Đang tải... (xem toàn văn)
Dạng 2: Tìm tham số để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện cho trƣớc Bước 1: Tìm điều kiện để hệ có một nghiệm (hoặc chứng tỏ hệ luôn có nghiệm) Bước 2: Giải hệ tìm nghiệm (x; y)[r]
(1)CHỦ ĐỀ: HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I Định nghĩa:
+ Hệ pt bậc hai ẩn gồm hai pt bậc hai ẩn, viết dạng a x b y c
a x b y c
+ Nghiệm chung (nếu có) hai pt hệ gọi nghiệm hệ + Hai hệ pt gọi tương đương chúng tập hợp nghiệm Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A
0 x y x y
3
2 x y x y
B
2 3
x y x y
2 3
x y x y
C
4 x y x y x y x y
D
2 x y x y
3 x y x y
Câu 2: Nghiệm hệ pt
3
x y x y
là: A (1; 2) B (2; 5) C.(0; –1) D.(7; -0,25)
Câu 3: Cho ba hệ pt: (I)
2
x y x y
; (II) x y x y
; (III) x y x y Trong hệ pt trên, hệ pt tương đương với nhau:
A (I) (II) B (I) (III) C (II) (III) D ba hệ tương đương
Câu 4: Biết hệ a x
2
y x b y
có nghiệm (x = 1; y = 1) cặp số (a; b) bằng: A (1; -3) B (1; 3) C (-1; -3) D (1; -2)
Câu 5: Cho hệ
2
x y x y
, khẳng định đúng?
A Hệ cho có nghiệm (x = 1; y = 1) B Hệ cho có nghiệm (x = 1; y = -1) C Hệ cho vô nghiệm D Hệ cho vô số nghiệm
Câu 6: Cho hệ pt:
2 x y x y
2
1
a x y x a y
tương đương a bằng: A -1
B
C -2 D Trả lời:
Câu
Đáp án
II Các phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình bậc hai ẩn: Phƣơng pháp 1: Giải hpt phƣơng pháp
Ví dụ: Giải hệ phương trình: (1)
3 ( )
x y x y
Từ pt (1) ta biểu diễn x theo y (gọi rút x) ta có: x = + 2y (*) Thay (*) vào pt (2) ta được: 3(1 + 2y) + 2y = (**) Thế (**) vào pt hệ ta có:
) ( y y y x
3
x y y y x y Vậy hệ cho có nghiệm (x = 1; y = 0)
Chú ý: Người ta thường rút x y hệ số biến -1 Bài tập: Giải hệ phương trình phương pháp thế:
a/ y x y x b/ 2x y
m y x c/ y x y x d/ y x y x
e/
5
x y x y
f/
2 x y x y
g/
3
x y x y
h/
2
x y x y
i/ x y x y
Phƣơng pháp 2: Giải hpt phƣơng pháp cộng đại số
(2)Nhận thấy: hệ số ẩn y đối nên Cộng vế theo vế hai pt hệ pt chứa ẩn x 3 y x y x
3 3
5 2
x y x y y
x x x
Vậy hệ cho có nghiệm (x = 2; y = -3)
Ví dụ 2: Giải hệ pt: y x y x
Nhận xét: hệ số ẩn x nên Trừ vế theo vế hai pt hệ pt chứa ẩn y
y x y x
2 8
2
2 8
1
x y x y x
x y y
y
Vậy hệ cho có nghiệm (x =
; y = 1)
Ví dụ 3: Giải hệ pt: (1)
6 ( )
x y x y
Nhận thấy: hệ số ẩn x hệ số ẩn y không không đối nhau Cách 1: (Cân hệ số ẩn x) Nhân vế pt (1) với 6, nhân hai vế pt (2) với để hệ có hệ số ẩn x đối
5 (1)
6 ( )
x y x y
5
3 2 2 3
1
3 5 1 1
3
3
x y x
x y x y
x y y y
y Vậy hệ cho có nghiệm (x =
3
; y = 1
)
Cách 2: (Cân hệ số ẩn y) Nhân hai vế pt (1) với 3, nhân hai vế pt (2) với để hệ có hệ số ẩn x đối
5 (1)
6 ( )
x y x y 1
5
1 6 3
2
1 2
3
3
x y y
x y x y
x y x x
x
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau:
3 2
3 2
x y
x y x
Nhận xét: Hệ pt chưa có dạng bậc ẩn nên rút gọn pt hệ, đưa pt bậc hai ẩn
3 2 4
3 2 4
3 2
x y x y x y x y
x y x x y x y
x y x
3 2
x x
x y y
Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (2; 2)
Bài tập: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số a/ 31 11 10 11 y x y x b/ 3 2 y x y x c/ 11 y x y x d/ 2 y x y x e/ 15 y x y x f/ y x y x
Phƣơng pháp 3: Giải hpt phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 2
2 5
x y x y
Điều kiện xác định: x 1; y -2 Đặt a x 1 ; b y 2a 0 ; b 0
Ta có hệ: 2 1 1
2 5 5
a b a b b b
a b a b a b a
(thỏa mãn)
5
1 2 1 1
x
a x x
b y y y
(3)Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau:
1
3
3
1
x y
x y
Hƣớng dẫn: Đặt u 1;v
x y
Theo đề ta có hệ pt:
1
3
3 2 1
2
x
u v u u
u v v
y v
Bài tập 2: Giải hệ phương trình sau:
3
1
3
1
1
x y
x y
x y
x y
Hƣớng dẫn: Đặt ;
1
x y
u v
x y
Theo ta có hpt:
3
3 1
u v u
u v v
…
2
x y
Bài tập 3: Giải hệ phương trình sau:
1
2
1
2 1
x
x y x
x y
Hƣớng dẫn: Điều kiện x 1,
2
x y
Đặt
2
1
a x
b
x y
Ta có hpt mới:
2 1
2 1
1
2 1
x
a b a x
a b b y
x y
Vậy hệ có nghiệm (x = 1; y = 0)
Bàì tập 4: Giải hệ phương trình sau:
a/
5 ) ( ) (
4 ) ( ) (
y x y x
y x y x
b/
5 1
5 1
y x
y x
c/
1 2
2 1
y x
y x
d/
2
3
x y
4
5
x y
e)
4
1
3
y x
y x
III Hệ pt chứa tham số:
Dạng 1: Tìm tham số biết số nghiệm hệ Cho hệ phương tình bậc hai ẩn: a x b y c
a x b y c
+ Hệ có nghiệm a b
a b
+ Hệ vô nghiệm a b c
a b c
+ Hệ có vơ số nghiệm a b c
a b c
(4)Ví dụ 1: Cho hệ pt
2
x m y m x y
Tìm điều kiện m để hệ phương trình có nghiệm
Với m = hệ
2
x y
, hệ có nghiệm
Với m Hệ có nghiệm
m m
-m2 m2 -2 (ln đúng) Vậy phương trình ln có nghiệm với m
Chú ý: Khi lập tỉ số a b
a b
a’ b’ có tham số m ta phải xét thêm trường hợp a’ = b’ =
Ví dụ 2: Cho hệ pt 2
2
m x y m
x y m
Tìm đk m để hpt có nghiệm tìm nghiệm
Hệ 2 (1)
2 ( )
m x y m x y m
Hệ có nghiệm
2
m
m
Từ phương trình (2) ta có: y = 2x + m + Thay vào phương trình (1) ta được: mx – 2(2x + m + 1) = 2m (m – 4)x = 4m + 2 x =
4
m m
(m 4) y =
4
4
m m
+ m + =
2
5
m m
m
Vậy với m hệ phương trình có nghiệm (x; y) =
2
4
;
4
m m m
m m
Dạng 2: Tìm tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trƣớc Bước 1: Tìm điều kiện để hệ có nghiệm (hoặc chứng tỏ hệ ln có nghiệm) Bước 2: Giải hệ tìm nghiệm (x; y) theo tham số
Bước 3: Cho nghiệm vừa tìm thỏa yêu cầu đề, tìm tham số Bước 4: Đối chiếu ĐK kết luận
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình 3
2
x y m
x y m
(m tham số) a/ Giải hệ phương trình với m =
b/ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 + y2 = Giải:
a/ Với m = 2, ta có hệ: 7
2 7
x y x y x x
x y x y x y y
Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm (3; 2) b/ Vì
1
nên hệ phương trình ln có nghiệm (x; y)
1
3 6 7
3
2 3 3
x m
x y m x y m x m
y m m m
x y m x y m x y m
Hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (m = 1; m) Theo đề bài, ta có: x2
+ y2 = (m + 1)2 + m2 = 2m2 + 2m – = 2(m – 1)(m + 2) =
2
m m
Vậy m = m = -2 hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn đề
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình 2
2
x a y a
a x y a
(I) (a tham số) a/ Giải hệ phương trình với a =
b/ Tìm a để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn 22
y x
(5)a/ Với a = 1, ta có hệ:
1
x y y y
x y x y x
Vậy với a = hệ phương trình có nghiệm (1; 2) b/ Với a = hệ
2
x y
, hệ có nghiệm
Với a 0, hệ có nghiệm 1
a a
-a
2
a2 -1 (ln đúng) Hệ phương trình ln có nghiệm với a
2
3
3
1 2
3
2
x a a y x a a y
x a y a y
a y a x a
a a a y y a
a x y a
(Vì
1
a nên rút gọn ta có y = 2) Hệ pt ln có nghiệm (x; y) = (a; 2)
Xét: A = 22 24
3
y
x a
, ta có: a
2
+ (a)
2
4
3
a
(a) < A
Mà A Z nên A = a2 + = a2 = 1
a a
Vậy a = a = -1 thỏa mãn đề
Lƣu ý: Đối với toán tìm a để biểu thức A nhận giá trị nguyên ta tìm khoảng giá trị biểu thức A, tìm giá trị nguyên A khoảng thay vào tìm a Phân biệt với tốn tìm a số ngun để A nhận giá trị ngun có a2 + Ư(4)
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình
2
m x y m
x m y m
(m tham số) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm Khi đó, hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m
Giải:
Với m = 0, ta có hệ:
y x
Hệ có nghiệm Với m 0, hệ phương trình có nghiệm
1
m m
m
2
m 1 Vậy với m 1 hệ phương trình có nghiệm
2 2
3
3 1
3
2
3
m x
y m x m y m x m
m x y m m
x m m x m m m x m m
x m y m m
y m
m
1
1
2
2
1
m
x x
m m
m
y y
m m
Cộng hai vế hai phương trình ta khử tham số m Hệ thức cần tìm x + y = -3
Bài tập 1: Cho hệ phương trình 2
3
x
m x y m
(m tham số) Tìm m để x + y nhỏ Hƣớng dẫn:
2 2
2 2
3 3
x x x
m x y m m y m y m m
Hệ phương trình có nghiệm với m
Ta có: A = x + y = m2 – 2m + = (m – 1)2 + m Vậy giá trị nhỏ x + y m =
Bài tập 2: Cho hệ phương trình
2
x y m
x y m
(6)Hƣớng dẫn:
3
2 2
x y m x y m x m
x y m x y m y m
Theo đề bài: x2
+ y2 = 13 2m2 + 2m + = 13 m2 + m – = m = m = -3 IV Vài ứng dụng hpt bậc hai ẩn:
1/ Viết phƣơng trình đƣờng thẳng qua hai điểm A B: Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(xA; yA) B(xB ;yB)
Nếu xA= xB = m pt đt cần viết x = m
Nếu xA xB yA = yB= k pt đt cần viết y = k
Nếu xA xB yA yB Gọi phương trình đường thẳng (d): y = ax + b
Lần lượt thay tọa độ A B vào y = ax + b ta hệ Giải hệ tìm a, b kết luận Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết pt đt qua A B trường hợp sau: a/ A(-2; 9) B(-2; -1) b/ A(-2; 3) B(1; 3) c/ A(1; 1) B(-2; -8) Hƣớng dẫn:
a/ A (-2; 9) B(-2; -1)
Vì xA= xB = -2 phương trình đường thẳng cần viết x = -2
b/ A (-2; 3) B(1; 3)
Vì xA xB yA= yB= phương trình đường thẳng cần viết y =
c/ A (1; 1) B(-2; -8)
Gọi phương trình đường thẳng (d) là: y = ax + b
Lần lượt thay tọa độ A B vào y = ax + b ta hệ
2
a b a b
Giải hệ a = b = -2 Vậy phương trình đường thẳng AB y = 3x – Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho A (-2; -4); B(1; -1) C( m2
; -m) Hãy tìm m để A; B; C thẳng hàng Hƣớng dẫn:
Viết phương trình đường thẳng AB (ĐS: y = x – 2)
Để A; B; C thẳng hàng C phải thuộc đường thẳng AB -m = m2 – m2 + m – = (m – 1)(m + 2) = m = m = -2 Bài tập: Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1; 3); B(1; -1); C(-2; 5) D(m; -m2) a/ Viết phương trình đường thẳng AB
b/ Chứng tỏ A; B; C thẳng hàng c/ Tìm m để D; B; C thẳng hàng
2/ Tìm tọa độ giao điểm hai đƣờng thẳng mặt phẳng Oxy:
Phƣơng pháp: Trong mp Oxy, tọa độ giao điểm hai đt nghiệm hpt gồm pt hai đt Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng( d1): y = x + 1; ( d2): x + y = 5; ( d3): 2x + 3y = 13
a/ Tìm tọa độ giao điểm (d1) (d2)
b/ Chứng tỏ đường thẳng cho đồng quy Hƣớng dẫn:
a/ Gọi A(x; y) giao điểm (d1) (d2) Ta có:
1
y x x y
Giải nghiệm (x = 2; y = 3) Vậy giao điểm (d1) (d2) A(2; 3)
b/ Thay tọa độ điểm A vào pt đt d3 được: 2 + 3 = 13 (đúng) Vậy đường thẳng cho đồng quy A
Bài tập: Trong mp Oxy cho đt (d1): y = x + 4; (d2): x + 2y = 5; (d3): m2x + my = -2
a) Tìm tọa độ giao điểm (d1) (d2)
b) Tìm m để đường thẳng cho đồng quy
3/ Tìm hai hệ số đa thức thỏa mãn hai điều kiện toán: Ví dụ: Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2
+ bx – chia hết cho 4x – x + Nhắc lại: Nếu f(x) chia hết cho ax + b
f(-a b
) =
Hƣớng dẫn: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên:
0 ) (
0 ) (
f f
0 3 18
0
b a
b a
(7)Bài tập: Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = Hƣớng dẫn:
) (
6 ) (
f f
4 2
b a
b a
3
b a
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1: Hệ phương trình sau:
4
x y x y
A có nghiêm B vơ nghiệm C có vơ số nghiệm D có hai nghiệm Câu 2: Cho hpt bậc hai ẩn x, y:
' ' '
a x b y c a x b y c
Trên mptđ, gọi (d) đt ax + by = c (d’) đt a’x + b’y = c’ Khẳng định sai?
A Nếu (d) cắt (d’) hệ có nghiệm B Nếu (d) // (d’) hệ có vơ số nghiệm C Nếu (d) trùng với (d’) hệ vơ nghiệm D Nếu (d) // (d’) hệ vơ nghiệm
Câu 3: Cho hai đt (d): 3x – 2y = 26 (d’): 2x + 6y + = Hai đt d d’ cắt điểm có: A hồnh độ ngun B tung độ nguyên C tọa độ nguyên D hồnh độ tung độ khơng ngun Câu 4: Biết đường thẳng (d): y = ax + b qua A(1; -1) B(-2; -7) giá trị a b là:
A 2; -3 B -2; C -2; D -3;
Câu 5: Biết hai đt: 4x – 2y = m x + 3y = m – cắt điểm trục tung Vậy điểm có tung độ bằng? A B -0,2 C D 0,4
Trả lời:
Câu