Đang tải... (xem toàn văn)
CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Trong phần này tôi xin giới thiệu cùng bạn đọc một số phương trình thường gặp trong các kì thi như : phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối , phương trình[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ http://laisac.page.tl Lop10.com (2) PHÖÔNG TRÌNH A CAÙC PHÖÔNG TRÌNH CÔ BAÛN Phần này đề cập đến các phương pháp giải các phương trình có bậc nhỏ I Phöông trình baäc nhaát Daïng toång quaùt : ax + b = c Bieän luaän : • a ≠ : phöông trình coù nghieäm nhaát x = − • a = : phöông trình coù daïng 0x = −b b ≠ : phöông trình voâ nghieäm b = : phöông trình coù voâ soá nghieäm II Phöông trình baäc hai Daïng toång quaùt : ax + bx + c = b a ( a ≠ ) (1) Bieän luaän : Ta xeùt ∆ = b − 4ac • ∆ < : phöông trình voâ nghieäm • ∆ = : phöông trình coù nghieäm keùp : x1 = x2 = − b 2a −b + ∆ −b − ∆ , x2 = 2a 2a Ví dụ Chứng minh phương trình x + ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = vô nghiệm với • ∆ > : phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät : x1 = a, b, c laø caïnh cuûa moät tam giaùc Giaûi Ta coù ∆ = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = a + b + c − ( ab + bc + ca ) Mà ∆ < a, b, c là ba cạnh tam giác ( xem phần bất đẳng thức hình học) Định lý Viet và số ứng dụng Giả sử ∆ ≥ Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình (1) thì : S = x1 + x = P = x1.x = −b a c a Baèng ñònh lyù Viet chuùng ta coù theå xeùt daáu cuûa caùc nghieäm nhö sau - Phöông trình coù hai nghieäm döông ⇔ ∆ ≥ vaø P > vaø S > - Phöông trình coù hai nghieäm traùi daáu ⇔ ∆ ≥ vaø P < - Phöông trình coù hai nghieäm aâm ⇔ ∆ ≥ vaø P > vaø S < Lop10.com (3) Thí duï Tìm m cho phöông trình x − ( m + ) x + 6m + = (*) coù hai nghieäm khoâng nhoû hôn Giaûi Đặt t = x − thì phương trình đã cho trở thành t − 2mt + 2m − = (**) Phương trình (*) có hai nghiệm lớn ⇔ phương trình (**) có hai nghiệm khoâng aâm m − 2m + ≥ ∆'≥ ⇔ S ≥ ⇔ 2m ≥ ⇔m≥ 2m − ≥ P ≥ Vậy m ≥ thì phương trình (*) có hai nghiệm lớn 2 III Phöông trình baäc ba Daïng toåûng quaùt : ax + bx + cx + d = ( a ≠ 0) Ta ñöa veà daïng : x + ax + bx + c = (2) a Đặt x = y − thì phương trình (2) viết lại dạng y − py − q = (2’) đó 3 a −2a ab p = − b vaø q = + − c Công thức nghiệm phương trình (2’) là : 27 3 q q p q q p gọi là công thức Cardano , lấy tên nhà y= − + + + − − + 27 27 toán học Italia Cardan theo học trưịng đai học Pavie, đại học Padoue và nhận tốt nghiệp Y khoa năm 1526 Cardan viết khá nhiều Toán, số ngành khác Ông đặt vấn đề giải phương trình bậc ba cụ thể là x + x = 20 Bây ta nói tổng quát là x + px = q Phương pháp Cardan sau: thay x = u − v vaø đặt u, v nào đó để tích uv = ( hệ số x phương trình bậc ba khảo sát ) Nghĩa là = uv Từ phương trình x + x = 20 ta có (u − v)3 + 3uv ( u − v ) = u − v = 20 Khử v từ = uv và từ u − v3 = 20 ta có u = 20u + ⇒ u = 108 + 10 Từ x = u − v và u − v = 20 , ta có x = 108 + 10 − 108 − 10 Cardan cho công thức tương đương phương trình x + px = q là: 3 q q q p q p x = −3 − + + +3− − + 27 27 Lop10.com (4) Các dạng phương trình bậc ba thường gặp và phương pháp giải Giaûi phöông trình bieát moät nghieäm cuûa phöông trình Giả sử ta biết nghiệm x0 phương trình (2) cách đoán nghiệm ( thường là các nghiệm nguyên đơn giản từ –3 đến +3 ) tức là ax03 + bx02 + cx0 + d = Khi đó phương trình (2) ⇔ ax + bx + cx + d = ax03 + bx02 + cx0 + d ⇔ ( x − x0 ) ( ax + ( ax0 + b ) x + ax02 + bx0 + c ) = x = x0 ⇔ 2 ax + ( ax0 + b ) x + ax0 + bx0 + c = Xeùt ∆ = ( ax0 + b ) − 4a ( ax02 + bx0 + c ) i) Neáu ∆ < thì phöông trình (2) coù nghieäm nhaát x = x0 ii) Neáu ∆ ≥ thì phöông trình (2) coù caùc nghieäm x = x0 x = −(ax0 + b) ± ∆ 2a Thí duï Giaûi phöông trình x − x + x − 10 = Giaûi Nhaän thaáy x = laø nghieäm cuûa phöông trình Phöông trình ( x − ) ( x + x + ) = ⇔ x = Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 Phương trình bậc ba đối xứng Daïng toång quaùt ax + bx + bx + a = ( a ≠ 0) Phương trình bậc ba đối xứng luôn nhận x = −1 làm nghiệm Thaät vaäy, ta coù phöông trình ⇔ ( x + 1) ( ax + ( b − a ) x + a ) = x = −1 ⇔ ax + ( b − a ) x + a = Mở rộng Một số tính chất phương trình hệ số đối xứng (PT HSĐX) Daïng toång quaùt cuûa PT HSÑX an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = Tính chaát PT HSÑX neáu coù nghieäm x0 thì x0 ≠ vaø ( an = a0 , an −1 = a1 , ) cuõng laø nghieäm x0 Tính chaát PT HSÑX baäc leû ( n = 2k + ) nhaän x = −1 laø nghieäm Tính chất Nếu f ( x ) là đa thức bậc lẻ có hệ số đối xứng thì f ( x ) = ( x + 1) g ( x ) , đó g ( x ) là đa thức bậc chẵn có hệ số đối xứng Thật vậy, ta xét đa thứ c bậc làm thí dụ ax + bx + cx3 + cx + bx + a = ( x + 1) ( ax + ( b − a ) x3 + ( c + a − b ) x + ( b − a ) x + a ) Lop10.com (5) Vậy việc giải phương trình có hệ số đối xứng bậc n lẻ tương ứng với việc giải phương trình có hệ số đối xứng bậc n − chẵn Phöông trình baäc ba hoài quy Daïng toång quaùt ax + bx + cx + d = ( a, d ≠ 0, ac = db3 ) q Từ điều kiện ta thấy c = thì b = ⇒ phương trình (2b) có nghiệm x = q Neáu c ≠ thì b ≠ , ñieàu kieän ⇔ −d a d c = a b c = −t thì c = −bt vaø d = − at b đó phương trình trở thành ax + bx − btx − at = ⇔ ( x − t ) ax + ( at + b ) x + at = Ñaët x = t ⇔ 2 ax + ( at + b ) x + at = c Vaäy x = − laø nghieäm cuûa phöông trình Neáu ∆ = ( at + b ) − 4a ≥ thì phöông trình coù b −(at + b) ± ∆ theâm caùc nghieäm laø x = 2a Thí duï Giaûi phöông trình x − x − x + = Đáp số x = − IV Phöông trình baäc boán Daïng toång quaùt at + bt + ct + dt + e = ( a ≠ 0) Ta ñöa veà daïng t + at + bt + ct + d = (3) a Đặt t = x − thì phương trình (3) đưa dạng x = px + qx + r (3’) đó 3a p = −b a q = − + ab − c r = 256 ( 3a − 16a b + 64ac − 256d ) Phöông trình (3’) x + 2α x + α = ( p + 2α ) x + qx + ( r + α ) ⇔ ( x + α ) = ( p + 2α ) x + qx + ( r + α ) (α ∈ R ) (3*) Ta tìm α thỏa hệ thức q = ( p + 2α ) ( r + α ) để viết vế phải thành q ( p + 2α ) x + 2( p + 2α ) Lop10.com (6) Khi đó ta (x +α ) q = ( p + 2α ) x + ( p + 2α ) (3**) § Nếu p + 2α = thì phương trình (3*) ⇔ ( x + α ) = r + α (Bạn đọc tự biện luận tiếp) § Neáu p + 2α < thì phöông trình (3**) voâ nghieäm ( VT ≥ vaø VP < 0) § q Neáu p + 2α > thì phöông trình (3**) ⇔ x = ± p + 2α x + −α 2 p + α ( ) Đây là phương trình bậc theo x , các bạn tự biện luận Thí duï Giaûi phöông trình x − x − x − = (*) Giaûi Phöông trình (*) ⇔ x = x + x + Ta chọn α thỏa 64 = ( + 2α ) ( + α ) Dễ dàng nhận thấy α = thoả Phương trình (*) ⇔ x + x + = x + x + ( cộng vế lượng x + ) ⇔ ( x + 1) = ( x + 1) 2 x + = ( x + 1) ⇔ x + = −2 ( x + 1) Vậy các nghiệm phương trình đã cho là x = ± Các dạng phương trình bậc bốn thường gặp và phương pháp giải Phöông trình baäc boán truøng phöông: Daïng toång quaùt ax + bx + c = ( a ≠ ) Phöông phaùp giaûi raát ñôn giaûn baèng caùch ñaët y = x ≥ phöông trình baäc hai ay + by + c = vaø bieän luaän Phương trình bậc bốn đối xứng Daïng toång quaùt ax + bx + cx + bx + a = để đưa phương trình dạng ( a ≠ 0) Do a ≠ neân x = khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình, ta coù theå chia caû veá cuûa phöông b a trình cho x ≠ và ax + bx + c + + = x x 1 ⇔ a x + + b x + + c = (*) x x 1 Ñaët y = x + ( ñieàu kieän : y ≥ ) ⇒ y = x + + ⇒ x + = y − x x x Khi đó phương trình (*) trở thành ay + by + c − 2a = và dễ dàng giải Lop10.com (7) Löu yù Ngoài kiểu phương tình bậc bốn đối xứng trên còn có phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch ax + bx + cx − bx + a = ( a ≠ ) Phương pháp giải tương tự trên, xin giành cho bạn đọc Thí duï: Cho phöông trình : 8x4 – 5x3 + mx2 + 5x + = a) Giaûi phöông trình m = -16 b) Tìm m để phương trình vô nghiệm + 281 − 281 , x4 = Đáp số: a) x1 = 1, x2 = -1, x3 = 16 16 − 487 b) m ≤ 32 3.Phöông trình baäc boán hoài quy : Dạng tổng quát : ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = , (a ≠ 0) đó ad2 = eb2 (*) q Nếu b = thì d = phương trình trở thành phương trình trùng phương : ax4 + cx2 + e = và ta giải theo phương pháp e d = q Neáu b ≠ thì d ≠ , ñieàu kieän ó a b d = t thì e = at2 và d = bt thì phương trình (*) trở thành: Ñaët b ax4 + bx3 + cx2 + btx + at2 = (**) Do x = khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình (**) neân ta chia veá phöông trình (**) cho a bt x2 ≠ ta ax2 + bx + c + + t2 = x x t (***) ó a(x2 + t ) + b(x + ) + c = x x 2 t Ñaët x + = y (ñieàu kieän : y2 ≥ 4t) ⇒ x2 + t + 2t = y2 ⇒ x2 + t = y2 – 2t x x x Phương trình (***) trở thành : ay2 + by + c – 2at = là phương trình bậc hai theo y , ta tìm nghiệm y ⇒ tìm x Thí duï : giaûi phöông trình 2x4 – 21x3 + 34x2 + 105 x + 50 = Hứơng dẫn: Đặt x = y ta thu phương trình : 2y2 –21y + 54 = có nghiệm x y1 = 6, y2 = o Với y1 = thì ta thu các nghiệm : x1 = + 14 , x2 = − 14 + 161 − 161 o Với y2 = thì ta thu : x3 = , x4 = 4 Lop10.com (8) 4.Phöông trình baäc boán daïng (x + a)4 + (x + b)4 = c , (c > 0) : (3d) a+b Phương pháp giải phương trình loại này là đặt x = y Khi đó phương trình (3d) trở thaønh: a −b a−b a−b y+ + y− = c Đặt α = để phương trình gọn : 4 ( y +α ) + ( y −α ) 4 2 2 = c ⇔ ( y + α ) + ( y − α ) − ( y + α ) ( y − α ) = c ⇔ ( y + 2α ) − ( y − α ) = c 2 ⇔ y + 12 y 2α + 2α − c = (*) (*) laø phöông trình truøng phöông theo y Ta giải tiếp bài toán theo phương pháp Thí duï : Giaûi phöông trình (x – 2004)4 + (x – 2006)4 = Đáp số: x = 2005 Phương pháp hệ phương trình đối xứng Khi ta gaëp caùc phöông trình daïng a ( ax + bx + c ) + b ( ax + bx + c ) + c = x ( a ≠ 0) (4e) thì ta chuyển hệ phương trình cách đặt y = ax + bx + c Lúc đó ta có hệ đối xứng ax ² + bx + c = y Ta trừ vế theo vế hai phương trình hệ và thu ay ² + by + c = x a ( x − y )( x + y ) + b ( x − y ) = y − x ⇔ ( x − y )( ax + ay + b + 1) = x = ax + bx + c ax + ( b − 1) x + c = x = y ⇔ ⇔ ⇔ x + ax + bx + c = − ( b + 1) ax + ( b + 1) x + b + ac + = x + y = − ( b + 1) a a a Giải phương trình bậc hai này ta thu nghiệm phương trình Thí duï Giaûi phöông trình (x + x − 2) + x2 = Giaûi Phöông trình ⇔ ( x + x − ) + ( x + x − ) − = x x² + x - = y Ñaët y = x + x − thì ta coù heä : y² + y - = x Trừ vế theo vế ta ( x − y )( x + y + ) = x = x2 + x − x = ± x = y ⇔ ⇔ ⇔ x + y + = x = ∨ x = −2 x + x + x − + = { Vậy phương trình đã cho có nghiệm x ∈ −2, − 2, 0, Phöông trình baäc boán daïng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = m Phöông trình ⇔ ( x + β x + ab )( x + β x + cd ) = m } Lop10.com (a + b + c + d = β ) (9) Đặt x + β x = y thì ta phương trình ( y + ab )( y + cd ) = m ⇔ y + ( ab + cd ) y + abcd − m = Giải ta tìm y thay vào phương trình ban đầu để tìm x Thí duï Giaûi phöông trình ( x − 1)( x − 3)( x + )( x + ) = 297 Giaûi Để ý thấy (-1) + = (-3) + cho nên tabiến đổi lại sau: Phöông trình ⇔ ( x − 1)( x + )( x − 3)( x + ) = 297 ⇔ ( x + x − )( x + x − 21) = 297 ⇔ ( y − )( y − 21) = 297 (y = x + 4x ) ⇔ y − 26 y − 192 = ⇔ y1 = 32, y2 = −6 Phöông trình baäc boán daïng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = mx Phöông trình ⇔ ( x + a )( x + d )( x + b )( x + c ) = mx ( ad = bc = β ) ⇔ x + ( a + d ) x + β x + ( b + c ) x + β = mx Ta quan tâm đến trường hợp β ≠ Khi đó x = không là nghiệm phương trình trên Chia vế phương trình trên cho x ≠ ta β β x + + a + b x + + c + d = m x x β ta thu phương trình Ñaët y = x + x ( y + a + b )( y + c + d ) = m ⇔ y + ( a + b + c + d ) y + ( a + b )( c + d ) − m = Giải phương trình trên ta thu y từ đó tìm x Thí duï Giaûi phöông trình ( x + 3x + )( x + x + 18 ) = 168 x Hướng dẫn 6 Phöông trình ⇔ x + + x + + = 168 x x 6 ⇔ ( y + )( y + ) = 168 y = x+ x y = ⇔ y + 12 y − 133 = ⇔ y = −19 x + x = ⇔ x1 = 1, x2 = ⇔ −19 ± 337 x + x = −19 ⇔ x = −19 + 337 −19 − 337 Vaäy caùc nghieäm cuûa phöông trình laø x ∈ 1, 6, , 2 Lop10.com (10) B CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Trong phần này tôi xin giới thiệu cùng bạn đọc số phương trình thường gặp các kì thi : phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối , phương trình vô tỷ, phương trình chứa ẩn maãu I.Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối : A neáu A ≥ Moät soá tính chaát cuûa A : A = ∀A ∈R - A neáu A < 1) A + B ≤ A + B Daáu “=” xaûy ⇔ AB ≥ Chứng minh : Bình phương vế : A2 + 2AB + B2 ≤ A2 + AB + B2 ĩ AB ≤ AB : luôn đúng 2) A − B ≥ A − B Daáu “=” xaûy ⇔ B(A – B) ≥ Chứng minh: Áp dụng tính chất ta có : A = (A - B) + B ≤ A − B + B ⇔ A − B ≥ A − B : ñpcm Löu yù: A = A Thí duï :giaûi phöông trình Giaûi: phöông trình ⇔ ⇔ 2 x − 2x + + x − 4x + = ( x − 1) + ( x − 2) =1 x − + − x = (Để ý x − = − x ) AÙp duïng tính chaát ta coù x − + − x ≥ (x − 1) + (2 − x) ⇔ x − + − x ≥ Daáu “=” ⇔ (x – 1)(2 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ v Một số dạng thường gặp: 1.Phöông trình daïng A = B (5a) A = B Phöông trình (5a) ⇔ A = −B 2.Phöông trình daïng A =B (5b) B≥ Phöông trình (5b) ⇔ A = B hay A = - B A≥0 A<0 Phöông trình (5b) ⇔ hay A = B A = - B 3.Phương trình nhiều dấu giá trị tuyệt đối : Phương pháp thừơng dùng là xét nghiệm phương trình trên khoảng giá trị TXÑ Thí duï :giaûi phöông trình x + + x − = x − (5c) Giải: Nghiệm các phương trình (3x + 3) , (x – 5), (2x – 4) là –1, 5, o Khi x ≥ thì phương trình (5c) trở thành :(3x + 3) + (x – 5) = (2x – 4) ⇔ x = -1 (loại không thuộc khoảng xét ) o Khi ≤ x < thì phương trình (5c) trở thành (3x + 3) + (5 – x) = (2x – 4) ⇒ vô nghiệm Lop10.com (11) o Khi –1 ≤ x < thì phương trình (5c) trở thành (3x + 3) + (5 – x) = (4 – 2x) ⇔ x = -1 (thoûa) o Khi x < -1 thì phương trình (5c) trở thành (-3x – 3) + (5 – x) = (4 – 2x) ⇔ x = -1 (loại không thuộc khoảng xét ) Vaäy phöông trình coù nghieäm nhaát : x= -1 2.Phöông trình voâ tyû: Đây là phần quan trọng các loại phương trình vì nó đa dạng và phức tạp Phương trình vô tỷ thường xuất nhiều các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên Trong mục này chúng ta chú trọng đến phương trình chứa caên baäc hai vaø ba vaø caùc phöông phaùp giaûi chuùng v Moät soá tính chaát cô baûn: g(x) ≥ • 2n f(x) = g(x) ⇔ 2n f(x) = [g(x)] • 2n +1 f(x) = g(x) ⇔ f(x) = [g(x)]2n+1 • [f(x)]2n = [g(x)]2n ⇔ f(x) = g(x) • [f(x)]2n+1 = [g(x)]2n+1 ⇔ f(x) = g(x) Lưu ý : Phép nâng lũy thừa với số mũ chẵn là phép biến đổi tương đương vế cùng dấu v Một số dạng phương trình vô tỷ thường gặp và phương pháp giải: 1.Phương pháp giản ước : Khi ta chia veá cuûa phöông trình cho f(x) thì phaûi chuù yù ñieàu kieän f(x) ≥ Thí duï : giaûi phöông trình x(x - 2) + x( x − 5) = x( x + 3) (6a) Giải: Điều kiện : x ≥ x ≤ -3 Xeùt x ≥ 5: đó ta chia vế phương trình (6a) cho x > thì thu : x - + x − = x + Bình phöông veá khoâng aâm cho ta phöông trình : 2x – + x - x − = x+3 ⇔ x - x − = 10 – x 10 − x ≥ 10 ≥ x − 10 (loại) ⇔ ⇔ ⇔ x1 = (thoả), x2 = 2 − 8x − 60 = 4(x − 2)(x − 5) = (10 − x) 3x Xeùt x ≤ -3 ⇒ -x > : phöông trình (6a) ⇔ (6a1) Chia veá phöông trình (6a1) cho (− x ) ta : (− x)(2 − x) + (− x)(5 − x) = (− x)(− x − 3) 2− x + 5− x = −3− x Roõ raøng VT > VP ⇒ voâ nghieäm Vaäy phöông trình coù nghieäm nhaát :x = 2.Phương pháp trị tuyệt đối hóa: Trong vài trường hợp ta có thểđưa biểu thức chứa ẩn thức dạng bình phöông Khi đó ta biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nhờ tính chất : A = A Thí duï : giaûi phöông trình x + + x + + x + 10 − x + = x + − x + Lop10.com (6b) (12) Hướng dẫn: (6b) ⇔ ( x + 1) + x + + + ( x + 1) − x + + = ( x + 1) − x + + 2 ⇔ ( x + + 1) + ( x + − 3) = ( x + − 1) ⇔ x +1 +1 + x +1 − = x +1 −1 Ñaët x + = y thì ta phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quen thuộc: y +1 + y − = y −1 3.Phương pháp hữu tỷ hoá: Đây là phương pháp chuyển phương trình chứa thức dạng phương trình hữu tỷ (có baäc nguyeân) baèng caùch ñaët aån phuï Thí duï 1) giaûi phöông trình : x2 + 8x + 12 - x + x + = (6c1) Giaûi: Ñaët x + x + = y (y > 0) thì x2 + 8x + 12 = (x2 + 8x + 8) + = y2 + Phöông trình (6c1) trở thành: y2 + - 2y = ⇔ y = (thỏa điều kiện ) ⇒ x2 + 8x + = ⇒ x1 = -1, x2 = -7 Vaäy phöông trình coù nghieäm :x1 = -1, x2 = -7 Thí duï 2) Giaûi phöông trình − x + x − = (6c2) Giaûi: Ñieàu kieän :1 ≤ x ≤ Ta ñaët x − = y + m ( m laø haèng soá) ⇒ x = (y + m)4 + Do ≤ x ≤ neân -m ≤ y ≤ -m + Khi đó y+m+ 5− x = 4 − (y + m)4 , phương trình (6c2) trở thành: − (y + m)4 = (6c3) ⇔ 4 − (y + m)4 = -y–m Do y ≤ -m + neân - y – m ≥ Phöông trình (6c3) ⇔ – (y + m) = ( - y – m)4 ⇔ ( - y – m)4 + (y + m) = ⇔ [ ( - y – m)2 + (y + m) ]2 - 2( - y – m)2 (y + m) = (6c4) Đến đây ta chọn m tốt cho phương trình (6c4) trở thành phương trình bậc bốn trùng phương, nghĩa là - y – m và y + m phải là lượng liên hợp 2 ⇔ -m=m ⇔ m= ⇒≤y≤ 2 Phương trình (6c4) trở thành 2 2 [( - y )2 + ( + y ) ]2 - 2( - y )2 ( + y) = 2 2 =0 ⇔ (1 + 2y2)2 – 2( - y2)2 = ⇔ 2y4 + 6y2 2 2 , y2 = ⇔ y1 = 2 2 • y1 = thì x1 = ( + ) +1 =1 2 Lop10.com (13) 2 thì x2 = ( + ) + = 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm : x1 = 5, x2 = Điều cần lưu ý các bài toán dạng này là chọn m thích hợp để làm bài toán gọn hơn, đơn giaûn hôn • y2 = i) Một số dạng phương trình thường gặp : a + cx + b − cx + d (a + cx)(b − cx) = n (c > 0, d ≠ 0) (6c) Phöông phaùp giaûi: −a b ≤ x ≤ vaø a + b ≥ c c Đặt y = a + cx + b − cx thì y ≥ và y ≤ 2(a + b) (bạn đọc tự chứng minh !) ⇒ (a + cx)(b − cx) = y2 – a – b (6c1) ⇒ y2 ≥ a + b Ñieàu kieän : a + cx ≥ vaø b – cx ≥ ⇒ Phương trình (6c) trở thành 2y + d(y2 – a – b) = n ó dy2 + 2y – (a + b + n) (6c2) Ñieàu kieän cuûa y laø: a + b ≤ y ≤ a + b Giaûi phöông trình (6c2) ta coù y , thay y vaøo phöông trình (6c1) roài bình phöông veá ta tìm x Thí duï : giaûi phöông trình x + + - x - (x + 4)(1 − x) = Đáp số: x = ii) x + a − b + 2a x − b + Phöông phaùp giaûi: Ñieàu kieän : x ≥ b Phöông trình (6d) ⇔ ⇔ Ñaët x − b = y (y Từ đó suy x ≥ x + c − b + 2c x − b = dx + m (a ≠ 0) (6d) ( x − b + a) + ( x − b + c) = dx + m x−b +a + x − b + c = dx + m 0) giải phương trình a dấu giá trị tuyệt đối theo y Thí duï : giaûi phöông trình Đáp số : x = x + − x − + x + − x − = 2x − 4.Phöông phaùp heä phöông trình hoùa: Trong phaàn naøy toâi xin trình baøy caùch chuyeån moät phöông trình voâ tyû veà heä phöông trình hữu tỷ cách đặt ẩn phụ i) Phương trình bậc hai chứa : Daïng toång quaùt : ax + b = r (ux + v)2 + dx + e (a, u , r ≠ 0) (6e) Phöông phaùp giaûi: Ñieàu kieän :ax + b ≥ Ñaët ax + b = uy + v (uy + v ≥ 0) ó ax + b = (uy + v)2 (6e1) Phương trình (6e) trở thành Lop10.com (14) r(ux + v)2 = uy + v – dx – e (6e2) u = ar + d Neáu thì từ (6e1) và (6e2) ta có hệ sau v = br + e r (uy + v)2 = arx + br r (ux + v)2 = uy + (ar − u)x + br Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta : r(uy+v)2 – r(ux+v)2 = ux – uy ⇔ u(y – x)(ruy + rux + 2rv +1) = ( ux + v )2 = ax + b x = y ux + v = uy + v ⇔ ⇔ ⇔ 1 1 uy = −ux − 2v − ax + b − v = −ux − 2v − ax + b = − ux + v + r r r Giải phương trình trên ta tìm nghiệm phương trình Thí duï : giaûi phöông trình 2x + = 32x2 + 32x (6e3) Giaûi : -5 Ñieàu kieän : x ≥ Phöông trình (6e3) ⇔ 2x + = 2(4x + 2)2 – -5 (4y + 2) = 2x + Ñaët 2x + = 4y + ( y ≥ ) thì ta coù heä 2 (4x + 2) = 2y + Trừ vế theo vế ta 2x + = 4x + y = x ⇔ 2(y – x)(4y + 4x + 5) = ⇔ x + − = −4 x − y = −4 x − ( 6e4 ) ( 6e5) − + 65 x ≥ o Giaûi (6e4) : phöông trình (6e4) ⇔ ⇔ x= 16 2x + = 16x2 + 16x + − 11 − 57 - ≤ x ≤ o Giaûi (6e5) : phöông trình (6e5) ⇔ ⇔ x= 16 2 x + = (4 x + 3)2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x1 = − 11 − 57 − + 65 , x2 = 16 16 Löu yù Cách giải hoàn toàn tương tự ta xét phương trình bậc ba có chứa bậc ba : u = ar + d (Xin giành cho bạn đọc !) ax + b = r (ux + v)3 + dx + e với điều kiện v = br + e 3x − = 8x3 – 36x2 + 53x – 25 Hướng dẫn : Biến đổi phương trình thành 3 x − = (2x – 3)3 – x + và giải Thí duï :giaûi phöông trình ii) Phöông trình daïng a - f(x) + b + f(x) = c Trong đó f(x) là hàm số chứa biến x, f(x) thường kx, kx2, k x - d Cách giải phương trình loại này là đặt ẩn phụ và đừng quên tìm điều kiện để có nghĩa ! Lop10.com (15) u = a − f(x) (I) Ta ñaët v = b + f(x) u + v = c u + v = c ⇒ 2 ⇔ c −a−b + = a + b uv = u v Theo định lý Viet đảo ta có u, v là nghiệm phương trình : −a−b X2 – cX + c = Giải ta tìm u, v ⇒ tìm f(x) ⇒ tìm x Löu yù: f(x) laø nghieäm chung cuûa heä (I) Các dạng thường gặp loại phương trình này là: a + f(x) − b − f(x) = c • • a + f(x) ± b − f(x) = c • a + f(x) ± b − f(x) = c • a + f(x) ± b − f(x) = c Thí duï :giaûi phöông trình - + x + 3 − x = Đáp số : x = Ngoài còn có dạng sau: m a − f(x) + n b + f(x) = c (m ≠ n, max{m, n} = 4) Sau đặt ẩn phụ ta thu phương trình có bậc nhỏ 5.Phương pháp lượng liên hợp: Việc nhân lượng liên hợp vào biểu thức làm cho việc giải phương trình trở nên dễ dàng Phương pháp này sử dụng nhiều mục đích khác nhau, đây tôi xin đưa lợi ích sử dụng phương pháp này : v Nhằm tạo nhân tử chung với vế còn lại Thí duï : giaûi phöông trình 2x+ − x − = x + (7a) Giaûi: Ñieàu kieän : x ≥ Để ý thấy (2x + 1) – (x – 2) = x + = VP Do đó ta nhân lượng liên hợp vào vế phöông trình : ( 2x+ − x − ) ( 2x+ + x − ) = (x + 3)( 2x+ + x − ) ⇔ x + = (x + 3)( 2x+ + x − ) x = −3 = ⇒ phöông trình voâ nghieäm ⇔ 2x+ + x − v Nhằm tạo vế nhân tử chung Thí duï : giaûi phöông trình x 2− + x - 3x − = x + 2x + + x − x + Lop10.com (7b) (16) Giaûi : − + 17 x ≥ 2 x2− − x2 + 2x + = x2 − x + − x2 - 3x − Ñieàu kieän : x ≤ (7b) ⇔ ⇔ = ( x 2− − x + 2x + 3)( x 2− + x + 2x + 3) x 2− + x + 2x + ( x − x + − x 2-3x − 2)( x − x + + x 2-3x − 2) 2 x − x + + x -3x − ⇔ -(2x + 4) = 2x + 2 x − + x + 2x + x − x + + x -3x − ⇔ x = -2 ( thoûa ñieàu kieän ) Vaäy phöông trình coù nhaát nghieäm :x = -2 2 v Nhằm chứng minh phương trình có nghiệm x+3 + x−3 Thí duï : giaûi phöông trình (7c) = x + x2 − − + 2 Giaûi : Ñieàu kieän :x ≥ x −3 − x+3−2 Phöông trình (7c) ⇔ + = (x-5) + ( x − − 4) 2 ( x + − 2)( x + + 2) ( x − − 2)( x − + 2) ⇔ + 2( x + + 2) 2( x − + 2) 2 x − − 4)( x − + 4) x −9 + x −5 x −5 ( x − 5)(x + 5) ⇔ + = ( x − 5) + 2( x + + 2) 2( x − + 2) x −9 + = ( x − 5) + x = ⇔ 1 x +5 (7c1) + = 1+ 2( x + + 2) 2( x − + 2) x −9 +4 1 < < VP suy (7c1) voâ nghieäm Xeùt phöông trình (7c1) Ta coù VT < + 2( + 2 ) 2 Vaäy phöông trình coù nghieäm nhaát : x = III.Phương trình chứa ẩn mẫu : Đối với phương trình loại này chúng ta cần lưu ý tìm điều kiện x để mẫu khác Sau đây là số phương pháp giải phương trình chứa ẩn mẫu Phương pháp khử phân thức Mục đích phương pháp là dùng để triệt tiêu và rút gọn các phân thức mẫu để làm bài toán trở nên đơn giản Thí dụ Lop10.com (17) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 Giải Điều kiện x ∈ R \ {−4, −5, −6, −7} Phương trình trên tương đương 1 1 − − − + + = x + x + x + x + x + x + 18 1 ⇔ − = x + x + 18 x = ⇔ x + 11x − 26 = ⇔ x = −13 2 Phương pháp nhân tử hóa Phương pháp này dùng để biến đổi các phân thức phương trình cho phân thức có chứa nhân tử chung cách thêm bớt các lượng thích hợp Thí dụ Giải phương trình x − 305 x − 307 x − 309 x − 401 + + + =4 1700 1698 1696 1694 Giải Phương trình trên tương đương x − 305 x − 307 x − 309 x − 401 − 1 + − 1 + − 1 + − 1 = 1700 1698 1696 1694 x − 2005 x − 2005 x − 2005 x − 2005 ⇔ + + + =0 1700 1698 1696 1694 ⇔ x = 2005 Thí dụ x + 18 − = + 2 x +7 x +2 x +4 x +6 Giải Phương trình trên tương đương x + 18 − 3 = − 1 + − 1 + − 1 x +7 x +2 x +4 x +6 ⇔ x2 − 3 − x2 − x2 − x2 = + + ⇔ x=± x2 + x2 + x2 + x2 + Phương pháp lượng liên hợp Phương pháp này đã đề cập đến khá kĩ phần phương trình vô tỉ Ở đây tôi ứng dụng khác phương pháp lượng liên hợp phương trình chứa ẩn mẫu Thí dụ 1 + + =1 x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x Giải Điều kiện x ≥ Lop10.com (18) Phương trình trên tương đương x+3− x+2 ( + x+3 + x+2 ( ⇔ )( x+3 − x+2 x +1 − x x +1 − x ( )( x +1 + x ) ( x+3− x+2 + ) + ) ( x + − x +1 x + − x +1 )( x + + x +1 ) =1 ) ( x + − x +1 + ) x +1 − x = ⇔ x +3 − x =1 ⇔ x =1 Phương pháp chia xuống Ý tưởng phương pháp là áp dụng tính chất việc chia tử và mẫu cho lượng khác không thì không đổi Thí dụ: Giải phương trình: 2x x + = −1 x + x + 3x + x + Giải: Điều kiện x + 3x + ≠ −3 ± ⇔x≠ 2 3 x + x + ≠ Nhận thấy x = không phải là nghiệm phương trình Ta chia tử và mẫu các phân x 2x thức cho x ≠ thì phương trình trên trở thành : , x + 3x + x + x + + = −1 x +3+ 3x + + x x Đặt y = x + ( y ≥ 2) , ta thu được: x + = −1 y + 3y + ⇔ y + 19 y + 26 = y = −2 ⇔ y = −13 Với y = −2 thì x = −1 −13 ± 133 13 thì x = Các nghiệm trên thoả điều kiện phương trình Với y = − 5.Phương pháp đánh giá Đây là phương pháp hay và thường đưa tới lời giải đẹp ngắn gọn Phương pháp này sử dụng các bất đẳng thức và cách đánh giá sau Lop10.com (19) f ( x) = g ( x) ⇒ f ( x) = g ( x) = a f ( x) ≥ a g ( x) ≤ a Thí dụ: Gỉai phương trình: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x Giải: Phương trình trên tương đương với: 3( x + 1)2 + + 5( x + 1) + = − ( x + 1) Nhận xét : 3( x + 1) + + 5( x + 1) + ≥ + = ⇒ ( x + 1) = ⇔ x = −1 5 − ( x + 1) ≤ Ngoài ta còn có thể biến đổi phương trình thành dạng tổng các bình phuơng: f12 ( x ) + f 22 ( x ) + + f n2 ( x ) = Khi đó f1 ( x) = f ( x ) = = f n ( x) = Nghiệm phương trình là nghiệm chung f i ( x ) = 0, i = 1, n Thí dụ: Giải phương trình: x − x + 3x + − x + = Giải: Điều kiện x ≥ −2 Phương trình đã cho tương đương (x ( ) + x + 1) + ( x − x + 1) + x + − x + + = ⇔ ( x + 1)2 + ( x − 1) + ( ) x + −1 = ⇒ x = −1 Thật quá đẹp phải không các bạn J Phương trình sử dụng phương pháp này thường có nghiệm x0 và nghiệm này thường dễ đoán Cách đánh giá dựa trên việc xét x > x0 và x < x0 để suy phương trình có nghiệm x = x0 Thí dụ: Giải phương trình − x − 3x − = Giải: Điều kiện: − ≤ x ≤ Phương trình tương đương với − x = 3 x − + Ta dễ thấy phương trình có nghiệm x = , nghĩa là x = ±1 Khi x > − x < = Suy phương trình vô nghiệm 3 x − + > 1 + = Khi x > Lop10.com (20) − x > = Suy phương trình vô nghiệm 3 x − + < 1 + = Vậy phương trình có nghiệm x = ±1 Một số tính chất thường dùng ≤ x ≤ ⇒ x n ≤ x, ∀n ∈ N ≤ x ⇒ x n ≥ x, ∀n ∈ N Thí dụ: Giải phương trình − x2 + x2 + x −1 + − x = Giải: Điều kiện đơn giản, các bạn có thễ dễ dàng xác định Đặt a = − x , b = x + x − 1, c = − x thì ta có hệ: a ≤ a a + b + c = a + b + c = ⇒ ≤ a, b, c ≤ ⇒ b ≤ b a , b, c ≥ c ≤ c a = a ⇒ = a + b + c ≤ a + b + c = ⇒ b = b c = c Giải ta nghiệm là x = Bài tập tổng hợp Bài 1: Giải phương trình: (x + )( ) x + x + x + 18 = 168 x Bài 2: Giải phương trình: 20 14 + = 3− 2 x + x + 16 x + 10 Bài 3: Giải phương trình: x + 3x5 + x + x3 + x + 3x + = Bài 4: Giải phương trình: ( x − 1)( x − 5)( x − 3)( x − 7) = 20 Bài 5: Giải phương trình: x2 − 5x 20 + = x 2x − x −1 Bài 6: Giải phương trình: ( x − 1) + ( x − ) 10 =1 Bài 7: Giải phương trình: x −8 − = Bài 8: Giải phương trình: x + + x − + x + 15 − x − = Lop10.com (21)