Đang tải... (xem toàn văn)
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập ph−ơng trình bậc hai nhờ nghiệm của ph−¬ng tr×nh bËc hai cho tr−íc.. LËp ph−¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lμ.[r]
(1)ÔN thi vμo lớp 10 theo Chuyên đề Môc lôc Môc lôc Phần I: đại số Chuyên đề 1: Căn thức Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức D¹ng 3: Bμi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vμ kü n¨ng tÝnh to¸n Chuyên đề 2: Ph−ơng trình bậc hai vμ định lí Viét D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc hai D¹ng 2: Chøng minh ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm, v« nghiÖm .5 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập ph−ơng trình bậc hai nhờ nghiệm ph−ơng trình bậc hai cho tr−íc Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để ph−ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm ph−ơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho tr−ớc D¹ng 6: So s¸nh nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè D¹ng 8: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph−¬ng tr×nh bËc hai Chuyên đề 3: Hệ ph−ơng trình 11 HÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: .11 D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n vμ ®−a ®−îc vÒ d¹ng c¬ b¶n 11 Dạng 2: Giải hệ ph−ơng pháp đặt ẩn phụ 11 Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr−ớc 11 Một số hệ bậc hai đơn giản: 12 Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 12 Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 13 Dạng 3: Hệ bậc hai giải ph−ơng pháp cộng đại số 13 Chuyên đề 4: Hμm số vμ đồ thị 14 Dạng 1: Vẽ đồ thị hμm số .14 D¹ng 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng .14 Dạng 3: Vị trí t−ơng đối đ−ờng thẳng vμ parabol 15 Chuyên đề 5: Giải bμi toán cách lập ph−ơng trình, hệ ph−ơng trình .15 Dạng 1: Chuyển động (trên đ−ờng bộ, trên đ−ờng sông có tính đến dòng n−ớc chảy) 15 D¹ng 2: To¸n lμm chung lμn riªng (to¸n vßi n−íc) .16 Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm 16 D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc 16 D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè 16 Chuyên đề 6: Ph−ơng trình quy ph−ơng trình bậc hai 17 D¹ng 1: Ph−¬ng tr×nh cã Èn sè ë mÉu 17 D¹ng 2: Ph−¬ng tr×nh chøa c¨n thøc 17 Dạng 3: Ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 17 D¹ng 4: Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng 17 D¹ng 5: Ph−¬ng tr×nh bËc cao 17 PhÇn II: H×nh häc 20 Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình 20 Chuyên đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên đ−ờng tròn .20 Chuyên đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hμng, các đ−ờng thẳng đồng quy 22 Chuyên đề 4: Chứng minh điểm cố định 23 Chuyên đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng vμ chứng minh đẳng thức hình học .24 Chuyên đề 6: Các bμi toán tính số đo góc vμ số đo diện tích .25 Chuyên đề 7: Toán quỹ tích 26 Chuyên đề 8: Một số bμi toán mở đầu hình học không gian 26 WWW.VNMATH.COM Lop10.com (2) www.vnmath.com Phần I: đại số http://www.vnmath.com Chuyên đề 1: Căn thức – Biến đổi thức Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa Bμi 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ các biểu thức sau) 1) 3x 8) x2 2) 2x 9) x2 3) 7x 14 2x 4) 3 x 5) x3 7x 7) x 3x 11) 2x 5x 12) 7x 6) 10) x 5x 13) x 3 3x 5x 6x x 14) 2x x Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức Bμi 1: §−a mét thõa sè vμo dÊu c¨n a) ; b) x (víi x 0); x c) x ; d) (x 5) x ; 25 x e) x Bμi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) ( 28 14 ) ; d) b) ( 10 )( 0,4) ; e) c) (15 50 200 450 ) : 10 ; f) g) 3; 20 14 20 14 ; h) 5; 11 11 7 3 7 3 26 15 26 15 Bμi 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) ( 3 216 ) 82 b) 14 15 ): 1 1 7 c) 15 10 Bμi 4: Thùc hiÖn phÐp tÝnh a) (4 15 )( 10 6) 15 c) 3 3 e) 6,5 12 6,5 12 b) (3 5) (3 5) d) Lop10.com 4 4 7 x2 (3) www.vnmath.com Bμi 5: Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) c) 24 b) 24 52 52 5 5 1 1 3 1 1 3 3 3 3 d) Bμi 6: Rót gän biÓu thøc: a) 13 48 1 1 1 2 3 99 100 Bμi 7: Rót gän biÓu thøc sau: a b b a a) : , víi a 0, b vμ a b ab a b a a a a , víi a vμ a b) a a a a 2a a ; a4 5a (1 4a 4a ) d) 2a c) 3x 6xy 3y 2 e) x y2 Bμi 8: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc a) A x 3x y 2y, x 2 ;y 94 b) B x 12x víi x 4( 1) 4( 1) ; c) C x y , biÕt x x y y 3; d) D 16 2x x 2x x , biÕt 16 2x x 2x x www.VNMATH.com c) b) 48 10 e) E x y y x , biÕt xy (1 x )(1 y ) a D¹ng 3: Bμi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vμ kü n¨ng tÝnh to¸n Bμi 1: Cho biÓu thøc P x 3 x 1 a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu x = 4(2 - ) c) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P a2 a 2a a Bμi 2: XÐt biÓu thøc A a a 1 a a) Rót gän A b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi A c) Tìm a để A = Lop10.com (4) www.vnmath.com d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A 1 x x 2 x 1 x Bμi 3: Cho biÓu thøc C a) Rót gän biÓu thøc C b) TÝnh gi¸ trÞ cña C víi x c) Tính giá trị x để C a 1 a b a b2 a Bμi 4: Cho biÓu thøc M 2 b : 2 a a b a) Rót gän M a b b) TÝnh gi¸ trÞ M nÕu x 2 x 2 (1 x) Bμi 5: XÐt biÓu thøc P x x x 1 a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) T×m gi¸ trÞ l¬n nhÊt cña P Bμi 6: XÐt biÓu thøc Q x 9 x x 1 x 5 x 6 x 2 3 x a) Rót gän Q b) Tìm các giá trị x để Q < c) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị t−ơng ứng Q lμ số nguyên xy x y3 Bμi 7: XÐt biÓu thøc H x y xy : x y xy x y a) Rót gän H b) Chøng minh H ≥ c) So s¸nh H víi H a a : Bμi 8: XÐt biÓu thøc A 1 a a a a a a a) Rót gän A b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a cho A > www.VNMATH.com c) Tìm điều kiện a, b để M < c) TÝnh c¸c gi¸ trÞ cña A nÕu a 2007 2006 Bμi 9: XÐt biÓu thøc M 3x 9x x 1 x 2 x x 2 x 1 x a) Rót gän M b) Tìm các giá trị nguyên x để giá trị t−ơng ứng M lμ số nguyên Bμi 10: XÐt biÓu thøc P 15 x 11 x 2 x x x 1 x x 3 a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x cho P c) So s¸nh P víi Lop10.com (5) www.vnmath.com Chuyên đề 2: Ph−ơng trình bậc hai vμ định lí Viét Bμi 1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh 1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ; 3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ; 5) x – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ; 8) x2 + x + = (x + 1) ; 7) x2 + 2 x + = 3(x + ) ; 9) x2 – 2( - 1)x - = Bμi 2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + 3) x2 – (1 + )x + = ; =0; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 10) x2 – 10x + 21 = 9) x2 – 12x + 27 = ; www.VNMATH.com D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc hai D¹ng 2: Chøng minh ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm, v« nghiÖm Bμi 1: Chøng minh r»ng c¸c ph−¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm 1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3+m=0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = Bμi 2: a) Chøng minh r»ng víi a, b , c lμ c¸c sè thùc th× ph−¬ng tr×nh sau lu«n cã nghiÖm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c ph©n biÖt th× ph−¬ng tr×nh sau cã hai nghiÖm 1 (Èn x) ph©n biÕt: xa xb xc c) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = v« nghiÖm víi a, b, c lμ độ dμi ba cạnh tam giác d) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh bËc hai: (a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt Bμi 3: a) Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét c¸c ph−¬ng tr×nh bËc hai sau ®©y cã nghiÖm: ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) b) Cho bèn ph−¬ng tr×nh (Èn x) sau: x2 + 2ax + 4b2 = (1) x2 - 2bx + 4a2 = (2) 2 x - 4ax + b = (3) 2 x + 4bx + a = (4) Chøng minh r»ng c¸c ph−¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm Lop10.com (6) www.vnmath.com c) Cho ph−¬ng tr×nh (Èn x sau): 2b b c x 0 bc ca 2c c a bx x 0 ca ab 2a a b 0 x cx ab bc ax (1) (2) (3) Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập ph−ơng trình bậc hai nhờ nghiệm ph−¬ng tr×nh bËc hai cho tr−íc Bμi 1: Gäi x1 ; x2 lμ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: x2 – 3x – = TÝnh: 2 A x1 x ; C B x1 x ; 1 ; x1 x D 3x1 x 3x x1 ; E x1 x ; F x1 x 1 vμ x1 x2 LËp ph−¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lμ Bμi 2: Gäi x1 ; x2 lμ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: 5x2 – 3x – = Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh, tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: 3 A 2x1 3x1 x 2x 3x1x ; 1 x x1 x x ; B x x x1 x1 x1 x www.VNMATH.com víi a, b, c lμ c¸c sè d−¬ng cho tr−íc Chøng minh r»ng c¸c ph−¬ng tr×nh trªn cã Ýt nhÊt mét ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm Bμi 4: a) Cho ph−¬ng tr×nh ax2 + bx + c = Biết a ≠ vμ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh ph−ơng trình đã cho có hai nghiệm b) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm nÕu mét hai ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ m·n: a(a + 2b + 4c) < ; 5a + 3b + 2c = 3x 5x1x 3x C 2 4x1x 4x1 x Bμi 3: a) Gäi p vμ q lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai: 3x2 + 7x + = Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh h·y thμnh lËp ph−¬ng tr×nh bËc hai víi hÖ sè b»ng sè mμ c¸c nghiÖm cña nã lμ p q vμ q 1 p 1 b) LËp ph−¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lμ 1 vμ 10 72 10 Bμi 4: Cho ph−¬ng tr×nh x2 – 2(m -1)x – m = a) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh lu«n lu«n cã hai nghiÖm x1 ; x2 víi mäi m Lop10.com (7) www.vnmath.com b) Víi m ≠ 0, lËp ph−¬ng tr×nh Èn y tho¶ m·n y1 x1 1 vμ y x x2 x1 Bμi 5: Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh 3x2 + 5x – = H·y tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: x1 x A 3x1 2x 3x 2x1 ; B ; x x1 x1 x x1 x2 Bμi 6: Cho ph−¬ng tr×nh 2x – 4x – 10 = cã hai nghiÖm x1 ; x2 Kh«ng gi¶i ph−¬ng tr×nh h·y thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 Bμi 7: Cho ph−¬ng tr×nh 2x2 – 3x – = cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: D x1 y x2 y x a) b) x2 y x y x Bμi 8: Cho ph−¬ng tr×nh x + x – = cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: x1 x y1 y x x y y x x 2 a) ; b) y y y y 2 5x 5x 3x 3x y y Bμi 9: Cho ph−¬ng tr×nh 2x2 + 4ax – a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x1 ; x2 H·y lËp ph−¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 ; y2 tho¶ m·n: 1 1 y1 y vμ x1 x x1 x y1 y Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để ph−ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiÖm Bμi 1: a) Cho ph−¬ng tr×nh (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (Èn x) Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép nμy b) Cho ph−¬ng tr×nh (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + = Tìm m để ph−ơng trình có nghiệm a) Cho ph−¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2mx + m – = - Tìm điều kiện m để ph−ơng trình có nghiệm - Tìm điều kiện m để ph−ơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó b) Cho ph−¬ng tr×nh: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = Tìm a để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt Bμi 2: a) Cho ph−¬ng tr×nh: www.VNMATH.com C x1 x2 ; 4x 22m 1x m2 m 2 x 2x x 1 Xác định m để ph−ơng trình có ít nghiệm b) Cho ph−¬ng tr×nh: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = X¸c Lop10.com (8) www.vnmath.com định m để ph−ơng trình có ít nghiệm nghiÖm x1 ; x2 cho biÓu thøc R www.VNMATH.com Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm ph−ơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn ®iÒu kiÖn cho tr−íc Bμi 1: Cho ph−¬ng tr×nh: x – 2(m + 1)x + 4m = 1) Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó 2) Xác định m để ph−ơng trình có nghiệm Tính nghiệm còn lại 3) Víi ®iÒu kiÖn nμo cña m th× ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng dÊu (tr¸i dÊu) 4) Víi ®iÒu kiÖn nμo cña m th× ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm cïng d−¬ng (cïng ©m) 5) Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm cho nghiệm nμy gấp đôi nghiệm 6) Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 7) Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận gi¸ trÞ nhá nhÊt Bμi 2: Định m để ph−ơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx – (m – 4)x + 2m = ; 2(x12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x12 + x22) = 5x12x22 3x1x2 – 5(x1 + x2) + = d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; Bμi 3: Định m để ph−ơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã ra: a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x1 – 3x2 = 2 b) x – 4mx + 4m – m = ; x1 = 3x2 c) mx + 2mx + m – = ; 2x1 + x2 + = 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = ; x1 = x22 e) x + (2m – 8)x + 8m = ; x1 = x22 f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x12 + x2 = Bμi 4: a) Cho ph−ơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm nμy gấp đôi nghiệm b) Ch− ph−ơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để ph−ơng trình có hai 2x1x đạt giá trị lớn Tìm x1 x 2(1 x1x ) giá trị lớn đó c) Định m để hiệu hai nghiệm ph−ơng trình sau đây mx2 – (m + 3)x + 2m + = Bμi 5: Cho ph−¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần vμ đủ để ph−ơng trình có hai nghiệm mμ nghiệm nμy gấp đôi nghiệm lμ 9ac = 2b2 Bμi 6: Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vμ đủ để ph−ơng trình có hai nghiệm mμ nghiệm nμy gấp k lần nghiệm (k > 0) lμ : kb2 = (k + 1)2.ac D¹ng 6: So s¸nh nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai víi mét sè Bμi 1: a) Cho ph−ơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để ph−ơng trình có hai nghiÖm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 < b) Cho ph−ơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để ph−ơng trình có hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 tho¶ m·n: - < x1 < x2 < Bμi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + a) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh f(x) = cã nghiÖm víi mäi m Lop10.com (9) www.vnmath.com b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để ph−ơng trình f(x) = cã hai nghiÖm lín h¬n Bμi 3: Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = a) Víi gi¸ trÞ nμo cña tham sè a, ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp TÝnh c¸c nghiÖm kÐp b) Xác định a để ph−ơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn – Bμi 4: Cho ph−¬ng tr×nh: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = a) Tìm giá trị m để ph−ơng trình có nghiệm nhỏ vμ nghiệm lớn b) Tìm giá trị m để ph−ơng trình có hai nghiệm nhỏ Bμi 5: Tìm m để ph−ơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x1 ≤ - ≤ x2 c) Tìm m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: www.VNMATH.com D¹ng 7: T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc hai kh«ng phô thuéc tham sè Bμi 1: a) Cho ph−¬ng tr×nh: x2 – mx + 2m – = T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vμo tham sè m b) Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vμo tham sè m c) Cho ph−ơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để ph−ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí các nghiệm hai số – vμ Bμi 2: Cho ph−¬ng tr×nh bËc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vμo tham sè m Bμi 3: Cho ph−¬ng tr×nh: x2 – 2mx – m2 – = a) Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm x1 , x2 víi mäi m b) T×m biÓu thøc liªn hÖ gi÷a x1 ; x2 kh«ng phô thuéc vμo m x1 x x x1 Bμi 4: Cho ph−¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = a) Gi¶i vμ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh theo m b) Khi ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - T×m m cho |x1 – x2| ≥ Bμi 5: Cho ph−¬ng tr×nh (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chøng minh r»ng nÕu ph−¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + = D¹ng 8: Mèi quan hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña hai ph−¬ng tr×nh bËc hai KiÕn thøc cÇn nhí: 1/ Định giá trị tham số để ph−ơng trình nμy có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh kia: XÐt hai ph−¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (1) a’x2 + b’x + c’ = (2) đó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vμo tham số m Định m để cho ph−ơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm ph−¬ng tr×nh (1), ta cã thÓ lμm nh− sau: i) Gi¶ sö x0 lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) th× kx0 lμ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (2), suy hÖ ph−¬ng tr×nh: Lop10.com (10) www.vnmath.com ax bx c 2 a' k x b' kx c' (*) (3) ( 4) Gi¶i hÖ trªn ta tÞm ®−îc gi¸ trÞ cña tham sè ii) Tr−ờng hợp hai ph−ơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau: Δ (3) Δ (4) S(3) S(4) P P (4) (3) Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ ph−ơng trình (*) có thể đ−a hệ ph−ơng trình bậc Èn nh− sau: bx ay c b' x a' y c' www.VNMATH.com Giải hệ ph−ơng trình trên ph−ơng pháp cộng đại số để tìm m ii) Thay các giá trị m vừa tìm đ−ợc vμo hai ph−ơng trình (1) vμ (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai ph−ơng trình bậc hai t−ơng đ−ơng với XÐt hai ph−¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4) Hai ph−¬ng tr×nh (3) vμ (4) t−¬ng ®−¬ng víi vμ chØ hai ph−¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm (kÓ c¶ tËp nghiÖm lμ rçng) Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai ph−ơng trình bậc hai t−ơng đ−ơng với ta xÐt hai tr−êng hîp sau: i) Tr−êng hîp c¶ hai ph−¬ng trinhg cuïng v« nghiÖm, tøc lμ: §Ó gi¶i quyÕt tiÕp bμi to¸n, ta lμm nh− sau: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - T×m m tho¶ m·n y = x2 - KiÓm tra l¹i kÕt qu¶ Bμi 1: Tìm m để hai ph−ơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 4x2 – (9m – 2)x + 36 = Bμi 2: Với giá trị nμo m thì hai ph−ơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = Bμi 3: XÐt c¸c ph−¬ng tr×nh sau: ax2 + bx + c = (1) cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c lμ điều kiện cần vμ đủ để hai ph−ơng trình trên có nghiệm chung nhÊt Bμi 4: Cho hai ph−¬ng tr×nh: x2 – 2mx + 4m = (1) x2 – mx + 10m = (2) Tìm các giá trị tham số m để ph−ơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) 10 Lop10.com (11) www.vnmath.com Bμi 5: Cho hai ph−¬ng tr×nh: Chuyên đề 3: Hệ ph−ơng trình A - HÖ hai ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: D¹ng 1: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n vμ ®−a ®−îc vÒ d¹ng c¬ b¶n Bμi 1: Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh 3x 2y 4x 2y 2x 3y 1) ; 2) ; 3) 2x y 6x 3y 4x 6y 10 3x 4y 2x 5y 4x 6y 4) ; 5) ; 6) 5x 2y 14 3x 2y 14 10x 15y 18 Bμi 2: Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau: 2x - 32y 4 4x y 3 54 3x 2y 3 6xy 1) ; 2) ; x 13y 3 3yx 1 12 4x 5y 5 4xy 7x 5y - y 27 2y - 5x 2x x 3y 8 3) ; 4) 6x - 3y 10 x y 6y 5x 5x 6y Dạng 2: Giải hệ ph−ơng pháp đặt ẩn phụ Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau 3y 3x x 1 x 2y y 2x x 1 y x 1 y 1) ; 2) ; 3) ; 2x 5 1 9 4 x 2y y 2x x y x y 2 x 2x y 4) ; 3 x 2x y www.VNMATH.com x2 + x + a = x2 + ax + = a) Tìm các giá trị a hai ph−ơng trình trên có ít nghiệm chung b) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nμo cña a th× hai ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng Bμi 6: Cho hai ph−¬ng tr×nh: x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai ph−ơng trình có ít nghiệm chung b) Định m để hai ph−ơng trình t−ơng đ−ơng c) Xác định m để ph−ơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bμi 7: Cho c¸c ph−¬ng tr×nh: x2 – 5x + k = (1) x2 – 7x + 2k = (2) Xác định k để các nghiệm ph−ơng trình (2) lớn gấp lần các nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) 5 x y 5) 2 4x 8x y 4y 13 Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr−ớc Lop10.com 11 (12) www.vnmath.com Bμi 1: a) Định m vμ n để hệ ph−ơng trình sau có nghiệm lμ (2 ; - 1) b) §Þnh a vμ b biÕt ph−¬ng tr×nh: ax2 - 2bx + = cã hai nghiÖm lμ x = vμ x = -2 Bμi 2: Định m để đ−ờng thẳng sau đồng quy: a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – Bμi 3: Cho hÖ ph−¬ng tr×nh mx 4y 10 m (m lμ tham sè) x my a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh m = b) Gi¶i vμ biÖn luËn hÖ theo m c) Xác định các giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y > d) Víi gi¸ trÞ nguyªn nμo cña m th× hÖ cã nghiÖm (x ; y) víi x, y lμ c¸c sè nguyªn d−¬ng e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ (c©u hái t−¬ng tù víi S = xy) f) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) th× ®iÓm M(x ; y) lu«n n»m trªn đ−ờng thẳng cố định m nhận các giá trị khác m 1x my 3m 2x y m Bμi 4: Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: a) Gi¶i vμ biÖn luËn hÖ theo m b) Víi c¸c gi¸ trÞ nguyªn nμo cña m th× hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mμ P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2) e) Chøng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) th× ®iÓm D(x ; y) lu«n lu«n n»m trên đ−ờng thẳng cố định m nhận các giá trị khác x my mx 2y Bμi 5: Cho hÖ ph−¬ng tr×nh: a) Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh trªn m = b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mμ x > vμ y < c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mμ x, y lμ các số nguyên d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mμ S = x – y đạt giá trị lớn www.VNMATH.com 2mx n 1y m n m x 3ny 2m B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I x y xy 11 VÝ dô: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 2 x y 3x y 28 Bμi tËp t−¬ng tù: Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau: Lop10.com 12 (13) www.vnmath.com x y x y 1) x y xy x xy y 2) x xy y xy x y 19 3) 2 x y xy 84 x 1y 1 5) x x 1 yy 1 xy 17 x 3xy y 1 4) 3x xy 3y 13 x y 10 6) x y xy 1 x xy y 7) x y x xy y 19x y 2 8) x xy y 7x y x y 2 x y 9) 5 x y 5xy x y y x 30 10) x x y y 35 Dạng 2: Hệ đối xứng loại II x 2y VÝ dô: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh y x Bμi tËp t−¬ng tù: Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau: x 3y 1) y 3x x y y 2) xy x x 2x y 3) y 2y x x xy y 4) x xy y y x 3y x 6) y 3x x y x 2y 2x y 5) y 2x 2y x 2x y x 7) 2y x y x 3x y 9) y 3y x x 3x 8y 8) y 3y 8x www.VNMATH.com x 7x 3y 10) y 7y 3x Dạng 3: Hệ bậc hai giải ph−ơng pháp cộng đại số Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh sau: Lop10.com 13 (14) www.vnmath.com x y 1) x xy x xy y 12 2) xy x y 2 xy x x 4 3) x xy y x 2 x y 2 3 x y 5) x y x y 7) 2 y x 2 x y xy 9) 2 x y xy y 3x 2y 36 11) x y 3 18 x y xy 11 4) xy y x x y 8) x y 2x 3y 10) 2 x y 40 xy 2x y 12) xy 3x 2y xy x y 13) xy 3x y x y 4x 4y 14) x y 4x 4y 5 x y 3 x y 6) 2 x y 12 x x 8 3yy 1 6 15) 2x x 8 5yy 1 14 Chuyên đề 4: Hμm số vμ đồ thị Dạng 1: Vẽ đồ thị hμm số Bμi 1: Vẽ đồ thị các hμm số sau: a) y = 2x – ; Bμi 2: Vẽ đồ thị hμm số y = ax2 khi: a) a = ; b) y = - 0,5x + b) a = - D¹ng 2: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng B×a 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) biÕt: a) (d) ®i qua A(1 ; 2) vμ B(- ; - 5) b) (d) ®i qua M(3 ; 2) vμ song song víi ®−êng th¼ng () : y = 2x – 1/5 c) (d) ®i qua N(1 ; - 5) vμ vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng (d’): y = -1/2x + d) (d) ®i qua D(1 ; 3) vμ t¹o víi chiÒu d−¬ng trôc Ox mét gãc 300 e) (d) qua E(0 ; 4) vμ đồng quy với hai đ−ờng thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x t¹i mét ®iÓm g) (d) qua K(6 ; - 4) vμ cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dμi) www.VNMATH.com Bμi 2: Gäi (d) lμ ®−êng th¼ng y = (2k – 1)x + k – víi k lμ tham sè a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6) b) Định k để (d) song song với đ−ờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vuông góc với đ−ờng thẳng x + 2y = d) Chøng minh r»ng kh«ng cã ®−êng th¼ng (d) nμo ®i qua ®iÓm A(-1/2 ; 1) e) Chứng minh k thay đổi, đ−ờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định Lop10.com 14 (15) www.vnmath.com Dạng 3: Vị trí t−ơng đối đ−ờng thẳng vμ parabol Bμi 1: a) Biết đồ thị hμm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a vμ vẽ đồ thị (P) đó b) Gọi A vμ B lμ hai điểm lần l−ợt trên (P) có hoμnh độ lần l−ợt lμ vμ - Tìm toạ độ A vμ B từ đó suy ph−ơng trình đ−ờng thẳng AB Bμi 2: Cho hμm sè y x a) Khảo sát vμ vẽ đồ thị (P) hμm số trên b) LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) qua A(- 2; - 2) vμ tiÕp xóc víi (P) Bμi 3: Trong cïng hÖ trôc vu«ng gãc, cho parabol (P): y x vμ ®−êng th¼ng (D): y = mx - 2m - 1 Bμi 4: Cho hμm sè y x www.VNMATH.com a) Vẽ độ thị (P) b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P) c) Chứng tỏ (D) luôn qua điểm cố định A thuộc (P) a) Vẽ đồ thị (P) hμm số trên b) Trên (P) lấy hai điểm M vμ N lần l−ợt có hoμnh độ lμ - 2; Viết ph−ơng trình ®−êng th¼ng MN c) Xác định hμm số y = ax + b biết đồ thị (D) nó song song với đ−ờng thẳng MN vμ chØ c¾t (P) t¹i mét ®iÓm Bμi 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) vμ đ−ờng thẳng (D): y = kx + b 1) T×m k vμ b cho biÕt (D) ®i qua hai ®iÓm A(1; 0) vμ B(0; - 1) 2) T×m a biÕt r»ng (P) tiÕp xóc víi (D) võa t×m ®−îc ë c©u 1) 3)VÏ (D) vμ (P) võa t×m ®−îc ë c©u 1) vμ c©u 2) 4) Gäi (d) lμ ®−êng th¼ng ®i qua ®iÓm C ;1 vμ cã hÖ sè gãc m 2 a) ViÕt ph−¬ng tr×nh cña (d) b) Chøng tá r»ng qua ®iÓm C cã hai ®−êng th¼ng (d) tiÕp xóc víi (P) (ë c©u 2) vμ vu«ng gãc víi Chuyên đề 5: Giải bμi toán cách lập ph−ơng trình, hệ ph−ơng trình Dạng 1: Chuyển động (trên đ−ờng bộ, trên đ−ờng sông có tính đến dòng n−ớc chảy) Bμi 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đ−ờng AB vμ thời gian dự định lúc đầu Bμi 2: Một ng−ời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định tr−ớc Sau ®−îc quãng đ−ờng AB ng−ời đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đ−ờng còn lại Tìm vận tốc dự định vμ thời gian xe lăn bánh trên đ−ờng, biết ng−ời đó đến B sớm dự định 24 phút Bμi 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ng−îc tõ B trë vÒ A Thêi gian xu«i Ýt h¬n thêi gian ®i ng−îc giê 20 phót TÝnh 15 Lop10.com (16) www.vnmath.com kho¶ng c¸ch gi÷a hai bÕn A vμ B BiÕt r»ng vËn tèc dßng n−íc lμ km/h vμ vËn tèc riªng cña can« lóc xu«i vμ lóc ng−îc b»ng Bμi 4: Mét can« xu«i mét khóc s«ng dμi 90 km råi ng−îc vÒ 36 km BiÕt thêi gian xu«i dßng s«ng nhiÒu h¬n thêi gian ng−îc dßng lμ giê vμ vËn tèc xu«i dßng h¬n vËn tèc ng−îc dßng lμ km/h Hái vËn tèc can« lóc xu«i vμ lóc ng−îc dßng D¹ng 2: To¸n lμm chung lμn riªng (to¸n vßi n−íc) Bμi 1: Hai ng−êi thî cïng lμm chung mét c«ng viÖc giê 12 phót th× xong NÕu ng−êi thø nhÊt lμm giê vμ ng−êi thø hai lμm giê th× c¶ hai ng−êi chØ lμm ®−îc công việc Hỏi ng−ời lμm công việc đó thì xong? Bμi 2: giê vμ vßi B ch¶y giê 30 phót th× ®−îc hå NÕu vßi A ch¶y www.VNMATH.com NÕu vßi A ch¶y giê vμ vßi B ch¶y giê th× ®−îc hå Hái nÕu ch¶y mét m×nh mçI vßi ch¶y bao l©u míi ®Çy hå Bμi 3: Hai vßi n−íc cïng ch¶y vμo mét bÓ th× sau giê ®Çy bÓ NÕu mçi vßi ch¶y mét m×nh cho ®Çy bÓ th× vßi II cÇn nhiÒu thêi gian h¬n vßi I lμ giê TÝnh thêi gian mçi vßi ch¶y mét m×nh ®Çy bÓ? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm Bμi 1: Trong th¸ng giªng hai tæ s¶n xuÊt ®−îc 720 chi tiÕt m¸y Trong th¸ng hai, tæ I v−ît møc 15%, tæ II v−ît møc 12% nªn s¶n xuÊt ®−îc 819 chi tiÕt m¸y TÝnh xem th¸ng giªng mçi tæ s¶n xuÊt ®−îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y? Bμi 2: N¨m ngo¸i tæng sè d©n cña hai tØnh A vμ B lμ triÖu ng−êi D©n sè tØnh A n¨m t¨ng 1,2%, cßn tØnh B t¨ng 1,1% Tæng sè d©n cña c¶ hai tØnh n¨m lμ 045 000 ng−êi TÝnh sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vμ n¨m nay? D¹ng 4: To¸n cã néi dung h×nh häc Bμi 1: Mét khu v−ên h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lμ 280 m Ng−êi ta lμm lèi ®i xung quanh v−ên (thuộc đất v−ờn) rộng m Tính kích th−ớc v−ờn, biết đất còn lại v−ờn để trồng trọt lμ 4256 m2 Bμi 2: Cho mét h×nh ch÷ nhËt NÕu t¨ng chiÒu dμi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2 NÕu gi¶m chiÒu dμi 15 m vμ gi¶m chiÒu réng m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m2 TÝnh chiÒu dμi, chiÒu réng ban ®Çu Bμi 3: Cho mét tam gi¸c vu«ng NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn cm vμ cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm2 NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm2 TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng D¹ng 5: To¸n vÒ t×m sè Bμi 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hμng chục vμ hμng đơn vị cho thì số đó tăng thêm 27 đơn vị 16 Lop10.com (17) www.vnmath.com Bμi 2: Tìm số có hai chữ số, biết số đó gấp lần chữ số hμng đơn vị nó vμ số cÇn t×m chia cho tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× ®−îc th−¬ng lμ vμ sè d− lμ Bμi 3: Nếu tử số phân số đ−ợc tăng gấp đôi vμ mẫu số thêm thì giá trị phân số NÕu tö sè thªm vμ mÉu sè t¨ng gÊp th× gi¸ trÞ ph©n sè b»ng Tìm phân số đó 24 Bμi 4: NÕu thªm vμo tö vμ mÉu cña mét ph©n sè th× gi¸ trÞ cña ph©n sè gi¶m NÕu bít vμo c¶ tö vμ mÉu, ph©n sè t¨ng Tìm phân số đó D¹ng 1: Ph−¬ng tr×nh cã Èn sè ë mÉu Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: x x3 a) 6 x x 1 2x x3 b) 3 x 2x 2 t 2t 5t c) t t 1 t 1 D¹ng 2: Ph−¬ng tr×nh chøa c¨n thøc Lo¹i Lo¹i A (hayB 0) A B A B B AB A B Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) 2x 3x 11 x b) c) 2x 3x x d) x 22 3x 5x 14 x 12x 3 x www.VNMATH.com Chuyên đề 6: Ph−ơng trình quy ph−ơng trình bậc hai e) x 1 x 3x Dạng 3: Ph−ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) x x x b) x 2x x 2x c) x 2x x x x 4x d) x x 4x 3x D¹ng 4: Ph−¬ng tr×nh trïng ph−¬ng Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = c) 2x4 + 5x2 + = ; D¹ng 5: Ph−¬ng tr×nh bËc cao Giải các ph−ơng trình sau cách đ−a dạng tích đặt ẩn phụ đ−a ph−ơng trình bËc hai: Lop10.com 17 (18) www.vnmath.com Bμi 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; Bμi 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) x x x x x2 x 5 3x e) 40 x x x 5 i) 2x 13x 6 2x 5x 2x x c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 1 d) 4 x 16 x 23 x x 21 f) x 4x x 4x 10 x 48 x 4 h) 10 x 3 x k) x 3x x 3x Bμi 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = Bμi tËp vÒ nhμ: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) 2x 1 x b) 2x x2 x c) x4 4x x3 6 x 1 x x 2x 2x d) 8 x2 9 x 3x 2 a) x4 – 34x2 + 225 = c) 9x4 + 8x2 – = e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = b) x4 – 7x2 – 144 = d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = (a ≠ 0) a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = www.VNMATH.com g) 2x 3x 2x 3x 24 b) 2x3 – x2 – 6x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2 a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = a) x3 – x2 – 4x + = c) x3 – x2 + 2x – = e) x3 – 2x2 – 4x – = b) 2x3 – 5x2 + 5x – = d) x3 + 2x2 + 3x – = a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 2x 2x d) 3 4 x2 x2 c) x – 4x – 10 - x 2x 6 = e) x x x 5 x Lop10.com 18 (19) www.vnmath.com a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 1 c) 3 x 16 x 26 x 1 d) 2 x 7 x x x x a) x 4x x 14 b) 2x x x c) 2x 6x x d) x 3x x e) 4x 4x x x f) x x x x b) 4y4 – 2y2 + – 2a = www.VNMATH.com Định a để các ph−ơng trình sau có nghiệm a) x4 – 4x2 + a = c) 2t4 – 2at2 + a2 – = Lop10.com 19 (20) www.vnmath.com PhÇn II: H×nh häc http://www.vnmath.com Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình www.VNMATH.com Bμi 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đ−ờng tròn tâm O D vμ E lần l−ợt lμ điểm chính cña c¸c cung AB vμ AC DE c¾t AB ë I vμ c¾t AC ë L a) Chøng minh DI = IL = LE b) Chøng minh tø gi¸c BCED lμ h×nh ch÷ nhËt c) Chøng minh tø gi¸c ADOE lμ h×nh thoi vμ tÝnh c¸c gãc cña h×nh nμy Bμi 2: Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®−êng trßn cã c¸c ®−êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i I a) Chøng minh r»ng nÕu tõ I ta h¹ ®−êng vu«ng gãc xuèng mét c¹nh cña tø gi¸c th× đ−ờng vuông góc nμy qua trung điểm cạnh đối diện cạnh đó b) Gọi M, N, R, S lμ trung điểm các cạnh tứ giác đã cho Chứng minh MNRS lμ h×nh ch÷ nhËt c) Chøng minh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt nμy ®i qua ch©n c¸c ®−êng vu«ng gãc h¹ tõ I xuèng c¸c c¹nh cña tø gi¸c Bμi 3: Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v) cã AH lμ ®−êng cao Hai ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB vμ AC có tâm lμ O1 vμ O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đ−ờng tròn (O1) vμ (O2) lÇn l−ît t¹i M vμ N a) Chøng minh tam gi¸c MHN lμ tam gi¸c vu«ng b) Tø gi¸c MBCN lμ h×nh g×? c) Gọi F, E, G lần l−ợt lμ trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách ®iÓm E, G, A, H d) Khi c¸t tuyÕn MAN quay xung quanh ®iÓm A th× E v¹ch mét ®−êng nh− thÕ nμo? Bμi 4: Cho h×nh vu«ng ABCD LÊy B lμm t©m, b¸n kÝnh AB, vÏ 1/4 ®−êng trßn phÝa h×nh vu«ng.LÊy AB lμm ®−êng kÝnh , vÏ 1/2 ®−êng trßn phÝa h×nh vu«ng Gäi P lμ ®iÓm tuú ý trªn cung AC ( kh«ng trïng víi A vμ C) H vμ K lÇn l−ît lμ h×nh chiÕu cña P trªn AB vμ AD, PA vμ PB c¾t nöa ®−êng trßn lÇn l−ît ë I vμ M a) Chøng minh I lμ trung ®iÓm cña AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chøng minh PM = PK = AH d) Chøng minh tø gi¸c APMH lμ h×nh thang c©n đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB lμ Chuyên đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng n»m trªn mét ®−êng trßn Bμi 1: Cho hai ®−êng trßn (O), (O') c¾t t¹i A, B C¸c tiÕp tuyÕn t¹i A cña (O), (O') c¾t (O'), (O) lÇn l−ît t¹i c¸c ®iÓm E, F Gäi I lμ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c EAF a) Chøng minh tø gi¸c OAO'I lμ h×nh b×nh hμnh vμ OO'//BI b) Chøng minh bèn ®iÓm O, B, I, O' cïng thuéc mét ®−êng trßn c) KÐo dμi AB vÒ phÝa B mét ®o¹n CB = AB Chøng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp Lop10.com 20 (21)