anh đẹp lịch sử 12 nguyễn thanh bình thư viện tư liệu giáo dục

Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC. VÏ EF vu«ng gãc AD. Gäi M lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn cung nhá AB lÊy mét ®iÓm C. Tõ A vÏ tiÕp tuyÕn xy víi ®êng trßn. Trªn cung nhá AB lÊy mét ®iÓm M. Gäi M lµ t[r]

Môc lôc

Môc lôc

Phần I: đại số

Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức 2

Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa 2

Dạng 2: Biến đổi đơn giản cn thc 2

Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán 4

Ch đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét 13

Dạng 1: Giải phơng trình bậc hai 13

Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiƯm 13

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc 13

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm 14

Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trớc 15

D¹ng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số Error! Bookmark not defined. Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số. 15

Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bËc hai 16

Chủ đề 3: Hệ phơng trình 12

Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn: 12

Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng 12

Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ 12

Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc 12

Một số hệ bậc hai đơn giản: Error! Bookmark not defined Dạng 1: Hệ đối xứng loại I Error! Bookmark not defined. Dạng 2: Hệ đối xứng loại II Error! Bookmark not defined. Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số Error! Bookmark not defined. Chủ đề 4: Hàm số đồ thị 19

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 21

Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 21

Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol 21

Chủ đề 5: Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình 22

Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sông có tính đến dịng nớc chảy) 22

D¹ng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) 22

Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trm 22

Dạng 4: Toán có nội dung hình học 22

Dạng 5: Toán tìm số 22

Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bc hai 23

Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu 23

Dạng 2: Phơng trình chứa thức 23

Dng 3: Phng trỡnh cha du giỏ tr tuyt i 23

Dạng 4: Phơng trình trùng phơng 24

Dạng 5: Phơng trình bậc cao 24

Phần II: Hình học 25

Ch 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình 25

Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn 26

Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy 28

Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định 28

Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học 29

Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo diện tích 30

Chủ đề 7: Tốn quỹ tích 30

Chủ đề 8: Một số tốn mở đầu hình học khơng gian 31

Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức. Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa. Điều kiện để √A xác định A ≥0 Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau). ¿ 1√3x−1 8¿ √x2+3¿2¿ √5−2x 9¿ √x2−2¿3 ¿

√7x−14 10¿ √x

2−3x +7¿4¿ √2x−1 11¿ √2x2−5x+3¿5¿ √3− x √7x+2 12¿

1 √x2−5x +6 ¿6¿ √x+3 7− x 13¿

1 √x −3+

3x

√5− x¿7¿

1

√2x− x2 14¿ √6x−1+√x+3¿ Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức.

1 § a thõa sè dấu A2B

=|A|B

2 Đ a thừa số vào dấu AB=A2B Trục thức mẫu A

B= AB

B

4 Khư mÉu cđa biĨu thøc lÊy C A B=

C(AB)

A B

Các đẳng thức công thức phân tích thành nhân tử √A ±1¿2

¿

2 (√A −√B)(√A+√B)=A − B ;.(√A −1)(√A+1)=A −1 ¿

√A+1¿3 ¿ √A −1¿3

¿

5 A√A+B√B=(√A+√B)(A −√AB+B);.A√A+1=(√A+1)(A −√A+1) ¿

√A −√B¿3; A√A −3A+3√A −1=¿ √A ±√B¿2; A 2A+1=

1 A 2AB+B= Bài 1: Đa thừa số vào dấu căn.

a3

5√

3; b¿ x√

x(víi x>0); ¿c¿ x√

2

5; d¿ (x −5)√

x

25− x2; e¿ x√

x2¿ Bµi 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.

¿ 0,4

√2−3√¿

a(√28−2√14+√7)⋅√7+7√8; d¿√6+2√5+√6−2√5;¿b¿ (√8−3√2+√10)(¿; e) √11+6√2−√11−6√2¿c¿ (15√50+5√200−3√450):√10 ; f¿ √35√2+7−√35√2−7¿g¿ √320+14√2+3;√20−14√2 ; h¿ √326+15√3−√326−15√3¿ Bµi 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.

a¿ (2√3−√6 √8−2 −

√216 )⋅

1

√6 b¿

√14−√7 1−√2 +

√15−√5 1−√3 ¿:

1

√7−√5 c¿

√5−2√6+√8−2√15

√7+2√10 BBµi 4: Thùc hiƯn phÐp tÝnh.

¿ √10−√¿

5 3−√¿

¿ 3+√¿

a(4+√15)(¿√4−√15 b) (¿√3+√5+(√3−√5¿c) √3+√5−√3−√5−√2 d) 474+7+7e 6,5+12+6,512+26 Bài 5: Rút gọn biểu thức sau:

¿

a

√7−√24+1−

√7+√24+1 b¿

√3

√√3+1−1−

√3

√√3−1+1¿c¿ √

5+2√6 5−√6 +√

5−2√6

5+√6 d¿ √ 3+√5 3−√5+√

3−√5 3+√5 ¿ Bµi 6: Rót gän biĨu thøc:

¿

a6+2√5−√13+√48 b¿√4+√5√3+5√48−10√7+4√3¿c¿ 1+√2+

1 √2+√3+

1

¿

aa√b+b√a

√ab :

1

√a −√b, víi a>0, b>0 vµ a≠ b.¿b¿ (1+ a+√a

√a+1)(1−

a −√a

√a −1), víi a>0 vµ a≠1 ¿c¿

a√a −8+2a−4√a

a −4 ;¿d¿

1

2a−1⋅√5a

(1−4a+4a2)¿e¿

x2− y2⋅√

3x2

+6xy+3y2

4

Bài 8: Tính giá trị biểu thøc

¿

a=x2−3x√y+2y, x=

√5−2;y=

9+4√5¿b¿ B=x

+12x−8 víi x=√34(√5+1)−√34(√5−1);¿c¿ C=x+y , biÕt (x+√x2+3)(y+√y2+3)=3;¿d¿ D=√16−2x+x2+√9−2x+x2 , biÕt √16−2x+x2−√9−2x+x2=1.¿e¿ E=x√1+y2+y√1+x2 , biÕt xy+(1+x2)(1+y2)=a. Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán.

Bài 1: Cho biểu thức P= x −3 √x −1−√2 a) Rót gän P

b) Tính giá trị P x = 4(2 - 3 ) c) Tính giá trị nhỏ cđa P

Bµi 2: XÐt biĨu thøc A= a

+√a a −√a+1−

2a+√a

√a +1

a) Rót gän A

b) Biết a > 1, so sánh A với |A| c) Tìm a để A =

d) T×m giá trị nhỏ A Bài 3: Cho biểu thøc C=

2√x −2− 2√x+2+

√x

1− x

a) Rót gän biĨu thøc C

b) Tính giá trị C với x=4 c) Tính giá trị x để |C|=1

3 Bµi 4: Cho biĨu thøc M= a

√a2− b2−(1+

a

√a2− b2):

b a −√a2−b2 a) Rót gän M

b) TÝnh gi¸ trÞ M nÕu a

b=

3 c) Tìm điều kiện a, b để M <

Bµi 5: XÐt biĨu thøc

1− x¿2 ¿ ¿

P=(√x −2 x −1 − √

x+2 x+2√x+1)⋅¿ a) Rót gän P

b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) Tìm giá trị lơn P

Bµi 6: XÐt biĨu thøc Q= 2√x −9

x −5√x+6− √x+3 √x −2−

2√x+1 3−√x

a) Rót gän Q

b) Tìm giá trị x để Q <

c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên Bài 7: Xét biểu thức H=( x − y

√x −√y−

√x3−√y3 x − y ):

(√x −√y)2+√xy √x+√y

a) Rót gän H

b) Chøng minh H ≥ c) So sánh H với H Bài 8: XÐt biÓu thøc A=(1+ √a

a+1):( √a −1−

2√a

a√a+√a −a −1) a) Rót gän A

b) Tìm giá trị a cho A >

Bµi 9: XÐt biÓu thøc M=3x+√9x−3

x+√x −2 − √x+1 √x+2+

√x −2 1−√x

a) Rót gän M

b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P=15√x −11

x+2√x −3+

3√x −2 1−√x −

2√x+3 √x+3 a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị cđa x cho P=1 c) So s¸nh P víi

3

Bµi 11 :Cho biĨu thøc : P=x√x −1

x −√x −

x√x+1

x+√x +

x+1 √x

1/ Rút gọn biểu thức P : 2/ Tìm x để P=9

2 : Bµi 12 : Cho biĨu thøc : M=(√x+

√x+1)(1−

√x+2

x+√x+1) 1/ Tìm x để M có nghĩa:

2/ Rót gän biểu thức M :

3/ Tìm giá trị M x=4+2√3 : Bµi 13 : Cho biĨu thøc : A=1 :( x+2

x√x+1+

√x −1

x −√x+1− √x −1

x −1 ) 1/ Tìm x để A có nghĩa:

2/ Rót gän biÓu thøc P :

3/ Chøng minh r»ng A > víi mäi x > vµ x ≠1 : Bµi 14 : Cho biĨu thøc : P= x+2

x√x −1+

√x+1

x+√x+1− √x+1

x −1 1/ Rót gän biĨu thøc P :

2/ Chøng minh r»ng : P <

3 víi mäi x ≥0 vµ x ≠1 : Bµi 15 : Cho biÓu thøc : B=

√x −1−√x+

1 √x −1+√x+

√x3− x √x −1 1/ Rót gän biĨu thøc B :

2/ Tìm x B > 0:

3/ Tìm giá trị cđa B x=53

9−2√7 :

4/ Tìm giá trị nguyên x để B nhận giá trị nguyên Bài 16: Cho biểu thức : A= a

2 +√a

a −√a+1−

2a+√a √a +1

1/ Rót gän biĨu thøc A:

2/ Tìm giá trị a để biểu thức A=2 3/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Bài 17 : Cho biểu thức : P=(√x −2

x −1 − √

x+2

x+2√x+1)

(1− x)2 1/ Rót gän biĨu thøc P :

2/ Chøng minh r»ng : nÕu < x < P > 3/ Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc P

Bµi 18 : Cho biÓu thøc : P= x+2

x√x −1+

√x+1

x+√x+1− √x −1 1/ Rót gän biểu thức P :

2/ Tìm giá trị P x=2863 3/ Tìm giá trị lớn cđa P

Bµi 19: Cho biĨu thøc : Q=1+(2a+√a−1 1− a −

2a√a−√a+a 1− a√a )

a−√a

1/ Rót gän biĨu thøc Q :

2/ Tìm giá trị a để Q= √6 1+√6 3/ Chứng minh : Q >

3 Bµi 20 : Cho biĨu thøc : P=(1−2√a

a+1):( √a −1−

2√a

a√a+√a − a−1) 1/ Rót gän biĨu thøc P :

2/ Tìm giá trị a cho P > 3/ Tìm giá trị P a=19−8√3 Bµi 21 : Cho biĨu thøc : A=(

1−√x+

1 1+√x):(

1 1−√x−

1 1+√x)+

1 1−√x

1/ Rót gän biĨu thøc A : 2/ TÝnh A x=7+43 3/ Tìm giá trị nhỏ A Bµi 22 : Cho biĨu thøc : A=(x+1

x −1−

x −1

x+1):(

x2−1−

x x −1+

1

x+1) 1/ Rót gän biÓu thøc A :

2/ TÝnh A x=3+8 3/ Tìm x A=5 Bài 23 : Cho biÓu thøc : B=(1+ √x

x+1):( √x −1−

2√x

x√x+√x − x −1) 1/ Rót gän biĨu thøc B :

2/ Tìm x để B > 3/ Tìm x B =

4/ Tìm B x=4+2√3 5/ Tìm x để B >

Bµi 24 : Cho biÓu thøc : C=( √x √x −1−

1

x −√x):(

1 √x+1+

2

x −1) 1/ Rót gän biĨu thøc C:

2/ TÝnh C x=3+2√2 3/ T×m x C=√5 Bµi 25 : Cho biĨu thøc : M=( √a

√a+√b+ a b − a):(

a

√a+√b−

a√a a+b+2√ab) 1/ Tìm x để M có nghĩa:

2/ Rót gän biĨu thøc M : 3/ Khi a

b=

1

4; M=1 : Tìm a, b Bài 26 : Cho biểu thức : Q=( √x −1

3√x −1− 3√x+1+

8√x

9x −1):(1−

3√x −2 3√x+1) 1/ Rót gän biÓu thøc Q:

2/ TÝnh Q x=6+2√5 3/ Tìm x Q=6

5 Bài 27 : Cho biÓu thøc : U=15√x −11

x+2√x −3+

3√x −2 1−√x −

2√x+3 √x+3 1/ Rót gän biĨu thøc U:

2/ T×m x U=1 3/ Tìm giá trị lớn cđa U

4/ Tìm giá trị x nguyên để U nhận giá trị nguyên Bài 28 : Cho biểu thức : U=(1− √x

1+√x):(

√x+3 √x −2+

√x+2 3−√x+

√x+2

2/ Tìm x để N <

3/ Tìm giá trị x nguyên để N nguyên Bài 29 : Cho biểu thức : B=(2+b+2√b

√b+2 ).(2−

b −5√b

√b −5 ) 1/ Tìm b để B có nghĩa:

2/ Rót gän biĨu thøc B Bµi 30 : Cho biĨu thøc : Q= 2√x −9

x −5√x+6− √x+3 √x −2−

2√x+1 3−√x

1/ Tìm x để Q có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức Q

3/ Tìm giá trị x nguyên để Q nguyên Bài 31 : Cho biểu thức : K=(x+1

x −1−

x −1

x+1+

x2−4x −1

x2−1 )

x+2003

x

1/ Tìm x để K có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức K

3/ Tìm giá trị x nguyên để K nguyên Bài 32 : Cho biểu thức : P=(2x√x+x −√x

x√x −1 −

x+√x

x −1 )

x −1 2x+√x −1+

√x

2√x −1 1/ Tìm x để P có nghĩa:

2/ Rót gän biĨu thøc P

3/ Tìm giá trị x nguyên để P nguyên Bài 33 : Cho biểu thức : A= 4a

2

(a+1)(a+2)+

10a+2 (a+1) (a+3)+

2a+20 (a+2) (a+3) 1/ Tìm x để A có nghĩa:

2/ Rót gän biĨu thøc A Bµi 34 : Cho biĨu thøc : P=

2(1+√a)+

1 2(1−√a)−

a2+2 1−a3

1/ Tìm a để P có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức P

3/ Tìm giá trị a nguyên để P nguyên 4/ Tìm giá trị nhỏ P

Bµi 35 : Cho biÓu thøc : Q=x√x −1

x −√x −

x√x+1

x+√x +(√x − √x).(

√x+1 √x −1+

√x −1 √x+1) 1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ T×m x Q=6 Bµi 36 : Cho biĨu thøc : M=( 3√a

a+√ab+b−

3a a√a −b√b+

1 √a −√b):

(a−1)(√a−√b)

2a+2√ab+2b 1/ Rót gän biĨu thøc M:

2/ Tìm a nguyên để M nguyên Bài 37 : Cho biểu thức : M=(x −5√x

x −25 −1):( 25− x

x+2√x −15− √x+3 √x+5+

√x −5 √x −3) 1/ Rót gän biĨu thøc M:

2/ Tìm x nguyên để M nguyên 3/ Tìm x để M <

Bµi 38 : Cho biÓu thøc : P=( 2√x

x√x+√x − x −1−

√x −1):(1+ √x x+1) 1/ Rót gän biĨu thøc M:

2/ Tìm x để biểu thức P≤0 Bài 39 : Cho biểu thức : P=√x+1

√x −2+ 2√x

√x+2+

2+5√x

4− x

1/ Rót gän biĨu thøc P:

2/ Tìm x để biểu thức P=2 Bài 40 : Cho biểu thức : P=(

√a−1− √a):(

a+√a+2

a√a−1 − √a −1) 1/ Rót gän biĨu thøc P:

Bµi 41 : Cho biĨu thøc : P=(√x+

√x+1)(1−

√x+4

x+√x+1) 1/ Rót gän biĨu thøc P:

2/ Tìm x ngun để P nguyên Bài 42 : Cho biểu thức : Q=(2√x

x −1− √x −1+

3√x −1 √x+1 ):(1−

√x −2 √x+1) 1/ Rót gän biÓu thøc Q:

2/ TÝnh Q x=6+2√5 Bµi 43 : Cho biĨu thøc : Q= x

√xy+y+

y

√xy− x− x+y √xy 1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ TÝnh Q x

y= x+1

y+5 Bµi 44 : Cho biÓu thøc : Q=1−(

1+2√x− 5√x

4−1− 1−2√x):(

√x −1 4x+4√x+1) 1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ T×m x Q=−1 Bµi 45 : Cho biĨu thøc : Q=( √x

3+√x+

x+9 9− x):(

3√x+1

x −3√x−

1 √x)

1/ Rót gän biĨu thøc Q: 2/ T×m x Q≤ −1 Bµi 46 : Cho biĨu thøc : Q=( 2x+1

x√x −1− √x x+√x+1+

8√x

9x −1)(

1+x√x 1+√x −√x)

1/ Rót gän biĨu thøc Q: 3/ Tìm x Q=3 Bài 47 : Cho biÓu thøc : Q=(√x+1

√x −1+ √x −1

√x+1)(√x − √x)

1/ Rót gän biĨu thøc Q: 2/ Chøng minh r»ng : Q≥2 Bµi 48 : Cho biÓu thøc : P= 3√x

x+√x+1− 3x x√x −1+

1 √x −1 1/ Rót gän biĨu thøc P:

2/ Tìm x để biểu thức P≥0 Bài 49 : Cho biểu thức : Q=(1+ √x −2

x −√x+1)(√x − √x −1) 1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ TÝnh giá trị Q x=4+23 Bài 50 : Cho biÓu thøc : Q=(1+ √x −4

x −√x+1)(√x+ √x −1) 1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ Tính giá trị Q x=4+23

Bài 51 : Chøng minh r»ng víi mäi 0≤ x ≠1 : (1+x+√x √x+1)(1−

x −√x

√x −1)=1− x Bµi 52 : Chøng minh r»ng víi mäi 0≤ x ≠1 : (√x+1− x√x

1−√x )(

1−√x

1− x )

2 =1

Bµi 53 : Chøng minh r»ng víi mäi 0≤ x ≠1 : (1+x+√x √x+1)(1−

x −√x

√x −1)=1− x Bµi 54 : Chøng minh r»ng víi mäi 0<x ≠1 : (

x −√x+

1 √x −1):

√x+1

x −2√x+1= √x −1

Bµi 55 : Chøng minh r»ng víi mäi 0≤ x ≠1 : (√√x+x1−

3x x+2√x+1)

√x+1 1−2√x=

√x

√x+1 Bµi 56 : Chøng minh r»ng víi mäi a ≥0, b ≥0, a ≠ b :

√a+√b 2√a −2√b−

√a−√b

2√a+2√b−

2b b − a=

2√b

√a −√b

Bµi 57 : Cho biĨu thøc : Q=(√a+√b)

−4√ab

√a −√b −

a√b+b√a √ab Rót gän biĨu thøc Q:

Bµi 58 : Cho biÓu thøc : Q=(1+2(x −2) √x+1 )(1−

√x+2 2√x+3) 1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ Tìm x nguyên để Q nguyên Bài 59 : Cho biểu thức : Q=(3√x+1+x√x

√x+1 ) 1−√x

1− x

1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ Tính giá trị Q x=4+23 3/ Tìm giá trị nhỏ Q

Bài 60 : Cho biÓu thøc : Q=(√x+1− x√x 1−√x )(1−

2− x

1− x)

1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ Tính giá trị Q x=4+2√3 3/ Tìm x ngyên để Q nguyên

Bµi 61 : Cho biĨu thøc : Q=(x −3√x

x −9 −1):(

9− x x+√x −6+

√x −3 √x −2−

√x+2 √x+3) 1/ Rót gọn biểu thức Q:

2/ Tìm giá trị lớn nhÊt cđa Q Bµi 62 : Cho biĨu thøc : Q=

√x+1−

x√x+1+

x −√x+1 1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ Tìm giá trị lớn Q Bài 63 : Cho biÓu thøc : Q=( x −14

x+√x −6− √x −3 √x −2+

√x+2 √x+3) 1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ Tìm x ngn để Q nguyên Bài 64 : Cho biểu thức : Q= x+3

x −4√x+3− √x −1 3−√x+

√x −3 1−√x

1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tìm x ngyên để Q nguyên Bài 65 : Cho biểu thức : Q= x −2

x −5√x+6− √x −2 √x −3−

√x −3 2−√x

1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tìm x ngyên để Q nguyên Bài 66 : Cho biểu thức : Q= √x+44

x −3√x+10+ √x+2 5−√x+

2√x+5 √x+2 1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ Tìm x ngyên để Q nguyên Bài 67 : Cho biểu thức : Q=x+3√x −22

x −8√x+15− √x −5 3−√x+

√x −3 5−√x

1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tìm x ngyên để Q nguyên Bài 68 : Cho biểu thức : Q= x −29

x −2√x −15− √x+3 5−√x+

2/ Tìm x ngyên để Q nguyên Bài 69 : Cho biểu thức : Q=(1− x −2

x+√x+1)(2+

x −√x −3 √x+2 ) 1/ Rót gän biĨu thøc Q:

2/ Tìm x ngyên để Q nguyên Bài 70 : Rút gọn biểu thức :

Q=(

√x −1− √x x −1)(1+

x −2 √x+2) 1/ Rót gän biĨu thức Q:

2/ Tính giá trị Q x=4+2√3

Bµi tËp vỊ nhµ:

Bµi 1: So s¸nh (Chó ý: √A ≤√B⇔0≤ A ≤ B

a) vµ 2√3 b) - √5 vµ -2 c)

2√6 vµ √12 Bµi 2: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần:

a) 35 ; √6 ; 29; b) √2 ; √38 ; √7 ; √14 Bµi 3: Rót gän c¸c biĨu thøc

a) a√b+b√a

√ab :

1

√a −√b b) (1+ a+√a

√a+1)(1−

a−√a

√a−1) c) (

a −√a+

1 √a−1):

√a+1

a −2√a+1

Bµi 4: XÐt biĨu thøc A = (a√a −1

a−√a −

a√a+1

a+√a ): a+2

a −2

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 5: Xét biểu thức B = a

√a2− b2−(1+ a

√a2− b2): b

a−√a2−b2 víi a > b >0

a) Rút gọn B b) Tìm giá trị B a = 3b

Chủ đề Hệ phng trỡnh.

A - Hệ hai ph ơng trình bËc nhÊt hai Èn:

áp dụng phơng pháp cộng đại số phơng pháp cho phù hợp

Dạng 1: Giải hệ ph ơng trình đ a đ ợc dạng bản Bài 1: Giải hệ phơng trình

1¿3x−2y=4¿2x+y=5¿; 2¿ ¿4x−2y=3¿6x−3y=5¿; 3¿ ¿2x+3y=5¿4x+6y=10¿ ¿ ¿ ¿ ¿4¿ ¿3x−4y+2=0¿5x+2y=14¿; 5¿ ¿2x+5y=3¿3x−2y=14¿; 6¿ ¿4x−6y=9¿10x−15y=18¿ ¿¿{¿{¿{¿{¿ Bài 2: Giải hệ phơng trình sau:

¿ ¿

1¿(3x+2) (2y−3)=6xy¿(4x+5)(y −5)=4xy¿; 2¿ ¿(2x-3) (2y+4)=4x(y −3)+54¿(x+1) (3y−3)=3y(x+1)−12¿; ¿ ¿ ¿ ¿3¿ ¿2y-5x +5=

y+27 −2x¿

x+1 +y=

6y−5x

7 ¿; 4¿ ¿

7x+5y-2

x+3y =−8¿

6x-3y+10

5x+6y =5¿ ¿ ¿{¿{¿ ¿ ¿¿ Dạng 2: Giải hệ ph ơng pháp t n ph

Giải hệ phơng trình sau

¿ ¿ 1¿

x+2y+

y+2x=3¿

x+2y−

y+2x=1¿; 2¿ ¿ 3x

x+1−

y+4=4¿ 2x

x+1−

y+4=9¿; 3¿ ¿

x+1

x −1+ 3y

y+2=7¿

x −1−

y+2=4¿;¿ ¿ ¿ ¿4¿ ¿2(x 2−2x

)+√y+1=0¿3(x2−2x)−2

√y+1+7=0¿ ¿ ¿; 5¿ ¿ ¿5|x −1|−3|y+2|=7¿2√4x2−8x+4+5√y2+4y+4=13 ¿ ¿ ¿{¿{¿{¿ ¿ ¿ ¿ Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho tr ớc

¿

2mx−(n+1)y=m −n (m+2)x+3ny=2m−3

¿{ ¿

b) Định a b biết phơng trình: ax2 - 2bx + = có hai nghiệm x = x = -2. Bài 2: Định m để đờng thẳng sau đồng quy:

a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m –

b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m 2. Bài 3: Cho hệ phơng trình

¿

mx+4y=10−m x+my=4

(m lµ tham sè)

{

a) Giải hệ phơng trình m = 2 b) Giải biện luận hÖ theo m

c) Xác định giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y > d) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) với x, y số nguyên dơng

e) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ (câu hỏi tơng tự với S = xy)

f) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm M(x ; y) ln nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khỏc

Bài 4: Cho hệ phơng trình:

¿

(m−1)x −my=3m−1 2x− y=m+5

¿{ ¿ a) Giải biện luận hệ theo m

b) Với giá trị nguyên m hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y < c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

d) Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho M (x ; y) nằm parabol y = - 0,5x2).

e) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm D(x ; y) luôn nằm đ-ờng thẳng cố định m nhận giá trị khác

Bài 5: Cho hệ phơng trình:

x+my=2 mx2y=1

{ a) Giải hệ phơng trình m =

b) Tỡm cỏc số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y <

c) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số ngun d) Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn

Chủ đề Phơng trình bậc hai định lí Viét.

D¹ng 1: Giải ph ơng trình bậc hai.

Sử dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn cho phù hợp Bài 1: Giải phơng trình

1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ;

3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ;

5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ;

7) x2 + 2

√2 x + = 3(x + √2 ) ; 8) √3 x2 + x + =

√3 (x + 1) ; 9) x2 – 2(

√3 - 1)x - √3 =

Bài 2: Giải phơng trình sau cách nhẩm nghiệm:

Sử dụng điều kiện a+b+c=0 a-b+c=0 Hc dïng tỉng hai nghiƯm, tÝch hai nghiƯm 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ;

3) x2 – (1 +

√3 )x + √3 = ; 4) (1 - √2 )x2 – 2(1 +

√2 )x + + √2 = ;

5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( √3 + 1)x2 + 2

Dạng 2: Chứng minh ph ơng trình có nghiệm, vô nghiệm.

Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm phơng trình bậc hai Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm.

1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ;

3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ; 7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – + m = 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập ph ơng trình bậc hai nhờ nghiệm ph ơng trình bậc hai cho tr ớc.

áp dụng định lý Vi-et thuận tổng hai nghiệm tích hai nghiệm Sử dụng định lý Vi-et đảo hai số có tổng S có tích P Bài 1: Gọi x1 ; x2 nghiệm phơng trình: x2 – 3x – =

TÝnh:

A=x12+x22 B=|x1− x2|

C=

x1−1 +

x2−1

D=(3x1+x2) (3x2+x1)

E=x13+x23 F=x14+x24

Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng trình, tính giá trị c¸c biĨu thøc sau:

A=2x13−3x12x2+2x23−3x1x22 B=x1 x2+

x1 x2+1+

x2 x1+

x2 x1+1−(

1

x1−

1

x2)

C=3x1

+5x1x2+3x22

4x1x2

+4x12x2 Bài 3: Không giải phơng trình 3x2 + 5x = HÃy tính giá trị biểu thức sau:

A=(3x12x2) (3x2−2x1); B= x1

x2−1 + x2

x1−1

; C=|x1− x2|; D=

x1+2

x1

+x2+2

x2 Bài 4: Cho phơng trình 2x2 – 4x – 10 = cã hai nghiÖm x

1 ; x2 Không giải phơng trình hÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 x1

Bài 5: Cho phơng trình 2x2 – 3x – = cã hai nghiÖm x

1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình Èn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:

¿

y1=x1+2

y2=x2+2 ¿

b

¿ ¿y1=x1

2

x2

¿y2=x2

2

x1

¿ ¿ ¿ ¿a¿{¿ ¿

Bài 6: Cho phơng trình x2 + x = cã hai nghiÖm x

1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:

¿

a¿y1+y2=x1

x2+ x2

x1¿ y1

y2+ y2

y1=3x1+3x2¿ ; b¿ ¿ ¿y1+y2=x12+x22¿y12+y22+5x1+5x2=0 ¿ ¿¿ ¿ ¿{¿

Bài 7: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiƯm x

1 ; x2 H·y lËp ph¬ng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả m·n:

y1+y2=1

x1+

1

x2 vµ

1

y1+

1

y2=x1+x2

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để ph ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm. Sử dụng điều kiện đen ta phơng trình có nghiệm, nghiệm kép vô nghiệm Bài 1: a) Cho phơng trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (ẩn x).

Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này. b) Cho phơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + =

Tìm m để phơng trình có nghiệm

a) Cho phơng trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = 0. - Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm.

- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó. b) Cho phơng trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – = 0.

Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2: a Cho phơng trình: 4x

2

x4+2x2+1−

2(2m−1)x

x2+1 +m

Xác định m để phơng trình có nghiệm.

b Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để phơng trình có nghiệm.

Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm ph ơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho tr ớc. Sử dụng định lý Vi-et thuận kết hợp với điều kiệm cho

Bài 1: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 0

1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép

2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm 6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = -

7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ

Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra: a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x

1 + 1)(4x2 + 1) = 18 b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x

12 + x22) = 5x1x2 c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x

12 + x22) = 5x12x22 d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x

1x2 – 5(x1 + x2) + = Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:

a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x

1 – 3x2 = b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x

1 = 3x2

c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x

1 + x2 + = d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x

1 = x22 e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x

1 = x22

f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x

12 + x2 = Bµi 4:

a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm

b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x

1 ; x2 cho biÓu thøc R=2x1x2+3

x12+x

22+2(1+x1x2)

đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau

mx2 – (m + 3)x + 2m + = 0. Bµi 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0)

Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2.

Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chứng minh điều kiện cần đủ để ph-ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) :

kb2 = (k + 1)2.ac

Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm ph ơng trình bậc hai khơng phụ thuộc tham số. Sử dụng định lý Vi-et thuận coi nh hệ phơng trình sau khử tham số (Bằng phơng pháp thế phơng pháp cộng)

Bµi 1: a Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào tham số m

b Cho phơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham sè m

c Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có hai nghiệm x ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí nghiệm hai số – Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phơng trình có nghiệm, tìm hệ thức nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số m

Bµi 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 = 0.

a) Chứng minh phơng trình cã hai nghiƯm x1 , x2 víi mäi m b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phơ thc vµo m

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: x1 x2

+x2 x1

=−5

2

Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x2 2(m + 1)x + m = 0. a) Giải biện luận phơng trình theo m

b) Khi phng trỡnh có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m - Tìm m cho |x1 – x2| ≥

Bài 5: Cho phơng trình (m 4)x2 – 2(m – 2)x + m – = Chứng minh phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + =

1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm ph-ng trỡnh kia:

Xét hai phơng trình:

ax2 + bx + c = (1) a’x2 + b’x + c’ = (2) hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m

Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta lm nh sau:

i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình (2), suy hệ phơng trình:

ax02+bx0+c=0

a'k2x02+b'kx0+c'=0

(∗) ¿{

¿

Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m

ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại 2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với nhau.

XÐt hai ph¬ng tr×nh:

ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3) a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)

Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)

Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai tr-ờng hợp sau:

i) Trờng hợp hai phơng trinhg vô nghiệm, tức là:

(3)<0 (4)<0

¿{

¿

Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số

ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau: ¿

Δ(3)≥0

Δ(4)≥0

S(3)=S(4) P(3)=P(4)

¿{ { { ¿

Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn nh sau: ¿

bx+ay=c b'x+a'y=c'

{ Để giải tiếp toán, ta làm nh sau:

- Tỡm iu kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2.

- Kiểm tra lại kết

-Bi 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:

2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0

Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.

b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.

c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x – = 0. Bµi 3: Xét phơng trình sau:

Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghim chung nht

Bài 4: Cho hai phơng tr×nh:

x2 – 2mx + 4m = (1) x2 – mx + 10m = (2)

Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm ph-ng trỡnh (1)

Bài 5: Cho hai phơng trình:

x2 + x + a = 0 x2 + ax + = 0

a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng

Bài 6: Cho hai phơng trình:

x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng

c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho phơng trình:

x2 – 5x + k = (1) x2 – 7x + 2k = (2)

Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1)

Bài Tập nhà Bài 1: Xác định m tìm nghiệm cịn lại biết

a) Ph¬ng tr×nh 2x2- (m+3)x- 5m = cã mét nghiƯm b»ng 1 b) Phơng trình 4x2+ (2m+ 1)x- m2 = cã mét nghiƯm b»ng -1

Bài 2: Tìm m để phơng trình sau khơng có nghiệm cho trớc đợc viết dấu ( ) a) 2x2+ (m- 2)x+ m- = ( x = 2)

b) mx2+ (5m- 2)x +1 = (x = 1)

Bài 3: Không giải pt , xét dấu nghiệm phơng trình

a) 3x2- 7x+ = b)5x2+ 3x- = c)2x2+ 13x+ = 0 d) 4x2- 8x +49 = e) 4x2-11x+ = 0

Bài 4: Tìm giá trị m để phơng trình sau có hai nghiệm trái dấu a) x2- 5mx+ 2m- = b) x2- 6x+ (7- m2) = 0

Bài 5: Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dấu, hai nghiệm mang dấu gì? a) x2- 5x+ m = b) mx2 + mx +3 = c) x2- 2mx+ (5m- 4) = 0

Bài 6: Tìm m để phơng trình

a) x2- x+ 2(m- 1) = cã hai nghiƯm d¬ng

b) 4x2+ 2x+ m- 1= có hai nghiệm âm c) m2x2+ 2mx- = có hai nghiệm pb Bài 7: Tìm m để phơng trình 2x2- 4x+5(m- 1) = có hai nghiệm phân biệt nhỏ 3 Bài 8: Cho pt ẩn x sau: x2- 2(m+ 4)x+ m2- = Định m để phơng trình có hai nghiệm x

1 x2 cho a) x1+ x2- 3x1x2 đạt GTLN b) x12+ x22- x1x2 đạt GTNN

Bµi 9: Cho pt x2- (2m+ 5)x- m2 = cã hai nghiƯm x

1, x2 Tìm m để a) x1 x2 lớn -5 b) x1< < x2

Bµi 10: Cho pt: x2- 4x

√3 + = cã hai nghiệm x1và x2 Không giải pt , hÃy tính giá trị biểu thức:

Q = 6x12+10x1x2+6x22 5x1x23+5x

13x2

Bài 11: Tìm GTLN (nếu có) GTNN(nếu có) biểu thức sau: a) P = x

2− x +1

x2−2x+3 b) Q =

4x −3

x2+1 c) E =

x2

+2x −1

x2−2x+3 Bµi 12: Cho phơng trình x2- 2(m+1)x+ m- = (1)

1) Gi¶i pt m = 1

2) Chứng minh pt(1) ln có nghiệm với m 3) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm trái dấu

4) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm dấu? Khi hai nghiệm mang dấu gì? 5) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt cho x12+x22 = 22

6) T×m GTNN cđa x12x2+ x1x22

7) Tìm m để p t (1) có hai nghiệm phân biệt tích hai nghiệm 4

9) Tìm m để pt (1) có nghiệm mà nghiệm gấp đơi nghiệm kia 10) Tìm m để pt (1) có nghiệm cho x1<1<x2

11) Chøng minh biÓu thức A = x1(1-x2)+ x2(1- x1) không phụ thuộc vào giá trị m Bài 13: Cho phơng trình ax2+ 2bx+ c = (1); bx2 + 2cx + a = (2);

cx2+2ax+b = (3)

Trong a,b,c khác Chứng minh có pt có nghiệm Bài 14 :a) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn pt 3x2- 6x+ y- = cho y đạt giá tị lớn nhất

b)Tìm GTLN GTNN biểu thức P =

x −1¿2 ¿ ¿ ¿

c)T×m GTNN cđa biĨu thøc Q =

x+1¿2 ¿

x2+x+1 ¿ Bµi 15 Giải pt sau

a) x2- 2(1+3)x+23=0 b) (x2- 5x)2- 30(x2- 5x) + 216 = 0 c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d)

x −3+

x −2=

x −4

Bµi 16 Cho hai pt: x2 + (m- 1)x +m2 = vµ -x2- 2mx + m = Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai pt cã nghiƯm

Bài 17: Tìm m để hai pt x2+ mx +1 = x2- (m+1)x- 2m = có nghiệm chung. Bài 18: Cho pt x2- 2(m- 1)x- 2m + = 0

a) Tìm điều kiện để pt có nghiệm x1 x2

b) T×m GTLN cđa biĨu thøc A =12- 10x1x2- (x12 + x22)

Bài 19 Cho pt: x2+ mx- = Tìm m để tổng bình phơng nghiệm 11 Bài 20 : Giải biện luận theo m số nghiệm phơng trình sau:

a) x2−2 mx+m2−2m+6=0 b) (m−1)x2−2(m+1)x+m−2=0 c) (m−1)x2−2(m

+2)x − m−2=0 d) x2−2(m−1)x −3m−5=0

e) (m+3)x2−2(m2+3m)x+m3+12=0 f) x22x 2|x m|+2=0 Bài 21 : Giải biện luận theo m số nghiệm phơng trình sau:

a) x2−2(m−1)x+m2−3=0 b) (m−1)x2−2(2m −1)x

+2m−1=0 c) x2−2(m−2)x+m2−8=0 d) x2−2(m+1)x+m2+5=0

e) (m−2)x2−2(2m+1)x+1+2m=0 f) (m−2)x2−2(m+2)x+4=0 Bµi 22 : Giải biện luận theo m số nghiệm phơng trình sau:

a) (m+1)x22(2m 3)x+2m 3=0 b) (m2)x22(2m −1)x+2m−1=0 c) x2−2(m+3)x+m2−9=0 d) x2−2(m−1)x+m2−1=0 e) x2−2(2m−1)x+4m2−1=0 f) x2−(m+1)x+m+2=0

g) (m−2)x2−2(3m−1)x+1−3m=0 h) (m−1)x2−2(2m+3)x+3+2m=0

k ) (m+3)x2−2(2m−1)x+2m −1=0 l) mx2−2(2m+1)x+2m+1=0 n) mx2−2(2m−3)x −2m−3=0 m) (m+3)x2−2(m+1)x −2=0 Bài 23 : Tìm giá trị m để phơng trình sau :

a) Cã nghiƯm

b) Cã hai nghiƯm ph©n biƯt c) Cã nghiƯm kÐp

d) V« nghiƯm

1/ mx2−2(m−1)x+m−4=0 2/ (m+1)x2−2(m+2)+m+5=0 3/ x2−2(m−2)x+2m−1=0 4/ x2−2(m−1)x+m2+5=0 5/ x2−2(m+2)x+m2+8=0 6/ (m−1)x2−2(2m −3)x −3

11/ (m+3)x2−2(m+1)x −2=0 12/ (m−2)x2−2(2m −1)x+2m−1=0 Bµi 24 : Biết x1 = nghiệm phơng trình sau HÃy tìm nghiệm lại chúng,

a) x2−2(m+2)x+3m −4=0 b) x2−mx+4m−8=0

c) 2x2−2(m−1)x −2m+1=0 d) 3x2−2(m+3)x −4m+3=0 Bµi 25 : BiÕt x1=3

2 nghiệm phơng trình sau HÃy tìm nghiệm lại chúng a) x22(m+5)x+4m+2=0

b) x2(m+4)x+2m 3=0 c) x22(2m+1)x+5m3=0 Bài 26 :

Cho phơng tr×nh bËc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0

1) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm phơng trình) Bài 27 :

Cho phơng trình:

x2 2mx + 2m – = 0.

1) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2, tìm giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

Bài 28

Cho phơng trình:

x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Giải phơng trình với m =

2) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x1 + x2 = Bµi 29:

2) Gäi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x1 + x2 = Cho phơng trình:

x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0. 1) Giải phơng tr×nh víi m =

2) Gäi hai nghiƯm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x1 + x2 =

Bài : Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình x2 - 2(m - 1)x - = (m tham số) Tìm m để

1

x  x 5

Bµi 30

Cho phơng trình:

(m 1)x2 + 2mx + m – = (*) 1) Giải phơng trình m =

2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt Bài 31

Cho pt: x2 + 3x - m2 - = (1) 1) Giải phơng trình (1) m =

2) Chứng minh phơng trình (1) ln có hai nghiệm trái dấu với m 3) Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình (1) Hãy tìm giá trị m để: (x1+x2)

2

+x1x2−1  Bµi 32

Cho phơng trình:

x2 - 2(m + 2)x + m + = 0 a) Giải phơng tr×nh m = -

2

b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để: x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m2

Bµi 33

Cho pt bËc hai cã Èn x: x2 - 2mx + 2m - = 0

1/ CMR phơng trình có nghiệm x1, x2 với m 2/ Đặt A = (x1

2 +x2

2

)−5x1x2 a) CM: A = 8m2 - 18m + 9 b) T×m m cho A = 27

Bµi 34

Cho pt: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = cã hai nghiƯm x

1, x2 Tìm giá trị m để 10x1x2 + x12+x22 đạt giá trị nhỏ

Bài 35

Cho phơng trình bậc hai:

x2-2(k-2)x - 2k - = (k - tham sè)

a) Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm phân biệt với k

b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình tìm giá trị k cho: x12+x22=18 Bài 36

Cho pt: (2m - 1)x2 - 4mx + = a) Giải phơng trình với m = b) Giải phơng trình với m

c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm m

Chủ đề 4: Hàm số đồ thị.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: (Hớng dẫn:Hàm số bậc y=ax+b Xác định giao điểm với trục tung, giao điểm với trục hoành)

a) y = 2x – ; b) y = - 0,5x +

Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: ( Hớng dãn: Hàm số bậc hai y =ax2 Lập bảng giá trị tơng ứng giữa x y )

a) a = ; b) a = -

Dạng 2: Viết ph ơng trình đ ờng thẳng (Hớng dẫn:Giả sử đờng thẳng cần viết có phơng trình y=ax+b Thay x, y vào điều kiện đề cho tìm a vag b)

Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết: a) (d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5)

b) (d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) vng góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox góc 300. e) (d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng

f) (): y = 2x – 3; (): y = 3x điểm

g) (d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k tham số.

a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6)

b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vng góc với đờng thẳng x + 2y =

d) Chứng minh khơng có đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1)

e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng parabol

Sử dụng điều kiện có nghiệm, vơ nghiệm, có nghiệm kép phơng trình hoành độ Bài 1: a Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a vẽ đồ thị (P) đó.

b Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hồnh độ lần lợt - Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB

Bµi 2: Cho hµm sè y=−1 2x

2

a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số

b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P) Bài 3:

Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P): y=−1 4x

2

đờng thẳng (D): y = mx - 2m - a) Vẽ độ thị (P)

b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)

c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định A thuộc (P) Bài 4: Cho hàm số y=−1

2x

a) Vẽ đồ thị (P) hàm số

b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hồnh độ - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đờng thẳng MN cắt (P) điểm

Bài 5: Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a  0) đờng thẳng (D): y = kx + b. 1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1)

2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2)

4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm C(3

b) Chứng tỏ qua điểm C có hai đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) vng góc với

Chủ đề 5: Giải toán cách lập ph ơng trình, hệ ph ơng trình.

Ơn tập lại phơng pháp giải tốn cách lập phơng trình hệ phơng trình Dạng 1: Chuyển động (trên đ ờng bộ, đ ờng sơng có tính đến dịng n ớc chảy)

Bài 1: Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu

Bài 2: Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trớc Sau đợc

3 quãng đờng AB ngời tăng vận tốc thêm 10 km/h qng đờng cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đờng, biết ngời đến B sớm dự định 24 phút

Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngợc từ B trở A Thời gian xi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nớc km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi v lỳc ngc bng

Bài 4: Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngợc 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngợc dòng

Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi n ớc)

Bi 1: Hai ngời thợ làm chung công việc 12 phút xong Nếu ngời thứ làm ngời thứ hai làm hai ngời làm đợc

4 công việc Hỏi ngời làm công việc xong?

Bài 2: Nếu vòi A chảy vòi B chảy đợc

5 hồ Nếu vòi A chảy vòi B chảy 30 phút đợc

2 hồ Hỏi chảy vòi chảy đầy hồ

Bi 3: Hai vịi nớc chảy vào bể sau đầy bể Nếu vịi chảy cho đầy bể vịi II cần nhiều thời gian vịi I Tính thời gian vịi chảy đầy bể? Dạng 3: Tốn liên quan đến tỉ lệ phần trăm.

Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy?

Bµi 2: Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay?

Dạng 4: Toán có nội dung h×nh häc.

Bài 1: Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất lại vờn để trồng trọt 4256 m2.

Bài 2: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu

Bài 3: Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vuông

Dạng 5: Toán tìm số.

Bi 1: Tỡm mt s tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị

Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số đợc thơng số d

Bài 3: Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đôi mẫu số thêm giá trị phân số bằng

4 Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số

24 Tìm phân số

Bµi 4: Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu, phân số tăng

2 Tỡm phõn s ú

Bµi tËp vỊ nhµ

Bài 2: Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu tơ với vận tốc đó, cịn 60 km đợc nửa quãng đờng AB, ngời lái xe tăng thêm vận 10 km/h quãng đờng lại, tơ đến B sớm so với dự định Tính quãng đờng AB

Bài 3: Hai vật chuyển động đờng tròn có đờng kính 20m, xuất phát lúc từ điểm Nếu chuyển động ngợc chiều hai giây gặp Nếu chuyển động chiều 10 giây lại gặp nhau.Tính vận tốc vt

Bài 4: Một ca nô xuôi 42 km ngợc dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5h Biết vận tốc dòng nớc km/h Tính vận tốc ca nô nớc yên nặng

Bài 5: Một vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng 2m, diện tích cịn lại để trồng trọt 4256 m2 Tính kích thớc vờn.

Chủ đề 6: Ph ơng trình quy ph ơng trình bậc hai.

Dạng 1: Ph ơng trình có ẩn số mẫu. Bớc 1: Đặt điều kiện cho phơng trình Bớc 2: Quy đồng mẫu

Bớc 3: Khử mẫu, giải phơng trình thu đợc Giải phơng trình sau:

a¿ x

x −2+

x+3

x −1=6 b¿ 2x−1

x +3=

x+3

2x−1 c¿

t2 t −1+t=

2t2+5t

t+1 D¹ng 2: Ph ơng trình chứa thức.

Loại A=B

A ≥0 (hayB≥0)

A=B ¿ ¿ Lo¹i √A=B⇔

B ≥0

A=B2 ¿ ¿{

¿ ¿

Giải phơng trình sau:

a√2x2−3x−11=√x2−1 b¿ √(x+2)2=√3x2−5x+14¿c¿ √2x2+3x−5=x+1 d¿ √(x −1)(2x−3)=− x −9¿e¿ (x −1)√x2−3x¿ Dạng 3: Ph ơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

¿

A nÕu A≥0

− A nÕu A<0 ¿|A|={

Giải phơng trình sau:

a|x −1|+x2=x+3 b¿ |x+2|−2x+1=x2+2x+3¿c¿ |x4+2x2+2|+x2+x=x4−4x d¿ |x2+1|−√x2−4x+4=3x¿ D¹ng 4: Ph ơng trình trùng ph ơng.

Giải phơng trình sau:

a) 4x4 + 7x2 = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0;

c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = 0. Dạng 5: Ph ơng trình bậc cao.

Giải phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai: Bài 1:

a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2. Bµi 2:

a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0

¿

c x¿2− x+2√x2− x+3=0 d¿ 4(x2+

x2)−16(x+

x)+23=0¿e¿ x2

+x −5

x +

3x

x2

+x −5+4=0 f¿ 21

x2−4x

+10− x

+4x−6=0¿g¿ 3(2x2+3x−1)2−5(2x2+3x+3)+24=0 h¿ x −

48

x2−10(

x

3−

x)=0¿i¿

2x 2x2−5x

+3+ 13x 2x2

+x+3=6 k¿√x

−3x+5+x2=3x+7 ¿ Bµi 3:

d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0

Bµi tËp vỊ nhµ: Giải phơng trình sau:

a ¿

2(x −1)+

x2−1=

4 b¿ 4x

x+1+

x+3

x =6¿ c¿

2x+2 − x=

x −2

x −4 d¿

x2+2x−3

x2−9 + 2x2−2

x2−3x

+2=8¿

a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0

c) 9x4 + 8x2 – = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0 e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = (a ≠ 0)

3

a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0 b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0 c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0

e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0

a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0 c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0

a) x3 – x2 – 4x + = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – = 0 c) x3 – x2 + 2x – = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – = 0 e) x3 – 2x2 – 4x – = 0

6

a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0 c) x2 – 4x – 10 - 3

√(x+2) (x −6) = d) (2xx−1 +2 )

2

−4(2x−1

x+2 )+3=0 e) √x+√5− x+√x(5− x)=5

7

a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5 c) 3(x2+

x2)−16(x+

1

x)+26=0 d) 2(x

+

x2)−7(x −

1

x)+2=0

¿

a√x2−4x

=√x+14 b¿ √2x2+x −9=|x −1|¿c¿ √2x2+6x+1=x+2 d¿ √x3+3x+4=x −2¿e¿ √4x2−4x+1+x −2=x2−3 f¿ |x3+x2−1|=x3+x+1¿ Định a để phơng trình sau có nghiệm

a) x4 – 4x2 + a = b) 4y4 – 2y2 + – 2a = 0

c) 2t4 – 2at2 + a2 = 0.

Phần II: Hình học

Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình.

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D E lần lợt điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L

a) Chøng minh DI = IL = LE

b) Chứng minh tứ giác BCED hình chữ nhật

c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình

Bi 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn có đờng chéo vng góc với I.

a) Chứng minh từ I ta hạ đờng vng góc xuống cạnh tứ giác đờng vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh

b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật

c) Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đờng vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác

Bài 3: Cho tam giác vng ABC ( A = 1v) có AH đờng cao Hai đờng trịn đờng kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng tròn (O1) (O2) lần lợt M N

a) Chøng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì?

c) Gi F, E, G lần lợt trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G, A, H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đờng nh nào?

a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH

d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân

đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB

Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm đ ờng tròn.

Bài 1: Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt điểm E, F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF

a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đờng trịn

c) KÐo dµi AB phía B đoạn CB = AB Chứng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp

Bài 2: Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC

a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng tròn.Xác định tâm O đờng trịn b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đờng tròn

Bài 3: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đ-ờng tròn (O) D Chứng minh rằng:

a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp

b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đờng tròn Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt tại E Vẽ EF vng góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc

Bài 5: Từ điểm M bên đờng tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C Vẽ CD  AB, CE  MA, CF  MB

Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc

b) CD2 = CE CF c)* IK // AB

Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn Vẽ hai đờng cao BD CE

a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đờng tròn b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA  DE

Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM N

a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC

c)* Gọi D giao điểm cđa AB vµ CM Chøng minh r»ng: AM+

1 MB=

1 MD

Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đ ờng tròn (O) thay đổi qua B C. Vẽ đờng kính MN vng góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đờng tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng:

a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN

c) Đờng thẳng MF qua điểm cố định

Bài 9: Từ điểm A bên ngồi đờng trịn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D

a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN b) Chøng minh r»ng AB// CD

c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi Bài 10:Cho đờng trịn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đờng kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đờng tròn (O) C

a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc

b) Chứng minh tích MC MD có giá trị không đổi D di động dây AB c) Gọi O' tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD

Chøng minh r»ng MAB =

d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD = HB Vẽ CE vuông góc với AD ( E  AD)

a) Chøng minh AHEC tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE

d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH đờng trịn nói biết AC= 6cm, ACB = 300.

Bài 12:Cho đờng tròn tâm O có đờng kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F

a) Chứng minh ADCF tứ giác néi tiÕp

b) Gọi M trung điểm EF Chứng minh AME = ACB c) Chứng minh AM tiếp tuyến đờng tròn (O)

d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đờng tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600.

Bài 13: Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đờng tròn Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D tiếp điểm)

a) Chứng minh C, M, D thẳng hàng

b) Chứng minh CD tiếp tuyến đờng tròn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R

d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt AOM = 600.

Bài 14:Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D tia AC Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tơng ứng M, N, P

a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đờng tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng

c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP lần lợt H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC

Bµi tËp vỊ nhµ

Bài Tập 1: Cho hai đờng thẳng xy x’y’ cắt M Trên tia Mx lấy điểm A, tia Mx’ lấy điểm C , tia My lấy điểm B vá F ( B nằm M F), tia My’ lấy điểm D E ( D nằm M E Biết MA MB = MC.MD

MD.ME = MB.MF Chøng minh

a) điểm A,B,C,D nằm đờng tròn b) điểm B,D,E,F nằm đờng tròn c) AC song song EF

Bài Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm Từ điểm M đờng trịn kẻ MP, MQ, MK thứ tự vng góc với BC, CA, AB Chứng minh

a) C¸c tø gi¸c BPMK , PQCM néi tiÕp b) P, Q, K thẳng hàng

Bi 3: Cho ng trũn tõm đờng thẳng xy nằm ngồi đờng trịn Từ kẻ OA vng góc xy Qua A kẻ cát tuyến cắt đờng tròn B C Tiếp tuyến B C đờng tròn tâm O cắt xy thứ tự D E Chứng minh A tung điểm DE

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A Một điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD, AE thứ tự cắt đờng tròn điểm thứ hai F, G Chứng minh

a) tam giác ABC tam giác EBD đồng dạng

b) Tứ giác ADEC tứ giác AFBC nội tiếp c) AC song song FG d)Các đờng thẳng AC,DE,BF đồng qui

Bài 5: Cho hình thang ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng chéo AC BD cắt E, cạnh AD BC kéo dài cắt F Chứng minh

a)Bốn điểm A,D,O,E nằm đờng tròn b) Tứ giác AOCF nội tiếp Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng,

các đ ờng thẳng đồng quy.

Bài 1: Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) và (O') lần lợt C C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D'

a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chøng minh tø gi¸c ODC'O' néi tiÕp

c) Đờng thẳng CD đờng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp

Bài 2: Từ điểm C ngồi đờng trịn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vng góc với AB. Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N

a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D

Bài 3:Cho hai đờng tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đ ờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đ ờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O') D

a) Tứ giác BEFC hình gi?

b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng

c) CF cắt đờng tròn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O’)

Bài 4:Cho đờng trịn (O) (O’) tiếp xúc ngồi C AC BC đờng kính (O) (O’), DE là tiếp tuyến chung (D  (O), E  (O’)) AD cắt BE M

a) Tam giác MAB tam giác gì?

b) Chứng minh MC lµ tiÕp tun chung cđa (O) vµ (O’)

c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng

d) V cựng phớa ca na mt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng trịn đờng kính AB OO’ Đờng thẳng qua C cắt hai nửa đờng tòn I, K Chứng minh OI // AK

Bµi tËp vỊ nhµ:

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn Các đờng cao AD, BE, CF cắt H. a)Chứng minh tứ giác BFEC ; DHEC nội tiếp

b)Chứng minh tam giác DBH tam giác DAC đồng dạng c)Chứng minh H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF

d) Gäi I,K thứ tự trung điểm AH, BC Chøng minh IK vu«ng gãc EF

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác ABC Gọi E điểm đối xứng với H qua BC; Gọi F điểm đối xứng với H qua trung điểm I ca BC

a)Chứng minh BHCF hình bình hành

b)Chứng minh E,F nằm đờng tròn tâm O c)C/m tứ giác BCFE hình thang cân d) Gọi G giao điểm AI OH Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn tâm O Tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đờng tròn M

a)Chøng minh OM vu«ng gãc víi BC b)C/m MC 2 = MI MA

a) Kẻ đờng kính MN Các tia phân giác góc B C cắt đờng thẳng AN P Q Chứng minh điểm P, C, B, Q thuộc mt ng trũn

Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Các điểm M,N theo thứ tự trung điểm cạnh AB BC Gọi E giao điểm DN CM

a) C/m tø gi¸c DAME néi tiÕp

b) Gọi P,O,S thứ tự trung điểm DC, CA, AD Gọi Q điểm tia đối tia BC Gọi R giao điểm QM AC Gọi T giao điểm OS với PR Chứng minh MT // PQ

Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O P điểm cung nhỏ BC a) Chứng minh PA = PB + PC

b) Qua điểm P dựng đờng thẳng d song song với BC cắt AB kéo dài D Qua P dựng đờng thẳng e song song với AC cắt BC E Qua P dựng đờng thẳng song song với AB cắt AC F Chứng minh PCFE BDPE tứ giác nội tiếp

Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định.

Bài 1: Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d (O) Từ điểm chính P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K.

a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD

c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB

d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định

Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN

a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN

c) MN cắt BC K Chứng minh DK vuông góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn

Bài 3: Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến của (O) A B cắt C

a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K

b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN

d) Chøng minh: IM.IN = IA2.

a) So s¸nh tam gi¸c AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì?

c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành

d) ng thng d qua N vng góc với BM Chứng minh d qua điểm cố định

Bài 5: Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD

a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định

d) Đờng thẳng qua C vng góc với OA cắt AB, AD lần lợt E K Chứng minh EC = EK Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng

chứng minh đẳng thức hình học.

Bài 1: Cho đờng trịn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C. a) Chứng minh MA2 = MC.MD.

b) Chøng minh MB.BD = BC.MD

c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B

d) Gọi R1, R2 bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh R1 + R2 không đổi C di động AB

Bài 2: Cho nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E

a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE b) Chøng minh AC.BE = R2.

c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE

d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vng góc M AB

+ Chøng minh r»ng: HA HB=

FA FB

+ Chứng minh tích OH.OF khơng đổi M di động nửa đờng tròn

Bài 3: Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Các đờng thẳng AP BC cắt Q Chứng minh rằng:

PQ= PB+

1 PC

Bài 4: Cho góc vng xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức:

a) AB2+

1 AC2=

1

a2 b) AB2 + AC2 = 4R2.

Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo diện tích. Bài 1: Cho hai đờng tròn (O; 3cm) (O’;1 cm) tiếp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung BC (B

 (O); C  (O’))

a) Chứng minh góc O’OB 600. b) Tính độ dài BC

c) Tính diện tích hình giới hạn tiếp tuyến BC cung AB, AC hai đờng tròn

Bài 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40 cm Vẽ phía AB các nửa đờng trịn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vng góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K)

a) Chøng ming r»ng EC = MN

b) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) c) Tính độ dài MN

d) Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn

Bài 3: Từ điểm A bên ngồi đờng trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q

a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động cung BC nhỏ chu vi tam giác APQ có giá trị khơng đổi

b) Cho biết BAC = 600 bán kính đờng trịn (O) cm Tính độ dài tiếp tuyến AB và diện tích phần mặt phẳng đợc giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC

Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp , K tâm đờng trịn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK

a) Chứng minh rằng: điểm B, I, C, K thuộc đờng tròn b) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đờng tròn (O)

Bài 5: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB = 2R E điểm đờng tròn mà AE > EB M một điểm đoạn AE cho AM.AE = AO.AB

a) Chứng minh AOM vuông O

b) OM cắt đờng tròn C D Điểm C điểm E phía AB Chứng minh

ACM đồng dạng với AEC

c) Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CEM d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm AEC

3 Tính AC, AE, AM, CM theo R Chủ đề 7: Tốn quỹ tích Nâng cao

Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động đờng trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM

a) Chøng minh BPM c©n

b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đờng tròn (O)

Bài 2: Đờng tròn (O ; R) cắt đờng thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d ngồi đ-ờng trịn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ

a) Chứng minh góc QMO góc QPO đờng trịn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định M di động d

b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng?

c) Tìm quỹ tích tâm đờng trịn nội tiếp tam giác MPQ M di động d

Bài 3: Hai đờng tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (O) (I) lần lợt P, Q Gọi C giao điểm hai đờng thẳng PO QI

a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp

b) Gọi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào?

c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn

Chủ đề 8: Một số tốn mở đầu hình học khơng gian. Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật

Bài 2: Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 √2 cm2 Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phơng

Bài 3: Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm góc A’AC’ 600. Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật

Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300.

Bài 5: Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC

a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC

b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao a√2

2 a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác

b) TÝnh thĨ tÝch vµ diƯn tÝch xung quanh cđa h×nh chãp

Bài 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a. a) Tính diện tích tốn phần hình chóp

b) TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3. a) Tính độ dài cạnh đáy

b) TÝnh diƯn tÝch xung quanh cđa h×nh chãp

Bài 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt

Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)

a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp

b) Chøng minh r»ng mặt bên tam giác vuông a) Tính diện tÝch xung quanh cđa h×nh chãp

Bài 11: Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính diện tích xung quanh

Bài 12: Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích hình nón

Bài 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm đờng sinh 13 cm. a) Tính bán kính đáy nhỏ

b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt

Một số đề ôn luyện tổng hợp Đề 1

C©u1 : Cho biĨu thøc

A=

1− x2¿2 ¿

x¿

(xx −3−11+x)(

x3+1

x+1 − x):¿

Víi x √2 ;1

.a, Ruý gän biÓu thøc A

.b , Tính giá trị biểu thức cho x= √6+2√2 c Tìm giá trị ca x A=3

Câu2.a, Giải hệ phơng tr×nh:

x − y¿2+3(x − y)=4 ¿

2x+3y=12 ¿ ¿ ¿ b Gi¶i bÊt phơng trình: x

34x22x 15

x2+x+3 <0

Câu3 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)

Câu Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng trịn Dng hình vng ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi Flà giao điểm Aevà nửa đờng tròn (O) Gọi Klà giao điểm CFvà ED

a chứng minh điểm E,B,F,K nằm đờng tròn b Tam giác BKC tam giác ? Vì ?

đáp án

C©u 1: a Rót gän A= x

−2

x

b.Thay x= √6+2√2 vào A ta đợc A= 4+2√2

√6+2√2 c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x= 3±√17

2

Câu : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4

Từ ta có

x − y¿2+3(x − y)=4

¿

2x+3y=12

¿ ¿ ¿

<=>

*

¿

x − y=1 2x+3y=12

¿{ ¿

(1)

*

¿

x − y=−4 2x+3y=12

¿{ ¿

(2)

Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4 Vậy hệ phơng trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4

O K

F E

D

C B

A

Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 XÐt 2m-1=0=> m=1/2 pt trë thµnh –x+1=0=> x=1

 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có

Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)

víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x= m−m+1 2m−1 =

1 2m−1 pt cã nghiÖm kho¶ng (-1,0)=> -1<

2m−1 <0 ¿

1

2m−1+1>0 2m−1<0

¿{ ¿

=>

¿ 2m

2m−1>0 2m−1<0

¿{ ¿

=>m<0

Vậy Pt có nghiệm khoảng (-1,0) m<0 C©u 4:

a Ta cã KEB= 900

mặt khác BFC= 900( góc nội tiếp chắn đờng tròn) CF kéo dài cắt ED D

=> BFK= 900 => E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK hay điểm E,F,B,K thuộc đờng trịn đờng kính BK b BCF= BAF

Mµ  BAF= BAE=450=>  BCF= 450 Ta cã BKF=  BEF

Mà  BEF=  BEA=450(EA đờng chéo hình vng ABED)=> BKF=450 Vì  BKC=  BCK= 450=> tam giỏc BCK vuụng cõn ti B

Đề 2 Bài 1: Cho biÓu thøc: P = (x√x −1

x −√x −

x√x+1

x+√x ):(

2(x −2√x+1)

x −1 )

a,Rót gän P

b,Tìm x ngun để P có giá trị ngun

Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm

b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả |x13 x23| =50

Bài 3: Cho phơng tr×nh: ax2 + bx + c = cã hai nghiệm dơng phân biệt x

1, x2Chứng minh: a,Phơng tr×nh ct2 + bt + a =0 cịng cã hai nghiệm dơng phân biệt t

1 t2 b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2

Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H trực tâm tam giác D là điểm cung BC không chứa điểm A

a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành

b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng

Tìm giá trị nhỏ của: A =

x2+y2+ 501 xy

Đáp án Bài 1: (2 điểm) §K: x 0; x ≠1

a, Rót gän: P = 2x(x −1)

x(x −1) :

2( √x −1❑z)

2

x −1 <=> P =

√x −1¿2 ¿ ¿ √x −1

¿

b P = √x+1 x 1=1+

2 x 1 Để P nguyên

√x −1=1⇒√x=2⇒x=4 √x −1=−1⇒√x=0⇒x=0

√x −1=2⇒√x=3⇒x=9 √x −1=−2⇒√x=−1(Loai)

VËy víi x= {0;4;9} th× P có giá trị nguyên Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:

=(2m+1)24(m2+m6)0

x1x2=m2+m6>0

x1+x2=2m+1<0 ¿{ {

¿

⇔

Δ=25>0 (m−2)(m+3)>0

m<−1

⇔m<−3 ¿{ {

b Giải phơng trình: m+3

(m−2)3−¿=50 ¿

¿m1=−1+√5

m2=−1−2 √5 ¿

⇔|5(3m2+3m+7)|=50⇔m2+m−1=0

{

Bài 3: a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nªn ax12 + bx1 + c =0 V× x1> => c (

1

x1)

+b

x1

+a=0 Chøng tỏ

x1 nghiệm dơng phơng tr×nh: ct2 + bt

+ a = 0; t1 =

x1 Vì x2 nghiệm phơng tr×nh: ax2 + bx + c = => ax

22 + bx2 + c =0 v× x2> nªn c (1

x2)

+b.(

x2)

+a=0 điều chứng tỏ

x2 nghiệm dơng phơng trình

ct2 + bt + a = ; t =

1

Vậy phơng trình: ax2 + bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x

1; x2 phơng trình : ct2 + bt + a =0 cịng cã hai nghiƯm d¬ng ph©n biƯt t1 ; t2 t1 =

1

x1 ; t2 =

x2

b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên t1+ x1 =

1

x1 + x1 t2 + x2 =

x2 + x2 Do x1 + x2 + t1 + t2

Bµi 4

a Giả sử tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên

CH AB BH AC => BD AB CD AC Do đó: ABD = 900 ACD = 900

Vậy AD đờng kính đờng trịn tâm O Ngợc lại D đầu đờng kính AD đờng trịn tõm O thỡ

tứ giác BHCD hình bình hµnh

b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB

Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB đó: PHB = DAB

Chøng minh t¬ng tù ta cã: CHQ = DAC

VËy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng

c) Ta thấy Δ APQ tam giác cân đỉnh A

Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn  AP AQ lớn hay  AD lớn

 D đầu đờng kính kẻ từ A đờng tròn tâm O Đề 3 Bài 1: Cho biểu thức:

√x+√y

P= x

(√x+√y)(1−√y)−

y

¿ (√x+1)¿− xy

(√x+1)(1−√y) a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P

b) T×m x,y nguyên thỏa mÃn phơng trình P =

Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) a) Chứng minh với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm A , B phân biệt b) Xác định m để A,B nằm hai phía trục tung

Bài 3: Giải hệ phơng trình :

¿

x+y+z=9

x+

1

y+

1

z=1

xy+yz+zx=27 ¿{ {

¿

H

O P

Q

D

C B

Bài 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đờng tròn (C ≠ A ;C ≠ B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng trịn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N

a) Chứng minh tam giác BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R

Bµi 5: Cho x , y , z∈R tháa m·n :

x+

1

y+

1

z=

1

x+y+z HÃy tính giá trị biểu thức : M =

4 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) Đáp án

Bi 1: a) iu kiện để P xác định :; x ≥0; y ≥0; y ≠1; x+y ≠0

*) Rót gän P:

 

     

(1 ) (1 )

1

x x y y xy x y P

x y x y

    



  

   

     

( )

1

x y x x y y xy x y

x y x y

    



  

   

  1  1 

x y x y x xy y xy

x y x y

     



  

       

   

1 1

1

x x y x y x x

x y

     



 

1 

x y y y x y

  





     

 

1 1

1

x y y y y

y

   



  x  xy  y.

VËy P = √x+√xy−√y. b) P = ⇔ √x+√xy−√y. = ⇔√x(1+√y)−(√y+1)=1

⇔(√x −1) (1+√y)=1

Ta cã: + y 1  x 1  0 x  x = 0; 1; 2; ; Thay vµo ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) tho¶ m·n

Bài 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên phơng trình đờng thẳng (d) là : y = mx + m –

Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m –

⇔ x2 + mx + m – = (*)

Vì phơng trình (*) có Δ=m2−4m+8=(m−2)2+4>0∀m nên phơng trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) ln cắt hai điểm phân biệt A B

b) A vµ B n»m vỊ hai phÝa cđa trục tung phơng trình : x2 + mx + m – = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m <

Bµi :

¿

x+y+z=9(1)

x+

1

y+

1

z=1(2)

xy+yz+xz=27(3) ¿{ {

¿

Q

N

M

O C

B A

   

 

   

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

81 81

81 27

2( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

x y z x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y z

x y z xy yz zx x y z xy yz zx x y y z z x

x y x y

y z y z x y z z x

z x

          

          

            

      

    

 

        

  

  



Thay vµo (1) => x = y = z =

Ta thÊy x = y = z = thõa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z = Bµi 4:

a) XÐt ΔABM vµ ΔNBM

Ta có: AB đờng kính đờng tròn (O) nên :AMB = NMB = 90o

M điểm cung nhỏ AC nên ABM = MBN => BAM = BNM => ΔBAN cân đỉnh B

Tø gi¸c AMCB néi tiÕp

=> BAM = MCN ( bù với góc MCB) => MCN = MNC ( góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M

b) XÐt ΔMCB vµ ΔMNQ cã :

MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)  BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN ). => ΔMCB=ΔMNQ(c.g.c) => BC = NQ

Xét tam giác vuông ABQ cã AC⊥BQ⇒ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)

=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = (√5−1)R Bµi 5:

Tõ :

x+

1

y+

1

z=

1

x+y+z =>

x+

1

y+

1

z−

1

x+y+z=0 => x+y

xy +

x+y+z − z

z(x+y+z)=0

⇒(z+y)( xy+

1

z(x+y+z))=0

⇒(x+y)(zx+zy+z

+xy xyz(x+y+z) )=0

⇒(x+y)(y+z)(z+x)=0

Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) VËy M =

4 + (x + y) (y + z) (z + x).A =

M D

C B A

x

Bài 1: Một hình trụ có chiều cao gấp đơi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình hình cầu lấy mực nớc bình cịn lại

3 b×nh T×m tØ sè bán kính hình trụ bán kính hình cầu

Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + = 0

2) Cho x + y = (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn cđa A = √x + √y Bµi 3: 1) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thøc : (x + a)(x - 4) -

Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c)

2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt điểm cố định tia Ax, Ay cho AB < AC, điểm M di động góc xAy cho MA

MB =

Xác định vị trí điểm M để MB + MC đạt giá trị nhỏ

Bài 4: Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB CD vng góc với nhau, lấy điểm I đoan CD. a) Tìm điểm M tia AD, điểm N tia AC cho I lag trung điểm MN

b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi

c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua hai điểm cố định Hớng dẫn

Bài 1: 1) Chọn C Trả lời đúng.

2) Chän D KÕt qu¶ khác: Đáp số là: Bài : 1)A = (n + 1)4 + n4 + = (n2 + 2n + 1)2 - n2 + (n4 + n2 + 1)

= (n2 + 3n + 1)(n2 + n + 1) + (n2 + n + 1)(n2 - n + 1) = (n2 + n + 1)(2n2 + 2n + 2) = 2(n2 + n + 1)2

VËy A chia hÕt cho sè chÝnh phơng khác với số nguyên dơng n 2) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt.

XÐt A2 = (

√x + √y )2 = x + y + 2

√xy = + √xy (1) Ta cã: x+y

2 √xy (Bất đẳng thức Cô si) => > √xy (2)

Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + 2

√xy < + = Max A2 = <=> x = y =

2 , max A = 2 <=> x = y = Bài3 Câu 1Víi mäi x ta cã (x + a)(x - 4) - = (x + b)(x + c)

Nªn víi x = th× - = (4 + b)(4 + c)

Cã trêng hỵp: + b = vµ + b = + c = - + c = - Trêng hỵp thø nhÊt cho b = - 3, c = - 11, a = - 10

Ta cã (x - 10)(x - 4) - = (x - 3)(x - 11) Trêng hỵp thø hai cho b = 3, c = - 5, a =

Ta cã (x + 2)(x - 4) - = (x + 3)(x - 5) C©u2 (1,5điểm)

Gọi D điểm cạnh AB cho: AD =

4 AB Ta có D điểm cố định

Mµ MA

AB =

2 (gt) AD MA =

1

2 Xét tam giác AMB tam giác ADM có MâB (chung)

MA AB =

AD MA =

1

Do Δ AMB ~ Δ ADM => MBMD = MAAD = => MD = 2MD (0,25 điểm)

Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (khơng đổi) Do MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC

K O

N

M

I

D C

B A

- Dựng đờng tròn tâm A bán kính AB - Dựng D tia Ax cho AD =

4 AB

M giao điểm DC đờng trịn (A;

2 AB) Bµi 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD M cắt tia AC t¹i N

Do MâN = 900 nên MN đờng kính Vậy I trung điểm MN b) Kẻ MK // AC ta có : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì ΔMKD vng cân) Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi

c) Ta cã IA = IB = IM = IN

Vậy đờng tròn ngoại tiếp ΔAMN qua hai điểm A, B cố định Đề 5

Bài Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :

2 2 1 2 1 2 1 0

x  y y  z z  x  TÝnh giá trị biểu thức :

2007 2007 2007

A x y z . Bµi 2) Cho biĨu thøc :

2 5 4 2014

M x  x y xy y .

Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ Bài Giải hệ phơng trình :

   

2 18

1 72

x y x y x x y y

    

 

  

 

Bài Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến điểm M bbất kỳ đờng tròn (O) cắt tiếp tuyến A B lần lợt C D

a.Chøng minh : AC BD = R2.

b.Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác COD nhỏ Bài 5.Cho a, b số thực dơng Chứng minh :

 2 2

2

a b

a b   a b b a

Bài 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh : AD2 = AB AC - BD DC. Híng dÉn gi¶i

Bài Từ giả thiết ta có :

2 2

2

2

2

x y y z z x

   



   



  



Cộng vế đẳng thức ta có :     

2 2 1 2 1 2 1 0

x  x  y  y  z  z 

x 12 y 12 z 12

      

1 1

x y z

       

  

  x  y z 1

 2007  2007  2007

2007 2007 2007 1 1 1 3

A x y z

          

Bµi 2.(1,5 ®iÓm) Ta cã :

 4 4  2 1  2 2 2007

M  x  x  y  y  xy x  y 

 22  12  2  1 2007

M  x  y  x y 

     

2

2

1

2 1 2007

2

M  x y  y

        

 

Do  

2

1

y  vµ

   

2

1

2

2

x y

 

   

 

  x y,

2007

M

   Mmin 2007 x2;y1

Bài Đặt :

 

 

1

u x x v y y

  

 

 



 Ta cã :

18 72 u v uv     

  u ; v nghiệm phơng trình :

2

1

18 72 12;

X  X    X  X 

 12 u v      ; 12 u v           12 x x y y          ;     12 x x y y          Giải hai hệ ta đợc : Nghiệm hệ :

(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) hoán vị

Bµi 4 a.Ta cã CA = CM; DB = DM C¸c tia OC OD phân giác hai góc AOM MOB nên OC OD

Tam giỏc COD vuông đỉnh O, OM đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO2 = CM MD

 R2 = AC BD b.C¸c tø gi¸c ACMO ; BDMO néi tiÕp   ; 

MCO MAO MDO MBO

  

 

COD AMB g g   

(0,25®)

Do :

Chu vi COD OM Chu vi AMB MH



 (MH

1  AB)

Do MH1  OM nªn

1

OM

MH   Chu vi COD chu vi AMB

DÊu = x¶y  MH1 = OM MO M điểm cung AB

Bài (1,5 điểm) Ta cã :

2 1 0; 2 a b            

     a , b >

1

0;

4

a a b b

      

1

( ) ( )

4

a a b b

      

 a , b > 0

1

0

a b a b

     

Nh©n tõng vÕ ta cã :

     

2

a b  a b    ab a b

 

 2   2

2

a b

a b  a b b a

    

Bài (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp ABC Gọi E giao điểm AD (O)

Ta cã:ABDCED (g.g)

BD AD

AB ED BD CD ED CD

   

 

2

AD AE AD BD CD AD AD AE BD CD

  

  

L¹i cã : ABDAEC g g 

2

AB AD

AB AC AE AD AE AC

AD AB AC BD CD

   

  

§Ị 6 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x2

−4x+4 a) TÝnh f(-1); f(5)

b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f(x)

x24 x 2

Câu 2: Giải hệ phơng trình

x(y 2)=(x+2)(y 4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)

¿{ ¿ C©u 3: Cho biĨu thøcA = (x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1):(√x+ √x

√x −1) víi x > vµ x  a) Rót gän A

b) Tìm giá trị x để A =

Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đ-ờng vng góc hạ từ A đến đđ-ờng kính BC

a) Chøng minh PC cắt AH trung điểm E AH b) Gi¶ sư PO = d TÝnh AH theo R d

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0

Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11

đáp án

C©u 1a) f(x) =

x −2¿2 ¿ ¿

√x2−4x

+4=√¿ Suy f(-1) = 3; f(5) =

d

e

c b

b)

f(x)=10⇔

x −2=10 ¿

x −2=−10 ¿

x=12 ¿

x=−8 ¿ ¿ ¿

⇔¿ ¿ ¿ ¿ c) A= f(x)

x2−4=

|x −2| (x −2)(x+2)

Víi x > suy x - > suy A=

x+2 Víi x < suy x - < suy A=−

x+2 C©u 2

( 2) ( 2)( 4) 2

( 3)(2 7) (2 7)( 3) 21 21

x y x y xy x xy y x x y

x y x y xy y x xy y x x y

           

   

  

   

              

   

x -2

y

C©u a) Ta cã: A = (x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1):(√x+ √x

√x −1) =

((√x+1)(x −√x+1)

(√x −1)(√x+1) −

x −1 √x −1):(

√x(√x −1) √x −1 +

√x

√x −1) = (

x −√x+1 √x −1 −

x −1 √x −1):(

x −√x+√x

√x −1 ) = x −√x+1− x+1

√x −1 :

x

√x −1 =

−√x+2 √x −1 :

x

√x −1 =

−√x+2 √x −1 ⋅

√x −1

x =

2−√x x

b) A = => 2−√x

x = => 3x + √x - = => x = 2/3

C©u 4

Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có EH

PB = CH

CB ; (1)

Mặt khác, PO // AC (cùng vng góc với AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) =>  AHC ∞  POB

Do đó: AH PB =

CH

OB (2)

Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trung điểm AH

b) Xét tam giác vng BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH

O

B C

H E

Theo (1) vµ AH = 2EH ta cã AH2

=(2R −AH CB 2PB )

AH CB 2PB

⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB 2R¿2

¿ 4PB2

+¿

¿

⇔ AH=4R CB PB PB2

+CB2=

4R 2R PB ¿

Câu Để phơng trình có nghiệm phân biƯt x1 ; x2 th×  > <=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0

Từ suy m  1,5 (1)

Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có: ¿

x1+x2=−2m−1 x1.x2=m−1

2 3x1−4x2=11

⇔

¿{ { ¿

¿ x1=13-4m

7 x1=

7m−7 26-8m 313-4m

7 4

7m7 26-8m=11 { {

Giải phơng tr×nh 313-4m

7 −4

7m−7

26-8m=11

ta đợc m = - m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11

Đề

Câu 1: Cho P =

2

x x x

  +

1

x x x

   -

1

x x

  a/ Rót gän P

b/ Chøng minh: P <

1

3 víi x  vµ x 1.

Câu 2: Cho phơng trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – = ( ) ; m tham số. a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm

b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghim

Câu 3: a/ Giải phơng trình :

1

x +

1

2 x = 2

b/ Cho a, b, c số thực thõa mÃn :

0

2

2 11

a b a b c

a b c  



 



   



Tìm giá trị lớn giá trị bé Q = a + b + 2006 c

a/ Chøng minh tø gi¸c ADCK néi tiếp b/ Tứ giác ABCK hình gì? Vì sao?

c/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK hình bình hành Đáp án

Câu 1: Điều kiện: x x 1 (0,25 ®iĨm)

P =

2

x x x

  +

1

x x x

   -

1

( 1)( 1)

x x x



 

=

3

2

( )

x x

  +

1

x x x

   -

1

x

=

2 ( 1)( 1) ( 1)

( 1)( 1)

x x x x x

x x x

      

  

= ( 1)( 1)

x x x x x



   =

x x x

b/ Víi x  vµ x 1 Ta cã: P <

1

3 

x x x <

1

 3 x < x + x + ; ( v× x + x + > )  x - 2 x + > 0

 ( x - 1)2 > ( Đúng x x 1)

Câu 2:a/ Phơng trình (1) có nghiệm ’   (m - 1)2 – m2 –  0

 – 2m  0  m  2.

b/ Víi m  th× (1) cã nghiƯm

Gäi nghiệm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta cã:

2

3 2

.3

a a m a a m

  

 

  

 a=

1

m

 3(

1

m

)2 = m2 – 3  m2 + 6m – 15 = 0

 m = –32 6 ( thâa m·n ®iỊu kiện). Câu 3:

Điều kiện x ; – x2 >  x  ; x < 2. Đặt y = 2 x2 >

Ta cã:

2 2 (1)

1

2 (2)

x y x y

  

 

  



Tõ (2) cã : x + y = 2xy Thay vµo (1) cã : xy = hc xy =

-1

* Nếu xy = x+ y = Khi x, y nghiệm phơng trình: X2 – 2X + =  X =  x = y = 1.

* NÕu xy =

-1

X2 + X -

1

2 =  X =

1

2

 

V× y > nªn: y =

1

2

 

 x =

1

2

Vậy phơng trình cã hai nghiÖm: x1 = ; x2 =

1

2

 

C©u 4: c/ Theo câu b, tứ giác ABCK hình thang

Do đó, tứ giác ABCK hình bình hành  AB // CK

 BAC ACK Mµ



2

ACK 

s®EC =

1

2s®BD

= DCB Nªn BCD BAC 

Dựng tia Cy cho BCy BAC  Khi đó, D giao điểm AB Cy Với giả thiết AB > BC BCA > BAC > BDC

 D  AB

Vậy điểm D xác định nh điểm cần tìm Đề 8

Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức :A = √x2+1− x −

√x2

+1− x Lµ mét sè tù nhiªn b Cho biĨu thøc: P = √x

√xy+√x+2+

√y

√yz+√y+1+

2√z

√zx+2√z+2 BiÕt x.y.z = , tÝnh √P C©u 2:Cho điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)

a.Chứng minh điểm A, B ,D thẳng hàng; điểm A, B, C không thẳng hàng b Tính diện tích tam giác ABC

Câu3 Giải phơng trình: √x −1−3

√2− x=5

Câu Cho đờng tròn (O;R) điểm A cho OA = R √2 Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đ-ờng trịn Một góc xOy = 450 cắt đoạn thẳng AB AC lần lợt D E.

Chøng minh r»ng:

a.DE tiếp tuyến đờng tròn ( O ) b

3 R<DE<R

đáp án Câu 1: a

A = √x2+1− x − √x

2 +1+x

(√x2+1− x).(√x2+1+x)

=√x2+1− x −(√x2+1+x)=−2x

A số tự nhiên ⇔ -2x số tự nhiên ⇔ x = k (trong k Z k )

b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = ta đợc x, y, z > √xyz=2

Nhân tử mẫu hạng tử thứ với √x ; thay mẫu hạng tử thứ √xyz ta đợc:

P =

√x+2+√xy ¿ √z¿ √x

√xy+√x+2+

√xy √xy+√x+2+

2√z

¿

(1®)

⇒ √P=1 v× P >

Câu 2: a.Đờng thẳng qua điểm A B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = Vậy đờng thẳng AB y = 2x +

O

K

D

C B

Điểm C(1;1) có toạ độ khơng thoả mãn y = 2x + nên C không thuộc đờng thẳng AB ⇒ A, B, C không thẳng hàng

Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + nên điểm D thuộc đờng thẳng AB ⇒ A,B,D thẳng hàn b.Ta có :

AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20 AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10 BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10

AB2 = AC2 + BC2 ABC vuông C VËy SABC = 1/2AC.BC =

1

2√10 √10=5 ( đơn vị diện tích )

Câu 3: Đkxđ x 1, đặt √x −1=u ;√32− x=v ta có hệ phơng trình: ¿

u − v=5

u2+v3=1 ¿{

¿

Giải hệ phơng trình phơng pháp ta đợc: v =

⇒ x = 10 C©u 4

a.áp dụng định lí Pitago tính đợc AB = AC = R ⇒ ABOC l hỡnh vuụng (0.5)

Kẻ bán kính OM cho

BOD = MOD ⇒

MOE = EOC (0.5®) Chøng minh BOD = MOD

⇒ OMD = OBD = 900 T¬ng tù: OME = 900

⇒ D, M, E thẳng hàng Do DE tiếp tuyến đờng trịn (O) b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC

⇒ 2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R ⇒ DE < R Ta cã DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC

Cộng vế ta đợc: 3DE > 2R ⇒ DE > R Vậy R > DE >

3 R

Đề 9 Câu 1: Cho hàm số f(x) = √x2−4x

+4 a) TÝnh f(-1); f(5)

b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A = f(x)

x24 x 2 Câu 2: Giải hệ phơng trình

x(y 2)=(x+2)(y 4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)

¿{

¿

C©u 3: Cho biÓu thøc

A = (x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1):(√x+ √x

√x −1) víi x > vµ x  a) Rót gän A

2) Tìm giá trị x để A =

B

M A

O

C D

Câu 4: Từ điểm P nằm ngồi đờng trịn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB Gọi H chân đ-ờng vng góc hạ từ A đến đđ-ờng kính BC

a) Chøng minh r»ng PC c¾t AH trung điểm E AH b) Giả sử PO = d Tính AH theo R d

Câu 5: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0

Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 đáp án

C©u 1

a) f(x) =

x −2¿2 ¿ ¿

√x2−4x

+4=√¿ Suy f(-1) = 3; f(5) =

b)

f(x)=10⇔

x −2=10 ¿

x −2=−10 ¿

x=12 ¿

x=−8 ¿ ¿ ¿

⇔¿ ¿ ¿ ¿ c) A= f(x)

x2−4=

|x −2| (x −2)(x+2)

Víi x > suy x - > suy A=

x+2 Víi x < suy x - < suy A=−

x+2 C©u 2

¿

x(y −2)=(x+2)(y −4) (x −3)(2y+7)=(2x −7)(y+3)

¿

⇔

xy−2x=xy+2y −4x −8

2 xy−6y+7x −21=2 xy−7y+6x −21 ¿

⇔

x − y=−4

x+y=0 ⇔

¿x=-2

y=2 ¿ ¿{

C©u 3a) Ta cã: A = (x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1):(√x+ √x

√x −1) = ((√x+1)(x −√x+1)

(√x −1)(√x+1) −

x −1 √x −1):(

√x(√x −1) √x −1 +

√x

√x −1) = (x −√x+1

√x −1 −

x −1 √x −1):(

x −√x+√x

√x −1 ) = x −√x+1− x+1

√x −1 :

x

√x −1 = −√x+2

√x −1 :

x

√x −1 =

−√x+2 √x −1 ⋅

√x −1

x =

2−√x x

b) A = => 2−√x

x = => 3x + √x - = => x = 2/3

C©u 4

a) Do HA // PB (Cïng vu«ng gãc víi BC)

b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có EH

PB = CH

CB ; (1)

Mặt khác, PO // AC (cùng vng góc với AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) =>  AHC ∞  POB

Do đó: AH PB =

CH

OB (2)

Do CB = 2OB, kết hợp (1) (2) ta suy AH = 2EH hay E trug điểm AH

b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) AH = 2EH ta có

AH2=(2R −AH CB 2PB )

AH CB 2PB

⇔ AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB

⇔ 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2

⇔ AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB 2R¿2

¿ 4PB2+¿

¿

⇔ AH=4R CB PB PB2

+CB2=

4R 2R PB ¿ Câu (1đ)

Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 > <=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0

Từ suy m  1,5 (1)

Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:

O

B C

H E

¿

x1+x2=−2m2−1 x1.x2=m−1

2 3x1−4x2=11

⇔

¿{ { ¿

¿ x1=13-4m

7 x1=7m−7

26-8m 313-4m

7 −4

7m−7 26-8m=11 ¿{ {

¿ Gi¶i phơng trình 313-4m

7 4

7m7

26-8m=11

ta đợc m = - m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phõn bit t

Đề 10 Câu I : Tính giá trị biểu thức:

A =

√3+√5 + √5+√7 +

1

√7+√9 + +

1 √97+√99 B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35⏟

99số3 Câu II :Phân tích thành nhân tử :

1) X2 -7X -18

2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10

C©u III :

1) Chøng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2)

2) áp dụng : cho x+4y = Tìm GTNN cđa biĨu thøc : M= 4x2 + 4y2

Câu : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I trung điểm BC, M điểm đoạn CI ( M khác C I ) Đờng thẳng AM cắt (O) D, tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM M cắt BD DC P Q

a) Chøng minh DM.AI= MP.IB b) TÝnh tØ sè : MP

MQ C©u 5:

Cho P = √x 2−4x

+3 √1− x

Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức. đáp án Câu :

1) A =

√3+√5 + √5+√7 +

1

√7+√9 + +

1 √97+√99 =

2 ( √5−❑√3 + √7−√5 + √9−√7 + + √99−√97 ) =

2 ( √99−√3 ) 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35⏟

99sè = =33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) = 198 +

3 ( 99+999+9999+ +999 99) 198 +

3 ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 + B = (10

101 −102

27 ) +165

= (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1]

= (x2+5x +3)(x2+5x +7) 3) a10+a5+1

= a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a )

= a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1) -a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1)

=(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) Câu 3: 4đ

1) Ta cã : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=>

a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 <=> a2d2 - 2cbcd+c2b2 <=> (ad - bc)2 (®pcm ) DÊu = x·y ad=bc

2) áp dụng đẳng thức ta có :

52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2) (1+16) => x2 + y2 25

17 => 4x2 + 4y2

100

17 dÊu = x·y x=

17 , y = 20

17 (2đ) Câu : 5®

Ta cã : gãc DMP= góc AMQ = góc AIC Mặt khác góc ADB = gãc BCA=>

Δ MPD đồng dạng với Δ ICA => DM CI =

MP

IA => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1) Ta cã gãc ADC = gãc CBA,

Góc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - góc AIM = góc BIA. Do Δ DMQ đồng dạng với Δ BIA =>

DM BI =

MQ

IA => DM.IA=MQ.IB (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy MP

MQ = C©u

Để P xác định : x2-4x+3 1-x >0 Từ 1-x > => x <

Mặt khác : x2-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < nên ta có : (x-1) < (x-3) < từ suy tích (x-1)(x-3) > Vậy với x < biểu thức có nghĩa

Víi x < Ta cã : P = √x

2−4x +3

√1− x =

√(x −1)(x 3)

1 x =3 x

Đề 11 Câu 1 : a Rót gän biĨu thøc A=√1+

a2+

(a+1)2 Víi a >

b Tính giá trị tổng B=1+

12+

1 22+√1+

1 22+

1

32+ +√1+

1 992+

1 1002 C©u 2 : Cho pt x2−mx+m−1=0

a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀m

b Gäi x1, x2 hai nghiệm pt Tìm GTLN, GTNN cña bt

P= 2x1x2+3

x12+x

22+2(x1x2+1)

1 1+x2+

1 1+y2≥

2 1+xy

Câu Cho đờng tròn tâm o dây AB M điểm chuyển động đờng tròn, từM kẻ MH AB (H  AB) Gọi E F lần lợt hình chiếu vng góc H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB D

1 Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đờng tròn Chứng minh

MA2 MB2 =

AH BD

AD BH

H

íng dÉn

Câu 1 a Bình phơng vế A=a

+a+1

a(a+1) (Vì a > 0) c áp dơng c©u a

A=1+1 a−

1

a+1

¿⇒B=100−

100= 9999 100 Câu a : cm 0m

B (2 đ) ¸p dơng hƯ thøc Viet ta cã:

¿

x1+x2=m x1x2=m−1

¿{

¿

⇒P=2m+1

m2+2 (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn

⇒−1

2≤ P≤1

⇒GTLN=−1

2⇔m=−2 GTNN=1⇔m=1

Câu : Chuyển vế quy đồng ta đợc bđt ⇔ x(y − x)

(1+x2)(1+xy)+

y(x − y) (1+y2)(1+xy)≥0

⇔(x − y)2(xy−1)≥0 xy≥1 Câu 4: a

- Kẻ thêm đờng phụ

- Chứng minh MD đờng kính (o) =>

b

Gọi E', F' lần lợt hình chiếu D MA MB Đặt HE = H1

HF = H2

⇒AH

BD AD BH =

HE h1 MA

HF.h2 MB2 (1)

⇔ΔHEF ∞ ΔDF'E'

⇒HF h2=HE.h

Thay vµo (1) ta cã: MA

2

MB2 = AH BD

AD BH

M

o E'

E

A

F F'

B

Đề 12 Câu 1: Cho biểu thức D = [√a+√b

1−√ab+

√a+√b

1+√ab] : [1+

a+b+2 ab 1−ab ] a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b) Tính giá trị D với a =

2−√3 c) T×m giá trị lớn D

Câu 2: Cho phơng trình 23 x

2- mx + 2−√3 m

2 + 4m - = (1) a) Giải phơng trình (1) với m = -1

b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm thỗ mãn

x1+

1

x2=x1+x2 Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, ^A=α(α=900

) Chøng minh

r»ng AI = bc Cos

α

2

b+c

(Cho Sin2 α=2 SinαCosα )

Câu 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB điểm N di động nửa đờng tròn cho

N A ≤ N B Vễ vào đờng trịn hình vng ANMP

a) Chứng minh đờng thẳng NP qua điểm cố định Q

b) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp c) Chứng minh đờng thẳng MP ln qua điểm cố định

C©u 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1 H·y tính giá trị của:

B = xy

z +

zx

y +

xyz

x

Đáp án

Cõu 1: a) - Điều kiện xác định D

¿

a ≥0

b ≥0 ab≠1

¿{ { ¿ - Rót gän D

D = [2√a+2b√a 1−ab ] : [

a+b+ab 1−ab ] D = 2√a

a+1

b) a =

2+√3

¿

√3+1¿2⇒√a=√3+1

2¿

c b a

I

C B

A



2



2 VËy D =

2+2√3 2√3+1

=2√3−2 4−√3

c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có 2√a≤ a+1⇒D ≤1

Vậy giá trị D

Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1) 1 2x

2 +x −9

2=0⇔x

+2x −9=0

⇒

x1=−1−√10 x2=−1+√10

¿{

b) Để phơng trình có nghiệm 08m+20m 1 (*)

+ Để phơng trình có nghiệm khác

¿m1≠ −4−3√2

m2≠ −4+3√2 ¿

⇔1

2m

+4m−1≠0

⇒

{ (*)

+

x1+

1

x2=x1+x2⇔(x1+x2)(x1x2−1)=0⇔

x1+x2=0

x1x2−1=0 ¿{

⇔

2m=0

m2

+8m−3=0

⇔

¿m=0

m=−4−√19

m=−4+√19 ¿{

Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = m=−4−√19 Câu 3:

+ SΔABI=1

2AI cSin

α

2;

+ SΔAIC=1

2AI bSin

α

2; + SΔABC=1

2bcSinα ; SΔABC=SΔABI+SΔAIC

⇒bcSinα=AISinα 2(b+c)

⇒AI=bcSinα Sinα

2(b+c) =

2 bcCosα

b+c

C©u 4: a) Nˆ1 Nˆ2Gäi Q = NP (O)

QA QB

    Suy Q cố định

1

1

2

I

Q P N

M

b) ^A1= ^M1(¿^A2)

 Tø gi¸c ABMI néi tiÕp

c) Trên tia đối QB lấy điểm F cho QF = QB, F cố định Tam giác ABF có: AQ = QB = QF

 Δ ABF vuông A B^

=450AF B^ =450

Lại có P1 450 AFBP1 Tứ giác APQF néi tiÕp

 A^P F

=AQ F^ =900 Ta cã: A^P F+A^P M=900

+900=1800  M

1,P,F Thẳng hàng Câu 5: Biến đổi B = xyz (1

x2+

1

y2+

1

z2) = ⋯=xyz xyz=2 §Ị 13

Bµi 1: Cho biĨu thøc A =

2

4( 1) 4( 1)

1 4( 1)

x x x x

x x x

      



  

 

 

a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A

Bài : Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) B(3; -4) a) Viết phơng tình đờng thẳng AB

b) Xác định điểm M trục hoành để tam giác MAB cân M Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:

x2 - m2x + m + = 0 cã nghiÖm nguyªn

Bài : Cho tam giác ABC Phân giác AD (D  BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đờng tròn cắt AB AC lần lợt E F Chứng minh

a) EF // BC

b) Các tam giác AED ADC; àD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = à.AB = AC2

Bµi : Cho số dơng x, y thỏa mÃn điều kiện x2 + y2 x3 + y4 Chøng minh: x3 + y3 x2 + y2 x + y 2

Đáp án Bài 1:

a) Điều kiện x thỏa m·n

2

1

4( 1) 4( 1) 4( 1)

x

x x x x x x

  



  

 

  

 

  

 

1 1

x x x x

  

  

   

  x > x  2 KL: A xác định < x < x >

b) Rót gän A

A =

2

2

( 1) ( 1)

( 2)

x x x

x x

     

 

A =

1 1 2

2

x x x

x x

     

 

Víi < x < A =

2 1 x Víi x > A =

2

x KÕt ln

Víi < x < th× A =

Víi x > th× A =

2

x Bµi 2:

a) A B có hồnh độ tung độ khác nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b A(5; 2)  AB  5a + b =

B(3; -4)  AB  3a + b = -4 Gi¶i hƯ ta cã a = 3; b = -13

Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 3x - 13 b) Giả sử M (x, 0)  xx’ ta có

MA =

2

(x 5) (0 2)

MB =

2

(x 3) (04)

MAB c©n  MA = MB 

2

(x 5) 4  (x 3) 16

 (x - 5)2 + = (x - 3)2 + 16

 x =

KÕt luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) Bài 3:

Phơng trình có nghiệm nguyên = m4 - 4m - số phơng Ta lại có: m = 0; < loại

m = th×  = = 22 nhËn

m  th× 2m(m - 2) >  2m2 - 4m - > 0

 - (2m2 - 2m - 5) <  <  + 4m + 4

 m4 - 2m + <  < m4

 (m2 - 1)2 < < (m2)2

không phơng Vậy m = giá trị cần tìm Bài 4:

a)

  (  )

2

EADEFD  sd ED

(0,25)

  (  )

2

FADFDC  sd FD

(0,25)

mµ EDAFAD EFD FDC (0,25)

 EF // BC (2 gãc so le nhau) b) AD phân giác góc BAC nên DE DF

sđ

2

ACD

s®(AED DF) =

1

2sđAE = sđADE ACDADE EADDAC

DADC (g.g)

Tơng tự: sđ

(  )

2

ADF sd AF sd AFD DF =

  

1

( )

2 sd AFD DE sd ABD  ADF ABD AFD ~ (g.g

c) Theo trªn:

+ AED ~ DB



AE AD

AD AC hay AD2 = AE.AC (1)

+ ADF ~ ABD 

AD AF AB AD

 AD2 = AB.AF (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF Bài (1đ):

Ta có (y2 - y) +   2y3 y4 + y2

 (x3 + y2) + (x2 + y3)  (x2 + y2) + (y4 + x3) mà x3 + y4 x2 + y3 đó

x3 + y3 x2 + y2 (1)

F E

A

B

+ Ta cã: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 0

 x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2  0

 x3 - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y  0

 (x2 + y2) + (x2 + y3)  (x + y) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4

 x2 + y2 x + y (2)

vµ (x + 1)(x - 1)  (y - 1)(y3 -1)  0 x3 - x2 - x + + y4 - y - y3 +  0

 (x + y) + (x2 + y3)  + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4

 x + y  Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã:

x3 + y3 x2 + y2 x + y  2

Đề 14

Câu 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1) 1 cho A= ( - ) x2- 4(x-1) x-1 a/ rót gän biĨu thøc A

b/ Tìm giá trị ngun x để A có giá trị nguyên

Câu 2: Xác định giá trị tham số m để phơng trình x2-(m+5)x-m+6 =0

Có nghiệm x1 x2 thỗ mãn điều kiện sau: a/ Nghiệm lớn nghiệm đơn vị

b/ 2x1+3x2=13

Câu 3Tìm giá trị m để hệ phơng trình mx-y=1

m3x+(m2-1)y =2 v« nghiƯm, vô số nghiệm

Câu 4: tìm max cđa biĨu thøc: x 2 +3x+1 x2+1

Câu 5: Từ đỉnh A hình vng ABCD kẻ hai tia tạo với góc 450 Một tia cắt cạnh BC E cắt đờng chéo BD P Tia cắt cạnh CD F cắt đờng chéo BD Q

a/ Chứng minh điểm E, P, Q, F C nằm đờng tròn b/ Chứng minh rằng: SAEF=2SAQP

c/ Kẻ trung trực cạnh CD cắt AE M tính số đo góc MAB biết CPD=CM h

ớng dẫn Câu 1: a/ Biểu thức A xác định x≠2 x>1

b/ §Ĩ A nguyên x- ớc dơng * x- =1 x=0 loại

* x- =2 th× x=5

vËy víi x = A nhận giá trị nguyên

Câu 2: Ta có ∆x = (m+5)2-4(-m+6) = m2+14m+1≥0 để phơng trìnhcó hai nghiệmphân biệt vàchỉ m≤-7-4 m≥-7+4 (*)

a/ Giả sử x2>x1 ta có hệ x2-x1=1 (1) x1+x2=m+5 (2) x1x2 =-m+6 (3) Giải hệ tađợc m=0 m=-14 thoã mãn (*) b/ Theo giả thiết ta có: 2x1+3x2 =13(1’) x1+x2 = m+5(2’) x1x2 =-m+6 (3’) giải hệ ta đợc m=0 m= Tho (*)

Câu 3: *Để hệ vô nghiệm th× m/m3=-1/(m2-1) ≠1/2

3m3-m=-m3 m2(4m2- 1)=0 m=0 m=0

3m2-1≠-2 3m2≠-1 m=±1/2 m=±1/2 ∀m

1

Q

P M

F

E

D C

B A

V« nghiƯm

Khơng có giá trị m để hệ vơ số nghiệm

Câu 4: Hàm số xác định với ∀x(vì x2+1≠0) x2+3x+1 gọi y0 giá trịcủa hàmphơng trình: y0= x2+1 (y0-1)x2-6x+y0-1 =0 có nghiệm

*y0=1 suy x = y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 (y0-1)2≤ 9 suy -2 ≤ y0 ≤

VËy: ymin=-2 y max=4 Câu 5: ( Học sinh tự vẽ hình) Giải

a/ A1 B1 nhìn đoạn QE dới góc 450

t giác ABEQ nội tiếp đợc

 FQE = ABE =1v

chøng minh t¬ng tù ta cã FBE = 1v

 Q, P, C nằm đờng tròn đờng kinh EF b/ Từ câu a suy ∆AQE vuông cân



AE

AQ = 2 (1)

t¬ng tù ∆ APF cịng vuông cân

AF

AB = 2 (2)

tõ (1) vµ (2)  AQP ~ AEF (c.g.c) AEF

AQP S S

= ( )2 hay S

AEF = 2SAQP

c/ Để thấy CPMD nội tiếp, MC=MD APD=CPD

MCD= MPD=APD=CPD=CMD

MD=CD  ∆MCD  MPD=600

mµ MPD lµ gãc ngoµi cđa ∆ABM ta có APB=450 MAB=600-450=150 Đề 15

Bài 1: Cho biÓu thøc M = 2√x −9

x −5√x+6+

2√x+1 √x −3 +

√x+3 2−√x

a. Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M b. Tìm x để M =

c. Tìm x Z để M Z

bµi 2: a) Tìm x, y nguyên dơng thoà mÃn phơng tr×nh 3x2 +10 xy + 8y2 =96

b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = Bµi 3: a Cho số x, y, z dơng thoà mÃn

x +

1

y +

1

z =

Chøng ming r»ng:

2x+y+z +

1

x+2y+z +

1

x+y+2z b Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: B = x

2

−2x+2006

x2 (với x ) Bài 4: Cho hình vuông ABCD Kẻ tia Ax, Ay cho x^A y = 45 ❑0

Tia Ax cắt CB BD lần lợt E P, tia Ay cắt CD BD lần lợt F Q a Chứng minh điểm E; P; Q; F; C nằm đờng tròn

b S ΔAEF = S ΔAPQ

Kẻ đờng trung trực CD cắt AE M Tính số đo góc MAB biết C^P D = C^M D Bài 5: (1đ)

Cho ba sè a, b , c kh¸c tho· m·n:

¿

a+

1

b+

1

c=0

¿

; H·y tÝnh P = ac

c2+ bc

a2+ ac

đáp án Bài 1:M = 2√x −9

x −5√x+6+

2√x+1 √x −3 +

√x+3 2−√x

a.§K x ≥0; x ≠4;x ≠9 0,5®

Rót gän M = 2√x −9−(√x+3)(√x −3)+(2√x+1) (√x −2) (√x −2) (√x −3)

Biến đổi ta có kết quả: M = x −√x −2

(√x −2) (√x −3) M =

(√x+1)(√x −2)

(√x −3) (√x −2)⇔M= √x+1 √x −3

b M = 5⇔√x −1 √x −3=5

⇒√x+1=5(√x −3)

⇔√x+1=5√x −15

⇔16=4√x

⇒√x=16

4 =4⇒x=16

c M = √x+1 √x −3=

√x −3+4 √x −3 =1+

4 √x −3

Do M z nên x 3 ớc x 3 nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2;

⇒x∈{1;4;16;25;49} x ≠4⇒ x∈{1;16;25;49} Bµi a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96

< > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96

< > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 < > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96

< > (x + 2y)(3x + 4y) = 96

Do x, y nguyên dơng nên x + 2y; 3x + 4y nguyen dơng 3x + 4y > x + 2y

mà 96 = 25 có ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích thừa số không nhỏ là: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12

Lại có x + 2y 3x + 4y có tích 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y số chẳn

¿

x+2y=6 3x+4y=24

¿{ ¿

HÖ PT vô nghiệm

Hoặc

¿

x+2y=6 3x+4y=16

¿{ ¿

⇒

x=4

y=1 ¿{

Hc

¿

x+2y=8 3x+4y=12

¿{ ¿

HÖ PT vô nghiệm

Vậy cấp số x, y nguyên dơng cần tìm (x, y) = (4, 1) b ta cã /A/ = /-A/ A∀A

mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2) Kết hợp (1 (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ (3)

(3) s¶y vµ chØ

¿

x −2006/❑0 y −2007/❑0

⇔

¿x=2006

y=2007 ¿{

¿ Bµi 3

a Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ b Với a, b thuộc R: x, y > ta có a

2

x+ b2

y ≥

(a+b)2

x+y (∗) < >(a2y + b2x)(x + y)

(a+b)2xy

 a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy  a2xy + 2abxy + b2xy  a2y2 + b2x2  2abxy

 a2y2 – 2abxy + b2x2  0

 (ay - bx)2  (**) bất đẳng thức (**) với a, b, x,y > 0

Dấu (=) xảy ay = bx hay a b x y áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có

2 2 2

1 1 1 1

1 2 2 4 4

2x y z 2x y z x y x z x y x z

         

  

         

         

    

       

2 2

1 1

1 1

4 4

16

x y x z x y z

               

 

       

        

 

T¬ng tù

1 1

2 16

x y z x y z

 

    

   

1 1

2 16

x y z x y z

 

    

   

Cộng vế bất đẳng thức ta có:

1 1 1 1 1 1

2 2 16 16 16

1 4 4 1 1

.4

16 16

x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z

     

              

           

   

         

   

V×

1 1

 

2

2

2 2006

0

x x

B x

x

 

 

Ta cã: B=x

−2x+2006

x2 ⇔B=

2006x2−2 2006x+20062

2006x

⇔B=(x −2006)

+2005x2

x2 ⇔

(x −2006)2+2005 2006x2 +

2005 2006 V× (x - 2006)2  víi mäi x

x2 > víi mäi x kh¸c

 2

2

2006 2005 2005

0 2006

2006 2006 2006

x

B B khix

x 

      

Bµi 4a

0

45

EBQ EAQ    EBAQ néi tiÕp; Bˆ = 900 à gãc AQE = 900à gãcEQF = 900 T¬ng tù gãc FDP = gãc FAP = 450

à Tø gi¸c FDAP néi tiÕp gãc D = 900à gãc APF = 900à gãc EPF = 900…… 0,25®

Các điểm Q, P,C ln nhìn dới 1góc900 nên điểm E, P, Q, F, C nằm đờng trịn đ-ờng kính EF ………0,25đ

b Ta cã gãc APQ + gãc QPE = 1800 (2 gãc kÒ bï) ⇒ gãc APQ = gãc AFE Gãc AFE + gãc EPQ = 1800

àTam giác APQ đồng dạng với tam giác AEF (g.g)

à

2

2 1 2

2

APQ

APQ AEE AEF

S

k S S

S



 



 

     

 

c gãc CPD = gãc CMD tø gi¸c MPCD néi tiÕp gãc MCD = gãc CPD (cïng ch¾n cung MD) L¹i cã gãc MPD = gãc CPD (do BD lµ trung trùc cđa AC)

gãc MCD = gãc MDC (do M thuéc trung trùc cña DC)

à góc CPD = gócMDC = góc CMD = gócMCD tam giác MDC góc CMD = 600

tam giác DMA cân D (vì AD = DC = DM)

Và góc ADM =gãcADC – gãcMDC = 900 – 600 = 300

à gãc MAD = gãc AMD (1800 - 300) : = 750

à gãcMAB = 900 – 750 = 150

Bài 5Đặt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0)

à x = -(y + z)

à x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz

à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = 0 Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = à x3 + y3 + z3 = 3xyz

à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 .1/ b3 .1/ c3 = 3/abc

Đề 16 Bài 1Cho biÓu thøc A =

x2−3¿2+12x2 ¿ ¿ ¿ √¿

+ x+2¿

−8x2

¿ √¿

a Rót gän biĨu thøc A

b Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm)

Cho cỏc ng thng:

y = x-2 (d1) y = 2x – (d2) y = mx + (m+2) (d3)

a Tìm điểm cố định mà đờng thẳng (d3 ) qua với giá trị m b Tìm m để ba đờng thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy

Bài 3: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1)

a Chứng minh phơng trình có nghiệm phân biệt

b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) mà không phụ thuộc vào m c Tìm giá trị nhỏ P = x2

1 + x22 (víi x1, x2 lµ nghiƯm phơng trình (1))

Bi 4: Cho ng trũn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q lần lợt giao điểm cặp đờng thẳng AB với CD; AD CE

a Chøng minh r»ng DE// BC

b Chøng minh tứ giác PACQ nội tiếp c Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh hệ thøc:

CE = CQ +

1 CE Bài 5: Cho số dơng a, b, c Chøng minh r»ng: 1< a

a+b+

b b+c+

c c+a<2 đáp án

Bµi 1: - §iỊu kiƯn : x a Rót gän: A=√x

4

+6x2+9

x2 +√x

2

−4x+4

¿x

+3

|x| +|x −2| - Víi x <0: A=−2x

2

+2x −3

x - Víi 0<x 2: A=

2x+3

x - Víi x>2 : A=

2x2−2x +3

x

b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên <=> x2 + ⋮|x|

<=> ⋮|x| => x = {−1;−3;1;3} Bµi 2:

a (d1) : y = mx + (m +2)

<=> m (x+1)+ (2-y) = Để hàm số qua điểm cố định với m

¿

x+1=0 2− y=0

¿{ ¿

=.> ¿

x=−1

y=2 ¿{

¿

Vậy N(-1; 2) điểm cố định mà (d3) qua b Gọi M giao điểm (d1) (d2) Tọa độ M nghiệm hệ

¿

y=x −2

y=2x −4 ¿{

¿

=> ¿

x=2

y=0 ¿{

¿ VËy M (2; 0)

Ta cã : = 2m + (m+2) => m= - VËy m = -

3 (d1); (d2); (d3) đồng quy Bài 3: a Δ' = m2 –3m + = (m -

2 )2 +

4 >0 ∀ m VËy phơng trình có nghiệm phân biệt

b Theo ViÐt:

¿

x1+x2=2(m−1)

x1x2=m−3 ¿{

¿

=>

¿

x1+x2=2m −2 2x1x2=2m −6

¿{ ¿

<=> x1+ x2 – 2x1x2 – = kh«ng phơ thc vµo m a P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – (m-3) = (2m -

2 )2 + 15

4 ≥ 15

4 ∀m

VËyPmin =

15

víi m =

Bài 4: Vẽ hình – viết giả thiết – kết luận

a S® ∠ CDE =

2 S® DC =

2 S® BD = ∠BCD => DE// BC (2 gãc vÞ trÝ so le)

b ∠ APC =

2 s® (AC - DC) = ∠ AQC => APQC néi tiÕp (v× ∠ APC = ∠ AQC

cùng nhìn đoan AC) c.Tứ giác APQC nội tiếp

∠ CPQ = ∠ CAQ (cïng ch¾n cung CQ)

∠ CAQ = ∠ CDE (cïng ch¾n cung DC) Suy ∠ CPQ = ∠ CDE => DE// PQ Ta cã: DE

PQ = CE

CQ (v× DE//PQ) (1) DE

FC = QE

QC (vì DE// BC) (2) Cộng (1) (2) : DE

PQ + DE FC =

CE+QE

CQ =

CQ CQ =1 =>

PQ+ FC=

1

DE (3)

ED = EC (t/c tiÕp tuyÕn) tõ (1) suy PQ = CQ Thay vµo (3) :

CQ+ CF=

1

CE

Bµi 5:Ta cã: a

a+b+c <

a

b+a <

a+c

a+b+c (1) b

a+b+c <

b

b+c <

b+a

c

a+b+c <

c

c+a <

c+b

a+b+c (3) Céng tõng vÕ (1),(2),(3) :

< a

a+b +

b b+c +

c