vng góc với BE, đờng thẳng cắt BC lần l-ợt K H Chứng minh KH = KC

C©u 5: (1 điểm)

Tìm số nguyên tố p cho:

3p2+1 ; 24p2+1 số nguyên tè

§Ị sè 20:

A=

0,75−0,6+3 7+

3 13 2,75−2,2+11

7 + 11

3 ;

B=(−251 3+281)+3 251(1281)

b) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000

C©u 2: ( ®iĨm)

a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z) b) BiÕt

bz−cy

a =

cx−az

b =

ay−bx

(28)

Chøng minh r»ng:

a x=

b y=

c z

Câu 3: ( điểm)

Bõy 10 phút Hỏi sau hai kim đồng hồ nằm đối diện trờn mt ng thng

Câu 4: (2 điểm)

Cho ABC vuông cân A Gọi D điểm cạnh AC, BI phân giác ABD, đờng cao IM BID cắt đờng vuông góc với AC kẻ từ C N

TÝnh góc IBN ?

Câu 5: (2 điểm)

(29)

§Ị sè 21:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 im)

a) Tính giá trị biểu thøc

P=2005 :

(

0,375−0,3+ 11+

3 12 −0,625+0,5−

11− 12

2,5+5 3−1,25 1,5+1−0,75

)

3 12 22+

5 22.32+

7

32 42+ + 19

92 102<1

C©u 2: (2 điểm)

a) Chứng minh với số nguyên dơng n thì: 3n+3+3n+1+2n+3+2n+2 chia hết cho

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

D

=|

2004

x

|+|

2003

x

|

Câu 3: (2 điểm)

Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đ ợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút

Tính thời gian tơ từ A đến B

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng khơng chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vng góc với AB, tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vng góc với AC Trên tia lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh rằng:

a) DE = AM b) AM  DE

C©u 5: (1 ®iĨm)

Cho n sè x1, x2, , xn số nhận giá trị -1 Chøng minh r»ng nÕu x1 x2 + x2 x3 + …+ xn x1 = th× n chia hÕt cho

§Ị sè 22:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bi 1: (2 im)

a) Tính giá trị biÓu thøc: A=

(

81,624 : 44

3−4,505

)

2

+1253

4

{

[

(

)

2

:0,88+3,53

]

2

−(2,75)2

}

25

b) Chøng minh r»ng tæng:

S=

22− 24+

1 26− +

1 24n−2−

1

24n+ + 22002−

1 22004<0,2

Bài 2: (2 điểm)

(30)

2005

=|

x

4

|+|

x

10

|+|

x

+

101

|+|

x

+

990

|+|

x

+

1000

|

b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ số nguyên tố d chia hết cho

Bài 3: (2 điểm)

a) lm xong công việc, số công nhân cần làm số ngày Một bạn học sinh lập luận số cơng nhân tăng thêm 1/3 thời gian giảm 1/3 Điều hay sai ? ?

b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a+b+c+d

a =

a+2b+c+d

b =

a+b+2c+d

c =

a+b+c+2d

d

TÝnh M=

a+b

c+d+

b+c

d+a+

c+d

a+b+

d+a

b+c Bµi 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD CE cắt I a) Tính góc DIE góc A = 600.

b) Gọi giao điểm BD CE với đờng cao AH ABC lần lợt M N Chứng minh BM > MN + NC

Bài 5: (1 điểm)

Cho z, y, z số dơng Chứng minh rằng:

x

2x+y+z+

y

2y+z+x+

z

2z+x+y≤

§Ị sè 23:

a) T×m x biÕt:

|

x

+|

6

x

−

2

||=

x

+

4

b) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = (34x+x2)2004.(3+4x+x2)2005

Bài 2: (2 điểm)

Ba đờng cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x số tự nhiên Tìm x ?

Bµi 3: (2 ®iÓm) Cho

x y+z+t=

y z+t+x=

z t+x+y=

t

x+y+z CMR biểu thức sau có giá trị nguyên:

P=x+y

z+t +

y+z

t+x +

z+t

x+y+

t+x

y+z

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A có góc B = Trên cạnh AC lấy ®iÓm E cho gãc

EBA=

(31)

Bài 5: (1 điểm)

Tìm số a, b, c nguyên dơng thoả mÃn : a3+3a2+5=5b a+3=5c

Đề số 24:

a) Tính A=332+3334+ +3200332004 b) Tìm x biết

|

x

1

|+|

x

+

3

|=

4

Bài 2: (2 ®iĨm)

Chøng minh r»ng: NÕu

x a+2b+c=

y

2a+b−c=

z

4a−4b+c

Th×

a x+2y+z=

b

2x+y−z=

c

4x4y+z

Bài 3: (2 điểm)

Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h

Tính quãng đờng ngời Biết họ đến C lúc

Bµi 4: (3 ®iĨm)

Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đờng cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K lần lợt giao điểm DE với AB AC

TÝnh sè ®o góc AIC AKB ?

Bài 5: (1 điểm)

Cho x = 2005 Tính giá trị biĨu thøc:

x2005−2006x2004+2006x2003−2006x2002+ −2006x2+2006x−1

§Ị sè 25:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu ( 2đ) Cho:

a b =

b c =

(32)

Chøng minh:

(

a+b+c

b+c+d

)

= a

d .

C©u (1đ) Tìm A biết rằng: A =

a b+c =

c a+b =

b c+a .

Câu (2đ) Tìm x∈Z để A Z tìm giá trị a) A =

x+3

x−2 b) A = 1−2x

x+3 . Câu (2đ) Tìm x:

a)

|

x

−

3

|

Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E  BC, BH,CK  AE, (H,K  AE) Chứng minh MHK vuông cân

Đề số 26:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2đ)

Rót gän A=

2 20

x x

x x

Câu 2 (2đ)

Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc nh

C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng

2006

10 53

9

là số tự nhiên

Câu 4 : (3đ)

Cho gúc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đờng thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC.Chứng minh a, K trung điểm AC

b, BH =

AC

c, KMC

C©u 5 (1,5 ®)

Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới nửa sai nửa:

a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải

(33)

§Ị sè 27:

Bài 1: (3 điểm): Tính

1 2

18 (0, 06 : 0,38) : 19

6

   

    

 

   

Bài 2: (4 điểm): Cho a c

c b chứng minh rằng:

a)

2 2

a c a

b c b

 

 b)

2 2

b a b a

a c a

 

 

Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a)

1

4

5

x  

b)

15

12x 5x

   

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20  0, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh:

e) Tia AD phân giác góc BAC f) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tìm x y,  biết: 25 y2 8(x 2009)2

-§Ị sè 28:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1. Tính

1 1

(34)

Bµi 2. Tìm giá trị nguyên dơng x y, cho:

1 1

x  y

Bài 3 Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140

Bài 4 Tìm x, y thoả mÃn: x x  y 3  x  =

3

Bài 5 Cho tam giác ABC có góc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 Ph©n giác góc ACB cắt AB M Trên MC lÊy ®iĨm N cho gãc MBN = 400 Chøng minh: BN = MC

§Ị sè 29:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phỳt)

Câu 1: Tìm tất số nguyên a biết a

Câu 2: Tìm phân số có tử biết lớn 10

nhỏ 11

Câu 3: Trong số x, y, z có số dơng , số âm số Hỏi số thuộc loại biết:

3 x y y z Câu 4: Tìm cỈp sè (x; y) biÕt:

x y

a, ; xy=84

3

1+3y 1+5y 1+7y b,

12 5x 4x



 

C©u 5: TÝnh tỉng:

n

*

3

S 14 (n Z )





      

Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 900 Vẽ phía ngói tam giác hai đoạn thẳng AD vng góc AB; AE vng góc AC

d Chøng minh: DC = BE vµ DC BE

e Gọi N trung điểm DE Trên tia đối tia NA lấy M cho NA = NM Chứng minh: AB = ME ABC EMA

f Chøng minh: MA BC

§Ị sè 30:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian lm bi 120 phỳt)

Câu 1: So sánh sè:

a A 2  22  2 50 B =251

b 2300 vµ 3200

(35)

C©u 3: TÝnh nhanh:

1 1 761

3

417 762  139 762  417.762 139

Câu Cho tam giác ACE cho B E hai nửa mặt phẳng đối có bờ AC a Chứng minh tam giác AED cân

b TÝnh sè ®o gãc ACD?

Tuyển tập đề thi học

sinh giỏi lớp 7

Mét sè kinh nghiƯm nhá vỊ t×m chư số tận ứng dụng vào

to¸n chøng minh chia hÕt cđa c¸c líp 6,7

I phần mở đầu

(36)

giãi đợc Nhng nhờ phát nắm bắt đợc qui luật , vận dungj qui luật em tự giãi đợc tự nhiên thấy làm đợc việc vơ lớn lao từ gieo vào trí tuệ em khả khám phá , khả tự nghiên cứu

Tuy khó nhng hớng dẩn em cách từ từ có hệ thống ,lơ chặt chẻ em vẩn tiếp fhu tốt kinh nghiệm nhỏ mà tơi muốn trình bày trao đổi bạn

II Néi dung thĨ :

1

Lí thuyết tìm chử số tận cùng

(

X

0

)

A

(

X

1

)

B

(

X

5

)

C

(

X

6

)

D

X5 *a = F0 với a chẳn : số có tận nhân với mmột số chắn sẻ có chư sè tËn cïng lµ

x5 *a = N5 víi a lỴ : mét sè cã tận nhân với số lẻ sẻ có tận

Qua cơng thức ta có quy tắc sau : Một số tn nhiên có chử số tận : (0,1,5,6) nâng lên luỷ thừa với số mủ tự nhiên có chử số tự nhiên khơng thay đổi Kết luận chìa khố để giả tốn tìm chử số tận mt lu tha

2

Các toán bản

Bài toán : Tìm chử số tận cïng cđa c¸c lủ thõa sau

a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100 Ta nhận thấy luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc dạng đả trình bày lại luỷ thừa mà số 2, , , , ,

Muốn giãi tốn ta phai đa chúng dạng thực chất có đa hai dạng :

(

X

1

)

M

(

X

6

)

N

giải toán

A

b) 3100 = 34*25 = ( (3) 4)25 = (81)25 = B1 c) 4100 = 44*50 =( (4) 2)50 = (16)50 = C6 d) 7100 = 74*25 =( (7) 4)25 = 240125 = D1 e) 8100 = 84*25 = ( (8) 4)25 = 409625 = E6 f) 9100 = 92*50 = ( (9) 2)50 = 8150 = F1

Bài toán 2

Giải toán _ nhận xét

số mủ ( 101 không chia hết cho ) _ Ta viÕt 101 = 4.25 +1

(37)

_ ¸p dơng c«ng thøc am+n = am.an

ta cã : a) 2101 = 24.25+1 = 2100 = Y6 = M2 b) 3101 = 3100+1 = 3100 = B1 = Y3 c) 41o1 = 4100 +1 = 4100 = C6 = k4 d) 7101 = 7100+1 = 7100 = D1 = F7 e) 8101 = 8100+1 = 8100 = E6 = N8 f) 9101 = 9100 +1 = 9100 = F1 = M9

3 Mét sè toán phức tạp hơn

Bài toán 3: Tìm chử số tận luỷ thừa sau :

a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ; f) 25691997

Bài giải

Nhn xét quan trọng : Thực chất chử số tận luỷ thừa bậc n mộtsố tự nhiên phụ thuộc vào chử số tận số tự nhiên mà thơi (cơ số) Nh toá thực chất toán

a) 12921997 = 12924 499+1= (12924)499 1292 = A6.1292=M2

b) 33331997 = 33334 499 +1 =(33334)499 +1 3333 =

(

B

1

)

D

C

G

D

X

4 vận dụng vào toán chứng minh chia hết áp dụng dấu hiệu chia

hÕt

Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chử số tận giống thực phép trừ sẻ có chử số tận ta sẻ có toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } Nếu số có tận số có tận chẳng hạn ta sẻ có tốn chứng minh tổng hai số chia hết cho (vì chử số tận tổng l 4)

Các toán cụ thể : Hảy chøng minh a) 12921997 + 33331997  Theo toán ta có

12921997 = M2 33331997 = D3

nh tổng hai số sẻ cã tËn cïng lµ ⇒ 12921997 + 33331997  b) Chøng minh 16281997 + 12921997  10

(38)

12921997 Sẻ Có tận N2

Nh 16281997 + 12921997  10 (vì chử số tận tổng sẻ 0) Ta củng vận dung hiệu hai số tích hai số để tốn chứng minh tơng tự

III Kết luận

Trong năm học qua trực tiếp hớng dẩn cho số học sinh em tỏ thích thú xem nh khám phá em với cách đặt vấn đề nh em tự đề đợc có nhiều hay

(39)

đề thi Ơ-lim -pic huyện Mơn Tốn Lớp Năm học 2006-2007 (Thời gian làm 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng:

a)

.16

n n 

(40)

1 1 1 49

( )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

   

Bµi 3. a) T×m x biÕt:

|

2

x

+

3

|=

x

+

2

b) Tìm giá trị nhỏ A =

|

x

−

2006

|+|

2007

−

x

|

Bài 4. Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng

Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chng minh: AE = BC

Đáp án toán 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm câu điểm)

a)

.16

n n 

; => 24n-3 = 2n => 4n – = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4

Bµi 2. Thùc hiƯn phÐp tÝnh: (4 ®iĨm)

1 1 1 49

( )

4.9 9.14 14.19 44.49 89

    

   

=

1 1 1 1 1 (1 49)

( )

5 9 14 14 19 44 49 12

             

=

1 1 (12.50 25) 5.9.7.89

( )

5 49 89 5.4.7.7.89 28

 

Bài 3. (4 điểm câu điểm) a) Tìm x biết:

|

2

x

+

3

|=

x

+

2

Ta cã: x + ¿ => x ¿ - 2.

+ NÕu x ¿ -

(41)

+ NÕu - ¿ x < -

2 Th×

|

2

x

+

3

|=

x

+

2

3 (Tho¶ m·n)

+ Nếu - > x Không có giá trị cđa x tho¶ m·n

b) Tìm giá trị nhỏ A =

|

x

−

2006

|+|

2007

−

x

|

Khi x thay đổi

+ NÕu x < 2006 th×: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013

Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006 ¿ x ¿ 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1

+ Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006 ¿ x ¿ 2007

Bài 4.Hiện hai kim đồng hồ 10 Sau kim đồng hồ nằm đối diện đờng thẳng (4 điểm mỗi)

Gọi x, y số vòng quay kim phút kim 10giờ đến lúc kim đối đờng thẳng, ta có:

x – y =

3 (ứng với từ số 12 đến số đông hồ) x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)

Do đó: x y=

12 =>

x

12=

y

1=

x−y

11 = 3:11=

1 33

=> x = 12

33(vòng) =>x=

11 (giê)

Vậy thời gian để kim đồng hồ từ 10 đến lúc nằm đối diện

đờng thẳng 11 giờ

Bài 5.Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC (4 điểm mi)

Đờng thẳng AB cắt EI F Δ ABM = Δ DCM v×:

AM = DM (gt), MB = MC (gt), F

E

(42)

AMB = DMC (®®) => BAM = CDM =>FB // ID => ID ¿ AC

Vµ FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Tõ (1) vµ (2) => Δ CAI = Δ FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3)

vµ E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (®®),

BAH = ACB ( cïng phô ABC)

=> EAF = ACB (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => Δ AFE = Δ CAB

=>AE = BC

BÀI TẬP VỀ CÁC ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ

1 Ba đơn vị kinh doanh góp vốn theo tỉ lệ : : Hỏi đơn vịđược chia tiền tổng số tiền lãi l 350 000 000 đ v tià ền lãi chia theo tỉ lệ thuận với số vốn đóng góp

2 Hai nh hình chà ữ nhật có chiều d i bà ằng Nền nh ứ có chiều rộng l mét, nà ền nh ứ hai có chiều rộng l 3,5 mét Để lát hết nh ứ nhấtngười ta dùng 600 viên gạch hoa hình vng Hỏi phải dùng viên gạch loại để lát hết nh ứ hai?

3 Khi tổng kết cuối năm học người ta thấy số học sinh giỏi trường phân bốở khối 6,7,8,9theo tỉ lệ 1,5 : 1,1 : 1,3 : 1,2 Hỏi số học sinh giỏi khối lớp, biết khối nhiều khối l hà ọc sinh giỏi

4 Ba đội máy san đất l m khà ối lượng công việc Đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba ho n th nh công vià ệc ng y, ng y, ng y Hà à ỏi đội có máy, biết đội thứ có nhiều đội thứ hai l máy v nà ăng suất máy

5 Với thời gian để người thợ l nh nghà ề l m 11 sản phẩm người thợ học nghề l m sản phẩm Hỏi người thợ học việc phải dùng thời gian để ho n th nh mà ột khối lượng công việc m ngà ười thợ l nh nghà ề l m 56 giờ?

6 Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ d i cà cạnh hình vng biết tổng số thời gian vật chuyển động cạnh l 59s.à

BÀI TẬP HÌNH HỌC D

B A

H

I

(43)

1 Cho góc xOz v yOz kề bù Ot v Otà ’ lần lượt l phân giác cà ủa hai góc xOy v yOz từ điểm M Ot hạ MH ¿ Ox ( H ¿ Ox ) Trên tia Oz lấy

điểm N cho ON = MH Đường vng góc kẻ từ N cắt tia Ot’ tại K Tính sốđo góc KM^O ?

2 Cho tam giác ABC có B^ = 300 , C^ = 200.Đường trung trực cùa AC cắt BC tại E cắt BA F.Chứng minh : FA = FE

3 Cho tam giác ABC tia phân giác góc B v góc C cà O Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB D v AC E Chứng minh : DE = BD + EC

4 Cho tam giác ABD có B = 2D Kẻ AH vng góc với BD (H ¿ BD ) tia

đối tia BA lấy BE = BH, đường thẳng EH cắt AD F Chứng minh : FH = FA = FD

5 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) tia đối tia CA lấy điểm D a) Chứng minh : ABD = CBD + CDB

b) Giả sử A = 300, ABD = 900, tính góc CBD.

MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ Tìm x, y, biết :

a) (x – 1)2 + (y + 2)2 = 0 b)

|

x

+

2005

|

y

+

1

|

2 Trong chạy đua tiếp sức ¿ 100m ( Mỗi đội tham gia gồm vận động

viên, VĐV chạy xong 100m truyền gậy tiếp sức cho VĐV Tổng số thời gian chạy VĐV l th nh tích cà đội, thời gian chạy đội n o c ng à th nh tích c ng cao ) Già ả sử đội tuyển gồm : chó, mèo, g , ịt có vận tốc tỉ lệ với 10, 8, 4, Hỏi thời gian chạy đội tuyển l ? giây Bià ết vịt chạy hết 80 giây?

3 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn : x

8−

y=

3

§Ị sè 31:

Bài (3đ):

1, Tính: P =

1 1 2

2003 2004 2005 2002 2003 2004

5 5 3

2003 2004 2005 2002 2003 2004

   



(44)

2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 3, Cho: A =

3 2

2

3 0, 25

x x xy

x y

  



Tính giá trị A biết

;

x y

số nguyên âm lớn Bài (1đ):

Tìm x biết:

3x + 3x + + 3x + = 117 Bài (1đ):

Một thỏ chạy đường m hai phà ần ba đường băng qua đồng cỏ v àđoạn đường lại qua đầm lầy Thời gian thỏ chạy đồng cỏ nửa thời gian chạy qua đầm lầy

Hỏi vận tốc thỏ đoạn đường n o ớn ? Tính tỉ số vận tốc thỏ hai đoạn đường ?

B i (2à đ ):

Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngo i ∆ABC ∆ ABD v ACE Gà ọi M l giaoà điểm BE v CD Chà ứng minh rằng:

1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 1200

B i (3à đ ):

Cho ba điểm B, H, C thẳng h ng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Tà H vẽ tia Hx vng góc với đường thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm

1, ∆ABC l à∆ ? Chứng minh điều

2, Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC E

Chứng minh: AE = AB

§Ị sè 32

Bài (4đ):

Cho đa thức:

A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x +

(45)

C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x +

3

16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị M(x) x =  0, 25 3, Có giá trị x để M(x) = khơng ? Bài (4đ):

1, Tìm ba số a, b, c biết:

3a = 2b; 5b = 7c 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết:

2x  x  2 x Bài (4đ):

Tìm giá trị nguyên m n để biểu thức 1, P =

2

6 m có giá trị lớn nhất 2, Q =

8

n n



 có giá trị nguyên nhỏ nhất

Bài (5đ):

Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b Qua M trung điểm BC kẻ đường vng góc với đường phân giác góc A, cắt đường thẳng AB, AC D, E

1, Chứng minh BD = CE 2, Tính AD BD theo b, c Bài (3đ):

Cho ∆ABC cân A, BAC1000 D điểm thuộc miền ∆ABC cho  10 ,0  200

DBC  DCB . Tính góc ADB ?

§Ị sè 33:

(46)

1,

3

1 1

6 1

3 3

       

   

       

     

 

 

2, (63 + 62 + 33) : 13

3,

9 1 1 1 1

10 90 72 56 42 30 20 12 2         Bài (3đ):

1, Cho

a b c

b c a a + b + c ≠ 0; a = 2005. Tính b, c

2, Chứng minh từ hệ thức

a b c d a b c d

 



  ta có hệ thức: a c

b d

Bài (4đ):

Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ?

Bài (3đ):

Vẽ đồ thị hàm số: y =

2 ;

;

x x

 



 

Bài (3đ):

Chứng tỏ rằng:

A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100

Bài (4đ):

Cho tam giác ABC có góc A = 600 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân

(47)

§Ị sè 34:

Bài (5đ):

1, Tìm n ¿ N biết (33 : 9)3n = 729

2, Tính :

A =

|

4

9

−

(

√

2

)

2

|

|0,(4)+ 3−

2 5−

3

3− 5−

6 |

Bài (3đ):

Cho a,b,c ¿ R a,b,c ¿ thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng:

a c =

(a+2007b)2 (b+2007c)2

Bài (4đ):

Ba đội công nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất công nhân Hỏi đội có cơng nhân ? Câu (6đ):

Cho ∆ABC nhọn Vẽ phía ngồi ∆ABC ∆ ABD ACE 1, Chứng minh: BE = DC

2, Gọi H giao điểm BE CD Tính số đo góc BHC Bài (2đ):

Cho m, n ¿ N p số nguyên tố thoả mãn:

p m−1 =

m+n p . Chứng minh : p2 = n + 2.

§Ị sè 35:

(48)

(Thêi gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm)

a, Cho A=(0,8 7+0.8

2

).(1,25.7−4

5.1,25)+31,64 B=

(11,81+8,19).0,02

9:11,25

Trong hai sè A B số lớn lớn lần ?

b) Số A=1019984 có chia hÕt cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho không ? Câu 2: (2 điểm)

Trờn quãng đờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3:

Tính quãng đờng ngời tới lúc gặp ?

C©u 3:

a) Cho f (x)=ax2+bx+c với a, b, c số hữu tØ

Chứng tỏ rằng: f(−2).f(3)≤0 Biết 13a+b+2c=0 b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A=

2

6−x cã gi¸ trị lớn nhất. Câu 4: (3 điểm)

Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B E nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F C nằm hai nửa mặt phẳng kh¸c bê AB

a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC

C©u 5: (1 điểm)

Tìm chữ số tận

A

=

19

890

+

2

(49)

§Ị sè 36:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút Câu 1: (2 điểm)

a) TÝnh

A=

(

,

3−1,25 +

0,375−0,3+ 11+

3 12 −0,625+0,5−

11− 12

)

:1890 2005+115

b) Cho

B=1

3+ 32+

1 33+

1 34+ +

1 32004+

1 32005

Chøng minh r»ng B< .

Câu 2: (2 điểm)

a) Chøng minh r»ng nÕu

a b=

c

d th×

5a+3b 5a−3b=

5c+3d 5c−3d

(giả thiết tỉ số có nghĩa) b) Tìm x biết:

x−1 2004+

x−2 2003−

x−3 2002=

x−4 2001

Câu 3: (2điểm)

a) Cho đa thức f(x)=ax2+bx+c với a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên

Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên

b) dài cạnh tam giác tỉ lệ với 2; 3; Ba đờng cao tơng ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số ?

C©u 4: (3 ®iĨm)

Cho tam giác cân ABC (AB = AC0 Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đờng thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC lần lợt M, N Chứng minh rằng:

a) DM = EN

b) Đờng thẳng BC cắt MN trung điểm I cđa MN

c) Đờng thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC

C©u 5: (1 ®iĨm)

Tìm số tự nhiên n để phân số

7n−8

(50)

§Ị sè 37:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút Câu 1: (2 điểm)

a) TÝnh: A =

(

0,75−0,6+3 7+

3 13

)

(

11 +

11

13+2,75−2,2

)

(

10

√

,

7 +

22

√

,

)

(

5

√

9

)

|

x

+

3

|+|

x

+

1

|=

3

x

C©u 2: (2 ®iĨm)

a) Cho a, b, c > Chøng tá r»ng: M=

a a+b+

b b+c+

c

c+a không số nguyên.

b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab+bc+ca≤0

Câu 3: (2 điểm)

a) Tìm hai số dơng khác x, y biết tổng, hiệu tích chúng lần lợt tỉ lệ nghịch với 35; 210 vµ 12

b) Vận tốc máy bay, ô tô tàu hoả tỉ lệ với số 10; Thời gian máy bay bay từ A đến B thời gian tơ chạy từ A đến B 16

Hỏi tàu hoả chạy từ A đến B ?

Câu 4: (3 điểm)

Cho cnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ

Chøng minh r»ng gãc PCQ 450.

Câu 5: (1 điểm)

Chứng minh r»ng: 5+

1 15+

1 25+ +

1 1985<

(51)

§Ị sè 38:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút Bài 1: (2 điểm)

a) Chứng minh với số n nguyên dơng cú: A= 5n(5n+1)6n(3n+2) 91

b) Tìm tất số nguyên tố P cho P2+14 số nguyên tố.

Bài 2: ( điểm)

a) Tìm số nguyên n cho n2+3 n1 b) BiÕt

bz−cy

a =

cx−az

b =

ay−bx

c

Chøng minh r»ng:

a x=

b y=

c z

Bài 3: (2 điểm)

An v Bỏch cú mt số bu ảnh, số bu ảnh ngời cha đến 100 Số bu ảnh hoa An số bu ảnh thú rừng Bách

+ B¸ch nãi với An Nếu cho bạn bu ảnh thú rừng số bu ảnh bạn gấp lần số bu ảnh

+ An trả lời: cho bạn bu ảnh hoa số bu ảnh gấp bốn lần số bu ảnh bạn

Tính số bu ảnh ngời

Bài 4: (3 điểm)

Cho ABC có góc A 1200 Các đờng phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh DE phân giác ADB

b) Tính số đo góc EDF góc BED

Bài 5: (1 điểm)

(52)

Đề số 39:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút Bài 1: (2 điểm)

TÝnh:

(

5 27−10

5 6

)

1 25 +46

3

(

10

)

(

1 3−14

2 7

)

Bài 2: (3 điểm)

a) Chứng minh rằng: A=3638+4133 chia hÕt cho 77

b) Tìm số nguyên x để

B

=|

x

−

1

|+|

x

−

2

|

c) Chứng minh rằng: P(x) =ax3+bx2+cx+d có giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyên

Bài 3: (2 điểm)

a) Cho tỉ lÖ thøc

a b=

c

d Chøng minh r»ng:

ab cd=

a2−b2

c2−d2

vµ

(

a

c+d

)

2

=a

2+b2

c2+d2

b) Tìm tất số nguyên dơng n cho: 2n−1 chia hÕt cho 7.

Bµi 4: (2 ®iĨm)

Cho cạnh hình vng ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chứng minh góc PCQ 450.

Bài 5: (1 điểm)

(53)

Đề sè 40:

a) Tìm số nguyên dơng a lớn nhÊt cho 2004! chia hÕt cho 7a

b) TÝnh

P=

1 2+

1 3+

1 4+ .+

1 2005 2004

1 + 2003

2 + 2002

3 + + 2004

x y+z+t=

y z+t+x=

z t+x+y=

t x+y+z chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên

P=x+y

z+t +

y+z

t+x +

z+t

x+y+

t+x

y+z

Bài 3: (2 điểm)

Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11 km để đến C Vận tốc ngời từ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h

Tính quãng đờng ngời Biết họ đến C lúc A, B, C thẳng hàng

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giỏc nhọn ABC Kẻ AH  BC (H  BC) Vẽ AE  AB AE = AB (E C khác phía AC) Kẻ EM FN vng góc với đờng thẳng AH (M, N  AH) EF cắt AH O

Chøng minh r»ng O trung điểm EF

Bài 5: (1 điểm)

(54)

§Ị sè 41:

TÝnh :

A= 6−

1 39+

1 51

8− 52+

1

68 ; B=512−

512 −

512 22 −

512 23 − −

512 210

Câu 2: (2 điểm)

a) Tìm x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = b) T×m x, y, z biÕt:

x z+y+1=

y x+z+1=

z

x+y−2=x+y+z (x, y, z )

Câu 3: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng ta có: S=3n+2−2n+2+3n−2n chia hÕt cho 10.

b) T×m sè tự nhiên x, y biết: 7(x2004)2=23y2

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, AK trung tuyến Trên nửa mặt phẳng không chứa B, bờ AC, kẻ tia Ax vuông góc với AC; tia Ax lÊy ®iĨm M cho AM = AC Trên nửa mặt phẳng không chứa C, bờ AB, kẻ tia Ay vuông góc với AB lấy điểm N thc Ay cho AN = AB LÊy ®iĨm P trªn tia AK cho AK = KP Chøng minh:

a) AC // BP b) AK  MN

Câu 5: (1 điểm)

Cho a, b, c số đo cạnh tam giác vuông với c số đo cạnh huyền Chứng minh r»ng:

(55)

§Ị sè 42:

TÝnh:

A= 83

9 4+3

16 19

1

(

1 34

)

: 24

B=1 3−

1 8−

1 54−

1 108−

1 180−

1 270−

1 378

Câu 2: ( 2, điểm)

1) Tỡm s nguyờn m :

a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thøc 2m + b)

|

3

m

−

1

|<

3

2) Chøng minh r»ng: 3n+2−2n+4+3n+2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyên dơng. Câu 3: (2 điểm)

a) Tìm x, y, z biÕt:

x

2=

y

3 ;

y

4=

z

5 vµ x2−y2=−16

b) Cho f (x)=ax2+bx+c Biết f(0), f(1), f(2) số nguyên Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên vi mi x nguyờn

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vng Kẻ EM, FN vng góc với AH (M, N thuộc AH)

a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM

C©u 5: (1 ®iĨm)

(56)

§Ị sè 43:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh:

A=

(1+2+3+ +99+100)

(

1 3−

1 7−

1

9

)

B=

(

√

3

√

)

4 15 )

(

√

)

5

Câu 2: (2 điểm)

a) Tớnh giá trị biểu thức A=3x2−2x+1 với |x|= b) Tìm x nguyên để

√

x

Câu 3: ( điểm)

a) T×m x, y, z biÕt 3x

8 = 3y

64 = 3z

216 vµ 2x2+2y2−z2=1

b) Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đ-ờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 15 phút

Tính thời gian tơ từ A n B

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ đờng thẳng AB dựng đoạn AE vng góc với AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ đờng thẳng AC dựng đoạn AF vng góc với AC AF = AC Chứng minh rằng:

a) FB = EC b) EF = AM c) AM  EF

C©u 5: (1 ®iĨm)

Chøng tá r»ng: 1− 2+

1 3−

1 4+ .+

1 99−

1 200=

1 101+

1

102+ .+ 199 +

(57)

§Ị sè 44:

M=

0,4−2 9+

2 11 1,4−7

9+ 11

−

3−0,25+ 11

6−0,875+0,7 b) TÝnh tæng: P=1−

1 10−

1 15−

1 3−

1 28−

1

1 21

Câu 2: (2 điểm)

1) T×m x biÕt:

|

2

x

+

3

|−

2

|

4

−

x

|=

5

2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai 3: Đến lúc gặp vận tốc ngời thứ so với ngời thứ hai 2:

Hái gặp họ cách Bắc Giang km ?

Câu 3: (2 điểm)

a) Cho đa thøc f (x)=ax2+bx+c (a, b, c nguyªn)

CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho

b) CMR: nÕu

a b=

c

d th×

7a2+5ac

7a2−5ac=

7b2+5bd

7b2−5bd

(Giả sử tỉ s u cú ngha)

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vng góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng:

a) AE = AF b) BE = CF c) AE=

AB+AC

Đội văn nghệ khối gồm 10 bạn có bạn nam, bạn nữ Để chào mừng ngày 30/4 cần tiết mục văn nghệ có bạn nam, bạn nữ tham gia

(58)

§Ị sè 45:

a) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:

A=

[

31

7−

(

2 19

)

6+ 6

(

1 3

)

.

(

)

]

31 50

b) Chøng tá r»ng:

B=1−

22− 32−

1

32− − 20042>

1 2004

C=3|x|+2

4|x|−5 (x  Z)

a) Tìm x  Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn b) Tìm x  Z để C số tự nhiờn

Câu 3: (2 điểm) Cho

a b=

c

d Chøng minh r»ng: ab cd=

(a+b)2 (c+d)2 Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC), tia phân giác góc B C cắt AC AB lần lợt E D

a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE

b) Gọi I giao điểm BE CD AI cắt BC M, chứng minh MAB; MAC tam giác vuông cân

c) Từ A D vẽ đờng thẳng vng góc với BE, đờng thẳng cắt BC lần l-ợt K H Chứng minh KH = KC

Câu 5: (1 điểm)

Tìm số nguyên tố p cho:

(59)

§Ị sè 46:

A=

0,75−0,6+3 7+

3 13 2,75−2,2+11

7 + 11

3 ;

B=(−251 3+281)+3 251−(1−281)

b) Tìm số nguyên tố x, y cho: 51x + 26y = 2000

Câu 2: ( điểm)

a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c  Z) b) BiÕt

bz−cy

a =

cx−az

b =

ay−bx

c

Chøng minh r»ng:

a x=

b y=

c z

Bây 10 phút Hỏi sau hai kim đồng hồ nằm đối diện đờng thng

Câu 4: (2 điểm)

Cho ABC vuông cân A Gọi D điểm cạnh AC, BI phân giác ABD, đờng cao IM BID cắt đờng vng góc với AC kẻ từ C N

TÝnh gãc IBN ?

Câu 5: (2 điểm)

(60)

Đề số 47:

a) Tính giá trị biểu thức

P=2005 :

(

0,375−0,3+ 11+

3 12 −0,625+0,5−

11− 12

2,5+5 3−1,25 1,5+1−0,75

)

3 12 22+

5 22.32+

7

32 42+ + 19

92 102<1

a) Chứng minh với số nguyên dơng n thì: 3n+3+3n+1+2n+3+2n+2 chia hết cho

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

D

=|

2004

x

|+|

2003

x

|

Câu 3: (2 điểm)

Mt ụ tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đ ợc nửa quãng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút

Tính thời gian ô tô từ A đến B

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giỏc ABC, M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng khơng chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vng góc với AB, tia lấy điểm D cho AD = AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vng góc với AC Trên tia lấy điểm E cho AE = AC Chứng minh rằng:

a) DE = AM b) AM  DE

(61)

§Ị sè 48:

a) Tính giá trị biểu thức: A=

(

81,624 : 44

3−4,505

)

2

+1253

4

{

[

(

)

2

:0,88+3,53

]

2

−(2,75)2

}

25

b) Chøng minh r»ng tæng:

S=

22−

1 24+

1 26− +

1 24n−2−

1

24n+ +

1 22002

1 22004<0,2

Bài 2: (2 điểm)

a) Tìm số nguyên x thoả mÃn

2005

=|

x

−

4

|+|

x

−

10

|+|

x

+

101

|+|

x

+

990

|+|

x

+

1000

|

b) Cho p > Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d số nguyên tố d chia hết cho

Bài 3: (2 điểm)

a) làm xong công việc, số công nhân cần làm số ngày Một bạn học sinh lập luận số cơng nhân tăng thêm 1/3 thời gian giảm 1/3 Điều hay sai ? ?

b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a+b+c+d

a =

a+2b+c+d

b =

a+b+2c+d

c =

a+b+c+2d

d

TÝnh M=

a+b

c+d+

b+c

d+a+

c+d

a+b+

d+a

b+c Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC, AB > AC phân giác BD CE cắt I a) Tính góc DIE nÕu gãc A = 600.

b) Gọi giao điểm BD CE với đờng cao AH ABC lần lợt M N Chứng minh BM > MN + NC

Bài 5: (1 điểm)

Cho z, y, z số dơng Chứng minh rằng:

x

2x+y+z+

y

2y+z+x+

z

(62)

§Ị sè 49:

a) T×m x biÕt:

|

x

2

+|

6

x

−

2

||=

x

+

4

b) Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = (3−4x+x2)2004.(3+4x+x2)2005

Bài 2: (2 điểm)

Ba ng cao tam giác ABC có độ dài 4; 12; x biết x số tự nhiên Tỡm x ?

x y+z+t=

y z+t+x=

z t+x+y=

t

x+y+z CMR biÓu thøc sau có giá trị nguyên:

P=x+y

z+t +

y+z

t+x +

z+t

x+y+

t+x

y+z

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A có góc B = Trên cạnh AC lấy điểm E cho gãc

EBA=

3α Trên tia đối tia EB lấy điểm D cho ED = BC Chứng minh tam giác CED tam giỏc cõn

Bài 5: (1 điểm)

(63)

§Ị sè 40:

a) TÝnh A=3−32+33−34+ +32003−32004 b) Tìm x biết

|

x

1

|+|

x

+

3

|=

4

Bài 2: (2 điểm)

Chøng minh r»ng: NÕu

x a+2b+c=

y

2a+b−c=

z

4a−4b+c

Th×

a x+2y+z=

b

2x+y−z=

c

4x−4y+z

Bµi 3: (2 ®iĨm)

Hai xe máy khởi hành lúc từ A B, cách 11km để đến C (ba địa điểm A, B, C đờng thẳng) Vận tốc ngời từ A 20 km/h Vận tốc ngời từ B 24 km/h

Tính quãng đờng ngời Biết họ đến C mt lỳc

Bài 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B C nhọn, đờng cao AH Vẽ điểm D, E cho AB trung trực HD, AC trung trực HE Gọi I, K lần lợt giao điểm DE với AB AC

Tính số đo góc AIC AKB ?

Bài 5: (1 điểm)

Cho x = 2005 Tính giá trị biểu thức:

x20052006x2004+2006x20032006x2002+ −2006x2+2006x−1

§Ị sè 50:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu ( 2đ) Cho:

a b =

b c =

c d

Chøng minh:

(

a+b+c

b+c+d

)

= a

(64)

a b+c =

c a+b =

b c+a .

Câu (2đ) Tìm x∈Z để A Z tìm giá trị a) A =

x+3

x−2 b) A = 1−2x

x+3 . Câu (2đ) Tìm x:

a)

|

x

−

3

|

Câu (3đ) Cho ABC vuông cân A, trung tuyến AM E  BC, BH,CK  AE, (H,K  AE) Chứng minh MHK vuông cân

Đề thi học sinh giỏi toán lớp Câu 1: (2đ)

Rút gän A=

2 20

x x

x x

Câu 2 (2đ)

Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc nh

2006

10 53

9

là số tự nhiên

Câu 4 : (3đ)

Cho gúc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az góc Từ điểm B Ax vẽ đờng thẳng song song với với Ay cắt Az C vẽ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC.Chứng minh a, K trung điểm AC

b, BH =

AC

c, KMC đều Câu 5 (1,5 đ)

Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Huyện, bốn bạn Nam, Bắc, Tây, Đông đoạt giải 1,2,3,4 Biết câu câu dới nửa sai nửa:

a, tây đạt giải 1, Bắc đạt giải b, Tây đạt giải 2, Đông đạt giải c, Nam đạt giải 2, Đông đạt giải

Em xác định thứ tự giải cho bạn

§Ị sè 51:

(65)

1 2 18 (0, 06 : 0,38) : 19

6

   

    

 

   

Bài 2: (4 điểm): Cho a c

c b chứng minh rằng:

a)

2 2

a c a

b c b

 

 b)

2 2

b a b a

a c a

 

 

Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a)

1

4

5

x  

b)

15

12x 5x

   

Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động cạnh hình vuông Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây

Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A có A 20  0, vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh:

g) Tia AD phân giác góc BAC h) AM = BC

Bài 6: (2 điểm): Tìm x y,  biết: 25 y2 8(x 2009)2

-ĐÁP ÁN ĐỀ THI Bài 1: điểm

1 2

18 (0, 06 : 0,38) : 19

6

   

    

 

   =

=

109 15 17 38 19

( : ) : 19

6 100 100

   

    

 

    0.5đ

=

109 17 19 38

: 19

6 50 15 50

    

      

 

   

  1đ

=

109 323 19

:

6 250 250

  

   

 

 

(66)

=

109 13 10 19

 



 

  = 0.5đ

=

506 253

30 1995 0.5đ

Bài 2: a) Từ

a c

 0.5đ

2 2

a c a a b

b c b a b

 



  0.5đ =

( )

a a b a b a b b

 

 0.5đ

b) Theo câu a) ta có:

2 2

a c a b c b

b c b a c a

 

  

  0.5đ

từ

2 2

2 2 1

b c b b c b

a c a a c a

 

    

  1đ

hay

2 2

2

b c a c b a

a c a

   



 0.5đ

vậy

2 2

b a b a

a c a

 



 0.5đ

Bài 3: a)

1

4

5

x  

1

2

x  

0.5đ

1

2

5

x   x 

hoặc

2

x 

1đ Với

1

2

5

x   x 

hay x 0.25đ Với 1 2 5

x   x 

hay 11 x 0.25đ b)

15

12x 5x

   

6

(67)

6 13

( )

5 4 x14 0.5đ 49 13

20x14 0.5đ 130

343

x

0.5đ Bài 4:

Cùng đoạn đường, cận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z thời gian chuyển động với vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s

Ta có: 5.x4.y3.z x x y z   59 1đ hay:

59 60

1 1 1 1 59

5 5 60

x y z x x y z  

    

  

0.5đ Do đó:

1 60 12

5

x 

;

1 60 15

4

x 

;

1 60 20

3

x 

0.5đ Vậy cạnh hình vng là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5:

-Vẽ hình, ghi GT, KL 0.5đ a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 1đ suy DAB DAC

Do DAB 20 : 100 

b) ABC cân A, mà A200(gt) nên

 (1800 20 ) : 800

ABC  

ABC nên DBC600

Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD 800 600 200

   Tia BM phân giác góc ABD nên ABM 100

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100

Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC

Bài 6:

2

25 y 8(x 2009)

200 M A

B C

(68)

Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2

8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ

Vì y2 ¿ 0 nên (x-2009)2

25



, suy (x-2009)2 = (x-2009)2 =1 0.5đ

Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại)

Với (x- 2009)2 = thay vào (*) ta có y2 =25 suy y = (do y ) 0.5đ

Từ tìm (x=2009; y=5) 0.5đ

§Ị sè 52:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1. Tính

1 1

1.6 6.11 11.16  96.101

Bài 2. Tìm giá trị nguyên dơng x vµ y, cho:

1 1

x y

Bài 3 Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140

Bài 4 Tìm x, y thoả mÃn: x x   y 3  x  =

3

Bài 5 Cho tam giác ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700 Phân giác góc ACB cắt AB M Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 400 Chøng minh: BN = MC

§Ị sè 52:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài 1:(4 điểm)









12 10

6 9 3

2

2 25 49

A

125.7 14

 

 

 

2

3n 2n 3n 2n

Bài 2:(4 điểm)

(69)

a





1

3,

3 5

x    

b









1 11

7 x x

x   x  

Bài 3: (4 điểm)

e) Số A chia thành số tỉ lệ theo

2 : :

f) Cho

a c

2 2

a c a

b c b

   Bài 4: (4 điểm)

a) AC = EB AC // BE



H

BC



HBE

MEB

Tính HEM BME

Bài 5: (4 điểm)

phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: i) Tia AD phân giác góc BAC

j) AM = BC

(70)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 7 Bài 1:(4 điểm):

Đáp án Thang điểm

a) (2 điểm)





























10 12 10 12 12 10

6 12 12 9 3

2 12 10

12 3

10 12

12

2 25 49 3 7

2 3 7 125.7 14

2

5

2

1 10

6

A       

 

 

 

 



 



  

b) (2 điểm)

3

-

n

   = 3n23n 2n2 2n

=3 (3n 21) (2 n 21)

=3 10 10 2n n n n1 10       

= 10( 3n -2n)

Vậy 3n2 2n2 3n 2n 10 với n số nguyên dương.

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm điểm 0,5 điểm

Bài 2:(4 điểm)

a) (2 điểm)

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm

(71)





1 3, 2 16

3 5 5

1 14

3 5

1 x x x x x x x

x  

                                   



b) (2 điểm)

















1 11

1 10

7

x x x x x x x                









1

10

7

1 ( 7)

7

( 7)

7

10 x x x x x x x x

x  x

                                     0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

Bài 3: (4 điểm)

a) (2,5 điểm)

Gọi a, b, c ba số chia từ số A Theo đề ta có: a : b : c =

2 : :

5 6 (1)

và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)

Từ (1) 

2

5

a b c

 

= k 

2

; ;

5

k a k b k c 

0,5 điểm 0,5 điểm

(72)

Do (2) 

2

( ) 24309

25 16 36

k   

 k = 180 k =180

+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30 Khi ta có số A = a + b + c = 237

+ Với k =180, ta được: a = 72; b =135; c =30

Khi ta có só A =72+( 135) + (30) = 237

b) (1,5 điểm) Từ

a c



2 2

a c a a b

b c b a b

 



  =

( )

a a b a b a b b

  

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

Bài 4: (4 điểm)

Vẽ hình 0,5 điểm

a/ (1điểm) Xét AMC EMB có : AM = EM (gt )



AMC = EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt )

Nên : AMC = EMB (c.g.c ) 0,5 điểm

 AC = EB

K

H

E M

B

A

(73)

Vì AMC = EMB  MAC = MEB

(2 góc có vị trí so le tạo đường thẳng AC EB cắt đường thẳng AE )

Suy AC // BE 0,5 điểm

b/ (1 điểm )

Xét AMI EMK có : AM = EM (gt )



MAI= MEK ( AMCEMB ) AI = EK (gt )

Nên AMI EMK ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy 

AMI = EMK

Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )

 EMK + IME = 180o

 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm

c/ (1,5 điểm )

Trong tam giác vng BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o

 HBE

 = 90o - HBE = 90o - 50o =40o

0,5 điểm 

HEM

 = HEB - MEB = 40o - 25o = 15o

0,5 điểm 

BME góc ngồi đỉnh M HEM

Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o

( định lý góc ngồi tam giác ) 0,5 điểm

(74)

200

M

A

B

C

D

-Vẽ hình

a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) điểm

suy DAB DAC  0,5 điểm

Do DAB20 : 100  0,5 điểm

b) ABC cân A, mà A200(gt) nên ABC (1800 20 ) : 800 

ABC nên DBC 600 0,5 điểm

Tia BD nằm hai tia BA BC suy ABD800 600 200. Tia BM phân giác góc ABD

nên ABM 100 0,5 điểm

AB cạnh chung ; BAM ABD20 ;0 ABM DAB 100 Vậy: ABM = BAD (g.c.g)

suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm

Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đạt điểm tối đa.

§Ị sè 53:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Câu ( điểm)

(75)

a

[

(

3

)

2

−3.

(

3

)

]

b

(

)

3

.

(

)

2

.(−1)2003

(

)

2

.

(

)

3

a Tìm số ngun a để

a2+a+3

a+1 số nguyên

b Tìm số nguyªn x, y cho x- 2xy + y =

Câu ( điểm)

a Chứng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c(b + d) th×

a b=

c

d víi b, d kh¸c 0

b Cần số hạng tổng S = + + +… để đợc số có ba chữ số giống

Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2CB Tớnh gúc ADE

Câu ( 1điểm)

Tìm số nguyên tố thoả mÃn : x2- 2y2 = 1

Đáp án chấm Toán 7

Câ

u Híng dÉn chÊm §iĨm

(76)

2.a

Ta cã :

a2+a+3

a+1 =

a(a+1)+3

a+1 =a+

3

a+1

a số nguyên nên

a2+a+3

a+1 số nguyên

a+1 lµ sè

nguyên hay a+1 ớc ta có bảng sau :

a+1 -3 -1

a -4 -2

VËy víi a ¿{−4,−2,0,2} th×

a2+a+3

a+1 số nguyên

0,25

0,25 0,25 0,25

2.b Tõ : x- 2xy + y = Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1

Vì x,y số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) số nguyên ta có trờng hợp sau :

1−2 y=1

2x−1=−1

⇒

¿

x=0

y=0

¿

{¿ ¿ ¿ ¿

Hc

1−2 y=−1

2x−1=1

⇒

¿

x=1

y=1

¿

{¿ ¿ ¿ ¿

VËy cã cỈp số x, y nh thoả mÃn điều kiện đầu

0,25

0,25 0,25 0,25 3.a Vì a + c = 2b nªn tõ 2bd = c(b + d) Ta cã: (a + c)d =c(b + d)

Hay ad = bc Suy

a b=

c

d ( §PCM)

0,5 0,5 3.b

Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0) Gọi số số hạng tổng n , ta có :

n(n+1)

2 =111a=3 37 a Hay n(n + 1) =2.3.37.a

VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mà 37 số nguyên tố n + < 74 ( Nếu n = 74 không thoả m·n )

Do n=37 n + = 37 Nếu n =37 n + = 38 lúc

n(n+1)

2 =703 kh«ng tho¶ m·n

Nếu n + 1=37 n = 36 lúc

n(n+1)

2 =666 thoả mÃn

Vậy số số hạng tổng lµ 36

0,25 0,25

0,5

(77)

B C D H

A

Kẻ DH Vng góc với AC ACD =600 CDH = 300 Nên CH =

CD

2 CH = BC

Tam giác BCH cân t¹i C ⇒ CBH = 300 ⇒ ABH = 150 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H

Do ú tam giỏc AHD vuông cân H Vậy ADB = 450 + 300 =750

0,5

0,5 1,0 1,0

5 Tõ : x2- 2y2 =1suy x2- = 2y2

Nếu x chia hết cho x nguyên tố nên x = lúc y = nguyên tố thoả mãn

Nếu x không chia hết cho x2-1 chia hết cho 2y2 chia hết cho Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho x2 =19 khơng thoả mãn

Vậy cặp số (x,y) tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu (2;3)

0,25 0,25

§Ị sè 54:

đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm 120 phút) Bài (4đ) -

Rót gän biÓu thøc

a- A = a - + - 2a - + a

b-

√

1

+

2

+

3

+

+(

n

−

1

)+

n

+(

n

−

1

)+

+

3

+

2

+

1

Bài (4 đ)

Chøng minh r»ng : nÕu a,b,c lµ số không âm thoả mÃn điều kiện sau : a + c = vµ a + b = th× N = a + b - c -

17

2 số khơng dơng Tìm a,b,c để N = 0

(78)

Cho biÓu thøc A =

x

−

3

2

+

x

Biểu thức A có giá trị lớn hay nhỏ nhát ? Tỡm giỏ tr ú

Câu (4 đ)

Cho tam giác cân ABC có ACB = 100 0 Phân giác CAB cắt CB t¹i D Chøng minh r»ng AD + DC = AB

Bài ( đ)

Cho tam giác ABC có AB = AC Trên đờng thẳng vng góc với AC C lấy điểm D cho hai điểm B , D nằm khác phía đờng thẳng AC Gọi K giao điểm đ-ờng thẳng qua B vng góc với AB đđ-ờng thẳng qua trung điểm M CD vng góc với AD

Chøng minh KB = KD

-***** -§Ị sè 55:

Bài 1:Thực phép tính (2 điểm)

a/ 9:

(

1 11−

5 22

)

5 9:

(

1 15−

2

3

)

(

69

167−

(

−1

)

Bài 2:So sánh (2 điểm)

a/ 7+

√

(

1

−

√

50

)

Bài 3:Tìm x, y, z biết (4,5 điểm)

a/ 3(x-2) – 4(2x+1) – 5(2x+3) = 50 b/

1 2:

(

1

3|2x+1|

)

3x−2y

37 =

5y−3z

15 =

2z−5x

2 10x - 3y - 2z = -4

Bài 4:(6 điểm)

Cho hàm số

y

=(

m

+

2009

)

x

+

2

|

x

|

(79)

c/ Điểm sau không thuộc đồ thị hàm số B(-2; -2) C(5; 1) D(2; 10)

d/ Tính diện tích tam giác OBC

Bài 5:(5,5 điểm)

Cho ∆ABC, góc B = 600, AB = 7cm, BC = 14cm Trên BC lấy điểm D cho góc

BAD = 600 Gọi H trung điểm BD

a/ Tính độ dài HD

b/ Chứng minh ∆DAC cân c/ ∆ABC tam giác gì?

d/ Chứng minh AB2 + CH2 = AC2 + BH2

=======

¯



¯