Hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho ứng với mỗi số x thuộc D một số thực y duy nhất gọi là giá trị của hàm số f tại x, ký hiệu là y = fx D gọi là tập xác định hay miền xác định ,[r]
(1)Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa ĐẠI SỐ 10 Chương Hàm Số Bậc Nhất và Bậc Hai www.saosangsong.com.vn/ SAVE YOUR TIME&MONEY SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL SUIT YOUR PACE Lop10.com (2) Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai § Đại cương hàm số A Tóm tắt giáo khoa 1/ Định nghĩa hàm số : Cho D là tập khác rỗng tập R Hàm số f xác định trên D là quy tắc cho ứng với số x thuộc D số thực y gọi là giá trị hàm số f x, ký hiệu là y = f(x) D gọi là tập xác định (hay miền xác định) , x gọi là biến số độc lập hay đối số hàm số f Ta viết f : D → R x → y = f(x) 2/ Cách cho hàm số :Hàm số thường cho biểu thức f(x) và ta quy ước : không có giải thích gì thêm thì tập xác định hàm số y = f(x) là tập hợp tất các số thực x cho biểu thức f(x) có nghĩa 3/ Đồ thị hàm số : Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số là tập hợp tất các điểm có tọa độ (x;f(x)) với x ∈ D Ghi chú : Ngoài cách cho hàm số biểu thức f(x) ,người ta có thể cho hàm số bảng giá trị, biểu đồ đồ thị y x O 4/ Hàm số đồng biến, nghịch biến : Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) ⊂ R • Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a;b) với x1,x2 ∈ (a;b): x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) • Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a;b) với x1,x2 ∈ (a;b): x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Ghi chú : Từ định nghĩa trên ta suy : • f đồng biến trên (a;b) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ (a; b), x1 ≠ x2 , f ( x2 ) − f ( x1 ) >0 x2 − x1 f ( x2 ) − f ( x1 ) <0 x2 − x1 Khảo sát biến thiên hàm số là xét xem hàm số đồng biến trên khoảng nào,nghịch biến trên khoảng nào tập xác định nó • f nghịch biến trên (a;b) ∀x1 , x2 ∈ (a; b), x1 ≠ x2 , 5/ Hàm số chẵn,hàm số lẻ : Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trên D • f là hàm số chẵn với x thuộc D , thì : – x thuộc D và f(- x) = f(x) • f là hàm số lẻ với x thuộc D, thì : – x thuộc D và f(-x) = -f(x) Định lý : Hàm số chẵn thì có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số lẻ thì có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng B Giải toán Dạng toán 1:Tìm miền xác định hàm số f: Ta cần nhớ: www.saosangsong.com.vn Lop10.com (3) Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai xác định f(x) ≠ f ( x) T f ( x) xác định f(x) ≥ f ( x) xác định g(x) > g ( x) Ví dụ : Tìm miền xác định hàm số : f(x) = x − − x −2 Giải : ⎧⎪ x − ≥ ⎧ x ≥1 ⎧ x ≥1 f(x) xác định ⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ x ≥ 1& x ≠ ≠ x ≠ ± x ⎩ ⎪⎩ x − ≠ ⎩ Ví dụ : Tìm miền xác định hàm số : f(x) = 2x − + x+2 3− x Giải ⎧ ⎧ ⎪2 x − ≥ ⎪x ≥ f(x) xác định ⎨ ⇔⎨ ⇔ ≤ x<3 ⎪ 3− x > ⎩⎪ x < ⎩ Ví dụ : Tìm miền xác định hàm số f(x) = x2 − x + + x +1 Giải Ta có : x2 – 2x +3 = (x – 1)2 +2 > với x và x + ≠ với x Vậy hàm số f xác định với x ∈ R *Ví dụ 4: Định m để hàm số sau xác định trên (0,2): 2x f(x) = x − m +1 Giải Hàm số f(x) xác định x – m + ≠ ⇔ x ≠ m – Do đó để hàm số f(x) xác định trên khoảng (0,2) thì ta phải có m – ∉ (0,2) Vậy m – ≤ hay m – ≥ ⇔ m ≤ hay m ≥ *Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y = x − m + + x − m xác đinh với x > Giải ⎧ ⎧x ≥ m −1 ⎪x − m +1 ≥ ⎪ Hàm số xác định ⎨ ⇔ ⎨ m ⎪ 2x − m ≥ ⎪⎩ x ≥ ⎩ ⎧m − ≤ ⎪ Do đó hàm số xác định với x > ⎨ m ⎪⎩ ≤ Vậy m ≤ www.saosangsong.com.vn Lop10.com (4) Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai ⎧2 x − − ≤ x < ⎪ *Ví dụ 6: Cho hàm số :y = f(x) = ⎨ − x ≤ x < ⎪ −2 x + ≤ x < ⎩ Tìm tập xác định hàm số f và tính f(0) ; f(-1) ; f(1) ; f(2) Giải Tập xác định hàm số là [-2; 3) Ta có f(0) = ; f(-1) = 2(-1) – = -3 ; f(1) = -2(1) + = -1 và f(2) = -2(2)+ = -3 Dạng toán : Đồ thị hàm số Điểm M (xo ; yo ) ∈ đồ thị (C) hàm số y = f(x) ⇔ yo = f(xo) Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số sau (gọi là hàmdấu) : ⎧-1 x < ⎪ d(x) = ⎨ x = ⎪ x > ⎩ Giải Tập xác định là R Đồ thị gồm tia At ,Bt’ ,và điểm gốc O y A t A t x O B t’ t' B Ví dụ : Trong các điểm : A(0 ; 1) , B(2 ; 2) , C( -2 ; 4) ,điểm nào thuộc đồ thị hàm số y = x2 Giải Thay tọa độ các điểm vào phương trình y = x2 ta thấy : • = 02 (không thỏa), nên điểm A không thuộc đồ thị • = 22 không thỏa nên điểm B không thuộc đồ thị • = (-2)2 thỏa nên điểm C thuộc đồ thị hàm số * Ví dụ : Tìm số xo , yo cho điểm (xo; yo) thuộc đồ thị hàm số y = x2 – mx + +m với giá trị m Giải Điểm (xo ; yo) thuộc đồ thị hàm số y = x2 – mx + + m ta có : yo = xo2 – mxo + +m hay yo = xo2 + + m (1 – xo) ⎧ x =1 ⎪⎧ − x0 = Phương trình này thỏa với m ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪⎩ y0 = x0 + ⎩ y0 = Ví dụ : Hàm số y = f(x) cho đồ thị bên phải : a) Tìm tập xác định hàm số f b) Tính f(0) , f(-2) c) Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số www.saosangsong.com.vn Lop10.com (5) Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai Giải a) Theo đồ thị ta thấy tập xác định hàm số là [-2;3] b) Ta có f(0) = và f( -2) = c) Giá trị lớn f(x) là ; giá trị nhỏ f(x) là -1 Dạng toán : Dùng định nghĩa xét tính đồng biến và nghịch biến hàm số Lấy x1 và x2 là hai giá trị tùy ý thuộc khoảng (a ; b) với x1 ≠ x2 và xét : f ( x2 ) − f ( x1 ) > thì hàm số f(x) đồng biến trên (a;b) x2 − x1 f ( x2 ) − f ( x1 ) < thì hàm số nghịch biến trên (a;b) x2 − x1 Ví dụ : Dùng định nghĩa chứng minh hàm số f(x) = 2x – đồng biến trên R Giải Gọi x1 và x2 là hai giá trị tùy ý thuộc tập R với x1 ≠ x2 ta có : f ( x2 ) − f ( x1 ) (2 x2 − 3) − (2 x1 − 3) = = 2>0 x2 − x1 x2 − x1 Vậy hàm số f(x) = 2x – luôn đồng biến trên tập xác định R Ví dụ : Dùng định nghĩa xét tính đồng biến và nghịch biến hàm số y = f(x) = x2 – 2x + trên khoảng (−∞;1) và (1; +∞ ) Giải Gọi x1 và x2 là hai giá trị tùy ý thuộc (−∞;1) với x1 ≠ x2 ta có : f ( x2 ) − f ( x1 ) ( x22 − x2 + 2) − ( x12 − x1 + 2) x22 − x12 − 2( x2 − x1 ) = = = x2 − x1 x2 − x1 x2 − x1 ( x2 − x1 )( x2 + x1 ) − 2( x2 − x1 ) ( x2 − x1 )( x2 + x1 − 2) = = x1 + x2 − x2 − x1 x2 − x1 Vì x1 và x2 thuộc (−∞;1) nên x1 < và x2 < , đó x1 + x2 < f ( x2 ) − f ( x1 ) Vậy < Suy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) x2 − x1 Tương tự với x1 và x2 thuộc (1; +∞ ) với x1 ≠ x2 ta có : x1 > và x2 > nên x1 + x2 > ,do đó x1 + x2 – > f ( x2 ) − f ( x1 ) Vậy > Suy hàm số đồng biến trên khoảng c x2 − x1 Ví dụ : Khảo sát biến thiên hàm số y = trên khoảng xác định (−∞;1) và x −1 = (−∞;1) Giải Gọi x1 và x2 là hai giá trị tùy ý thuộc (−∞;1) với x1 ≠ x2 ta có : 2 − −2( x2 − x1 ) f ( x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1 − −2 = = = x2 − x1 x2 − x1 ( x2 − x1 )( x2 − 1)( x1 − 1) ( x2 − 1)( x1 − 1) 29 Vì x1 và x2 thuộc (−∞;1) nên x1 - 1< và x2 - < , đó www.saosangsong.com.vn Lop10.com (6) Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai f ( x2 ) − f ( x1 ) <0 x2 − x1 Suy hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) Tương tự với x1 và x2 thuộc (1; +∞ ) với x1 ≠ x2 ta có : f ( x2 ) − f ( x1 ) x1 – 1> và x2-1 > , đó <0 x2 − x1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) (x2 – 1)(x1 – 1) > Vậy *Ví dụ 4: Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y = x3 + 3x đồng biến trên tập R Giải Gọi x1 và x2 là hai giá trị tùy ý thuộc R với x1 ≠ x2 ta có : f ( x2 ) − f ( x1 ) x23 + 3x2 − x13 − 3x1 ( x2 − x1 )( x22 + x1 x2 + x12 ) + 3( x2 − x1 ) = = x2 − x1 x2 − x x2 − x1 = x12 + x1 x2 + x22 + = ( x1 + x22 x2 ) + + > với x1 và x2 Vậy hàm số luôn đồng biến trên R Dạng : Xét tính chẵn , lẻ hàm số - Tập xác định D hàm số phải đối xứng qua - Với x ∈ D thì -x ∈ D : • f(-x) = f(x) thì hàm số chẵn trên D • f(-x) = - f(x) thì hàm số lẻ trên D Ví dụ : Xét tính chẵn – lẻ hàm số : y = x +1 Giải Hàm số y = x + xác định x + ≥ hay x ≥ -1 Ta nhận thấy tập xác định hàm số là [ - ; + ∞ ) không đối xứng qua nghĩa vì với x = thì – x = -2 ∉ [ - ; + ∞ ) Vậy hàm số này không chẵn và không lẻ Ví dụ : Xét tính chẵn – lẻ hàm số y = f(x) = 2x3 – 4x Giải Tập xác định hàm số là R Với moi x ta có : x ∈ R ⇒ − x ∈ R và f(-x) = 2(-x)3 – 4(-x) = -2x3 + 4x = - f(x) Vậy f(x) là hàm số lẻ Ví dụ : Xét tính chẵn – lẻ hàm số y = f(x) = 2+ x + 2− x Giải ⎧2 + x ≥ ⇔ − ≤ x ≤ Tập xác định là [ - 2; 2] Hàm số xác định ⎨ ⎩2 − x ≥ Với x ∈ [-2;2] thì –x ∈ [-2;2] và f(-x) = − x + + x = f(x) Vậy f(x) là hàm số chẵn Ví dụ : Xét tính chẵn – lẻ hàm số y = f(x) = 2x x Giải Tập xác định là R www.saosangsong.com.vn Lop10.com (7) Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai Với x ∈ R thì –x ∈ R và ta có f(-x) = 2(-x) − x = -2x x = - f(x) Vậy f(x) là hàm số lẻ B Bài tập rèn luyện : 2.1.Tìm miền xác định các hàm số sau: 2x −1 x a) y = b) y = x +1 x −2 c) y = x +1 x −1 d) y = 2x −1 − − x ⎧⎪ x − x < −1 2.2 Cho hàm số f(x) = ⎨ ⎪⎩ − x − ≤ x ≤ a) Tìm miền xác định hàm số f b) Tính f(-2) , f(-1) , f( ) , f(1) * 2.3 Tìm m để hàm số y = x − m + x − m +1 xác định với x > Gọi ( C ) là đồ thị hàm số y = x x Điểm nào sau đây thuộc ( C ) A(-1; 1) B(-1 ; -1) C(1; -1) D(1 ; 0) mx − với giá trị m x−m 2.6 Vẽ đồ thị hàm số y = [x] gọi là phần nguyên x với x ∈ [-2 ; 3] (với số thưc x có số nguyên y thỏa y ≤ x < y+1) *2.5 Tìm điểm (xo ; yo ) thuộc đồ thị hàm số y = 2.7 Xét biến thiên hàm số trên khoảng a) y = trên khoảng (- ∞ ,0) và (0 ; + ∞ ) x b) y = -x2 + 2x trên khoảng (- ∞ ;1) và (1 ; + ∞ ) c) y = x − trên khoảng [1 ; + ∞ ) *d) y = x3+ trên khoảng (- ∞ ; + ∞ ) 2.8 Xét tính chẵn – lẻ các hàm số sau : a) f(x) = -2x + b) f(x) = -x3 + 2x c) f(x) = d) f(x) = x2 - x x−2 * 2.9 Xét tính chẵn – lẻ hàm số Dirichlet : ⎧1 x ∈ Q D(x) = ⎨ ⎩0 x ∉ Q 2.10 Cho hàm số y = − x + x + Câu nào sau đây đúng? a) Miền xác định là x > -2 b) Hàm số lẻ c) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là trục 0y d) Điểm A ( ; ) thuộc đồ thị hàm số D Hướng dẫn - đáp số : 2.1 a) Tập xác định là R b) Miền xác định là R\ {−2; +2} c) Miền xác định là x ∈ [-1 ; + ∞ ) và x ≠ www.saosangsong.com.vn Lop10.com (8) Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai ⎧2 x − ≥ d) Hàm số xác định ⎨ ⇔ ≤x≤2 ⎩2− x ≥ 2.2.a) Miền xác định hàm số là (- ∞ ; 1] 2 b) f(-2) = -5 ; f(-1) = ; f( )= ; f(1) = 2 ⎧ ⎧ x≥m ⎪ x−m≥0 ⎪ * 2.3 Hàm số xác định ⎨ ⇔⎨ m −1 ⎪2 x − m + ≥ ⎪⎩ x ≥ ⎩ ⎧ m≤0 ⎪ Do đó để hàm số xác định với x > thì ⎨ m − Vậy m ≤ ⎪⎩ ≤ Điểm B thuộc đồ thị ( C ) * 2.5 Điểm (xo ; yo ) thuộc đồ thị hàm số y = mx − ta có : x−m mxo − hay xoyo – myo= mxo – với xo ≠ m x0 − m ⇔ xoyo + = m(xo + yo) Phương trình này thỏa với m ≠ xo : ⎧ xo + yo = ⇔ (xo = 1; yo= -1) và (xo = -1 ; yo=1) với m ≠ và m ≠ -1 ⎨ ⎩ xo yo + = 2.6 y yo = O x 2.7 a) hàm số nghịch biến trên khoảng b) hàm số đồng biến trên (- ∞ ;1) và nghịch biến trên (1 ; + ∞ ) c) hàm số đồng biến trên [1 ; + ∞ ) d) hàm số luôn đồng biến trên (- ∞ ; + ∞ ) 2.8 a) f(x) = -2x + không chẵn và không lẻ b) f(x) = -x3 + 2x là hàm số lẻ trên R c) f(x) = không chẵn và không lẻ x−2 d) f(x) =x2 - x là hàm số chẵn trên R * 2.9 Với x ∈ Q thì –x ∈ Q và ta có D(-x) = = D(x) Với x ∉ Q thì –x ∉ Q ( ví dụ x = thì –x = - ) và ta có D(-x) = = D(x) Vậy D(x) là hàm số chẵn 2.10 Hàm số này chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là Oy www.saosangsong.com.vn Lop10.com (9) Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai § Hàm số bậc A.Tóm tắt giáo khoa : Định nghĩa : Hàm số bậc là hàm số có dạng y =ax + b,trong đó a và b là a ≠ Sự biến thiên • Tập xác định là R • Khi a > hàm số đồng biến trên R x y = ax + b (a>0) -∞ các số với +∞ +∞ -∞ Khi a < hàm số nghịch biến trên R x y = ax + b ( a < 0) -∞ +∞ +∞ -∞ Đồ thị : Đồ thị hàm số y = ax + b ( a ≠ 0) là đường thẳng không cùng phương với các trục tọa độ a gọi là hê số góc đường thẳng Đặc biệt : b b ≠ đồ thị cắt trục Ox A( − ; 0) và trục 0y B(0;b) a b = đồ thị hàm số y = ax qua gốc toạ độ và qua điểm C(1 ; a) y y B A x x 0 Ghi chú : Cho hai đường thẳng (d) y = ax + b và (d’) y = a’x + b’ • (d) // (d’) ⇔ a = a’ và b ≠ b’ • (d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’ • Đồ thị hàm số y = b (hằng số) là đường thẳng song song với trục hoành Hàm số y = x Hàm số này xác định với giá trị x và là hàm số chẵn Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có : www.saosangsong.com.vn Lop10.com (10) 10 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai ⎧ x x ≥ x =⎨ ⎩− x x < Do đó x ≥ thì y = x là hàm số đồng biến x< thì y = -x là hàm số nghịch biến Ta có bảng biến thiên sau : -∞ +∞ x y= x +∞ +∞ y O x Đồ thị hàm số y = x x ≥ là tia phân giác góc phần tư I và y = - x x < là tia phần giác góc phần tư II Hàm số y = ax + b với a ≠ Hàm số này xác định với x ∈ R b • Nếu x ≥ - thì y = ax + b a b • Nếu x < - thì y = -ax – b a b Đồ thị là hai nửa đường thẳng có gốc A ( - ; 0) a Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y = x − y Giải Nếu x ≥ thì y = x – ; đồ thị là nửa đưởng thẳng gốc A ( ; 0) và qua B(2;1) Nếu x < thì y = -x + 1; đồ thị là nửa đường thẳng gốc A và qua C( ; 1) C B O A x B Giải toán : Dạng : Xét biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = ax + b y Ví dụ : Xét biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 2x – Giải Tập xác định là R Hàm số luôn đồng biến trên R vì a = > Bảng biến thiên x -∞ B O +∞ +∞ x y = 2x - A -∞ Đồ thị là đường thẳng qua hai điểm A ( ; - 3) và B( ; 1) Ví dụ : Xét biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - x +2 10 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (11) 11 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai Giải Tập xác định là R Hàm số luôn nghịch biến trên R vì a = - <0 y Bảng biến thiên x x y = - +2 A -∞ +∞ +∞ -∞ x O B Đồ thị là đường thẳng qua điểm A(0 ; 2) và B(4; 0) Dạng : Tính các hệ số a và b hàm số y = ax + b Ví dụ : Tính a và b để đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(2 ; -2) và B(-1 ; 4) Giải Đồ thị qua A (2 ; -2) ⇔ a(2) + b = - Đồ thị qua B( -1 ; 4) ⇔ a(-1) + b = ⎧2a + b = −2 Giải hệ phương trình ⎨ ta a = -2 và b = ⎩ −a + b = Vậy y = -2x + Ví dụ : Cho đường thẳng (d) y = 2x + 1.Tính a và b để đồ thị (d’) hàm số y = ax + b song song với (d) và qua điểm A(1 ; -3) Giải Ta có (d) // (d’) ⇔ a = và b ≠ ( hệ số góc nhau) Do đó phương trình (d’) là y = 2x + b Điểm A(1 ; -3) ∈ (d’) ⇔ -3 = 2(1) + b ⇔ b = - Vậy phương trình (d’) là y = 2x – Ví dụ : Định m để hai đường thẳng (d) y = 2x – và (d’) y = -x + 2m -1 cắt điểm trên trục 0y Giải (d) cắt trục 0y điểm có tọa độ x = ; y = - (d’) cắt (d) điểm trên trục 0y 2m – = -3 ⇔ 2m = - ⇔ m = -1 Ví dụ : Vẽ đồ thị hai hàm số y = x – và y = - x + trên cùng hệ trục tọa độ Dùng đồ thị và thử lại tính toạ độ giao điểm hai đồ thị trên Giải Đồ thị hàm số y = x – là đường thẳng (d) qua hai điểm ( ; -1) và (1 ; 0) Đồ thị hàm số y = - x + là đường thẳng (d’) qua hai điểm ( ; 2) và (4 ; 0) Theo đồ thị ta thấy hai đường (d) và (d’) cắt điểm có tọa độ (2 ; 1) Thử lại tính : Toạ độ giao điểm củ (d) và (d’) là nghiệm hệ phương trình : 11 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (12) y 12 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai ⎧ y = x −1 ⎪ ⎨ ⎪⎩ y = − x + 2 x+2 ⇔ 2x – = -x +4 ⇔ 3x = ⇔ x=2 Thay x = vào y = x – ta y = Vậy tọa độ giao điểm hai đồ thị là (2 ; 1) So sánh y ta : x- = - x -1 Dạng : Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y = x + -1 Tìm giá trị nhỏ hàm số này Giải • Nếu x + ≥ hay x ≥ -1 thì y = 2(x+1) = 2x + ,đồ thị là nửa đường thẳng gốc A( - ; 0) và qua điểm B(0 ; 2) • Nếu x + < hay x < -1 thì y = -2(x + 1) = -2x – , đồ thị là nửa đường thẳng gốc A và qua điểm C( -2 ; 2) Giá trị nhỏ hàm số là x = -1 y y (-1,1) C B (1,1) x -1 1 -1 x -2 -1 A Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y = x - và tìm giá trị nhỏ hàm số Giải • Nếu x ≥ thì y = 2x – 1,đồ thị là nửa đường thẳng gốc A( ; -1) và qua B ( ; 1) • Nếu x < thì y = -2x -1 đồ thị là nửa đường thẳng gốc A và qua C( -1 ; 1) Vì x ≥ với x nên y ≥ -1 Vậy giá trị nhỏ y là – x = 12 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (13) 13 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai *Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y = x2 − x + − x − Giải Ta có y = x − x + − x − = ( x − 2)2 − x − = x − − x − Ta có bảng xét dấu : x x-2 + x-1 + + y Do đó : • x < thì : y = – x + 2(x – 1) = x • ≤ x ≤ thì : y = – x -2(x – 1) = -3x + • x > thì : y = x – – 2(x- 1) = -x Đồ thị ( xem hình bên) (1,1) x -1 -1 -2 *Ví dụ :Cho hàm số ⎧ x2 x ≠ ⎪x + y= ⎨ x ⎪ ⎩ x = Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số này (2,-2) -3 Giải Tập xác định là R x = x + và x = thì y = x Vậy đồ thị hàm số là đường thẳng y = x + Khi x ≠ ta có y = x + C.Bài tập rèn luyện 2.11 Vẽ đồ thị các hàm số sau : a) y = 2x – b) y = ⎧ x x ≥ ⎩−2 x x < x c) y = - x − 3 d) y = ⎨ 2.12 Tính a và b để đồ thị hàm số y = ax + b qua hai điểm A(0 ; 2) và B( ; 3) 2.13 Tính a và b để đường thẳng (d) y = ax + b song song với đường thẳng (d’) y = -2x + và qua M( -1 ; 3) 2.14 Cho đường thẳng : (d1) y = x + ; (d2) y = -x +2 ; (d3) y = x – ; (d4) y = 2x + Cặp đường thẳng nào song song ? a) (d1) và (d2) b) (d1) và (d3) c) (d2) và (d3) *2.15 Cho hai đường thẳng (d) y = - x + và (d’) y = d) (d3) và (d4) x -1 a) Vẽ (d) và (d’) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b) Tính tọa độ giao điểm (d) và (d’) c) Tính m để đường thẳng (d) ; (d’) và (d’’) y = mx + m – đồng quy 13 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (14) 14 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai 2.16 Định m để hai đường thẳng y = 2x + và y = - x + m + cắt điểm trên trục hoành 2.17 Vẽ đồ thị các hàm số : a) y = x − b) y = x + *2.18 Vẽ đồ thị hàm số : y = c) y = x2 − x + − x − x + x2 − x2 + x + *2.19 Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số sau : ⎧ x2 ⎪x + x ≠ y= ⎨ x ⎪ x = ⎩ D.Hướng dẫn giải - đáp số 2.11 a) Đồ thị hàm số y = 2x – là đường thẳng qua điểm ( 0; - 4) và ( ; 0) x là đường thẳng qua gốc O và điểm ( ; 2) c) Đồ thị hàm số y = - x − là đường thẳng qua điểm (0;-4) và (-3;-3) ⎧ x x ≥ d) Đồ thị hàm số y = ⎨ là hai nửa đường thẳng qua gốc O ⎩−2 x x < b) Đồ thị hàm số y = y 2.12 y = x + 2 2.13 y = -2x + 2.14 Câu b) *2.15 b) Tọa độ giao điểm (d) và (d’) là nghiệm hệ phương trình : ⎧ y = −x + ⎪ ⎨ ⎪⎩ y = x − So sánh y ta x -2 -1 2x – = -3x + 12 Hay 5x = 15 Vậy x = và y = c) d) ; (d’); (d’’) đồng quy (d’’) qua giao điểm (3;1) câu b) Thay x = và y = vào phương trình (d’’) ta = 3m + m – = hay m = Vậy phương trình (d’’) là y = x – 2.16 Đường thẳng y = 2x + cắt trục Ox x = -2 y = Do đó đường thẳng y = -x + m +2 qua điểm (-2 ; 0) ta có : = + m + Vậy m = - ⎧ x − x ≥ ⎩2 − x x < 2.17 a) y = x − = ⎨ 14 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (15) 15 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai ⎧ x + x ≥ ⎩− x + x < b) y = x + = ⎨ ⎧ x − − x x ≥ ⎧ −1 x ≥ =⎨ ⎩1 − x − x x < ⎩1 − x x < c) y = x − − x = ⎨ *2.18 y = x − − x + Khi x < Khi - thì y = – x + 2x + = x + ≤ x ≤ thì y = – x - 2x - = - 3x + Khi x > thì y = x – – 2x – = - x – *2.19 Tập xác định là R Khi x ≠ thì y = x + x ⎡ x + x > = ⎢ x ⎣ x − x < Khi x = thì y = §3 Hàm số bậc hai A.Tóm tắt giáo khoa Định nghĩa : Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y = ax2 + bx + c đó a,b,c là các số và a ≠ Hàm số y = ax2 Hàm số này xác định trên R • a > thì hàm số giảm trên (- ∞ ; 0) ; tăng trên (0;+ ∞ ),đạt cực tiểu x = • a < thì hàm số tăng trên (- ∞ 0) ;giảm trên (0;+ ∞ ).đạt cực đại x = Bảng biến thiên : a>0 a<0 x -∞ +∞ x -∞ +∞ y +∞ +∞ y -∞ -∞ Đồ thị hàm số là parabol.đỉnh là gốc O và trục đối xứng là Oy a>0 a< y y x x 15 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (16) 16 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai 3.Hàm số y ax2 + bx + c với a ≠ • Tập xác định là R • Nếu a > thì hàm số giảm trên khoảng (- ∞ ; (- b ;+ ∞ ) 2a Nếu a < thì hàm số tăng trên khoảng (- ∞ ; (• b ) và tăng trên khoảng 2a b ) và giảm trên khoảng 2a b ;+ ∞ ) 2a y Bảng bịến thiên a> x y -∞ - +∞ b 2a x +∞ +∞ CT Hàm số đạt giá trị cực tiểu - Δ b x = − 4a 2a y a<0 x y -∞ - -∞ Hàm số đạt giá trị cực đại - b 2a CĐ +∞ x +∞ Δ b x = − 4a 2a Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c là parabol ,đỉnh I ( - b Δ b ; - ) và nhận đường thẳng x = 2a 4a 2a làm trục đối xứng Cách vẽ: Muốn vẽ parabol (P) : y = ax2 + bx + c ta làm sau: b Δ b • Vẽ đỉnh I ( - ; - ) và trục đối xứng x = 2a 4a 2a • Vẽ thêm vài điểm có hoành độ gần giá trị hoành độ đỉnh và điểm đối xứng chúng qua trục đối xứng Lưu ý giao điểm (P) với trục Oy là ( x = y = c ) B Giải toán : Dạng : Xét biến thiên và vẽ đồ thị Ví dụ : Xét biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x2 – 2x -3 16 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (17) 17 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai Giải Tập xác định là R b Δ = và y = = - Do đó hàm số giảm trên khoảng ( - ∞ ; 1) và tăng 2a 4a trên khoảng (1;+ ∞ ),giá trị nhỏ là -4 y Bảng biến thiên a = > , ta có x = - -∞ +∞ x +∞ +∞ y -4 Đồ thị là parabol ,đỉnh I ( ; -4) và trục đối xứng là đường thẳng x = Giao điểm parabol với trục Ox : y = suy x2 – 2x – =0 ⇔ x = -1 ; x = ; giao điểm parabol với trục Oy là x = y=-3 (-1,0) (3,0) (0,-3) x (2,-3) (1,-4) Ví dụ : Xét biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = - x2 + 2x – Giải Tập xác định là R b Δ = - 1.Do đó hàm số tăng trên khoảng a = -1 < , x = - = ; y = 2a 4a ( - ∞ ; 1) và giảm trên khoảng ( ; + ∞ ) ,giá trị lớn là y Bảng biến thiên -∞ x y x +∞ -1 -∞ (1,-1) -∞ Đồ thị là parabol đỉnh I (1; -1) trục đối xứng x = 1,cắt trục Oy x = ; y = -2 (0,-2) (2,-2) *Dạng : Vẽ đồ thị hàm số có chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số y = x − x Giải Tập xác định là R Ta có x2 – 2x = x( x – 2) Do đó : • x < hay x > thì y = x2 – 2x • ≤ x ≤ thì y = - x2 + 2x Vậy đồ thị hàm số y = x − x là hợp hai parabol : • y = x2 – 2x bỏ phần đoạn ≤ x ≤ 17 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (18) y 18 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai • và y = - x2 + 2x lấy phần đoạn ≤ x ≤ Dạng : Tính các hệ số a,b,c hàm số y = ax2 + bx +c Ví dụ : Tính a và b biết parabol y = ax2 + bx + có đỉnh I( ; - 2) Giải b = (1) 2a Điểm I ( ; -2) thuộc parabol nên ta có - = a(2)2 + 2b +2 (2) Từ (1) ta có b = - 4a Thay vào (2): - = 4a – 8a + Vậy a = và b = - Hoành độ đỉnh parabol là x = - (1,1) (0,0) x (2,0) Ví dụ : Tính a,b,c biết parabol y = ax2 + bx + c có đỉnh trên trục hoành và qua hai điểm A( 0; 1) và B( ; 4) Giải Δ = hay 4ac – b = (1) 4a • A (0 ; 1) thuộc parabol nên a(0) + b(0) +c = (2) • B( ; 1) thuộc parabol nên a(2)2 + b(2) + c = (3) (2) cho c = Thay vào (3) ta có : 4a + 2b + = hay 2a + b = hay b = - 2a Thay b và c vào (1) : 4a(1) – (- 2a)2 = hay 4a – 4a2 = hay a( – a) = Vì a ≠ nên ta suy – a = Vậy a = , b = -2 , c = Đỉnh parabol thuộc trục Ox nên tung độ đỉnh y = - *Ví dụ : Cho hàm số y = x2 – 2mx + m + ( m > 0) a) Định m để đồ thị là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng y = x + b) Vẽ đồ thị với m vừa tìm Giải 4ac − b b thỏa phương trình y = x Toạ độ đỉnh x = và y = 4a 2a +1 4ac − b b Nên ta có : =+ ⇔ 4ac – b2 = - 2b + 4a ( vì a 4a 2a ≠ 0) Thay a = , b = - 2m , c= m +2 vào phương trình ta : 4(m + 2) – 4m2 = 4m + ⇔ m2 = ⇔ m = vì m>0 Vậy y = x2 – 2x + Đồ thị là parabol có đỉnh I(1 ; 2) ,trục đối xứng x = y (0,3) (2,3) (1,2) x 18 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (19) 19 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai C.Bài tập rèn luyện 2.19 Xét biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau : a) y = x2 + 2x +1 b) y = - x2 + c) y = x2 – 2x – d) y = - *2.20 Vẽ đồ thị các hàm số sau : a) y = x2 + x x + 2x b) y = x x − 2.21 Tính a và b biết parabol y = ax2 + bx – có đỉnh I (1 ; -2) 2.22 Tính a , b ,c biết parabol y = ax2 + bx + c có đỉnh trên trục hoành và qua hai điểm A( 0;4) và B( - ; 1) 2.23 Tính a , b, c để hàm số y = ax2 + bx + c đạt giá trị lớn x = và đồ thị qua điểm A( -1 ; -8) 2.24 Tính m để đồ thị hàm số y = mx2 – 2mx – m – có đình thuộc đường thẳng y = 2x – ( m khác 0) 2.25 Vẽ đồ thị hai hàm số y = x + và y = x2 – 2x + trên cùng hệ thống trục tọa độ xác định tọa độ giao điểm chúng ⎧− x + x ≥ −1 *2.26 Vẽ đồ thị hàm số : y = ⎨ ⎩ x + x < −1 2.27 Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 + 2x Dùng đồ thị tìm x để y > 2.28 Vẽ đồ thị hàm số y = x2 + 2x – Dùng đồ thị tìm x để y ≤ D.Hướng dẫn giải - đáp số : b = - và a = > 2a Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng khoảng ( - ∞ ; -1) và đồng biến trên khoảng (1;+ ∞ ), giá trị nhỏ là 2.19 a) Hàm số y = x2 + 2x + có x = - Đồ thị là parabol có đỉnh I ( -1 ; 0) b = và a = - <0 2a Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( - ∞ ; 0) và nghịch biến trên khoảng (0 ;+ ∞ ), giá trị lớn là b).Hàm số y = - x2 + có x = - Đồ thị là parabol có đỉnh I ( ; 1) c) Hàm số y = x2 – 2x – nghịch biến trên khoảng khoảng ( - ∞ ; 1) và đồng biến trên khoảng (1;+ ∞ ), giá trị nhỏ là -2 d) Học sinh tự vẽ *2.20 a) Đồ thị hàm số a) y = x2 + x gồm hai phần y = x2 – 2x x < và y = x2 + 2x x ≥ b) Đồ thị hàm số b) y = x x − gồm hai phần y = 2x – x2 x < và y = x2 – 2x x ≥ 19 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (20) 20 Chương2.Hàm Số Bậc Nhất Và Bậc Hai y y x -1 -2 -4 x 2.21 Ta có hệ phương trình : b ⎧ =1 ⎪ − 2a ⎨ ⎪⎩ a + b − = −2 2.22 Ta có hệ phương trình : ⎧4ac − b = ⎪ ⎨ c=4 ⎪a −b + c =1 ⎩ 2.23 Vậy a = - và b = Vậy a = ; b = ; c = hay a = ; b = 12 ; c = Ta có hệ phương trình : b ⎧ ⎪ − 2a = ⎪ ⎨ a+b+c = ⎪a − b + c = −8 ⎪ ⎩ Vậy a = - ;b=5;c=2 2.24 Tọa độ đỉnh là x = , y = -2m – Thay giá trị x và y này vào phương trình y = 2x – ta : -2m – = -1 Vậy m = - 3/2 2.25 Học sinh tự vẽ y = x +1 ⎩ y = x − 2x +1 ⎧ Tọa độ giao điểm đồ thị là nghiệm hệ phương trình : ⎨ So sánh y ta x2 – 2x + = x + hay x (x - 3) = Vậy x = ; y = và x = ; y = *2.26 Ta vẽ parabol y = - x2 + và gạch bỏ phần x < - 20 www.saosangsong.com.vn Lop10.com (21)