Phương trình vi phân (lý thuyết)

Khi giải quyết các bài toán thực tế, ngƣời ta không quan tâm việc có tìm hết các nghiệm của phƣơng trình hay không mà chỉ cần xác định đƣợc một nghiệm thỏa mãn giá trị ban đầu của quá [r]

Chƣơng 6: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN (DIFFERENTIAL EQUATIONS)

6.1 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TỔNG QUÁT (GENERAL DIFFERENTIAL EQUATIONS)

Khi nghiên cứu Vật lí, Sinh học, Hóa học, Kinh tế, Kỹ thuật, Xã hội học… ta gặp toán biến đổi trình mà hầu hết trình tự nhiên tuân thủ theo quy luật đƣợc mơ tả phƣơng trình có chứa hàm số đạo hàm Chẳng hạn, xét quần thể mà giả sử tốc độ sinh trƣởng tỉ lệ với kích cỡ quần thể (ví dụ quần thể vi khuẩn điều kiện sống lí tƣởng) Gọi P(t) số cá thể quần thể xét thời điểm t, tốc độ sinh

trƣởng quần thể

dt dP

Theo giả thiết ta có:

dP kP k const

dt  

* Phƣơng trình vi phân phƣơng trình hàm có chứa hàm số chƣa biết hay nhiều đạo hàm hàm số

* Cấp (order) phƣơng trình vi phân cấp cao đạo hàm có phƣơng trình

* Nghiệm (solution) phƣơng trình vi phân hàm số y f x  thỏa mãn phƣơng trình

* Nghiệm tổng quát (general solution) phƣơng trình vi phân hàm số có tham số y f x C ,  cho với giá trị cụ thể C0 tham số C hàm số y f x C , 0 nghiệm phƣơng trình

Ví dụ 1: Hàm số

4

4

x

y nghiệm phƣơng trình vi

phân: y  x3

3

4

x

x   

    

Dễ thấy

4

4

x

y Clà nghiệm tổng quát phƣơng trình

Ví dụ 2: Chứng minh hàm số họ 1

t t

ce y

ce  



nghiệm phƣơng trình vi phân 1 

1

y  y  Giải: Lấy đạo hàm

1

t t

ce y

ce  

 ta đƣợc:  2

2

t t

ce y

ce  



VP =      

 

2

2

2

1

1 1

1

2 2 1

t t

t t

t

ce ce

ce y

ce ce

 

        

     

 



   

   

  2 2

1

2 1

t t

t t

ce ce

y

ce ce



  

Vậy với giá trị c, hàm cho nghiệm phƣơng trình vi phân

Khi giải tốn thực tế, ngƣời ta khơng quan tâm việc có tìm hết nghiệm phƣơng trình hay khơng mà cần xác định đƣợc nghiệm thỏa mãn giá trị ban đầu trình biến đổi, tức thỏa biểu thức có dạng y x0  y0 Đây đƣợc gọi điều kiện ban đầu(initial

condition) tốn tìm nghiệm phƣơng trình vi phân thỏa điều kiện ban đầu gọi toán giá trị ban đầu (initial – value problem)

Ví dụ 3:Giải phƣơng trình 1 

1

y  y  với y 0 2

Giải: Thay t0 vào nghiệm tổng quát 1

t t

ce y

ce  

 phƣơng trình cho (xem Ví dụ 2) ta đƣợc:

0

1 1

(0) 2

1

1

ce c

y c

c ce

 

     

 

Vậy nghiệm toán là:

1

3

1 3

1

t

t t t

e

e y

e e

 

 

 

6.2 PHƢƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN (SEPARABLE EQUATIONS)

Phƣơng trình tách biến (separable equations) phƣơng trình vi phân cấp có dạng    

dy

g x f y dx 

Nếu f y 0, để giải phƣơng trình trên, ta viết phƣơng trình dƣới dạng

 

( )

dy

g x dx

f y  (1)

Lấy tích phân hai vế phƣơng trình ta đƣợc:

 

( )dy g x dx

f y 

  (2)

Ngƣợc lại, f g thỏa mãn (2), đó:

 

     

1 1

( ) ( ) ( )

d d d dy dy

dy g x dx dy g x g x

dx f y dx dy f y dx f y dx

       

   

    

Vậy (1) thỏa mãn

Ví dụ 1:

(a) Giải phƣơng trình vi phân

2 dy x dx  y

Giải:

(a)

2

2 2

2 dy x

y dy x dx y dy x dx

dx  y     

3

1

,

3y 3x C C R

   

3

3

y x C

   hay y x3K , với K3C

(b) y 0  2 K  2 K 8 Vậy nghiệm toán trƣờng hợp là: 3

8

y x  Ví dụ 2: Giải phƣơng trình vi phân

2

6

2 cos

dy x

dx  y y Giải: Phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với:

    2

2ycosy dy6x dx   2ycosy dy6x dx  y siny2x C, CR

Nghiệm phƣơng trình trƣờng hợp dạng ẩn(implicitly), ta khơng thể biểu diễn y nhƣ hàm x

Ví dụ 3: Giải phƣơng trình y  x y2

Giải: Trƣớc tiên ta viết lại phƣơng trình sử dụng kí hiệu Leibniz dy x y2 dx 

+Nếuy0 :

 3 3 3

3

/

2 / /

ln

3

x C C x C x

dy dy x

x dx x dx y C y e e e y e e

y y



            

+ y0 nghiệm phƣơng trình vi phân cho Vậy nghiệm tổng quát là:

3 /

,

x

yAe AR

Ví dụ 4: Một quốc gia nhỏ có 10 tỉ dollar tiền giấy lƣu thơng ngày có 50 triệu dollar đƣợc đƣa vào ngân hàng nhà nƣớc Chính phủ muốn đƣa mẫu tiền vào vận hành cách thay loại tiền cũ loại tiền loại tiền cũ đƣợc đƣa vào ngân hàng Hỏi phải lƣợng tiền tệ chiếm 90% lƣu thơng?

Giải: Đặt xx t( ) (đơn vị: tỉ dollar, 0 x 10) lƣợng tiền tệ lƣu thông thời điểm t

(đơn vị: ngày) Ta có: (0) 0x 

Theo giả thiết, với 10 tỉ dollar tiền cũ ngày có 50 triệu dollar tiền mới, độ gia tăng tiền 0.05 tỉ dollar/ngày Vì thời điểm t, lƣợng tiền cũ lƣu thông 10 – x(t) (tỉ dollar) nên tƣơng ứng ta có tốc độ gia tăng tiền

 

10 ( )

0.05 0.005 10 ( )

10

x t

x t 

  (tỉ dollar/ngày)

 

0.005 10

dx

x

dt  

Đây phƣơng trình tách biến, x10 ta có:

0.005

1

0.005 0.005 ln 10 0.005 10

10 10

C t

dx dt dx dt x t C x e e

x x



          

   

Vì x10 nghiệm phƣơng trình nên phƣơng trình có nghiệm tổng qt là:

 

0.005

10 t

x Ae AR

Thay điều kiện đầu (0) 0x  vào nghiệm, ta đƣợc A 10, x10 10 e0.005t

Ta cần tìm thời điểm t để lƣợng tiền tệ chiếm 90% lƣu thông, tức x(t) = tỉ dollar Ta có

0.005 0.005 1 ln10

9 10 10 0.005 ln 460.52

10 10 0.005

t t

e e t t

          ngày 1.26 năm

6.3 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT (FIRST-ORDER LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS)

Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp có dạng dy P x y  Q x 

dx  với P Q hàm liên tục Phƣơng pháp giải:

- Tìm nhân tử tích phân (integratingfactor)I x  thỏa mãn: I x y P x y  I x y  

Khai triển hai vế ta đƣợc: I x P x    I x  dI P x dx  I Ae P x dx  , A eC I

 

      

Chọn A1, ta đƣợc I x eP x dx 

- Phƣơng trình vi phân tuyến tính cho tƣơng đƣơng với:

 

             1    

I x y I x Q x I x y I x Q x dx C y I x Q x dx C

I x

         

 

 

Ví dụ 1: Giải phƣơng trình vi phân dy 3x y2 6x2

dx 

Giải:

- Nhân tử tích phân

2 3

3

( ) x dx x

I x e e

- Nhân vế phƣơng trình vi phân cho cho ex3:

ex3 dy 3x e y2 x3 6x e2 x3 d  e yx3 6x e2 x3

dx   dx 

Lấy tích phân vế : 3   3

2

6 2

x x x x x

x y2  xy1 y 1 2

Giải: Ta thấy x = không thỏa mãn phƣơng trình Với x0, chia hai vế phƣơng trình cho x2:

1

y y

x x

  

- Nhân tử tích phân ( ) ln

dx x x

I x e e  x - Nghiệm tổng quát phƣơng trình cho là:

   

2

1 1 1 1

ln

y x dx C dx C dx C x C C R

x x x x x x x

 

   

           

     

Với điều kiện đầu y 1 2, ta có: C2

Vậy nghiệm cần tìm phƣơng trình cho là: y ln x 2, x

x 

 

6.4 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI (SECOND-ORDER LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS)

Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng:

  22      

d y dy

P x Q x R x y G x

dx  dx  , với P, Q, R, G hàm liên tục

PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI THUẦN NHẤT (SECOND-ORDER HOMOGENEOUS LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS)

Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp có dạng:

  22     1 

d y dy

P x Q x R x y

dx  dx 

Lƣu ý: nghiệm y x1  y2 x phụ thuộc tuyến tính tồn số k cho y x1 ky2 x , ngƣợc lại ta nói nghiệm độc lập tuyến tính

Nếu P, Q, R số, phƣơng trình (1) có dạng:

 

0, 0, , ,

aybycy a a b c

Nhận xét:Nếu

, ,

rx rx rx

ye r  yre yr e , thay vào phƣơng trình (2):

ĐỊNH LÍ: Nếu y x1  vày2 x hai nghiệm phƣơng trình vi phân tuyến tính (1) y x c y x1 1 c y2 2 x , ,c1 c2 nghiệm phƣơng trình (1)

ĐỊNH LÍ: Nếu y x1  và y2 x hai nghiệm độc lập tuyến tính ptvp tuyến tính (1) P x 0, x nghiệm tổng qt phƣơng trình đólà:

  1  2 , ,1

ar e2 rxbrerxcerx 0  ar2brc e rx 0

Vậy rx

ye nghiệm phƣơng trình (2) r là nghiệm phƣơng trình đặc trƣng

(characteristic equation):

Trƣờng hợp 1:

Nếu phƣơng trình đặc trƣng (3) có hai nghiệm thực phân biệt r r1 2

1

r x r x

y e và y e hai nghiệm độc lập tuyến tính phƣơng trình (2)

Trƣờng hợp 2:

Nếu phƣơng trình đặc trƣng (3) có nghiệm kép

2

b

r ar b

a

     y1erxlà

nghiệm phƣơng trình (2) Ta chứng minh 2 rx

y  xe nghiệm (2):

   

2 rx rx rx rx rx

aybycya re r xe b e rxe cxe

       

2ar b erx ar br c xerx erx xerx

       

Trƣờng hợp 3:

Nếu phƣơng trình đặc trƣng (3) có hai nghiệm phức dạng r1  i, r2   i

Nghiệm phƣơng trình đặc trƣng là:

       

1

1 2 cos sin cos - sin

i x i x

r x r x x x

yC e C e C e  C e  C e xi x C e x i x  2cos  2sin  1cos 2sin 

x x

e C C x i C C x e c x c x

       

Ví dụ 1:Giải phƣơng trình y y 6y0

Giải: Phƣơng trình đặc trƣng r2  r có hai nghiệm phân biệt r1 2, r2  3

 Nghiệm tổng quát phƣơng trình cho yc e1 2x c e2 3x Ví dụ 2: Giải phƣơng trình 4y12y9y0

Giải: Phƣơng trình đặc trƣng:

4r 12r 9 có nghiệm kép 1 2

r   r Nếu phƣơng trình đặc trƣng

0

ar br c có hai nghiệm thực phân biệt r r1, 2 nghiệm tổng quát phƣơng trình aybycy0là

1

r x r x

yc e c e

Nếu phƣơng trình đặc trƣng

0

ar br c có nghiệm thực r nghiệm tổng quát phƣơng trình aybycy0là yc e1 rxc xe2 rx

Nếu nghiệm phƣơng trình đặc trƣng

0

ar br c số phức r1   i, r2   i nghiệm tổng quát phƣơng trình aybycy0là yexc1cosx c 2sinx

 

0

 Nghiệm tổng quát phƣơng trình cho yc e1 3 / 2x c xe2 3 / 2x Ví dụ 3:Giải phƣơng trình y6y13y0

Giải: Phƣơng trình đặc trƣng: r26r130 có hai nghiệm phức r1 3 , i r2  3 2i

 Nghiệm tổng quát phƣơng trình cho  

1cos 2sin

x

ye c xc x

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN (INITIAL-VALUE AND BOUNDARY-VALUE PROBLEMS)

Bài toán giá trị ban đầu của phƣơng trình vi phân cấp hai tìm nghiệm y của phƣơng trình thỏa

mãn điều kiện ban đầu dạng: y x 0  y0, y x 0  y1, với y0, y1 số cho trƣớc

Ví dụ 4:Giải tốn giá trị ban đầu y y 6y0, y 0 1, y 0 0

Giải: Từ ví dụ ta có nghiệm tổng quát phƣơng trình

2 3

1 2

x x x x

yc e c e  y c e  c e

Để nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu:

 

  2

1

0 1

,

0 5

y c c

c c

y c c

    

   

     

 

Vậy nghiệm toán là: 2

5

x x

y e  e

Bài tốn giá trị biên của phƣơng trình vi phân cấp hai tìm nghiệm y của phƣơng trình thỏa mãn

điều kiện biên : y x 0  y0, y x 1  y1, với y0, y1 số cho trƣớc

Ví dụ 5:Giải toán giá trị biên y2y y 0, y 0 1, 1y 3

Giải: Phƣơng trình đặc trƣng: r22r 1 có nghiệm kép r1  r2

 Nghiệm tổng quát phƣơng trình cho yc e1 x c xe2 x

Để nghiệm thỏa mãn điều kiện biên:

 

  1 1

1

0 1

1,

1 3

y c

c c e

y c e c e

   

    

    

 

Vậy nghiệm toán giá trị biên là: yex 3e1xex

PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI KHƠNG THUẦN NHẤT (SECOND-ORDER NONHOMOGENEOUS LINEAR DIFERENTIAL EQUATIONS)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không hệ số hằng(A second-order

nonhomogeneous linear differential equation with constant coefficient) có dạng:

 

aybycyG x , với a, b, c số G hàm liên tục

ĐỊNH LÍ: Nghiệm tổng qt phương trình vi phân không nhất

  c  p 

y x  y x y x , với yc nghiệm tổng quát phƣơng trình tƣơng ứng

Để tìm nghiệm riêng yp phƣơng trình aybycyG x  ta sử dụng phƣơng pháp sau đây:

Phƣơng pháp hệ số bất định (The method of undetermined coefficients)

Trƣờng hợp 1: Nếu G(x) đa thức nghiệm riêng phƣơng trình vi phân không đa thức bậc với G(x) Thay đa thức vào phƣơng trình vi phân để tìm hệ

số đa thức

Ví dụ 6:Giải phƣơng trình

2

y y y x Giải:

- Giải phƣơng trình tƣơng ứng: y y 2y0

Phƣơng trình đặc trƣng:

2

r   r có nghiệm phân biệt r1 1, r2  2

 Nghiệm tổng quát phƣơng trình

1

x x c

y c e c e

- Tìm nghiệm riêng: Vì G(x) = x2 nên nghiệm riêng có dạng:  

p

y x Ax Bx C

Ta có: yp 2AxB y, p 2A Thay vào phƣơng trình vi phân cho:

      2    

2A  2AxB 2 Ax Bx C x  2Ax  2A2B x 2A B 2C x

Cân hệ số ta đƣợc: 1, 1,

2

A  B  C   nghiệm riêng  

2

p

y x   x  x

Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình cho là: 2

1

1

2

x x c p

yy y c e c e  x  x

Trƣờng hợp 2: Nếu G x Cekx, với C k số ta thử tìm nghiệm riêng phƣơng trình vi phân không dạng   kx

p

y x  Ae Ví dụ 7:Giải phƣơng trình

4 x

y  ye Giải:

- Giải phƣơng trình tƣơng ứng: y 4y0

Phƣơng trình đặc trƣng:

4

r   có nghiệm r12 , i r2  2i

 Nghiệm tổng quát phƣơng trình yc c1cos 2x c 2sin 2x

- Tìm nghiệm riêng: Vì G(x) = e3x nên ta thử tìm nghiệm riêng có dạng:   3x p

y x Ae

Ta có: 3

3 x, x

p p

y  Ae y  Ae Thay vào phƣơng trình vi phân cho:  

3 3

9

13

x x x

Ae  Ae e  A  nghiệm riêng  

13

x p

y x  e

Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình cho là:

1

1

cos sin

13

x c p

yy y c xc x e

Trƣờng hợp 3: Nếu G x Ccoskx G x Csinkx, với C k số ta thử tìm nghiệm riêng phƣơng trình vi phân khơng dạng yp x AcoskxBsinkx

Giải:

- Giải phƣơng trình nhất: y y 2y 0

Phƣơng trình đặc trƣng:

2

r   r có nghiệm r1 1, r2  2

Nghiệm tổng quát phƣơng trình

1

x x c

y c e c e

- Tìm nghiệm riêng: Vì G(x) = sinx nên ta thử nghiệm riêng dạng: yp x  AcosxBsinx

Ta có: yp  AsinxBcos , x yp  AcosxBsinx Thay vào phƣơng trình vi phân cho:

AcosxBsinx  AsinxBcosx 2 AcosxBsinxsinx

   

3 cos sin sin ,

10 10

A B x A B x x A B

           

 nghiệm riêng   cos sin

10 10

p

y x   x x

Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình cho:

 

2

1

1

cos 3sin

10

x x c p

y y  y c e c e  x x

Trƣờng hợp 4:

- Nếu G(x) tích hàm trƣờng hợp ta thử tìm nghiệm riêng tích hàm có kiểu, ví dụ nghiệm riêng phƣơng trình y2y4yxcos3xcó dạng

   cos  sin

p

y x  AxB x CxD x

- Nếu G(x) tổng hàm trƣờng hợp trên:Nếu    

1 , p p

y x y x nghiệm

riêng phƣơng trình aybycyG x1  aybycyG2 x yp1yp2 nghiệm riêng

của phƣơng trình aybycyG x1 G2 x

Ví dụ 9:Giải phƣơng trình y 4yxexcos 2x Giải:

- Giải phƣơng trình nhất: y 4y0

Phƣơng trình đặc trƣng:

4

r   có nghiệm r1 2, r2  2

Nghiệm tổng quát phƣơng trình 2

1

x x c

y c e c e

- Tìm nghiệm riêng:

Với phƣơng trình y 4y xex, ta thử tìm nghiệm riêng dạng:    

1

x p

y x  AxB e

Với phƣơng trìnhy 4y cos 2x, ta thử tìm nghiệm riêng dạng:  

2 cos sin

p

y x C xD x

Do ta thử tìm nghiệm riêng phƣơng trình y 4yxexcos 2x dạng

    x cos sin

p

y x  AxB e C xD x

    x sin 2 cos ,     x cos sin

p p

y x Ax A B e C x D x y x Ax A B e C x D x

          

Thay vào phƣơng trình (*):

 3Ax 2A 3B e x sin 2D x cos 2C x xex cos 2x

       

3

2

, , ,

8

8

A

A B

A B C D

D C   

  



         

    

 nghiệm riêng   1cos

3

x p

y x   x e  x

 

Vậy nghiệm tổng quát phƣơng trình cho:

Ví dụ 10:Giải phƣơng trình

4 13 xcos

y y ye x Giải:

- Giải phƣơng trình nhất: y4y13y 0

Phƣơng trình đặc trƣng: r2 4r130 có nghiệm

1 , 2

r   i r   i

Nghiệm tổng quát phƣơng trình  

1cos 2sin

x c

y e c xc x

- Tìm nghiệm riêng: Vì  

cos

x

G x e x nên ta thử nghiệm riêng dạng

   

cos sin x

p

y x e A xB x , nhiên lại nghiệm họ nghiệm tổng quát phƣơng trình nên ta tìm nghiệm riêng dạng

   

cos sin x

p

y x xe A xB x

   

2x 2 3 cos 3 3 2 sin 3

p

y e Ax Bx A x Ax Bx B x

         

   

2

5 12 cos 12 sin

x p

y e Ax Bx A B x Ax Bx A B x

            

Thay vào phƣơng trình

4 13 xcos

y y ye x rút gọn ta đƣợc:

1

6 cos sin cos 0,

6 B x A x x A B 

2

1

sin

x p

y xe x

 

Vậy, phƣơng trình cho có nghiệm tổng qt là:  

1

1

cos sin sin

6

x x

ye c xc x  xe x

TÓM TẮT PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:

1 Nếu G x e P xkx   với P đa thức bậc n nghiệm riêng yp x e Q xkx  với Q(x)

là đa thức bậc n

2 Nếu G x e P xkx  cosmx G x e P xkx  sinmxvới P đa thức bậc n nghiệm riêng yp x e Q xkx  cosmxe R xkx  sinmx với Q, R đa thức bậc n

Lưu ý:Nếu nghiệm riêng yp nghiệm phƣơng trình tƣơng ứng, ta cần

nhân yp với x x2

2

1

1

cos

3

x x x

c p

y y  y c e c e  x e  x