(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ

(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ(Luận văn thạc sĩ) Một số định lý giới hạn cho bước đi ngẫu nhiên có trí nhớ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Văn Quyết MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Văn Quyết MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN CHO BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH ĐOÀN THÁI SƠN Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Đoàn Thái Sơn thầy Cấn Văn Hảo Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa cơng bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 10 năm 2020 Học viên Nguyễn Văn Quyết LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TSKH Đoàn Thái Sơn TS Cấn Văn Hảo, hai người thầy trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tơi tìm đề tài luận văn định hình hướng nghiên cứu Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thời gian dài hai thầy Các thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo Nghiên cứu Toán học, Viện Tốn học hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm học thạc sỹ Bên cạnh đó, q trình học tập, nghiên cứu thực Luận văn, tơi cịn nhận nhiều quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu thầy cơ, anh chị bạn bè ngồi Viện Tốn học Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập nơi đào tạo Viện Toán học sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam suốt q trình thực Luận văn Đặc biệt, xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè ln sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Danh mục hình vẽ, đồ thị ˆ xây dựng từ bước ngẫu Hình 3.1: Minh họa hai trình X X nhiên đơn giản Z tập J với hai thời điểm reset t1 , t2 40 Hình 3.2: Đồ thị so sánh kết báo [22] .54 Hình 3.3: Kết thực nghiệm dáng điệu M √n n Xn √ n với n = 106 54 Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Danh mục hình vẽ, đồ thị Mục lục Mở đầu Giới thiệu 10 1.1 Sơ lược số kết 10 1.2 Kiến thức chuẩn bị 14 1.2.1 Bước ngẫu nhiên dừng 14 1.2.2 Quá trình tái tạo 17 Bước ngẫu nhiên có trí nhớ cố định 21 2.1 Mơ hình tốn học 21 2.2 Các định lý giới hạn cho Mn Xn 25 2.2.1 Tính chất τ Kn 25 2.2.2 Các định lý giới hạn cho Mn Xn 30 Bước ngẫu nhiên có trí nhớ suy giảm 34 3.1 Một hiệu chỉnh (Xn )n≥0 36 3.2 Dáng điệu tiệm cận E[Xn ] E[Mn ] 40 3.2.1 Pha < a < 44 3.2.2 Điểm chuyển pha a = 48 3.2.3 Pha a > 55 Kết luận kiến nghị 62 Tài liệu tham khảo 63 MỞ ĐẦU Tìm kiếm trình quan trọng mà ta bắt gặp lúc nơi [1, 2, 3, 4] Chẳng hạn động vật tìm kiếm thức ăn, người tìm kiếm đồ vật bị hay tìm kiếm đám đơng Gần đây, vấn đề tìm kiếm thu hút quan tâm lớn cộng đồng vật lý, toán học, khoa học máy tính [5] Một cách tự nhiên phải đưa chiến lược tìm kiếm hiệu Thơng thường tất định ngẫu nhiên Trong chiến lược tất định, người tìm kiếm sử dụng luật tất định (không thay đổi theo thời gian), ví dụ máy xén cỏ, robot lau nhà, Ngược lại, chiến lược tìm kiếm ngẫu nhiên có luật tiến hóa theo ngẫu nhiên Chiến lược tìm kiếm phụ thuộc vào vấn đề xác định hướng đến thuật tốn tìm kiếm tối ưu Chiến lược bật số chúng chiến lược gián đoạn mà trộn cả: bước ngắn (đến lân cận đó) ta tìm kiếm mục tiêu bước dài (nhảy đến vị trí đó) khơng tìm thấy mục tiêu ta nhảy đến nơi khác [6, 7, 8] Các bước ngắn mơ hình đặc trưng khuếch tán bước ngẫu nhiên (bước tới vị trí liền kề) Ngược lại, bước dài thường xảy ra, mang ý nghĩa kí ức định Ví dụ động vật tìm kiếm thức sau thời gian dài mà không hiệu quả, chúng nên quay lại vị trí q khứ tiếp tục Tương tự ta tìm kiếm chìa khóa bị mà khơng thấy, ta nên quay lại tìm từ vị trí tìm kiếm để kiểm tra lại Một ví dụ quan trọng khác mơ máy tính hệ lượng Nó cấu hình ban đầu cố gắng tìm đến vị trí lượng tối thiểu tồn cục Tuy nhiên nhiệt độ thấp, hệ tắc vào tối thiểu địa phương thời gian dài Để tăng tốc độ tìm kiếm, nên dừng q trình quay lại cấu hình ban đầu Trong khoa học máy tính, thuật tốn tiếng Page-rank hay thuật tốn ngẫu nhiên thường bị rơi vào tắc nghẽn thường phải khởi động lại thuật toán [9]-[13] Chiến lược bước dài mơ hình phụ thuộc vào ứng dụng xác định [4], chẳng hạn quay lại Poissonian đến cấu hình ban đầu, quay lại khơng Poissonian, hay quay lại sử dụng trí nhớ khứ Một phương thức bước dài quan trọng quay lại vị trí xác định với xác xuất hữu hạn Khi ta tìm kiếm khơng thành cơng bước ngắn để tốt ta nên khởi động lại trình tiếp tục Sự ảnh hưởng phương thức quay lại ngẫu nhiên nghiên cứu đa dạng [14]-[17] Mơ hình đơn giản tìm kiếm Brownian với quay lại ngẫu nhiên đến vị trí ban đầu giới thiệu Evans and Majumdar [19] Sau mở rộng nghiên cứu theo nhiều cách khác nhau, với nhiều cách quay lại ngẫu nhiên, đa dạng từ hệ đơn hạt hệ nhiều hạt Ví dụ quay lại ngẫu nhiên đến vị trí tốt vị trí ban đầu (có thể chọn ngẫu nhiên) Trong báo [22] năm 2015 tạp chí Physical Review E, tác giả Satya N Majumdar, Sanijb Sabhapandit and Gregory Schehr giới thiệu mơ hình bước ngẫu nhiên lưới Z1 với quay lại (reset đến) vị trí cực đại xác suất cố định r Chiến lược xem kết hợp tìm kiếm tất định tìm kiếm ngẫu nhiên Trong chiến lược tìm kiếm tất định vị trí thăm mà khơng đánh dấu bị lãng qn Nhưng chiến lược này, thăm lại đồng thời ta đến vị trí (bởi quay lại vị trí cực đại) Mơ hình tương tự đến q trình động vật tìm kiếm thức ăn Trong thời gian tìm thức ăn, động vật thường di chuyển theo bước ngẫu nhiên [23]-[24] Một cách tự nhiên, động vật thơng minh (có trí nhớ) thường nhớ lại chỗ đi, thăm lại nơi đến khả có thức ăn cao nơi chưa đến Giả sử thiết lập lưới Z1 , động vật bên cạnh di chuyển ngẫu nhiên theo bước ngắn, thăm lại với xác suất cố định khác đến vị trí cực đại cực tiểu Tuy nhiên, động vật già thường có trí nhớ suy giảm theo thời gian, nghĩa xác suất chúng thăm lại nơi đến giảm dần theo theo thời gian Hiện tượng thú vị yêu cầu cần đưa nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ thay đổi theo thời gian Đặc biệt, cần quan tâm liệu tốc độ suy giảm trí nhớ ảnh hưởng đến hoạt động tìm kiếm Trong Luận văn này, nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ cố định trí nhớ suy giảm theo thời gian Trong báo [22], tác giả tính tốn dáng điệu tiệm cận giá trị kì vọng phương sai phương thức hàm sinh với kỹ thuật tính tốn giải tích phức tạp Trong Chương 2, xây dựng cách tiếp cận khác nhằm hồn chỉnh nghiên cứu mơ hình Từ đó, chúng tơi đạt kết mà tác giả đưa đồng thời thu định lý giới hạn quan trọng luật mạnh số lớn định lý giới hạn trung tâm thông thường Ở Chương 3, đề xuất mơ hình hồn chỉnh cho bước ngẫu nhiên có trí nhớ giảm dần theo thời gian Chúng ta thấy chuyển pha theo tốc độ suy giảm trí nhớ dáng điệu tiệm cận kì vọng bước ngẫu nhiên Chương dành để trình bày sơ lược mơ hình kết kiến thức chuẩn bị 53 Cuối cùng, theo Bổ đề 3.1.1 ta có ˆ n |], E[|Mn − M ˆ n |]} ≤ E[|J ∩ [1, n]|] max{E[|Xn − X n n (rj −1 ∧ ) j=1 j=1 √ = O(log(n)) = o( n) = rj = Kết hợp với Hệ 3.2.6, ta thu E[Xn ] √ = 2r2 n→∞ n lim B(3/2, r) π (3.2.45) E[Mn ] √ = (2r2 + r) n→∞ n lim B(3/2, r) π (3.2.46) Do Định lý 3.0.1 chứng minh cho điểm chuyển pha a = Nhận xét 3.2.7 Các tác giả báo [22] đưa hàm tỷ lệ ] E[X ] √ n FX (1, r) = limn→∞ √ n (tương ứng công thức FM (1, r) = limn→∞ E[M n n tường minh fm (r) fx (r) (124) (132)) Dáng điệu tiệm cận hàm họ công thức (125) (133) Các ước lượng mà đưa r → ∞ gấp hai lần kết tác giả (xem (3.0.3), (3.0.4) (3.0.5)) Hơn nữa, Hình 3.2, ta thấy r → 0, hai kết giống Nhưng r → ∞ chúng khác rõ rệt, dường kết gấp đôi giá trị báo đưa Mặt khác, dựa kết mơ (xem Hình 3.3), kết chứng minh lý thuyết hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm 54 (a) Dáng điệu FM (1, r) (b) Dáng điệu FX (1, r) (đường màu đỏ) báo [22] (đường màu đỏ) báo [22] (đường màu xanh) (đường màu xanh) Hình 3.2: Đồ thị so sánh kết báo [22] (a) Dáng điệu (b) Dáng điệu M √n n Hình 3.3: Kết thực nghiệm dáng điệu M √n n Xn √ n Xn √ n với n = 106 55 3.2.3 Pha a > Khi a > tốc độ suy giảm rn nhanh, từ dự đốn n đủ lớn, dáng điệu tiệm cận E[Xn ] E[Mn ] gần √ giống bước ngẫu nhiên đơn giản thông thường, cụ thể E[Mn ] cỡ n E[Xn ] = o(E[Mn ]) Đầu tiên nhắc lại rằng, với a > 1,    −a n < a < 23 ,    ϕa (n) = log n a = 32 ,     1 a > 32 Bổ đề 3.2.8 Các khẳng định sau nghiệm (i) h(j) lim √ = λ1 (a, r) := j→∞ j (ii) π ∞ ∞ (1 − rs ) ri i=1 s=i+1 E[g(t1 )I(t1 ≤ n)] = λ2 (a, r), n→∞ ϕa (n) lim với λ2 (a, r) định nghĩa (3.2.56) (iii) E[h(t1 )I(t1 ≤ n)] = λ3 (a, r), n→∞ ϕa (n) lim với λ3 (a, r) định nghĩa (3.2.58) (iv) lim n→∞ n j=1 h(j)rj ϕa (n) = λ4 (a, r), với λ4 (a, r) định nghĩa (3.2.59) (v) g(n + 1)P(t1 > n) √ = λ5 (a, r), n→∞ n lim với λ5 (a, r) định nghĩa (3.2.60) (3.2.47) 56 Chứng minh Giới hạn (i) hc (j) lim √ = λ1 (a, r), n→∞ j với (3.2.48) j−1 hc (j) = g(k)Pj,k k=j−log j j−log2 j g(k)Pj,k = o( j) (3.2.49) k=1 Bởi Bổ đề 3.2.1, g(k) = ( √ 2/π + o(1)) k, ta có j đủ lớn, j−1 hc (j) = ( 2/π + o(1)) j Pj,k k=j−log2 j j−1 k−1 (1 − rj−l ) rj−k 2/π + o(1)) j = ( k=j−log2 j log2 j = ( 2/π + o(1)) j j−1 (1 − rs ) ri i=1 ∞ = ( l=1 2/π + o(1)) j s=i+1 ∞ (1 − rs ) ri i=1 s=i+1 = (λ1 (a, r) + o(1)) j Trong dòng cuối ta sử dụng xấp xỉ log2 j j−1 log j ≤ s=i+1 j−1 ∞ s=i+1 log j ≤ ∞ (1 − rs ) s=i+1 (1 − rs ) s=j + + ri i=j ∞ ri i=j ∞ ∞ ri − i=1 s=i+1 (1 − rs ) − (1 − rs ) ri i=1 ri i=1 ∞ (1 − rs ) − ri i=1 ∞ (1 − rs ) s=i+1 57 log2 j ≤ ∞ ri i=1 tổng chuỗi  ∞ rs + s=j s≥1 rs log2 j ri = 1 +  ∞ ri  i=j rs i=1 = o(1), s=j hội tụ a > Như có (3.2.48) Ước lượng (3.2.49) chứng minh tương tự Bởi Bổ đề 3.2.1, ta có √ g(k) ≤ C k với C > số Hơn nữa, ≤ k ≤ j − log2 j Pj,k ≤ rj−k = r(j − k)−a Do vậy, j−log2 j j−log2 j g(k)Pj,k ≤ Cr (j − k)−a j k=1 k=1 = O( j(log2 j)1−a ) = o( j) (ii) Ta có n E[g(t1 )I(t1 ≤ n)] = g(k)P(t1 = k) k=1 √ Khi < a < 3/2, theo Bổ đề 3.2.1, tồn C cho g(k) ≤ C k nên ta suy (2r)1/a −1 n/ log n−1 g(k)P(t1 = k) = k=1 g(k)P(t1 = k) k=1 n/ log n−1 + g(k)P(t1 = k) k=(2r)1/a n/ log n−1 ≤ O(1) + O(1) k=(2r)1/a n ≤ O(1) + O(1) log n √ k ka k−1 (1 − rl ) l=1 3/2−a = o(n3/2−a ) (3.2.50) n n g(k)P(t1 = k) = ( k=n/ log n 2/π + o(1))r n/ log n √ k ka ∞ (1 − rl ) l=1 58 ( 2/π + o(1)) ∞ l=1 (1 − rl )r 3/2−a = n (3.2.51) 3/2 − a Trên ta sử dụng Bổ đề 3.2.1 xấp xỉ tích phân Kết hợp cơng thức 3.2.50 3.2.51, ta thu E[g(t1 )I(t1 ≤ n)] = lim n→∞ n3/2−a ∞ l=1 (1 2/π − rl )r 3/2 − a (3.2.52) Khi a = 3/2, ta thay đổi lại cách chia tổng để có đánh giá sau log n−1 log n−1 g(k)P(t1 = k) ≤ O(1) log n rk = o(log n) k=1 k=1 chuỗi hội tụ a = 3/2 Khi n đủ lớn, sử dụng xấp xỉ tích phân Bổ đề 3.2.1 ta có n n g(k)P(t1 = k) = ( k−1 2/π + o(1))r k=log n k −1 k=log n ∞ (1 − rl ) l=1 (1 − rl )r log n (3.2.53) (1 − rl )r (3.2.54) = ( 2/π + o(1)) l=1 Do đó, a = 3/2 ∞ E[g(t1 )I(t1 ≤ n)] lim = n→∞ log n 2/π l=1 Cuối cùng, a > 3/2, ta thấy n lim E[g(t1 )I(t1 ≤ n)] = lim n→∞ n→∞ k−1 k=1 ∞ = l=1 k−1 (1 − rl ) < ∞ g(k)rk k=1 (1 − rl ) g(k)rk l=1 Tóm lại ta có E[g(t1 )I(t1 ≤ n)] = λ2 (a, r), n→∞ ϕa (n) lim (3.2.55) 59 với λ2 (a, r) =        2/πr ∞ l=1 (1 − rl ) 3/2 − a < a < 32 , 2/πr ∞  l=1 (1 − rl )      ∞ g(k)rk k−1 (1 − rl ) k=1 l=1 a = 32 , (3.2.56) a > 32 Bây ta quan sát n E[h(t1 )I(t1 ≤ n)] = h(k)P(t1 = k) (3.2.57) k=2 Bởi từ (i) với kĩ thuật tương tự (ii), ta suy kết sau: E[h(t1 )I(t1 ≤ n)] = λ3 (a, r), n→∞ ϕa (n) lim với λ3 (a, r) =  λ1 (a, r)r ∞  l=1 (1 − rl )    3/2 − a  < a < 23 , λ1 (a, r)r ∞ l=1 (1 − rl )     k−1  ∞ h(k)r (1 − r ) k k=1 l l=1 a = 32 , (3.2.58) a > 32 Và n j=1 h(j)rj lim n→∞ ϕa (n) = λ4 (a, r), với λ4 (a, r) =  λ1 (a, r)r      3/2 − a < a < 32 , λ1 (a, r)r      ∞ h(j)r a = 32 , j=1 j (3.2.59) a > 23 Do đó, (iii) (iv) chứng minh Cuối cùng, ta có g(n + 1)P(t1 > n) √ lim = λ5 (a, r) = n→∞ n suy (v) chứng minh ∞ (1 − rk ), 2/π k=1 (3.2.60) 60 Kết hợp Bổ đề 3.2.8 Bổ đề 3.2.2 ta dễ dàng thu Hệ 3.2.9 E[Xˆn ] lim = FX (a, r), n→∞ ϕa (n) (3.2.61) FX (a, r) = λ2 (a, r) − λ3 (a, r) + λ4 (a, r), (3.2.62) với λ2 (a, r), λ3 (a, r), λ4 (a, r) định nghĩa tường minh công thức (3.2.56),(3.2.58),(3.2.59) E[Mˆn ] √ = FM (a, r), n→∞ n (3.2.63) FM (a, r) = λ1 (a, r) + λ5 (a, r), (3.2.64) lim với λ1 (a, r), λ5 (a, r) định nghĩa tường minh công thức (3.2.48), (3.2.60) Mặt khác, theo Bổ đề 3.1.1 ta có ˆ n |], E[|Mn − M ˆ n |]} ≤ E[|J ∩ [1, n]|] max{E[|Xn − X n = n rj = j=1 (rj −a ∧ ) j=1 = O(n1−a ) = o(ϕa (n)) Kết hợp điều với Hệ 3.2.9, ta thu E[Xn ] = FX (a, r) n→∞ ϕa (n) (3.2.65) E[Mn ] √ = FM (a, r), n→∞ n (3.2.66) lim lim 61 với FX (a, r), FM (a, r) định nghĩa Hệ 3.2.9 Do Định lý 3.0.1 cho pha a > Tổng kết lại, chứng minh Định lý 3.0.1 hoàn thành 62 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết nghiên cứu luận văn bao gồm: Chúng tơi nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ cố định giới thiệu báo [22] đưa cách tiếp cận cho mơ hình đồng thời kiểm chứng lại kết dáng điệu tiệm cận kì vọng phương sai Đưa định lý giới hạn luật mạnh số lớn định lý giới hạn trung tâm cho vị trí giá trị cực đại bước ngẫu nhiên Đề xuất mơ hình tổng qt bước ngẫu nhiên có trí nhớ thay đổi theo thời gian Chứng minh tượng chuyển pha theo tốc độ suy giảm trí nhớ mơ hình này, đồng thời đưa dáng điệu tiệm cận kì vọng cho vị trí giá trị cực đại cho pha Bên cạnh đó, so sánh kết dáng điệu tiệm cận kì vọng điểm chuyển pha với kết báo [22], kết chúng tơi thu hồn tồn phù hợp với kiểm tra thực nghiệm Dựa vào kết đạt được, số hướng mà luận văn phát triển sau: Tính phương sai chứng minh luật mạnh số lớn định lý giới hạn trung tâm cho pha trường hợp bước ngẫu nhiên có trí nhớ suy giảm 63 Phát triển mơ hình kết đạt cho cấu trúc khác phức tạp Ví dụ, loại trí nhớ phức tạp cấu trúc có nhiều chiều Tài liệu tham khảo [1] G.M Viswanathan, V Afnasyev, S.V Buldyrev, E.J Murphy, P.A Prince, and H.E Stanley Lévy flight search patterns of wandering albatrosses, Nature, 381, 413 (1996) [2] G.M Viswanathan, S.V Buldyrev, S Havlin, M.G.E da Luz, E.P Raposo and H.E Stanley Optimizing the success of random searches, Nature, 401, 911 (1999) [3] A.M Edwards, R.A Phillips, N.W Watkins, M.P Freeman, E.J Murphy, V Afnasyev, S.V Buldyrev, M.G.E da Luz, E.P Raposo, P.A Prince, H.E Stanley, and G.M Viswanathan Revisiting Lévy flight search patterns of wandering albatrosses, bumblebees and deer, Nature, 491, 1044 (2007) [4] O Bénichou, C.Loverdo, M.Moreau, and R Voituriez Intermittent search strategies, Rev.Mod.Phys., 83, 81 (2011) [5] M.G.E.D Lutz, A Grosberg, E.P Raposo, and G.M Viswanathan The Random Seach Problem: Trends and Perspectives, Special issue of J.Phys A: Math Theor., 42, 430301 (2009) [6] Benichou O, Coppey M, Moreau M, Suet P-H, and Voituriez R Optimal search strategies for hidden targets, Phys Rev Lett., 94, 198101 (2005) [7] Benichou O, Moreau M, Suet P-H, and Voituriez R Intermittent search process and teleportation, J Chem Phys., 126, 234109 (2007) 64 65 [8] Benichou O, Loverdo C, Moreau M, and Voituriez R Intermittent search strategies, Rev.Mod Phys., 83, 81 (2011) [9] Villen-Altramirano M and Villen-Altramirano J RESTART: A method for accelerating rare event simulations Queueing Performance and Control in ATM Editors Cohen J W and Pack C D, (1991) [10] Luby M, Sinclair A and Zuckerman D Optimal speedup of Las Vegas algorithms, Inf Proc.Lett., 47, 4391 (1993) [11] Tong H, Faloutsos C and Pan J-Y Random walk with restart: fast solutions and applications, Knowl Inf Syst., 14,327 (2008) [12] Avrachenkov K, Piunovskiy A, Zhang Y Markov processes with restart, J Appl Prob., 50, 960 (2013) [13] Lorenz JH Runtime Distributions and Criteria for Restarts In: Tjoa A., Bellatreche L., Biffl S., van Leeuwen J., Wiedermann J (eds) SOFSEM 2018: Theory and Practice of Computer Science SOFSEM 2018 Lecture Notes in Computer Science, vol 10706 (2018) [14] S C Manrubia and D.H Zanette Stochastic multiplicative processes with reset events, Phys Rev E, 59, 4945 (1999) [15] E Gelenbe Search in unknown random environments, Phys Rev E, 82, 061112 (2010) [16] M Montanari and R Zecchina Optimizing Searches via Rare Events, Phys Rev Lett., 88, 178701 (2002) [17] S Janson and Y Peres Hitting Times for Random Walks with Restarts, SIAM J Discrete Math., 26, 537 (2012) [18] S N Majumdar, S Sabhapandit, and G Schehr Dynamical transition in the temporal relaxation of stochastic processes under resetting, Phys Rev E, 91, 052131 (2015) 66 [19] Martin R Evans, Satya N Majumdar Diffusion with Stochastic Resetting, Phys.Rev.Lett., 106, 160601 (2011) [20] Martin R Evans, Satya N Majumdar and Gregory Schehr Dynamical transition in the temporal relaxation of stochastic processes under resetting, Phys Rev E, 91, 052131 (2015) [21] Martin R Evans, Satya N Majumdar and Gregory Schehr Stochastic resetting and Applications, Topical Review, (2020) [22] Satya N Majumdar, Sanijb Sabhapandit and Gregory Schehr Random walk with random resetting to the maximum position, Physical review E., 92, 052126 (2015) [23] H C Berg Random Walks in Biology, Princeton University Press, New York, (1983) [24] L Edelstein-Keshet Math-ematical Models in biology, McGraw Hill, Boston, (1988) [25] Renyi A On the asymptotic distribution of the sum of a random number of independent random variables, Acta Math Acad Sci Hungar., 8, 193-199 (1957) [26] R Rajesh and S N Majumdar Conserved Mass Models and Particle Systems in One Dimension, J Stat Phys., 99, 943 (2000) [27] R Rajesh and S N Majumdar Exact calculation of the spatiotemporal correlations in the Takayasu model and in the q model of force fluctuations in bead packs, Phys Rev E., 62, 3186 (2000) [28] R Rajesh and S N Majumdar Exact tagged particle correlations in the random average process, Phys Rev E., 64, 036103 (2001) [29] Allan Gut Stopped Random Walks: Litmit Theorem and Applications, Springer New York, (2009) 67 [30] Marcinkiewicz, J., and Zygmund, A Sur les fonctions indépendantes, Fund Math., 29, 60–90 (1937) [31] Jose Luis Palacios On the Simple Symmetric Random Walk and Its Maximal Function, The American Statistician, Vol 62, No (2008) [32] Sven Erick Alm Simple random walk, (2006) [33] Feller W An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol 1, Third edition, Wiley 196 [34] Allan Gut Probability: A Graduate Course, Springer New York, (2013) [35] P Embrechts, C Kluppelberg, T Mikosch Modelling Extremal Events, Springer-Verlag, (1997) [36] Rick Durrett Probability: Theory and Examples, Cambridge University Press, (2019) [37] Steven Lalley One-dimensional random walks, Lecture notes at http://galton.uchicago.edu/ lalley [38] K Sigman An introduction to renewal theory, Lecture notes available at http://www.columbia.edu/ ks20 [39] X Guo, J Peterson, Berry-Essen estimates for regenerative processes under weak moment assumptions, Stochastic Processes and its Applications, 129, 1379-1412 (2019) ... hữu hạn Do đó, định lý giới hạn cho Mn cho Xn Chứng minh Định lý 2.2.1 hoàn tất CHƯƠNG BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ SUY GIẢM Trong chương trước, nghiên cứu mơ hình bước ngẫu nhiên có trí nhớ. .. ] = CHƯƠNG BƯỚC ĐI NGẪU NHIÊN CĨ TRÍ NHỚ CỐ ĐỊNH Bước ngẫu nhiên có trí nhớ cố định (cụ thể hơn, có khả reset đến vị trí cực đại với xác xuất cố định) kiểu mơ hình xác suất có trí nhớ đề xuất... cổ đi? ??n cho trình tái tạo, thu định lí giới hạn cho bước ngẫu nhiên có trí nhớ cố định 2.1 MƠ HÌNH TỐN HỌC Chúng ta xem xét người bước lưới Z1 , xuất phát từ vị trí ban đầu gốc Gọi biến ngẫu nhiên