Một số bài toán vận dụng phương pháp chứng minh từ các bài toán phần I: Các bài toán sau ñây vừa vận dụng phương pháp chứng minh các ñịnh lí trên ñây vừa hình thành cho học sinh năng lực[r]
(1)PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH GIỎI TIỂU HỌC QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC -I Chứng minh số ñịnh lí hình học kiến thức toán tiểu học Chứng minh ñịnh lí ñường trung bình hình thang: Bài toán1: Cho hình thang ABCD (AB//CD); M,N là ñiểm các cạnh bên AD và BC Chứng minh: a) AB + CD MN = b) MN // AB và CD (trong toán tiểu học chưa sử dụng kí hiệu //) Hướng chứng minh: B A a) AB + CD MN = N M H Nối các ñiểm hình vẽ: BI và CH là các E I ñường vuông góc kẻ từ B và C xuống MN D C S(BMN) = S(CMN) (chung ñường cao hạ từ MN xống BC; ñáy NB = ñáy NC) Suy BI = CH = 1/2 h ( S(BMN) = S(CMN), tam giác chung ñáy MN- h là ñường cao hình thang ABCD) Khi nối AN và DN, chứng minh tương tự ta ñược các ñường vuông góc hạ từ A và D xuống MN và 1/2 h.(I) (AB + CD) x h MN x h AB x h / CD x h / S ( ABCD) = S ( BMC ) + S ( MAB) + S ( MCD ) (II) = + + 2 2 (II) = (AB+CD) x h = MN x h + AB/2 x h + CD/2 x h AB + CD = h x ( MN + ) ( số nhân với tổng) AB + CD ( chia vế cho h) AB+CD = MN + AB + CD ( tìm số hạng chưa biết tổng) MN = (AB+CD) AB + CD MN = b) MN//AB (và CD) Khi nối AN và DN (theo I), ta có S(ANM) = S(DMN) (hai tam giác chung ñường cao hạ từ N xuống AD, ñáy AM = ñáy DM Hai tam giác AMN và DMN có diện tích nhau, chung ñáy MN nên có các ñường cao hạ từ A và D xuống MN và 1/2 h) (III) Từ (III) và (a) ta có AE = BI và cùng vuông góc với AB và MN Vậy MN // AB và CD Chứng minh tích chất ba ñường trung tuyến tam giác Bài toán 2: Cho tam giác ABC M,N là ñiểm các cạnh AC và BC Nối AN,BM cắt O Lop4.com (2) a) Chứng minh ON = 1/2 OA; OM = 1/2 OB b) Nối CO kéo dài cắt AB E, chứng minh AE = BE; OE = 1/2 OC Hướng chứng minh: A a) ON = 1/2 OA; OM = 1/2 OB S(ANC) = S(BMC) ( ñều 1/2S(ABC) - dễ dàng chứng minh) S(ANC) và S(BMC) có S(MONC) chung, nên S(AOM) = S(BON) Từ ñây dễ dàng chứng minh: S(AOM) = S(MOC) = S(CON) = S(NOB) E M O B C N Suy S(CON) = 1/2 S(AON); tam giác cùng ñường cao hạ từ C xuống AN nên ñáy ON = 1/2 ñáy OA Chứng minh tương tự với tam giác COB và COM ta ñược OM = 1/2 OB b) EA = EB; OE = 1/2 OC Theo chứng minh trên, S(AOC) = S(BOC); tam giác có chung ñáy OC nên ñường cao hạ từ A và B xuống EC Do ñó S(AEO) = S(BEO) ( chung ñáy EO, ñường cao nhau) Hai tam giác có diện tích nhau, chung ñường cao hạ từ O xuống AB nên ñáy nhau: EA = EB * Chứng minh tương tự câu a ta có OE = 1/2 OC Chứng minh ñịnh lý Talet Bài toán 3: Cho tam giác ABC, trên AB lấy các ñiểm M,N cho AM = 1/2 AB; AN = 3/4 AB Từ M,N kẻ các ñường song song với BC cắt AC P và Q Chứng minh: AP = 1/2 AC; AQ = 3/4 AC Hướng chứng minh: a) AP = 1/2 AC Nối BP, MC S(AMP) = S(BMP) ( MA = MB, chung ñường cao hạ từ P xuống AB) (*) S(BMP) = S(CMP) (chung ñáy MP, ñường cao hạ từ B và C xuống MP MP song song với BC) (**) Từ (*) và (**) ta có S(PMC) = S(PMA) A M N B P Q C tam giác PMC và PMA có diện tích nhau, chung ñường cao hạ từ M xuống AC nên có ñáy nhau: AP = PC AP = 1/2 AC b) AQ = 3/4 AC Nối BQ, NC, tương tự theo ý a) ta dễ dàng chứng minh ñược AQ = 3/4 AC Lưu ý: ðối với học sinh tiểu học, ñưa các bài toán trên và hướng dãn học sinh giải, GV cần chú ý: + Không nói ñây là các bài toán chứng minh ñịnh lý hình học, vì học sinh tiểu học chưa hiểu nào là ñịnh lý, mặt khác, học sinh không ñược sử dụng kết ñã chứng minh ñể áp dụng trực tiếp vào các bài toán có vận dụng kiến thức liên quan GV cần nêu tình kích Lop4.com (3) thích học sinh: giải ñược bài toán trên các em hoàn thành nội dung toán học mà cấp học trên có thể các em phải học 1-2 tiết + Chưa cần thết phải tường minh nội dung các ñịnh lý các bài toán vì dễ tạo rối cho học sinh, bài toán không nên ñưa yêu cầu bài toán: Chứng minh: AM AP AN AQ = = ; AB AC AB AC II Một số bài toán vận dụng phương pháp chứng minh từ các bài toán phần I: Các bài toán sau ñây vừa vận dụng phương pháp chứng minh các ñịnh lí trên ñây vừa hình thành cho học sinh lực biết “ xoay trở” các hình ñể tìm yếu tố liên quan (ñường cao, ñáy, diện tích) làm ñiều kiện giải yêu cầu bài toán Bài toán 4: (Tạp chí GD tháng 5/2008-trang 19) Cho tam giác ABC M là trung ñiểm canh AC; O là trung ñiểm BM; AO cắt BC N Chứng minh BN = 1/3 BC Hướng chứng minh: (Trong TCGD 5/2008, tác giả chứng minh qua chứng minh ñiểm thẳng hàng), ta có thể chứng minh sau: Theo bài ta dễ dàng chứng minh ñược các A tam giác BOA; AOM; MOC; COB có diện tích M Từ ñó chứng tỏ S(BOA) = 1/2 S(AOC); O Hai tam giác chung ñáy OA nên ñường cao hạ từ B xuống AN 1/2 ñường cao hạ từ C C xuống BN B N S(BON) = 1/2 S(CON) ( chung ñáy ON, tỷ lệ ñường cao là 1/2) Hai tam giác BON và CON có tỷ lệ diện tích là 1/2, chung ñường cao hạ từ O xuống BC nên tỷ lệ ñáy là 1/2: BN = 1/2 NC, hay BN = 1/3 BC Bài toán 5: Cho tam giác ABC Trên AC lấy E cho AE = 1/2 EC, trên BC lấy D cho CD = 1/2 BD BE cắt AD O So sánh OB với OE ( ðề thi lí thuyết GVDG Quảng Trạch, QB năm học 2002-2003) Hướng giải: S(ABE) = 1/2 S(EBC) ( chung ñường cao hạ từ A N B xuống AC, AE = 1/2 EC) AM = 1/2 CN E S(ABO) = 1/2 S(BOC) ( chung ñáy OB, tỷ lệ ñường cao là 1/2) O S(ABE) = S(ADC) (cùng 1/3 S(ABC)), M hình có S(AOE) chung nên S(EODC) = S(AOB) = C 1/2 S(BOC) B D S(DOC) = 1/3 S(DOC) (chung ñường cao hạ từ O xuống BC, CD = 1/3 BC) S(EOC) = S(EODC) - S(ODC) = 1/2 S(BOC) - 1/3 S(BOC) = 1/6 S(BOC) tam giác BOC và COE có chung ñường cao là CN, tỷ lệ diện tích là 1/6 tỷ lệ ñáy là 1/6 OE = 1/6 OB Hoàng Thanh Cương Trường TH Quảng Lộc, Quảng Trạch, Quảng Bình Email: thanhcuong19@ymail.com Lop4.com (4)