B/ Các phương pháp cơ bản khi giải toán hình ở tiểu học: Như phần trên đã trình bày việc giải toán hình ở tiểu học đòi hỏi người thầy, người trò và nói chung là những người giải toán cần[r]
(1)A/ Kiến thức khái quát: Đối với tiểu học kiến thức hình học dừng lại mức độ kiến thức mở đầu Bước đầu cung cấp các công thức các hình: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình tròn, hình tam giác, hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phương Chưa có và chưa sử dụng các công thức phát triển và các định lý, các quy tắc biểu diễn hình Do vậy, giải các bài toán hình tiểu học, đặc biệt là các bài toán hình nâng cao các kỳ thi học sinh khiếu Toán thì cẩm nang có là các công thức các hình Bên cạnh cẩm nang này để giải các bài toán hình phức tạp cần đội ngũ giáo viên học sinh nhanh nhạy việc xem xét, đánh giá mối liên quan các yếu tố đã cho bài Song song với đó là yêu cầu cao người giải toán trí thông minh, tư liên tưởng sáng tạo Điều cần có trước hết là say mê hứng thú giải toán hình Sau bài giải ta nhận chính nội dung bài đó niềm vui học toán, kết tư liên tưởng sáng tạo Điều quan trọng mang tính chất mở đầu và cốt lõi là cần vẽ đúng hình với đầy đủ các điều kiện đề toán Tiếp theo là suy nghĩ thiết lập hướng giải toán có thể vận dụng phương pháp thông thường giải toán hình tiểu học Đó là: + Phương pháp lật hình + Phương pháp kẻ thêm đường thẳng + Phương pháp dịch chuyển hình (Riêng nội dung này nói kỹ phần sau) Tóm lại: Việc giải toán hình tiểu học đòi hỏi lao động trí thức nghiêm túc và nhiệt tình cộng với hứng thú học tập Sau đây là số kiến thức số hình thông thường bậc tiểu học 1/ Hình thang: b Lop4.com (2) A B h D C a H Hình thang là hình tứ giác có cạnh đáy song song với Chiều cao là đoạn thẳng vuông góc với đáy hình thang Như vậy, hình thang có vô số đường cao * Công thức tính: S= ( a b) x h; Trong đó: S - Diện tích; h = (S x 2) : (a + b); h - Chiều cao; a + b = (S x 2) : h a- Đáy lớn; b - Đáy nhỏ Khi giải các bài tập hình thang ta thường áp dụng tính chất kẻ thêm đường cao phát triển trên sở là cắt ghép hình đẳng lập * Có các loại hình thang đặc biệt: + Hình thang vuông: Là hình thang có cạnh bên vuông góc với đáy Khi đó chiều cao hình thang chính là cạnh bên vuông góc hình thang + Hình thang cân: Là hình thang có cạnh bên * Nâng cao: Hai hình thang có tổng đáy nhau, chiều cao thì có S Hai hình thang có tổng đáy hình thang nào có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần thì có S gấp 2, 3, 4… lần và ngược lại Hai hình thang có tổng đáy hình nào có S gấp 2, 3, 4… lần thì có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần và ngược lại 2/ Hình tam giác: 2A Lop4.com (3) h C H a B Hình tam giác có đáy, đỉnh, cạnh, đường cao Ở bậc tiểu học các yếu tố tam giác sử dụng nhiều đến đường cao và đáy, còn các yếu tố khác như: Góc, đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực thì ít dùng và không thông dụng * Lưu ý: Tổng các góc tam giác là 1800 Trong tam giác vuông thì tổng góc còn lại là 900 * Có các loại tam giác đặc biệt: + Tam giác cân: Tam giác có cạnh nhau, góc cùng đáy + Tam giác đều: Tam giác có cạnh, đáy + Tam giác vuông: Tam giác có góc vuông + Tam giác vuông cân: Tam giác vuông có cạnh góc vuông * Công thức tính: S = (a x h) : 2; a = (S x 2) : h ; h = (S x 2) : a Trong đó: S – Diện tích; h – Chiều cao; a - Đáy tương ứng * Nâng cao: Trong tam giác tổng cạnh lớn cạnh Hai tam giác có đáy (hoặc chung đáy) và có chiều cao (hoặc chung chiều cao) thì S tam giác đó Hai tam giác có đáy (hoặc chung đáy) thì tam giác nào có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần thì có S gấp 2, 3, 4… lần và ngược lại Hai tam giác có đáy (hoặc chung đáy) tam giác nào có S gấp 2, 3, 4… lần thì có chiều cao gấp 2, 3, 4… lần và ngược lại Hai tam giác có diện tích nhau, chúng có phần chung thì các phần còn lại tam giác đó Lop4.com (4) 3/ Hình chữ nhật: A B b D a C Hình chữ nhật là hình thang đặc biệt có cạnh bên và vuông góc với đáy * Các công thức tính: + Tính chu vi: P = (a + b) : + Tính diện tích: S = a x b a = (P : 2) – b; b = (P : 2) – a; a = S : b; b = S : a Trong đó: S – Diện tích; P – Chu vi; a – chiều dài; b – Chiều rộng * Nâng cao: Hai HCN có diện tích Nếu chiều dài chúng thì có chiều rộng nhau, và ngược lại Hai HCN có chiều rộng (hoặc chiều dài) hình nào có diện tích gấp 2, 3, … lần thì có chiều dài (hoặc chiều rộng) gấp 2, 3, 4… lần và ngược lại Khi diện tích không thay đổi thì chiều dài và chiều rộng là đại lượng tỷ lệ nghịch 4/ Hình vuông: Hình vuông là hình chữ nhật đặc biệt có chiều dài chiều rộng Chu vi hình vuông: P = a x Diện tích hình vuông: S = a x a Trong số trường hợp, biết diện tích ta có thể biết cạnh nó Đó là các trường hợp S hìng vuông là bình phương số Cắt đôi hình vuông từ trung điểm cạnh ta hai hình chữ nhật có chu vi và diện tích Lop4.com (5) Cắt đôi hình vuông đường chéo ta hình tam giác vuông cân 4/ Hình tròn: r Các yếu tố hình tròn: Đường kính: d; Bán kính: r; Chu vi: C; Diện tích: S Số = 3,14 Công thức tính: C = d x 3,14; S = r x r 3,14 = r x x 3,14; d = C : 3,14; r=d:2 =rx2 = C : : 3,14 B/ Các phương pháp giải toán hình tiểu học: Như phần trên đã trình bày việc giải toán hình tiểu học đòi hỏi người thầy, người trò và nói chung là người giải toán cần có tinh tế và nhạy bén với các yếu tố mà đề bài cho, làm đưa các yếu tố đó lôgíc toán học Song dựa trên các nguyên tắc hay phương pháp định Từ thực tế trực tiếng giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi toán là học sinh khiếu toán tiểu học tôi rút phương pháp giải toán hình thông thường tiểu học sau: 1/ Phương pháp thứ nhất: Phương pháp lật hình Phương pháp này dùng để giải các bài toán hình có nội dung mở rộng hình phía, phía, phía các hình: Tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông… Lop4.com (6) Khi giải các bài toán này ta lật hình để đưa dạng các hình bản: Hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác… các phần mở thêm * Ví dụ 1: Một ruộng hình vuông tăng số đo cạnh thêm 3m thì diện tích tăng thêm 99m2 Tính diện tích ruộng đó? Bài giải 3 Ta lật hình chữ nhật (phần mở thêm chiều ngang) ghép vào phần mở thêm chiều dọc ta hình chữ nhật có diện tích 99m2 (như hình vẽ) Thấy: Hình chữ nhật có chiều rộng là 3m Chiều dài là lần cạnh hình vuông và 3m Ta có: Chiều dài hình chữ nhật là: 99 : = 33 (m) Cạnh hình vuông là: (33 – 3) : = 15 (m) Diện tích hình vuông là: 15 x 15 = 225 (m2) Đ/s: 225m2 * Ví dụ 2: Một ruộng hình thang có diện tích 460m2 Trên các cạnh AB; BC; DA; CD người ta lấy các điểm chính M; N; P; Q Nối M với N; N với P; P với Q Tính diện tích MNPQ? Bài giải (Hình vẽ trang bên) Kéo dài MQ cắt CD F (như hình vẽ) Kéo dài MN cắt DC E (như hình vẽ) Lúc này SABCD = SMEF Nối MP ta có: SMNP = SNEP (Vì tam giác này có MN = NE và chung đường cao hạ từ P) Lop4.com (7) Tương tự ta có: SMPQ = SQPF 1 SMPF = SMPE 2 1 = SMPE = SMEF = SABCD 2 Từ đó có: SMNP = SMPQ = SNEP = SQPF = SMPQ + SQPF = SMNP + SNPE = SMPF Mà SMNP + SMPQ = SMNPQ Vậy ta có: SMNPQ = SABCD = 460 : = 230 (m2) Đ/s: 230m2 M A Q B N E F D P C 2/ Phương pháp thứ hai: Phương pháp dịch chuyển hình Phương pháp này giải các bài toán có dạng “Hòn đảo” xuất “phần dư” hình Khi giải toán ta tưởng tượng và dịch chuyển “hòn đảo” “phần dư” đó vào góc cạnh để tiện ích cho việc giải toán áp dụng công thức các hình * Ví dụ 1: Người ta đào cái ao hình vuông khu đất hình vuông Tổng chu vi cái ao và khu đất là 144m Diện tích khu đất lớn diện tích cái ao là: 1008m2 Tìm cạnh ao và khu đất? Bài giải Lop4.com (8) Ta giả sử cái ao hình vuông đó đào sát vào góc khu đất Đã dịch chuyển hình vuông đó vào góc khu đất (như hình vẽ) Ta thấy: Có cạnh trùng với cạnh khu đất, thì phần diện tích khu đất lớn diện tích cái ao chia thành phần Đó là hình thang mà hình có tổng đáy chính là tổng cạnh cái ao và khu đất Vậy có: Tổng đáy hình thang là: 144 : = 36 (m) Diện tích hình thang là: 1008 : = 504 (m2) Chiều cao hình thang là: (504 x 2) : 36 = 28 (m) 28m chính là hiệu cạnh khu đất và cạnh ao Vậy cạnh ao là: (36 – 28) : = (m) Cạnh khu đất là: 28 + = 32 (m) Đ/s: 32m 3/ Phương pháp thứ 3: Phương pháp kẻ thêm đoạn thẳng Do hình học tiểu học chưa có các định lý và các quy tắc bổ trợ nên ta cần có tương quan các yếu tố đã cho đề bài Muốn ta cần kẻ thêm số đường thẳng ngoài các yếu tố mà đề bài đã cho Nhưng kẻ thêm nào thì ta phải xem xét và thiết lập tương quan các yếu tố đề toán * Ví dụ: Cho hình tam giác ABC Có BE = EC; AD = sánh SADEF với SABC Bài giải Lop4.com 2 AB; AF = AC Hãy so (9) A F D C E B E Nối AE Ta thấy: SABE = SAEC = SABC (Vì có: BE = EC và chung đường cao hạ từ A) SAEC (Vì có: AF = 2/5 AC, có chung đường cao hạ từ E xuống) Do đó: SAEF = SABC Tương tự ta có: SADE = SABE (Vì có: AD = 2/3 AC; chung đường cao hạ từ đỉnh SAEF = E) Do đó: SADE = SABC 1 SABC + SABC = SABC 15 Đ/s: SABC 15 Mà SADEF = SADE + SAEF Nên có: SADEF = C/ Bài tập vận dụng: 1/ Bài 1: Sân trường là HCN có chiều dài gấp lần chiều rộng Nay mở rộng sân phía, phía rộng thêm 4m Phần mở rộng đã lát gạch hình vuộng, cạnh 0,2m hết 4.410 viên Diện tích trát vữa hết 3,6m2 Tính diện tích sân trường trước mở rộng? (Đ/s: 164,28m2) Lop4.com (10) 2/ Bài 2: Cho hình vuông ABCD có chu vi là 32 cm M, N là trung điểm AB, BC Các đường thẳng AN bà BM cắt K Tính SAMK? (Đ/s: 16 cm2) 3/ Bài 3: Cho hình thang ABCD có S = 1.000cm2 Đoạn thẳng BE chia hình thang thành phần a) Tính SABED và SBEC Biết: SBEC - SABED = 80cm2 b) Trên BE lấy điểm M cho EM = 1/3 EB Từ M kẻ đường thẳng song song với EC cắt BC N Biết Mn dài 36 cm Tính tổng đáy hình thang ABCD? (Đ/s: a) 540cm2; b) 100cm) 4/ Bài 4: người ta làm cái vườn hình vuông chính cái sân hình vuônca Tổng chu vi của cái sân và vường hoa là 128m, diện tích vườn hoa kém diện tích sân là 512m2 Tính cạnh vườn hoa và cạnh sân/ (Đ/s: 8m; 24m) 5/ Bài 5: Một ruộng hình thang có TBC đáy là 30,15m Nếu tăng đáy lớn thêm 5,6m thì diện tích ruộng tăng thêm 33,6m2 Hãy tính diện tích ruộng đó? (Đ/s: 361,8m2) 6/ Bài 6: Cho tam giác vuông ABC vuông A Có cạnh AB = 28m; AC = 24m Trên AC lấy điểm E, trên BC lấy điểm D cho nối E với D ta hình thang vuông ABDE có chiều cao AE = 6m Tính đoạn ED? (Đ/s: 21m) 7/ Bài 7: Một ruộng hình thang vuông ABCD có đáy bé AB = 20m, đáy lớn CD = 40m và chiều cao AD = 32m Nay vì mở rộng đường nên bị cắt hình thang có đáy lớn là CD và chiều cao là 8m Tính diện tích còn lại? (Đ/s: 660m2) 8/ Bài 8: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 31,5m Khu vườn đó mở thêm theo chiều rộng làm cho chiều rộng so với trường tăng gấp 1,5 lần và đó diện tích tăng thêm 252m2 Tính chiều rộng và diện tích khu vườn mở thêm? (Đ/s: 24m; 756m2) 10 Lop4.com (11) 9/ Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trên BC cho BC gấp lần BM AC Điểm P nằm trên MN cho NP = Điểm N nằm trên AC cho AN = MN Hãy so sánh SAMP và SABM ? (Đ/s: SAMP = SABM) 11 Lop4.com (12)