Đang tải... (xem toàn văn)
- Ôn tập cho học sinh nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư.. + Đặt nhân tư chung.[r]
(1)CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 8 Chủ đề 1: Nhân đa thức.
A Mục tiêu:
- Nắm quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức - Học sinh biết trình bày phép nhân đa thức theo cách khác
B Thời lượng: tiết (từ đến 3)
C Thực hiện:
Tiết 1: Câu hỏi
1: Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức 2: Phát biểu quy tắc nhân đa thức với đa thức * Bài tập nhân đơn thức với đa thức
Bài 1: Thực phép nhân a (−2x2).(x3−3x2− x+1)
b (−10x3
+2
5 y − z).(−
1 2xy)
Bài 2: Chứng tỏ đa thức không phụ thuộc vào biến a x(2x+1)− x2(x+2)+(x3− x+3)
b 4(x −6)− x2(2+3x)+x(5x −4)+3x2(x −1)
Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau thực phép toán a 3x(10x2−2x+1)−6x(5x2− x −2) với x = 15
b 5x(x −4y)−4y(y −5x) với x=−
1 5; y=−
1
c xy(xy− y2)−8x2(x − y2)+5y2(x2−xy) với x=
1 2; y=2 Tiết 2:
Bài 4: Điền vào chỗ dấu * để đẳng thức a 36x3y4−=(4x2y −2y3)
b ab
2
+¿ ¿
−2a3b.¿
Bài 5: Chứng minh đẳng thức sau: a a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = -2ac b a(1 - b) + a(a2 - 1) = a.(a2 - b)
c a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x)
(2)a 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100 b 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138 * Bài tập nhân đa thức với đa thức
Bài 1: Làm tính nhân a (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
b (2a3 - + 3a)(a2 - + 2a)
Tiết 3:
Bài 2: Chứng tỏ đa thức sau không phụ thuộc vào biến (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
Bài 3: Cho x = y + Tính a x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 b x2 + y(y - 2x) + 75
Bài 4: Tính giá trị biểu thức a A = x3 - 30x2 - 31x + x = 31
b B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x x = 14
Bài 5: CMR với số nguyên n
a (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + chia hết cho 5.
b (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) chia hết cho
Chủ đề 2: Tứ giác. A Mục tiêu:
- Học sinh nắm định nghĩa tứ giác, tứ giác lồi, tổng góc tứ giác lồi - Biết vẽ, gọi tên yếu tố, biết tính số đo góc tứ giác lồi
B Thời lượng: tiết (tiết 4)
Tiết 4:
C Thực hiện: Câu hỏi
1: Thế tứ giác, tứ giác lồi? 2: Tổng góc tứ giác bằng?
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC cạnh AD Chứng minh cạnh BC nhỏ đường chéo BD
Bài 2: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA a CMR: BD đường trung trực AC b Chã biết góc B = 1000, góc D = 700
(3)Bài 3: Tính góc tứ giác: ABCD biết Góc <A : <B : <C : <D = : : :
Chủ đề 3: Hình thang A Mục tiêu:
- Nắm định nghĩa hình thang, hình thang vng, hình thang cân - Biết vẽ tính số đo góc hình thang
B Thời lượng: tiết (Tiết 5, 6, 7, 8)
C Thực hiện: Tiết 5:
Câu hỏi:
1 Thế hình thang, hình thang vng, hình thang cân Hình thang có tính chất nào?
3 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
4 Định nghĩa đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang tính chất
Bài 1: Tính góc hình thang ABCD (AB//CD) biết góc <A = 3<D; <C = 300.
Bài 2: Tứ giác ABCD có BC = CD DB tia gica góc D CMR ABCD hình thang
Bài 3: Chứng minh hình thang tia phân giác hai góc kÌ cạnh bên vng góc với
Tiết 6:
Bài 4: Cho hình thang vng ABCD có <A = <D = 900; AB = AD = 2cm,
DC = 4cm Tính góc hình thang
Bài 5: Hình thang cân ABCD có AB // CD O gia điểm hai đường chéo CMR: OA = OB, OC = OD
Bài 6: Cho tam giác ABC cân A cạnh bên AB, AC lấy điểm M, N cho BM = CN
a Tứ giác BMNC hình gì? Vì sao?
b Tính góc tứ giác BMNC biết <A = 400.
Tiết 7:
(4)Bài 8:
a Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a Đường cao AH CMR: HD = a− b2 , HC = a+2b (a, b có đơn vị đo)
b.Tính đường cao hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm, cạnh bên 17cm
Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC cho AD = 12 DC Gọi M trung điểm BC, I gia điểm BD AM CMR: AI = IM
Tiết 8:
Bài 10: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ thù trung điểm AD, BC, AC CMR
a EI // CD, IF // AB
b b EF < AB+2CD
Bài 11: Cho hình thang ABCD (AB // CD) M trung điểm AD, N trung điểm BC Gọi I, K theo thứ tự giao điểm MN BD, MN AC Cho biết AB = 6cm, AD = 14cm Tính độ dài MI, IK, KN
Bài 12: Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết <D = 900, AD = 2cm, CD = 4cm,
BC = 3cm
Chủ đề 4: Các đẳng thức đáng nhớ. A Mục tiêu:
- Học sinh nắm đẳng thức đáng nhớ
- Biết vận dụng đẳng thức vào việc giải toán
B Thời lượng: tiết (tiết 9, 10, 11)
C Thực hiện:
Tiết 9:
Bài 1: Biểu diễn đa thức sau dạng bình phương tổng a x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
b u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
Bài 2: Điền đơn thức thích hợp vào dấu * a 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
b 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
c x3 - * + * - * = (* - 2y)3
Bài 3: Rút gọn biểu thức: a (a - b + c + d)(a - b - c - d) b (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
(5)d (x + y)3 - (x - y)3
e (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
Tiết 10:
Bài 4: Chứng minh
a (a2 + b2) (x2 + y2) = (ay - bx)2 + (· + by)2
b (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
c (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2
Bài 5: Trong hai số sau, số lớn
a A = 1632 + 74 163 + 372 bà B = 1472 - 94 147 + 472
b C = (22 + 42 + + 1002) - (12 + 32 + + 992)
c D = 38 78 - (214 + 1)
d E = x − yx
+y H =
x2− y2 x2
+y2 với x > y >
Tiết 11:
Bài 6: Xác định hệ số a, b cho đa thức sau viết dạng bình phương đa thức
a x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b b x4 + ax3 + bx2 - 8x + 1
Bài 7: Tìm giá trị lớn đa thức: a C = - 8x - x2
b D = - 3x(x + 3) -
Bài 8: Tìm giá trị nhỏ đa thức a A = x2 + 5x + 8
b B = x(x - 6)
Chủ đề 5: Phân tích đa thức thành nhân tư. A Mục tiêu:
- Ơn tập cho học sinh tính chất phân phối phép nhân phép cộng: a(b + c) = ab + ac
- Ôn tập cho học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư + Đặt nhân tư chung
+ Dùng đẳng thức đáng nhớ + Nhóm hạng tư
+ Phối hợp nhiều phương pháp
Ngoài cho học sinh làm quen với nhiều phương pháp khác như: + Tách hạng tư thành nhiều hạng tư
(6)B Thời lượng: tiết (tiết 12, 13, 14)
C Thực hiện:
Tiết 12:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp đặt nhân tư chung a 12xy - 4x2y + 8xy2
b 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y) c 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
d 3x(a - x) + 4a(a - x)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp dùng đẳng thức a
1 36a
2−1
4b
2
b (x + a)2 - 25
c x2 + 2x + - y2 + 2y - 1
d - 125a3 + 75a2 - 15a + 1
Tiết 13:
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp nhóm hạng tư a 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
b x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
c a2x + a2y - 7x - 7y
d x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư cách phối hợp nhiều phương pháp a x4 + x2y2 + y4
b x3 + 3x - 4
c x3 - 3x2 + 2
d 2x3 + x2 - 4x - 12
Tiết 14:
Bài 5: Tính cách hợp lý giá trị biểu thức
a
19(3 5
1 3+4
2 3,8)
b a2 - 86a + 13 với a = 87
c a2 + 32a - 300 với a = 68
d a3 - b 3 - 3ab(a - b) với a = - 27, b = - 33
Bài 6: Tìm x biết:
(7)ĐÁP ÁN
CÁC DẠNG BÀI TẬP TOÁN LỚP 8
.
Chủ đề 1: Nhân đa thức. A Mục tiêu:
- Nắm quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức - Học sinh biết trình bày phép nhân đa thức theo cách khác
B Thời lượng: tiết (từ đến 3)
C Thực hiện:
Tiết 1: Câu hỏi
1: Phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức 2: Phát biểu quy tắc nhân đa thức với đa thức * Bài tập nhân đơn thức với đa thức
Bài 1: Thực phép nhân a (−2x2).(x3−3x2− x
+1)
b (−10x3
+2
5 y − z).(−
1 2xy) Giải:
a (−2x2).(x3−3x2− x+1) = −2x5+6x4+2x3−2x2
b (−10x
3
+2
5 y − z).(−
1 2xy)
= 5x4 y −1
5xy
2
+1
6xyz Bài 2: Chứng tỏ đa thức không phụ thuộc vào biến a x(2x+1)− x2(x
+2)+(x3− x
+3)
b 4(x −6)− x2(2+3x)+x(5x −4)+3x2(x −1)
Giải:
a x(2x+1)− x2(x+2)+(x3− x
+3) = = 2x2+x − x3−2x2+x3− x+3=3
Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến x b 4(x −6)− x2(2
+3x)+x(5x −4)+3x2(x −1) =
= 4x −24−2x2+3x3+5x2−4x+3x3−3x2=−24
(8)Bài 3: Tính giá trị biểu thức sau thực phép toán a 3x(10x2−2x
+1)−6x(5x2− x −2) với x = 15 b 5x(x −4y)−4y(y −5x) với x=−
1 5; y=−
1
c xy(xy− y2)−8x2(x − y2)+5y2(x2−xy) với x=
1 2; y=2 Giải:
a 3x(10x2−2x+1)−6x(5x2− x −2) = = 30x3−6x2
+3x −30x3+6x2+12x=15x Thay x = 15 ta có: 15x=15 15=225
b 5x(x −4y)−4y(y −5x) = 5x2−20 xy−4y2+20 xy = 5x2−4y2
Thay x=1
2; y=2 ta có: (− 5)
2
−4(−1
2)
2
=1
5−1=−
c xy(xy− y2)−8x2(x − y2)
+5y2(x2−xy) = = 6x2y2−6 xy3−8x3
+8x2y2+5x2 y2−5 xy3 =
= 19x2y2−11xy3−8x3 Thay x=1
2; y=2 ta có: 19 ( 2)
2
22−11.
(12)
3−8
(12)
3
=19−44−1=−26
Tiết 2:
Bài 4: Điền vào chỗ dấu * để đẳng thức a 36x3y4−=(4x2y −2y3)
b
4 ab2
+¿ ¿
−2a3b.
¿
Giải:
a Vì 4x2y
=36x3y4=9 xy3 4x2y nên dấu * vỊ phải 9xy3
Vì * vế trái tích 9xy3 với 2y3 nên phải điền vào dấu * biểu thức
xy3.2y3
=18 xy6 ta có đẳng thức
36x3y4−18 xy6=9 xy3.(4x2y −2y3) b Lý luận tương tự câu a
Đẳng thức là: −2a3b.(4 ab2−12a2b)=−8a4b3+a5b2
(9)b a(1 - b) + a(a2 - 1) = a.(a2 - b)
c a.(b - x) + x.(a + b) = b.(a + x)
Giải:
a VT = a.(b - c) - b.(a + c) + c.(a - b) = ab - ac - ab - bc + ac - bc
= -2bc = VP ⇒ đpcm
b VT = a.(1 - b) + a.(a2 - 1)
= a - ab + a3 - a
= a3 - ab = a.(a2 - b) = VP ⇒ đpcm.
c VT = a.(b - x) + x.(a + b) = ab - ax + ax + xb
= ab + xb = b(x + a) = VP ⇒ đpcm
Bài 6: Tìm x biết
a 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100 b 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
Giải:
a 5x.(12x + 7) - 3x(20x - 5) = - 100
⇔ 60x2 + 35x - 60x2 + 15x = - 100
⇔ 50x = - 100
⇔ x = -
b 0,6x(x - 0,5) - 0,3x(2x + 1,3) = 0,138
⇔ 0,6x2 - 0,3x - 0,6x2 - 0,39x = 0,138
⇔ - 0,6x = 0,138
⇔ x = 0,138 : (- 0,6)
⇔ - 0,2
* Bài tập nhân đa thức với đa thức
Bài 1: Làm tính nhân a (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
b (2a3 - + 3a)(a2 - + 2a)
Giải:
a (x2 + 2)(x2 + x+ 1)
= x4 + x3 + x2 + 2x2 + 2x + 2
= x4 + x3 + 3x2 + 2x + 2
b (2a3 - + 3a)(a2 - + 2a)
= 2a5 - 10a3 + 4a4 - a2 + - 2a + 3a3 - 15a + 6a2
(10)Tiết 3:
Bài 2: Chứng tỏ đa thức sau không phụ thuộc vào biến (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
Giải: (x2 + 2x + 3)(3x2 - 2x + 1) - 3x2(x2 + 2) - 4x(x2 - 1)
= 3x4 - 2x3 + x2 + 6x3 - 4x2 + 2x + 9x2 - 6x + - 3x4 - 6x2 - 4x3 + 4x = 3
Kết số Vậy đa thức không phụ thuộc vào biến
Bài 3: Cho x = y + Tính a x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 b x2 + y(y - 2x) + 75
Giải:
a x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 Từ giả thiết x = y + ⇒ x - y = Ta có: x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 65 = x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 65
= x2- xy + y2 - xy + 2x - 2y + 65
=x(x - y) - y(x - y) + 2(x - y) + 65 = (x - y)(x - y) + 2(x - y) + 65 = (x - y)2 + 2(x - y) + 65
= 52 - 2.5 + 65 = 100
b x2 + y(y - 2x) + 75
= x2 + y2 - 2xy + 75
= x(x - y) - y(x - y) + 75 = (x - y) (x - y) + 75 = 5.5 + 75 = 100
Bài 4: Tính giá trị biểu thức a A = x3 - 30x2 - 31x + x = 31
b B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x x = 14
Giải:
a Với x = 31
A = x3 - 30x2 - 31x + = x3 - (x - 1)x2 - x.x +1
= x3 - x3 + x2 + = 1
b Với x = 14
B = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13
= x5 - (x + 1)x4 + (x + 2)x3 - (2x + 1)x2 + x(x - 1)
= x5 - x5 - x4 + x4 + 2x3 - 2x3 - x2 + x2 - x = -x = - 14
(11)a (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + chia hết cho 5.
b (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) chia hết cho
Giải:
a Ta có: (n2 + 3n - 1)(n + 2) - n3 + 2
= n3 + 3n2 - n + 2n2 + 6n - - n3 + 2
= 5n2+ 5n = 5(n2 + n) ⋮ n ∀ n
b (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1)
= 6n2 + n + 30n + - 6n2 - 10n + 3n + 5
= 24n + 10 = 2(12n + 5) ⋮2 ∀ n
Chủ đề 2: Tứ giác. A Mục tiêu:
- Học sinh nắm định nghĩa tứ giác, tứ giác lồi, tổng góc tứ giác lồi - Biết vẽ, gọi tên yếu tố, biết tính số đo góc tứ giác lồi
B Thời lượng: tiết (tiết 4)
Tiết 4:
C Thực hiện: Câu hỏi
1: Thế tứ giác, tứ giác lồi? 2: Tổng góc tứ giác bằng?
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường chéo AC cạnh AD Chứng minh cạnh BC nhỏ đường chéo BD
Giải: C
Gọi O giao điểm hai đường chéo B
Trong tam giác AOD ta có:
AD < AO + OD (1) O
Trong tam giác BOC ta có
BC < OC + BO (2) A D
Cộng vỊ (1) (2) ta có: AD + BC < AC + BD (3)
Theo đề ra: AC = AD nên từ (3) ⇒ BC < BD (®pcm)
Bài 2: Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA a CMR: BD đường trung trực AC b Chã biết góc B = 1000, góc D = 700
(12)A
Giải:
a BA = BC (gt)
DA = DC (gt) B D
⇒ BD đường trung trực AC
C
b ΔABD=ΔCBD (c.c.c)
⇒ Góc <BAD = <BCD (hai góc tương ứng)
ta lại có: Góc <BAD + <BCD = 3600 - <B - <D
= 3600 - 1000 - 70 0 = 1900
Do đó: Góc <A = <C = 1900 : 2 = 95
Bài 3: Tính góc tứ giác: ABCD biết Góc <A : <B : <C : <D = : : :
Giải:
Theo tính chất dãy tỉ số tổng góc tứ giác ta có:
A
1=
B
2=
C
3=
D
4=
A+B+C+D
1+2+3+4 =
3600 10 =36
0
Do đó: góc <A = 360; <B= 720; <C = 1080 ; <D = 1440
Chủ đề 3: Hình thang A Mục tiêu:
- Nắm định nghĩa hình thang, hình thang vng, hình thang cân - Biết vẽ tính số đo góc hình thang
B Thời lượng: tiết (Tiết 5, 6, 7, 8)
C Thực hiện: Tiết 5:
Câu hỏi:
1 Thế hình thang, hình thang vng, hình thang cân Hình thang có tính chất nào?
3 Dấu hiệu nhận biết hình thang cân
4 Định nghĩa đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang tính chất
(13)<C = 300.
Giải:
Từ <A + <D = 1800, <A = 3<D ⇒ <D = 450, <A = 1350
Từ <B + <C = 1800, <B - <C = 300 Ta tính được: <C = 21800−300
❑ =75
<B = 1800 - 750 = 1050
Bài 2: Tứ giác ABCD có BC = CD DB tia gica góc D CMR ABCD hình thang
Giải:
ΔBCD có BC = CD ⇒ ΔBCD tam giác cân B C
⇒ <D1 = <B1
Theo gt <D1 = <D2 ⇒ <B1 = <D2 Do BC // AD
Vậy ABCD hình thang
A D
Bài 3: Chứng minh hình thang tia phân giác hai góc kÌ cạnh bên vng góc với
Giải: Xét hình thang ABCD có AB // CD A B Ta có: <A1 = <A2 = 12 <A
<D1 = <D2 =
1
2 <D E
mà <A + <D = 1800 D C
Nên <A1 + <D1 = 900
Trong ΔADE có <A1+ <D1 = 900
⇒ <AED = 900 Vậy AE DE
Tiết 6:
Bài 4: Cho hình thang vng ABCD có <A = <D = 900; AB = AD = 2cm,
DC = 4cm Tính góc hình thang
Giải: A B
Kẻ BH vng góc với CD Hình thang ABHD
có hai cạnh bên AD// BH ⇒ AD = BH, AB = DH
Do đó: HB = HD = 2cm ⇒ HC = 2cm
Δ BHC vuông H ⇒ <C = 450 D
C
(14)Bài 5: Hình thang cân ABCD có AB // CD O gia điểm hai đường chéo
CMR: OA = OB, OC = OD A B
Giải:
Vì ABCD hình thang cân nên
AD = BC, <ADC = <BCD
ΔADC=ΔBCD (c.g.c) D C
⇒ <C1 = <D1 ⇒ ΔOCD cân ⇒ OC = OD
Ta lại có: AC = BD nên OA = OB
Bài 6: Cho tam giác ABC cân A cạnh bên AB, AC lấy điểm M, N cho BM = CN
a Tứ giác BMNC hình gì? Vì sao?
b Tính góc tứ giác BMNC biết <A = 400.
Giải:
a Tam giác ABCD cân A A
⇒ <B = <C = 1800− A
2
Lại có BM = CN (gt) ⇒ AM = AN M N
⇒ ΔAMN cân A
<M1 = <N1 = 180
− A
2
⇒ <B = <M1 đó: MN //BC B
C
Vậy tứ giác BMNC hình thang Lại có: <B = <C nên BMNC hình thang cân
b <B = <C = 700, <M
2 = <N2 = 1100
Tiết 7:
Bài 7: Cho hình thang cân ABCD có O giao điểm hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC E giao điểm hai đường chéo CMR OE đường trung
trực hai đáy
Giải: O
ABCD hình thang cân ⇒ <D = <C
⇒ ΔODC cân ⇒ OD = OC
⇒ mà AD = BC (gt) ⇒ OA = OB A B
Vậy O thuộc đường trung trực hai đáy E
(15)⇒ <C1 = <D1 ⇒ ED = EC (1) D
C
Lại có: AC = BD nên EA = EB (2) Từ (1) (2) ⇒ E thuộc đường trung trực hai đáy
Vậy OE đường trung trực hai đáy
Bài 8:
a Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a Đường cao AH CMR: HD = a− b2 , HC = a+2b (a, b có đơn vị đo)
b.Tính đường cao hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm, cạnh bên 17cm
Giải:
a KỴ đường cao BK
ΔAHD=ΔBKC (cạnh huyền góc nhọn)
⇒ HD = KC A B
Hình thang ABKH có cạnh bên AH, BK song song nên AB = HK Ta có: a - b = DC - AB = DC - HK
= HD + KC = 2HD D H K C
Vậy HD = a− b2 , HC = DC - HD =
a− b
2 =
a+b
2
b Xét hình thang cân ABCD có đáy AB = 10cm, đáy CD = 26cm, cạnh bên AD = 17cm
Trước hết ta có: HD = 8cm
⇒ AH2 = 172 - 82 = 289 - 64 = 225 = 152
Vậy AH = 15cm
Bài 9: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC cho AD = 12 DC Gọi M trung điểm BC, I gia điểm BD AM CMR: AI = IM
Giải: A
Gọi E trung điểm DC D
Vì ΔBDC có BM = MC, DE = EC I
Nên BD // ME ⇒ DI // EM E
(16)Nên AI = IM
B
M C
Tiết 8:
Bài 10: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ thù trung điểm AD, BC, AC CMR
c EI // CD, IF // AB
d b EF < AB+2CD
Giải:
Xét ΔADC có: AE = ED
AI = IC nên EI // DC, EI = 12DC
Tương tự ΔABC có: AI = IC, BF = FC
B
Nên IF // AB, IF = 12 AB A
b Trong ΔEFI ta có: EF EI + IF K
⇒ EF CD2 +AB
2 E F
Vậy EF AB+CD
2 D C
Dấu “=” xảy E, I, F thẳng hàng, tức AB // DC
Bài 11: Cho hình thang ABCD (AB // CD) M trung điểm AD, N trung điểm BC Gọi I, K theo thứ tự giao điểm MN BD, MN AC Cho biết AB = 6cm, AD = 14cm Tính độ dài MI, IK, KN
Giải:
Vì MN đường trung bình
hình thang ABCD nên MN // AB // DC A B Xét ΔADC có AM = MD, MK // DC
⇒ KA = KC Do đó: MK = DC2 =14
2 =7 cm I K
Tương tự: ΔABD có AM = MD, MI // AB D C
nên BI = ID Do đó: MI = 12AB=6
2=3 cm
(17)Xét ΔABC có BN = NC, NK // AB
⇒ AK = KC Vậy KN = 12AB=6
2=3 cm
Bài 12: Dùng hình thang ABCD (AB // CD), biết <D = 900, AD = 2cm, CD = 4cm,
BC = 3cm
Giải: B B/ x
* Cách dùng: A - Dựng tam giác ABC, biết hai cạnh góc
xen
AD = 2cm, CD = 4cm, <D = 900
- Dựng tia Ax AD (Ax C thuộc D C
một nửa mặt phẳng bê AD)
- Dựng cung tròn tâm C có bán kính 3cm, cắt tia Ax B - KỴ đoạn thẳng BC
* Chứng minh:
Tứ giác ABCD hình thang vì: AB // CD Hình thang ABCD có <D = 900, AD = 2cm,
CD = 4cm, Cb = 3cm
Vậy hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu tốn * Biện luận:
Ta dùng hai hình thang thoả mãn điều kiện toán: ABCD, AB/CD
Bài 13: Dùng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, <C = 500,
<D = 700 A B B x
Giải: * Phân tích
Giả sử dùng hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu toán Qua A kẻ
đường thẳng song song với BC cắt CD E D E C Hình thang ABCD có hai cạnh bên AE, BC
Song song nên EC = AB = 2cm Do đó: DE = 2cm
Tam giác ADE dùng biết cạnh góc kÌ Từ dùng điểm C B
* Cách dùng:
- Dựng tam giác ADE biết DE = 2cm, <D = 700, <E = 500
- Trên tia DE dựng điểm C cho DC = 4cm
(18)* Chứng minh:
ABCD hình thang vì: AB // CD
Ta có: <D = 700, DC = 4cm, <C = <ABD ⇒ <C = 500
Hình thang ABCE có hai cạnh bên AE, BC song song Nên AB = EC = - = 2cm
Chủ đề 4: Các đẳng thức đáng nhớ. A Mục tiêu:
- Học sinh nắm đẳng thức đáng nhớ
- Biết vận dụng đẳng thức vào việc giải tốn
B Thời lượng: tiết (tiết 9, 10, 11)
C Thực hiện:
Tiết 9:
Bài 1: Biểu diễn đa thức sau dạng bình phương tổng a x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
b u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
Giải:
a x2 + 2x(y + 1) + y2 + 2y + 1
= x2 +2x(y + 1) + (y + 1)2
= (x + y + 1)2
b u2 + v2 + 2u + 2v + 2(u + 1)(v + 1) + 2
= (u2 + 2u + 1) + (v2 + 2v + 1) + 2(u + 1)(v + 1)
= (u + 1)2 + (v + 1)2 + 2(u + 1)(v + 1)
= (u + + v + 1)2
= (u + v + 2)2
Bài 2: Điền đơn thức thích hợp vào dấu * a 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
b 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
c x3 - * + * - * = (* - 2y)3
Giải:
a 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3
⇔ (2x)3 + * + * + (3y)3
⇔ 8x3 + 3(2x)2.3y + 3(2x).(3y)2 + (3y)2 = (2x + 3y)3
⇔ 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 = (2x + 3y)3
b 8x3 + 12x2y + * + * = ( * + *)3
⇔ (2x)3 + 3(2x)2y + 3.2x (y)2 + y3 = (2x + y)3
(19)c x3 - * + * - * = (* - 2y)3
⇔ x3 - 3x2 2y + 3x(2y)2 - (2y)3 = (x - 2y)3
⇔ x3 - 6x2y + 12xy2 - 8y3 = (x - 2y)3
Bài 3: Rút gọn biểu thức: a (a - b + c + d)(a - b - c - d) b (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
c (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
d (x + y)3 - (x - y)3
e (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
Giải:
a (a - b + c + d)(a - b - c - d) = [(a −b)+(c+d)].[(a − b)−(c+d)]
= (a - b)2 - (c + d)2
= a2 - 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2
= a2 + b2 - c2 - d2 - 2ab - 2cd
b (x + 2y + 3z)(x - 2y + 3z)
= [(x+3z)+2y].[(x+3z)−2y]
= (x + 2z)2 - (2y)2
= x2 + 6xz + 9z2 - 4y2
c (x - 1)(x2 - x - 1)(x + 1)(x2 + x + 1)
= (x3 - 1) (x3 + 1) = x6 - 1
d (x + y)3 - (x - y)3
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) - (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3)
= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 - x3 + 3x2y - 3xy2 + y3
= 6x2y + 2y3 = 2y(3x2 + y2)
e (x2 + 3x + 1)2 + (3x + 1)2 - 2(x2 + 3x + 1)(3x - 1)
= [(x2
+3x+1).(3x −1)]2
= (x2 + 3x + - 3x + 1)2 = (x2 + 2)2
Tiết 10:
Bài 4: Chứng minh
a (a2 + b2) (x2 + y2) = (ay - bx)2 + (· + by)2
b (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
c (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2
Giải:
(20)VP = (ay - bx)2 + (· + by)2
= ay2 - 2abxy + b2x2 + a2x2 + 2abxy + b2y2
= a2y2 + a2x2 + b2x2 + b2y2
= a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)
= (a2 + b2) (x2 + y2) = VT ⇒ ®pcm
b (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
VP = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2
= a2 + 2ab + b2 + b2 + 2bc + c2 + c2 + 2ac + a2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2
= (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = VT ⇒ ®pcm
c (x + y)4 + x4 + y4 = 2(x2 + xy + y2)2
VT = (x + y)4 + x4 + y4
= x2 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 + x4 + y4
= 2(x4 + y4 + x2y2 + 2x3y + 2xy3 + 2x2y2)
= 2(x2 + y2 + xy)2 = VP ⇒ ®pcm
Bài 5: Trong hai số sau, số lớn
a A = 1632 + 74 163 + 372 bà B = 1472 - 94 147 + 472
b C = (22 + 42 + + 1002) - (12 + 32 + + 992)
c D = 38 78 - (214 + 1)
d E = x − yx
+y H =
x2− y2 x2
+y2 với x > y >
Giải:
a A = (163 + 37)2 = 2002 = 40000
B = (147 - 47)2 = 1002 = 10000
Vậy A > B
b C = (22 - 12) + (42 - 32) + + (1002 - 992)
= + + + 199 =
(3+199) 50
2 =5050
D = (3 7)8 - (218 - 1) = 1
Vậy D < C c E =
x+y¿2 ¿ ¿
x − y x+y=
(x − y)(x+y)
¿
= H (Vì x > y > 0)
(21)Bài 6: Xác định hệ số a, b cho đa thức sau viết dạng bình phương đa thức
a x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b b x4 + ax3 + bx2 - 8x + 1
Giải:
a Giả thiết rằng: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2
Xét trường hợp: x4 + c2x2 + d2 + 2cx3 + 2dx2 + 2cdx
= x4 + 2cx3 + x2(c2 + 2d) + 2cdx + d2
Sử dụng phương pháp đồng hệ số ta có:
¿
2c=2
c2+2d=3
2 cd=a
b=d2
¿{ { {
¿
⇒
¿
c=1
d=1
a=2
b=1
¿{ { {
¿
Xét trường hợp x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (- x2 + cx + d)2
Ta được: a = 2; b = 1; c = d =
Vậy x4 + 2x3 + 2x + = (x2 + x + 1)2 = (- x2 - x - 1)2
Bài 7: Tìm giá trị lớn đa thức: a C = - 8x - x2
b D = - 3x(x + 3) -
Giải:
a C = - 8x - x2 = - x2 - 8x - 16 + 16 + 5
= - (x2 + 8x + 16) + 21 = - (x + 4)2 + 21
Vì (x + 4)2 ∀ x ⇒ - (x + 4)2 0∀x
Do đó: - (x + 4)2 + 21 21
Vậy giá trị lớn C 21 x + = ⇒ x = - b D = - 3x(x + 3) - = - 3x2 - 9x - 7
= - 3(x2 + 2x
2+ 4−
9 ) -
= - (x −3
2)
2
+27
4 −7
= - (x+3
2)
2 −1
4
Vì (x+3
2)
2
≥0∀x⇒−3(x+3
2)
2 ≤0∀x
Do đó: −3(x+3
2)− 4≤ −
1
Vậy giá trị lớn D −1
x+3
(22)Bài 8: Tìm giá trị nhỏ đa thức a A = x2 + 5x + 8
b B = x(x - 6)
Giải: A = x
2 + 5x + = x2 + x 5
2+ 25
4 25
4 +8
= (x+5
2)
2
+7
4
Vì (x+5
2)
2
≥0∀x nên (x+5
2)
2
+7
4≥
Vậy A có giá trị nhỏ
7
4 x+
2=0⇒x=−
b B = x(x - 6) = x2 - 6x
= x2 + 6x + - = (x - 3)2 - 9
Vì (x - 3)2 6∀x nên (x - 2)2 - −9
Vậy B có giá trị nhỏ - x - = ⇒ x =
Chủ đề 5: Phân tích đa thức thành nhân tư. A Mục tiêu:
- Ơn tập cho học sinh tính chất phân phối phép nhân phép cộng: a(b + c) = ab + ac
- Ôn tập cho học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tư + Đặt nhân tư chung
+ Dùng đẳng thức đáng nhớ + Nhóm hạng tư
+ Phối hợp nhiều phương pháp
Ngoài cho học sinh làm quen với nhiều phương pháp khác như: + Tách hạng tư thành nhiều hạng tư
+ Thêm bớt hạng tư thích hợp + Phương pháp đặt biến phụ
B Thời lượng: tiết (tiết 12, 13, 14)
C Thực hiện:
Tiết 12:
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp đặt nhân tư chung a 12xy - 4x2y + 8xy2
b 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y) c 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
(23)Giải:
a 12xy - 4x2y + 8xy2 = 4xy(3 - x + 2y)
b 4x(x - 2y) - 8y(x - 2y)
= (x - 2y) (4x - 8y) = 4(x - 2y) (x - 2y) = 4(x - 2y)2
c 25x2(y - 1) - 5x3(1 - y)
= 25x2(y - 1) + 5x3(y - 1)
= (y - 1) (25x2 + 5x3) = 5x2(y - 1) (5 - x)
d 3x(a - x) + 4a(a - x) = (a - x) (3x + 4a)
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp dùng đẳng thức a
1 36a
2 −1
4b
2
b (x + a)2 - 25
c x2 + 2x + - y2 + 2y - 1
d - 125a3 + 75a2 - 15a + 1
Giải:
a
36a
2−1
4b
2 =
(16a)
2 −(1
2b)
2
=(1
6a+ 2b).(
1 6a−
1 2b)
b (x + a)2 - 25 = (x + a)2 - 52 = (x + a + 5) (x + a - 5)
c x2 + 2x + - y2 + 2y - = (x + 2x + 1) - (y2 - 2y + 1)
= (x + 1)2 - (y - 1)2 = (x + + y - 1) (x + - y + 1)
= (x + y) (x - y + 2)
d - 125a3 + 75a2 - 15a + = (1 - 5a)3
Tiết 13:
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tư phương pháp nhóm hạng tư a 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
b x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
c a2x + a2y - 7x - 7y
d x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
Giải:
a 4x2 - 9y2 + 4x - 6y
= (4x2 - 9y2) + (4x - 6y) = (2x + 3y) (2x - 3y) + 2(2x - 3y)
= (2x - 3y) (2x + 3y + 2)
b x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3
= x3 + y - 3x2y + 3xy2 - x - y3
(24)= (x - y)3 - (x - y)
= (x - y) [(x − y)2−1] = (x - y) (x - y + 1) (x - y - 1) c a2x + a2y - 7x - 7y
= (a2x + a2y) - (7x + 7y) = a2(x + y) - 7(x + y)
= (x + y) (a2 - 7)
d x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x + 1)2
= [x(x+1)2−5(x+1)2]+x(x −5) = (x + 1)2 (x - 5) + x(x - 5) = (x - 5) [(x+1)2+x] = (x - 5) (x2 + 3x + 1)
Bài 4: Phân tích đa thức thnµh nhân tư cách phối hợp nhiều phương pháp a x4 + x2y2 + y4
b x3 + 3x - 4
c x3 - 3x2 + 2
d 2x3 + x2 - 4x - 12
Giải:
a x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2 = (x2 + y2 )2 - (xy)2
= (x2 + y2 + xy) (x2 + y2 - xy)
b x3 + 3x - = x3 - 3x2 + 3x - + 3x2 - 3
= (x - 1)3 + 3(x2 - 1) = (x - 1)3 + 3(x + 1) (x - 1)
= (x - 1) [(x −1)2+3(x+1)] = (x - 1) (x2 + x + 4) c x3 - 3x2 + = x3 - 3x2 + 3x - - 3x + 3
= (x - 1)3 - 3(x - 1) = (x - 1) [(x −1)2−3] = (x - 1) (x2 - 2x - 2)
d 2x3 + x2 - 4x - 12 = (x2 - 4x + 4) + (2x3 - 16)
= (x - 2)2 + 2(x3 - 8) = (x- 2)2 + 2(x - 2) (x2 + 2x + 4)
= (x - 2) [(x −2)+2(x2+2x+4)] = (x - 2) (2x2 + 5x + 6)
Tiết 14:
Bài 5: Tính cách hợp lÝ giá trị biểu thức
a
19(3 5
1 3+4
2 3,8)
b a2 - 86a + 13 với a = 87
c a2 + 32a - 300 với a = 68
d a3 - b 3 - 3ab(a - b) với a = - 27, b = - 33
Giải:
a
19(3 5
1 3+4
2
3 3,8) = 19
19
5 (5+4+ 3+
(25)b a2 - 86a + 13 = 87(87 - 86) + 13 = 87 + 13 = 100
c a2 + 32a - 300 = 68(68 + 32) - 300 = 68 100 - 300 = 6500
d a3 - b 3 - 3ab(a - b) = (a - b) (a2 + ab + b2 - 3ab)
= (a - b)3 = (- 27 + 33)3 = 63 = 216
Bài 6: Tìm x biết:
a (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - = b (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2
Giải:
a (x - 2) (x - 3) + (x - 2) - =
⇔ (x - 2) (x - + 1) - =
⇔ (x - 2)2 - = 0
⇔ (x - + 1) (x - - 1) =
⇔ (x - 1) (x - 3) =
⇔ x = x =
Vậy nghiệm phương trình: x1 = 1, x2 =
b (x + 2)2 - 2x(2x + 3) = (x + 1)2
⇔ (x + 2)2 - (x + 1)2 - 2x(2x + 3) = 0
⇔ (x + + x + 1) (x + - x - 1) - 2x(2x + 3) = ⇔ (2x + 3) - 2x(2x + 3) =
⇔ (2x + 3) (1 - 2x) = ⇔ x = -
3
x =
Vậy nghiệm PT: x1 = -
3
, x2 =