Kiến thức trọng tâm môn Toán 12

1 2021 TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP NGUYỄN THÁI HOÀNG DỰ ÁN LATEX TÀI LIỆU ÔN THI 29 30 50 26 32 19 38 20 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 10 25 MƠN TỐN TỐN 12 12 MƠN 12 17 46 47 43 23 35 42 39 24 14 15 11 16 31 33 21 44 49 18 FULL CÔNG CÔNG THỨC THỨC VÀ VÀ DẠNG TOÁN TOÁN FULL DẠNG 13 40 34 37 27 22 48 36 28 π TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ 41 45 MỤC LỤC I II ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH A Lớp 10 Dạng Xét dấu Dạng Phương trình B Lớp 11 Dạng Cấp số cộng Dạng Cấp số nhân Dạng Đạo hàm Dạng Công thức lượng giác C Lớp 12 Dạng Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Dạng Cực trị hàm số Dạng Cực trị hàm bậc - Trùng phương Dạng 10 Giá trị lớn nhất, nhỏ Dạng 11 Đường tiệm cận Dạng 12 Đồ thị hàm số Dạng 13 Tịnh tiến đồ thị phép suy đồ thị Dạng 14 Sự tương giao Dạng 15 Lũy thừa (a>0) Dạng 16 Lôgarit (0 < a = 1, < b = 1) Dạng 17 Hàm số lũy thừa y = xα , α ∈ R Dạng 18 Hàm số mũ y = a x (a > 0) Dạng 19 Hàm số Lôgarit y = loga x Dạng 20 Phương trình, bất phương trình mũ Dạng 21 Phương trình bất phương trình logarit Dạng 22 Lãi suất ngân hàng Dạng 23 Nguyên hàm Dạng 24 Tích phân Dạng 25 Diện tích hình phẳng Dạng 26 Thể tích khối tròn xoay Dạng 27 Thể tích vật thể Dạng 28 Số phức HÌNH HỌC Dạng 29 Một số công thức cần nhớ 2 4 4 7 8 9 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 16 16 18 19 SỔ TAY TOÁN HỌC Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng 038.333.8353 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Góc đường thẳng mặt phẳng Góc hai mặt phẳng Khoảng cách từ chân đường vng góc đến mặt bên Khối đa diện Mặt phẳng đối xứng số hình thường gặp Hình học phẳng Diện tích đa giác Thể tích khối đa diện Hình chóp Tỉ số thể tích khối chóp Tỉ số thể tích khối lăng trụ Khối tròn xoay Thiết diện khối nón trụ Thiết diện không qua trục Bán kính đường trịn ngoại tiếp Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện Mặt cầu nội tiếp Tọa độ không gian Ứng dụng tích có hướng hai vec-tơ Phương trình mặt cầu Một số yếu tố tam giác Phương trình tổng quát mặt phẳng Phương trình đường thẳng Góc Khoảng cách Vị trí tương đối Tọa độ hình chiếu đối xứng điểm qua mặt phẳng 19 19 20 21 21 22 22 23 23 24 24 25 26 26 27 27 28 28 30 30 30 31 31 32 32 33 34 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH SỔ TAY TỐN HỌC A 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! LỚP 10 Xét dấu Dấu nhị thức bậc • Dạng f ( x) = ax + b (a = 0) Nghiệm nhị thức nghiệm phương trình ax + b = • Bảng xét dấu nhị thức bậc f ( x) = ax + b (a = 0): x −∞ − trái dấu với a ax + b b a +∞ dấu với a Dấu tam thức bậc hai • Dạng f ( x) = ax2 + bx + c (a = 0) Nghiệm nhị thức nghiệm phương trình ax2 + bx + c = • Tính ∆ = b2 − 4ac • Nếu ∆ < phương trình f ( x) = vô nghiệm x −∞ +∞ dấu với a ax2 + bx + c • Nếu ∆ = phương trình f ( x) = có nghiệm kép x = − x −∞ ax2 + bx + c − dấu với a b 2a b 2a +∞ dấu với a • Nếu ∆ = f ( x) = có nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2 ) x ax2 + bx + c x1 −∞ x2 +∞ dấu với a trái dấu với a dấu với a Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ∆ theo hệ số b chẵn Dấu nghiệm phương trình bậc hai Cho phương trình: ax2 + bx + c = (∗) ∆ = b2 − 4ac • Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ( x1 < < x2 ) P = TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP c < a GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! • Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt ( x1 < x2 < 0)  a =       ∆>0   c P = >0   a     b  S = − < a • Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt (0 < x1 < x2 )  a =       ∆>0   c P = >0   a     b  S = − > a Điều kiện không đổi dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax2 + bx + c (a = 0) • f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ a>0 • ∆≤0 f ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ a Phương trình chứa ẩn dấu a) A= B⇔ B≥0 b) A = B A=B⇔ B≥0 A = B2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Với f ( x), g( x) hàm số Khi | f ( x )| = g ( x ) ⇔    g ( x) ≥  f ( x) = g ( x)    f ( x) = − g ( x) | f ( x)| = | g( x)| ⇔ f ( x) = g ( x) f ( x) = − g ( x) | f ( x)| + | g( x)| = | f ( x) + g( x)| ⇔ f ( x).g( x) ≥ TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC B 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! LỚP 11 Cấp số cộng • ( u n ) cấp số cộng ⇔ u n+1 = u n + d • Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a + c = b • Số hạng TQ: u n = u + ( n − 1) d • Tổng n số hạng đầu CSC: S n = n( n − 1) n( u + u n ) = nu + d 2 Cấp số nhân • ( u n ) cấp số nhân ⇔ n ≥ 2, u n = u n−1 · q • Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng a · c = b2 • Số hạng TQ: u n = u · q n−1 , n ≥ • Tổng n số hạng đầu CSN: S n = u · ! Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S n = − q n u − u n+1 = 1− q 1− q u1 1− q Đạo hàm Các quy tắc Giả sử u = u( x), v = v( x), w = w( x) hàm số có đạo hàm, đó: ! • ( u + v − w) = u + v − w • u u v−v u = v v2 • v =− v v • ( uv) = u v + v u • ( ku) = ku Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (C ) = ( x n ) = n.x n−1 ( n ∈ R, x > 0) x = x ( u n ) = n.u n−1 ( n ∈ R, u > 0) ( x > 0) u = 1 = − ( x = 0) x x TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP u u u =− ( u > 0) u ( u = 0) u2 GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! (sin x) = cos x (sin u) = u cos u (cos x) = − sin x (cos u) = − u sin u (tan x) = cos2 x (cot x) = − loga x = (ln a) = sin x x= π + kπ , k ∈ Z (tan u) = ( x = k π) , k ∈ Z u cos2 u (tan u) = − x ln a loga u = x (ln u) = (a x ) = a x ln a u= u π + kπ , k ∈ Z ( u = k π) , k ∈ Z sin2 u u u ln a u u (a u ) = u a u ln a Phương trình tiếp tuyến ! • Hệ số góc tiếp tuyến điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x) f ( x0 ) • Phương trình tiếp tuyến M ( x0 , y0 ) có dạng y − y0 = f ( x0 )( x − x0 ) Công thức lượng giác Cơng thức lượng giác • sin2 x + cos2 x = ! • tan x cot x = 1 π , x = + kπ cos2 x • tan x = sin x π , x = + kπ cos x • + tan2 x = • cot x = cos x , x = kπ sin x • + cot2 x = − cos − đối, sin − bù, phụ - chéo, π tan cot, sin2 x π , x = + kπ chéo sin Cơng thức cộng • sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a • tan (a + b) = tan a + tan b − tan a tan b • tan (a − b) = tan a − tan b − + tana tan b • sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a • cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b • cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b Cơng thức nhân đơi, hạ bậc TH.S PHẠM HỒNG ĐIỆP GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 • cos 2a = cos2 a − sin2 a = cos2 a − = − sin2 a • cos 3a = cos3 a − cos a • sin 2a = sin a cos a • tan 2a = NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! tan a − tan2 a • sin 3a = sin a − sin3 a • sin2 a = − cos 2a • cos2 a = + cos 2a • tan2 a = − cos 2a + cos 2a Cơng thức biến đổi tích thành tổng [cos (a + b) + cos (a − b)] sin a sin b = − [cos (a + b) − cos (a − b)] sin a cos b = [sin (a + b) + sin (a − b)] cos a cos b = Công thức biến tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b cos a − cos b = −2 sin sin 2 a−b a+b cos sin a + sin b = sin 2 a+b a−b sin a − sin b = cos sin 2 cos a + cos b = cos Phương trình lượng giác sin x = a cos x = a Trường hợp |a| > phương trình vơ nghiệm Trường hợp |a| < 1, sin x = a Đặc biệt Nếu a (chẵn số) cos x = a   sin x = ⇔ x = kπ     π sin x = ⇔ x = + k2π   π    sin x = −1 ⇔ x = − + k2π  π    cos x = ⇔ x = + kπ cos x = ⇔ x = k2π    cos x = −1 ⇔ x = π + k2π ∃ a cho sin x = a ∃a cho cos x = a sin x = sin a ⇔ TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP x = a + k 2π x = π − a + k 2π cos x = cos a ⇔ x = a + k2π x = − a + k 2π GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC Nếu a (lẻ số) 038.333.8353 sin x = a x = arcsin (a) + k2π NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! x = arccos (a) + k2π ⇔ cos x = a ⇔ ⇔ cos x = cos a ⇔ x = − arccos (a) + k2π x = π − arcsin (a) + k2π Nếu a (theo đơn vị độ) sin x = x = a o + k360 o sin a o o x = a o + k360 o x = −a o + k360 o x = π − a o + k360 o Phương trình lượng giác tan x = a cot x = a tan x = a ( x = + k π) cot x = a ( x = kπ)   tan x = ⇔ x = kπ     π tan x = ⇔ x = + kπ    π   tan x = −1 ⇔ x = − + kπ  π   cot x = ⇔ x = + kπ     π cot x = ⇔ x = + kπ     π   cot x = −1 ⇔ x = − + kπ ∃ a cho tan x = a ∃a cho cot x = a Nếu a (chẵn số) tan x = tan a ⇔ x = a + kπ cot x = cot a ⇔ x = a + π Nếu a (lẻ số) tan x = a ⇔ x = arctan (a) + kπ cot x = a ⇔ x = arccot(a) + kπ Nếu a ( theo đơn vị độ) tan x = tan a o ⇔ x = a o + k180 o cot x = cot a o ⇔ x = a o + k180 o Đặc biệt C π LỚP 12 Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số • Nếu f ( x) ≥ f ( x) = số hữu hạn điểm K HSĐB K • Nếu f ( x) ≤ f ( x) = số hữu hạn điểm K HSNB K TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Khoảng cách từ chân đường vng góc đến mặt bên Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có S A ⊥ ( ABC ) Xác định khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt bên (SBC ) AK ⊥ BC, (K ∈ BC ) Dựng Ta có: S AH ⊥ SK, ( H ∈ SK ) BC ⊥ AK BC ⊥ S A ( S A ⊥ ( ABCD )) ⇒ BC ⊥ AH AH ⊥ BC Do đó, ta có ⇒ AH ⊥ (SBC ) AH ⊥ SK ⇒ d ( A, (SBC )) = AH ⇒ BC ⊥ (S AK ) H A C K B Các phương pháp đưa khoảng cách từ chân đường vng góc a) Sử dụng song song đường thẳng mặt phẳng Đường thẳng d qua M , qua chân đường vng góc A d ∥ (P ) Khi d ( M, (P )) = d ( A, (P )) d ∥ (P ) P M A I H b) Sử dụng tỷ số khoảng cách d A M A K O P H P H K O M Nếu H hình chiếu vng góc A (P ), đường thẳng d qua hai điểm M , A cắt (P ) O Khi đó: d ( M, (P )) = TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP OM · d ( A, (P )) (Sử dụng định lý Talet để chứng minh) OA 20 GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Khối đa diện Khối đa diện Số Số Số Loại đỉnh cạnh mặt Hình V R S Tứ diện (6) a3 12 R= a R= a R= a 2 {3; 3} V= 12 {4; 3} V = a3 12 {3; 4} V= Mười hai mặt (15) 20 30 12 {5; 3} 15 + a R= + 15 a Hai mươi mặt (15) 12 30 20 {3; 5} 15 + 5 a R= 12 10 + 20 a C A G M B A Khối lập phương (9) D B C A D B C M Bát diện (9) B C A D a3 N Mặt phẳng đối xứng số hình thường gặp • Hình hộp chữ nhật có kích thức khác nhau: có mặt phẳng đối xứng • Hình lăng trụ tam giác đều: có mặt phẳng đối xứng • Hình chóp tam giác đều: có mặt phẳng đối xứng TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 21 GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! ! Khối chóp khơng có tâm đối xứng Hình học phẳng • • ABC vng A : BC = AB2 + AC 1 = + AH AB2 AC • Diện tích S • B ABC = AB · AC H ABC vuông cân A +o S ABC = BC +o BC = AB A C Định lý Thales  AM AN MN   = = =k  MN ∥ BC ⇒ AB AC BC  AM S ∆ AMN   = = k2 S ∆ ABC AB A N C M B Diện tích đa giác Diện tích tam giác Đối với tam giác thường ta sử dụng cơng thức tính diện tích sau đây: !S ∆ ABC 1 abc = a · h a = a · b · sin C = = pr = 2 4R p( p − a)( p − b)( p − c) • Tam giác ABC vng A : S ∆ ABC = ! • Tam giác ABC cạnh a: S ∆ ABC = AB · AC a2 • Tam giác ABC cạnh a có đường cao h = TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 22 a GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Diện tích tứ giác Các tứ giác đặc biệt mà ta thường gặp tốn: a) Hình vng ABCD cạnh a: S ABCD = a2 = AC · BD b) Hình chữ nhật ABCD : S ABCD = AB · AD c) Hình thoi: S ABCD = AC · BD = AB · AD · sin A d) Hình bình hành ABCD : S ABCD = AB · AD · sin A e) Hình thang ABCD : S ABCD = (a + b) · h Thể tích khối đa diện • Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B chiều cao h V =B·h • Thể tích khối chóp có diện tích đáy B chiều cao h V= ·B·h • Nếu ( H ) khối lập phương có cạnh a V(H) = a3 • Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kích thước a · b · c • Nếu hai khối đa diện ( H1 ) ( H2 ) V(H1 ) = V(H2 ) • Nếu khối đa diện ( H ) phân chia thành hai khối đa diện ( H1 ) ( H2 ) thì: V(H) = V(H1 ) + V(H2 ) Hình chóp a) Đáy đa giác (hình chóp tam giác có đáy tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy hình vng) b) Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (hình chóp tam giác có chân đường cao trùng với trọng tâm G, hình chóp tứ giác có chân đường cao trùng với tâm O hình vng) c) Các mặt bên tam giác cân d) Góc cạnh bên mặt đáy e) Góc mặt bên mặt đáy TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 23 GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 G óc ữa cạ nh bê n m ặt G óc G óc M y đá G gi ữa C A gi m ặt ặt m cạ n ên h bê b ặt n m a S ữa m gi đá y ặt đá y c Gó S gi ữ NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! M m ặt D đá y A O B B bê n C ! Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Tỉ số thể tích khối chóp Các kết thường dùng Kết 1: Cho tam giác O AB, cạnh O A chọn A , cạnh OB chọn B Khi đó: SO A B O A OB = · S O AB O A OB Kết 2: Cho hình chóp S.ABC , cạnh S A chọn A , cạnh SB chọn B cạnh SC chọn C Khi đó: S A SB SC VS.A B C = · · VS.ABC S A SB SC Kết 3: Cho hình chóp S.ABCD , cạnh S A chọn A , cạnh SB chọn B cạnh SC chọn C cạnh SD chọn D Khi đó: ! S VS.A B C a+b+c+d = VS.ABC · abcd C B A Trong đó: a= D A SA SB SC SD ,b = ,c= ,d = SA SB SC SD D O B C Tỉ số thể tích khối lăng trụ Các kết thường dùng Kết 1: TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 24 GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 ! NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! VA B C MNP a + b + c = VA B C ABC a= C A Trong đó: B BN CP AM ,b = ,c= AA BB CC P M A C N B Kết 2: !V VABCD.MNPQ = ABCD.A B C D a+b+c+d A Trong đó: a= AM BN CP DQ ,b = ,c= ,d = AA BB CC DD D B C M N Q P A D B C Khối trịn xoay TRỤ CẦU NĨN A O D C α O KHỐI TRÒN XOAY d H R r P h h l l M A O r B C I r B d + r2 = R h= DIỆN * S = 4π R TÍCH *S xq = 2π rh *S = S xq + 2Sđáy = 2π rl + 2π r THẾ V = πR TÍCH V = πr2 h TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 25 r + h2 = *S xq = π rl ( l đường sinh, r bkính) *S = S xq + Sđáy = π rl + π r V = πr2 h ( h: đường cao) GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC ! 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S ) tâm I có bán kính R d ( I ; ∆) = R Mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặt cầu (S ) tâm I có bán kính R d( I ; (P )) = R Thiết diện khối nón trụ • Thiết diện qua trục OO hình trụ ln hình chữ nhật A B BA A O B A O B +o Chiều rộng: AB = 2R +o Chiều dài: A A = h = +o Diện tích: S A B BA = AB.A A = · R · • Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S ln tam giác cân đỉnh S S +o Cạnh bên: S A = SB = +o Chiều dài: AB = 2R +o Diện tích: S S AB = R · h A O B Thiết diện không qua trục Khối nón Gọi H trung điểm AB S • Tam giác SAB tam giác cân • d (O, (S AB)) = OK • (S AB), (đáy) = SHO K • (SO ), (SAB) = OSH • R = OH + AH O ! H trung điểm AB TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP A 26 H B GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Khối trụ B • ABCD hình chữ nhật O • d (O, ( ABCD )) = OH C • R = OH + HD A ! H trung điểm AD H O D Bán kính đường trịn ngoại tiếp Hình Tính bán kính ngoại tiếp đáy a Tam giác cạnh a R đáy = Tam giác vng R đáy = Hình vng cạnh a R đáy = Hình chữ nhật cạnh a, b R đáy = a2 + b 2 Hình thang nửa lục giác R đáy = · đáy lớn Tam giác thường cạnh a, b, c R đáy = abc 4S đáy · cạnh huyển 2 a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện • Khối đa diện có cạnh bên vng góc mặt đáy R = R 2d + h 2 +o Hình hộp chữ nhật + Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vng R= TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 27 a2 + b + c GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 +o Hình lập phương R = NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! a • Chóp có mặt bên vng góc mặt đáy R = R 2b + R 2d − d2 • Hình chóp đều: Gọi h độ cao hình chóp k chiều dài cạnh bên Khi k2 R= 2h • Gọi d độ dài đoạn thẳng mà tất đỉnh lại nhìn góc d vng Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = Mặt cầu nội tiếp Gọi V thể tích khối đa diện S diện tích tồn phần đa diện Khi đó, bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện r = 3V S Tọa độ không gian Tọa độ véctơ #» #» #» • Vec-tơ đơn vị: i = (1; 0; 0), j = (0; 1; 0), k (0; 0; 1) ← − #» #» • Vec-tơ #» a = a i + a j + a k ⇒ #» a = (a ; a ; a ) #» • Tính chất: Cho hai véc tơ #» a = (a ; a a ), b = ( b ; b ; b ) #» +o Tổng hiệu: #» a ± b = (a ± b ; a ± b ; a ± b ) +o Tích số với vec tơ: k #» a = ( ka ; ka ; ka ) +o Độ dài vec tơ: | #» a|= a21 + a22 + a23  a = b #»  #» +o Hai vec tơ nhau: a = b ⇒ a = b2   a3 = b3 #» a a a +o Hai vec tơ phương: #» a =kb ⇒ = = =k b1 b2 b3 #» +o Tích vơ hướng hai vec tơ: #» a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 #» #» +o Vec tơ #» a ⊥ b ⇔ #» a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 28 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! #» a2 a3 a3 a1 a1 a2 a, b = ; ; +o Tích có hướng hai vec tơ: #» = (a b − a b ; a b − a b ; a b − a b ) b2 b3 b3 b1 b1 b2 +o Góc hai vec tơ: 0◦ ≤ α ≤ 180◦ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 #» a, b = cos α = cos #» a21 + a22 + a23 · b21 + b22 + b23 Tọa độ điểm # » #» #» #» • A ( x; y; z) ⇔ O A = x · i + y · j + z · k • Cho M ( x; y; z) +o Hình chiếu M lên Ox M1 ( x; 0; 0) +o Hình chiếu M lên O y M2 (0; y; 0) +o Hình chiếu M lên Oz M3 (0; 0; z) +o Hình chiếu M lên Ox y M4 ( x; y; 0) +o Hình chiếu M lên Oxz M5 ( x; 0; z) +o Hình chiếu M lên O yz M6 (0; y; z) • Tính chất Cho điểm A ( x A ; yA ; z A ), B ( xB ; yB ; zB ), C ( xC ; yC ; zC ) +o Độ dài đoạn thẳng AB: AB = ( xB − x A )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2 +o Tọa  độ trung điểm I đoạn thẳng AB x A + xB  xI =      yA + yB yI =     z + zB  A  zI = # » # » +o Điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k: M A = k · MB x A − k · xB ; 1−k z A − k · zB zM = 1−k  x A + xb + x c  xG =      yA + yb + yc +o Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC yG =     z + z  A b + zc  zG = xM = yM = yA − k · yB ; 1−k # » # » = DC ! Tứ giác ABCD hình bình hành AB TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 29 GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! Ứng dụng tích có hướng hai vec-tơ #» #» #» • #» a b phương: #» a, b = #» #» #» • #» a , b , #» c đồng phẳng: #» a , b · #» c=0 • Diện tích ABC S ABC = # » # » AB, AC # » # » • Diện tích tình bình hành ABCD : S ABCD = • Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = AB, AC # » # » # » AB, AC · AD • Thể tích hình hộp: ABCD.A B C D : VABCD.A B C D = ! # » # » # » AB, AC · A A ←→ ←→ • Ba điểm A, B, C ba đỉnh tam giác AB không phương AC # » # » ←→ ← → • Bốn điểm A, B, C, D đỉnh tứ diện [ AB; AC ] · AD = Phương trình mặt cầu Trong khơng gian Ox yz, phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (a; b; c) bán kính R là: ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R Phương trình: x2 + y2 + z2 − 2ax − b y − cz + d = với điều kiện a2 + b2 + c2 − d > phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c), có bán kính R = a2 + b + c − d Một số yếu tố tam giác Xét tam giác ABC , ta có: # » # » • H chân đường cao hạ từ A ∆ ABC ⇔ AH ⊥BC # » # » BH = k BC # » • AD đường phân giác ∆ ABC ⇔ DB = − # » • AE đường phân giác ∆ ABC ⇔ EB = AB # » DC AC AB # » EC AC # » # »  AH ⊥BC   # » # » • H trực tâm ∆ ABC ⇔ BH ⊥ AC   # » # » # »   AB, AC AH = TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 30 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!!  #» #»  I A = IB     #» #» • I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC ⇔ I A = IC    # » # » #»   AB, AC AI = Phương trình tổng quát mặt phẳng ! #»n = VTPT giá #»n vng góc với (P ) • PTTQ (P ): Ax + B y + Cz + D = có vec-tơ pháp tuyến #» n = ( A ; B ; C ) • Mặt phẳng (P ) : Đi qua M ( x0 , y0 , z0 ) #» V TPT #» n = [ #» a, b] A ( x − x0 ) + B y − y0 + C ( z − z0 ) = • Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm AB có vectơ # » pháp tuyến #» n = AB ← → #» → • Mặt phẳng (P ) có cặp vec-to phương ← a b VTPT (P) #» n = [ #» a, b] #»=n #» • Nếu ( p) ∥ (Q ) n P Q # » # » • Mặt phẳng qua A, B, C phân biệt khơng thẳng hàng có VTPT #» n = AB, AC # » • Mặt phẳng (α) vng góc với đường thẳng AB có #» n = AB • Cho mặt cầu (S ) có tâm I #» Khi mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S ) điểm H có #» n = I H +o Mặt phẳng (P ) cắt ba trục tọa độ A (a; 0; 0), B(0; b; 0), C (0; 0; c) ⇒ (P ) : ! x y z + + = a b c +o Các mặt phẳng đặc biệt * (O yz) : x = * (Oxz) : y = * (O yz) : z = +o Nếu phương trình (α) khơng chứa ẩn mặt phẳng (α) song song chứa trục tương ứng Chứa D = Phương trình đường thẳng ! #»u = VTCP giá #»u song song trùng với d • Đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc-tơ phương #» u = (a; b; c) TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 31 GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!!    x = x0 + at +o Phương trình tham số ∆ : y = y0 + bt ( t ∈ R)   z = z0 + ct x − x0 y − y0 z − z0 +o Phương trình tắc ∆ : = = (abc = 0) a b c # » # » • Đường thẳng ∆ qua hai điểm A B #» u = AB #» u = BA • Nếu #» u véc-tơ phương ∆ k #» u ( k = 0) véc-tơ phương ∆, đường thẳng có vơ số véc-tơ phương #» #» • Nếu #» a , b cặp véc-tơ khơng phương #» u = #» a, b Góc • Góc hai mặt phẳng (P ) có véc-tơ pháp tuyến #» n , (Q ) có véc-tơ pháp tuyến #» n2 #» n · #» n2 Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (P ) (Q ) Ta có: cos ϕ = #» n · #» n2 • Góc hai đường thẳng ∆1 có véc-tơ phương #» a , ∆2 có véc-tơ phương #» a2 #» a · #» a2 Gọi ϕ góc hai đường thẳng ∆1 ∆2 Ta có: cos ϕ = #» a · #» a • Góc đường thẳng mặt phẳng ∆ có véc-tơ phương #» a ∆ , (α) có véc-tơ pháp tuyến #» nα #» a ∆ · #» nα Gọi ϕ góc hai đường thẳng ∆ (α) Ta có sin ϕ = #» a ∆ · #» nα Khoảng cách • Khoảng cách từ A ( x0 ; y0 ; z0 ) đến (P ) : Ax + b y + Cz + D = 0: | Ax0 + B y0 + Cz0 + D | d ( A, (P )) = A + B2 + C • Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ∆ qua điểm M0 có véc-tơ phương #» a∆ d ( M, ∆) = # » #» a ∆ , M0 M #» a ∆ • Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 qua điểm M có véc-tơ phương #» a , ∆2 qua điểm N có véc-tơ #» phương a TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 32 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG SỔ TAY TOÁN HỌC d (∆1 , ∆2 ) = 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! # » #» a , #» a · MN #» a , #» a Vị trí tương đối • Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (P1 ) A x + B1 y + C1 z + D = (P2 ) A x + B2 y + C2 z + D = Khi ta có ba trường hợp A B1 C D = = = · A B2 C D A B1 C D (P1 ) ∥ (P2 ) ⇔ = = = · A B2 C D (P1 ) ≡ (P2 ) ⇔ (P1 ) cắt (P2 ) ⇔ A : B1 : C1 = A : B2 : C2 Lưu ý: A A + B1 B2 + C1 C2 = ⇔ (P1 ) ⊥ (P2 ) • Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng    x = x0 + at Cho (∆) : y = y0 + bt (P ) : Ax + B y + Cz + D =   z = z0 + ct Thế (∆) vào (P ) ta được: A ( x0 + at) + B( y0 + bt) + C ( z + ct) + D = ⇔ A t + B = (1) +o Nếu (1) có nghiệm t = t0 (∆) cắt (P ) điểm M0 ( x0 + at ; y0 + bt ; z0 + zt ) +o Nếu (1) vơ nghiệm (∆) ∥ (P ) +o Nếu (1) vơ số nghiệm (∆) ∈ (P ) • Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu (S ) = ( I ; R ) mặt phẳng (P ) +o Nếu d ( I, (P )) = R (P ) tiếp xúc (S ) +o Nếu d ( I, (P )) > R (P ) khơng cắt (S ) +o Nếu d ( I, (P )) < R (P ) cắt (S ) theo đường tròn (C ) = (O ; r ) Khi d + r = R • Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu    x = x0 + at Cho (∆) : y = y0 + bt (S ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 =   z = z0 + ct Thế (∆) vào (S ) ta phương trình bậc hai: A t2 + B t + C = (2) +o Nếu ∆ > d cắt (S ) hai điểm phân biệt +o Nếu ∆ = d tiếp xúc với (S ) d ( I, (∆) = R ) +o Nếu ∆ < d khơng cắt (S ) TH.S PHẠM HỒNG ĐIỆP 33 GV: NGUYỄN THÁI HỒNG SỔ TAY TỐN HỌC 038.333.8353 NĂM 2021 - HAPPY NEW YEAR!!! • Vị trí tương đối hai đường thẳng qua M qua N Cho d1 : d2 : # » #» V TCP = u V TCP = u # », u # » #» +o [u ] = d song song trùng d Lấy M ∈ d * Nếu M ∈ d d trùng d * Nếu M ∉ d d song song d # », u # » #» +o [u ] = d cắt chéo d Khi # » # » # » #» * [ u , u ] · MN = d cắt d # » # » # » #» * [ u , u ] · MN = d chéo d • Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho điểm A mặt cầu (S ) = ( I ; R ) +o I A > R A nằm ngồi (S ) +o I A = R A nằm (S ) +o I A < R A nằm (S ) Tọa độ hình chiếu đối xứng điểm qua mặt phẳng Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt phẳng (P ) : Ax + B y + Cz + D = Xét T = Ax0 + B y0 + Cz0 + D Khi A + B2 + C    x = x0 − AT • Tọa độ hình chiếu M lên (P ) H : y = y0 − BT   z = z0 − CT    x = x0 − AT • Tọa độ điểm đối xứng M qua (P ) M : y = y0 − 2BT   z = z0 − 2CT TH.S PHẠM HOÀNG ĐIỆP 34 GV: NGUYỄN THÁI HOÀNG ... Dạng 29 Một số công thức cần nhớ 2 4 4 7 8 9 11 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 14 15 15 16 16 18 19 SỔ TAY TOÁN HỌC Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng Dạng... S Tứ diện (6) a3 12 R= a R= a R= a 2 {3; 3} V= 12 {4; 3} V = a3 12 {3; 4} V= Mười hai mặt (15) 20 30 12 {5; 3} 15 + a R= + 15 a Hai mươi mặt (15) 12 30 20 {3; 5} 15 + 5 a R= 12 10 + 20 a C A... Chân đường cao trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy (hình chóp tam giác có chân đường cao trùng với trọng tâm G, hình chóp tứ giác có chân đường cao trùng với tâm O hình vng) c) Các