- Đối với bài hình học, nếu học sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không được tính điểm..[r]
(1)PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2017 - 2018
ĐỀ THI MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang
Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay.
Câu 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: A
2
2
2 4
:
2
x y x y y x xy y
x y y x x xy y x y
a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A
b) Cho biết: x22016y2 2017xy Hãy tính giá trị biểu thức A Câu 2. (5,0 điểm)
a) Thực phép tính: B =
2 15 10 23
- + - +
-b) Giải phương trình:
x2+5x+4+
2
x2+10x+24=
4
3+
9
x2+3x −18
c)Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 16x28x 1 16x2 24x9 Câu 3. ( 4,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x25y2 255
b) Cho a, b c ba số dương thoả mãn abc1 Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1
2 3
a b b c c a Câu 4. (6,0 điểm)
Cho điểm M di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD, BMEF
a) Chứng minh rằng: AE BC
b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh rằng: 2
1 1
MH MD MF
c) Gọi I giao điểm AC DF, kẻ IK vng góc với AB Biết MD = cm, MF = 2cm Tính độ dài đoạn thẳng IK.
Câu 5. ( 1,0 điểm)
Trên mặt phẳng cho 4037 điểm, biết điểm 4037 điểm ln chọn hai điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh điểm nói có 2019 điểm nằm đường trịn bán kính
(2)Cán coi thi khơng giải thích thêm.
Họ tên thí sinh SBD: phịng thi
PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HDC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2017 - 2018 MƠN: TỐN
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
Câu Nội dung Điểm
1 a
ĐKXĐ: xy x; y x; 2y 0,25
A
2
2
2 4
:
2
x y x y y x xy y
x y x y x xy y x y
0,25
A
2 2 2 2 2
4 4
:
x y x y y x xy x y
x y x y x y
0,5
A
x y x y
x y x y x y
0,5
A
x y x y
x y x y x y
2
x y x y 0,5 b
Ta có: x22016y2 2017xy x y x 2016y 0 0,5 2016 x y x y 0,5
Từ điều kiện, ta có khẳng định 2016 x y x y 0,25 Khi đó: 2017 2017 A = 2018 2018 y
y 0,5
Vậy: 2017 A = 2018 0,25 2 a Ta có: ( ) ( )
2 15 10
B
2 23
- + - +
=
- 0,5
4 15 B
46
- + - + = - 0,5 ( ) ( ) ( ) 2
3 5
B
3
- + - +
=
(3)
2
3 5
B
3
- + - + =
- 0,25
3
B
3
-= =
- 0,25
b
ĐKXĐ: x ≠ -1; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ 0,25 Ta có:
x2
+5x+4+
2
x2
+10x+24=
4
3+
9
x2
+3x −18
0,25
3
1 4 3
x x x x x x
1 1 1
1 4 3
x x x x x x
0,25
3 3
1
1 3 3 3 3
x x x x
x x x x x x x x
0,25
4x2 8x 0 4x x 20 x = x = (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Vậy tập nghiệm phương trình: S = 0,25
c
Ta có: C = 16x28x 1 16x2 24x9
C = (4x1)2 (3 ) x 0,5 C = 4x 1 4x 4x 1 4x 4 0,5 C =
1
(4 1)(3 )
4
x x x
0,25
Vậy GTNN C
1
4 x
0,25
3 a
Ta có: 3x2 5y2 2553x2 255 -5y2 0,25 85 x 85;do x -9 x (1)
0, 5
Mặt khác: 5y25; 255 5 3x25 x25 x5 (2) 0,25 Từ (1) & (2) x 5;0;5 0,25 Với x 5 y6
Với x 0 y2 51 (loại) Với x 5 y6
(4)Suy ra:
2 2 2
1 1 1 1
( )
2 3 1
a b b c c a ab b bc c ac a 0,5
Ta có :
1 1
1 1 1
ab b
ab b bc c ac a ab b b ab ab b 0,5
1 1 ab b ab b
0,25
Vậy:
2 2 2
1 1 1
.1
2 3 2
a b b c c a Dấu “=” xảy a = b = c =
0,25
4
Ta có hình vẽ:
K
I
O D
A M
C
B F E
H
a
Chứng minh được: ∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM· =BCM· 1,0 Mà BCM· + MBC· = 900
EAM· + MBC· = 900 AHB· = 900 0,75
Vậy AE BC 0,25
b
Gọi O giao điểm AC DM
∆AHC vng H có HO đường trung tuyến
1
2
HO AC DM
0,25
∆DHM vuông H DHM· = 900 0,25 4 b Chứng minh tương tự, ta có: MHF· = 900 0,25
Suy ra: DHM· + MHF· = 1800
(5)Áp dụng hệ thức cạnh đường cao vào ∆DMF, ta có: 2
1 1
MH MD MF 0,5
c
Ta có: DMF· = 900
MF DM mà IO DM IO // MF 0,25 Vì O trung điểm DM nên I trung điểm DF
0,25 Vì IK AB (KAB) nên IK // AD // BF IK đường trung bình hình thang
ABFD 0,5
2
AD BF AM BM
IK
0,5
Áp dụng định lý Pitago vào hai tam giác vuông cân AMD BMF, tính được:
AM = 6cm ; BM = 3cm 0,25
Vậy
6 4,5
2
AM BM
IK cm 0,25
5
Gọi A 1 4037 điểm cho Vẽ đường tròn tâm A bán kính 1
Kí hiệu ( )A,1
+) Nếu tất 4036 điểm lại nằm đường trịn tốn giải
0,25
+) Giả sử B nằm ngồi đường trịn ( )A,1 Khi đó, AB >1, vẽ đường trịn tâm B bán kính 1, kí hiệu ( )B,1 Gọi C điểm điểm 4035 điểm cịn lại
0,25 Do A B C, , ba điểm AB >1 nên theo giả thiết AC <1
1
BC < Nên C nằm ( )A,1 ( )B,1 Do đó, 4035 điểm lại nằm ( )A,1 ( )B,1
0,25 Theo nguyên lí Dirichlet hai đường trịn chứa
4035 1 2018
é ù
ê ú+ =
ê ú
ë û điểm cịn lại tính điểm A B ta có đường trịn 2019 điểm
0,25 Lưu ý:
- Nếu học sinh làm theo cách khác hướng dẫn chấm mà cho điểm tối đa