de luyen tap

tai lieu hay day moi nguoi

1 Một số ñề luyện tập ðề số 1 Câu I. 1) Cho hàm số ( ) 2 1 ( ) ln 1 2011 2 f x x= + − . Chứng minh rằng 1 ( ) 2 f x ′ ≤ và phương trình ( )f x x= có nghiệm thực duy nhất. 2) Cho dãy số thực { } n u ñược xác ñịnh như sau: 1 u a= ∈ ℝ , ( ) 2 1 1 ln 1 2011 2 n n u u + = + − , với 1n ≥ . Chứng minh rằng dãy { } n u hội tụ. Câu II. Cho các số thực dương , ,a b c . Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực 0x > : 1 1 1 2 a x b x c x x + + = + + + . Câu III. 1) Cho hàm số [ ] [ ] : 0;1 0;1f → th ỏ a mãn: ( ) ( ) sin sinf x f y x y− < − , [ ] , 0;1x y∀ ∈ , x y≠ . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i duy nh ấ t [ ] 0 0;1 x ∈ ñể ( ) 0 0 f x x = . 2) Gi ả s ử hàm ( )f x kh ả vi trên ñ o ạ n [ ] 0;1 và (0) (1) 0f f ′ ′ < . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i ( ) 0;1 c ∈ sao cho ( ) 0 f c ′ = . Câu IV. 1) Ch ứ ng minh r ằ ng 2 2 0 sin d 0x x π > ∫ . 2) Hàm ( )f x kh ả tích trên ñ o ạ n [ ] 0;1 và 1 0 ( ) 0f x dx > ∫ . Chứng minh rằng tồn tại ñoạn [ ] [ ] , 0;1a b ⊂ mà trên ñó ( ) 0f x > . Câu V. Cho 2 n ử a ñưở ng th ẳ ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ñ o ạ n vuông góc chung. Góc gi ữ a Ax, By b ằ ng 30 o . Hai ñ i ể m C, D l ầ n l ượ t ch ạ y trên Ax và By sao cho t ổ ng AC + BD = d (d > 0) không ñổ i. Xác ñị nh v ị trí c ủ a các ñ i ể m C, D sao cho th ể tích t ứ di ệ n ABCD ñạ t giá tr ị l ớ n nh ấ t. *** 2 ðề số 2 Câu I. Cho dãy số { } n u ñược xác ñịnh bởi 1 1u = , 2 1 2011 n n n u u u + = + . Tìm giới hạn: 1 2 2 3 1 lim n n n u u u u u u →∞ +   + + +     … . Câu II. 1) Giả sử hàm ( )f x xác ñịnh và liên tục trên ℝ và ( ) ( )f f x x= , x∀ ∈ ℝ . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i 0 x ∈ ℝ sao cho ( ) 0 0 f x x= . 2) Tìm t ấ t c ả các hàm liên t ụ c th ỏ a mãn ( ) ( ) sin f x f x = , x∀ ∈ ℝ . Câu III. 1) So sánh hai s ố 2012 2011 2012 và 2011 2012 2011 . 2) Gi ả s ử hàm ( ) : , f a b → ℝ là hàm kh ả vi liên t ụ c, và v ớ i m ọ i ( ) , , x y a b ∈ , t ồ n t ạ i duy nh ấ t z mà ( ) ( ) ( ) f y f x f z y x − ′ = − . Chứng minh rằng hoặc f lồi nghiêm ngặt hoặc f lõm nghiêm ngặt trong ( ) ,a b . Câu IV. Trong phòng có 6 người, cứ 3 người thì có ít nhất 2 người quen nhau. Chứng minh rằng có 3 người ñôi một quen nhau. Câu V. Cho số nguyên dương n . Chứng minh bất ñẳng thức: 2 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 n      + + + <           … . *** 3 ðề số 3 Câu I. Cho phương trình 1 1x m x+ − − = (1). 1) Giải phương trình (1) khi 4m = . 2) Tìm m ñể phương trình (1) có nghiệm. Câu II. 1) Cho hàm f khả vi liên tục hai lần trên ñoạn [ ] ,a b , ∃ ( ) ,c a b∈ , ( ) ( ) ( ) f a f b f c = = . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i ( ) 0 , x a b ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 f x f x f x ′′ ′ + = . 2) Tìm t ấ t c ả các hàm ( )f x kh ả vi hai l ầ n trên ℝ sao cho ( ) ( ) 0 f x f x ′ ′′ = , x ∀ ∈ ℝ . Câu III. Cho hàm s ố ( ) 2 1 sin 0 0 0 x x x x x ϕ  ≠  =   =  1) Chứng minh rằng hàm ( )x ϕ khả vi tại ñiểm 0x = . 2) Giả sử ( )f x khả vi tại ñiểm 0x = . Tính ñạo hàm của ( ) ( ) f x ϕ tại ñiểm 0x = . Câu IV. 1) Giả sử hàm ( ) ( ) : , \{0} 0,f a a− → +∞ th ỏ a mãn 0 1 lim ( ) 2 ( ) x f x f x →   + =     . Ch ứ ng minh r ằ ng 0 lim ( ) 1 x f x → = . 2) Chứng minh rằng với mỗi 0t ≥ , phương trình 3 8 0x tx+ − = luôn có nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là ( )x t . Tính tích phân ( ) 7 2 0 ( )I x t dt= ∫ . Câu V. Trong phòng có 9 người, bất kì 3 người nào cũng có 2 người quen nhau. Chứng minh rằng có 4 người ñôi một quen nhau. *** 4 ðề số 4 Câu I. 1) Tính ( ) 2 2 0 1 tan dx I x π = + ∫ . 2) Tìm tất cả các hàm liên tục :f →ℝ ℝ th ỏ a mãn: ( ) ( 1) ( 1) 1 0f x f x f x+ + + + = . Câu II. Gi ả s ử 1 2 , , , n x x x… là các nghi ệ m ph ứ c c ủ a ph ươ ng trình 1 1 0 n n x x x − + + + + = … . Tính 1 1 1 n k k x = − ∑ . Câu III. 1) Tìm t ấ t c ả các hàm s ố d ươ ng ( )f x kh ả vi liên t ụ c trên [ ] 0;1 th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n: (1) (0)f ef= và ( ) ( ) 2 1 0 1 f x dx f x   ′ ≤       ∫ . 2) Tìm tất cả các hàm khả vi ( ) : 0;f → +∞ℝ th ỏ a mãn ( ) ( ) ( )f x f f x ′ = , x∀ ∈ ℝ . Câu IV. Trên m ặ t ph ẳ ng Oxy cho 3 ñ i ể m không th ẳ ng hàng A, B, C. Bi ế t OA=1, OB=2, OC=3. Ch ứ ng minh r ằ ng di ệ n tích tam giác ABC không l ớ n h ơ n 5. Câu V. Cho các s ố th ự c phân bi ệ t 1 2 , , , n k k k… . Ch ứ ng minh r ằ ng: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 sin sin sin 0 n n a k x a k x a k x+ + + =… , x∀ ∈ ℝ khi và ch ỉ khi 1 2 n a a a = = = … . *** 5 ðề số 5 Câu I. 1) Tính ( ) 4 0 lim tan n n n x dx π →∞           ∫ 2) Tìm hàm [ ] [ ] : 0;1 0;1f → th ỏ a mãn ( ) ( ) 1 2 1 2 f x f x x x− ≥ − , [ ] 1 2 , 0;1 x x∀ ∈ . Câu II. 1) Cho hàm ( )f x kh ả vi trên ñ o ạ n [ ] ,a b và th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) 0f a f b= = , ( ) 0f x ≠ , ( ) ,x a b ∀ ∈ . Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i dãy { } n x , ( ) , n x a b ∈ sao cho: ( ) ( ) ( ) lim 2011 1 n n n n f x e f x →∞ ′ = − . 2) Cho dãy { } n u : 0 3u = , 1 2 1 1 n n n u u u + = + + . Tìm ( ) lim 2 n n n u →∞ . Câu III. 1) Số nào lớn hơn trong hai số sau: 25 1 1 365 n n =   −     ∏ và 1 2 . 2) Tìm tất cả các hàm ( ) f x khả vi cấp hai trên [ ] , a b thỏa mãn ( ) ( ) 0 f a f b= = và: ( ) ( ) x f x e f x ′′ = , x∀ ∈ ℝ . Câu IV. Trong phòng có 100 người, mỗi người quen với ít nhất 67 người khác. Chứng minh rằng, trong phòng phải có 4 người từng ñôi một quen nhau. Câu V. Giải hệ phương trình: 1 2 3 1 2 3 4 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 n n n n x x x nx a x x x nx a x x x nx a − + + + + =   + + + + =     + + + + =  … … … … *** 6 ðề số 6 Câu I. Cho dãy { } n u ñược xác ñịnh như sau: ( ) 0 1 2 1 1 n n n u u u u u n + + = =    = + ∈   ℕ 1. Chứng minh rằng { } n u là dãy tăng. 2. Chứng minh rằng { } n u có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ . Tìm lim n n u →∞ . Câu II. 1) Có tồn tại hay không một ña thức ( )P x thỏa mãn ( ) ( )P x P x ′′ > và ( ) ( )P x P x ′ ′′ > , với mọi x∈ ℝ . 2) Biết rằng ña thức ( )Q x có tính ch ấ t ( ) ( )Q x Q x ′ > , v ớ i mọ i x∈ ℝ . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) 0 Q x > , v ớ i mọ i x∈ ℝ . Câu III. Cho ph ươ ng trình hà m: ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) f x f y f x y f x f y + + = − (1) 1) Chứng minh rằng hàm ( ) tan( ) f x cx= , c là hằng số, thỏa mãn phương trình (1), 1 1 , , 2 2 x y   ∀ ∈ −     . 2) Tìm tất cả các ( ) f x hàm khả vi trên 1 1 , 2 2   −     th ỏ a mãn ph ươ ng trình (1). Câu IV. 1) V ớ i m ỗ i n∈ ℕ , ñặ t n S là di ệ n tí ch tam giá c cong tạ o b ở i cá c ñườ ng: 0x = , 1 y = , n y x= . Tí nh lim n n S →∞ . 2) Cho cá c s ố th ự c , 1 p q > th ỏ a mãn 1 1 1 p q + = . Ch ứ ng minh r ằ ng: p q a b ab p q ≤ + . Câu V. Giả i h ệ ph ươ ng trình: 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2004 2005 1 2005 1 n n n n n n n a x x x x a x x x x a x x x − − −  + + + + =   +  + + + =  −    + + +  =  −  … … … … … … … … … *** 7 ðề số 7 Câu I. 1) Cho hàm số ( )f x xác ñị nh và liên tụ c trên [ ] 0;1 th ỏ a mãn: ( ) ( ) 1 xf y yf x+ ≤ , [ ] , 0;1x y∀ ∈ Ch ứ ng minh r ằ ng: 1 0 ( ) 4 f x dx π ≤ ∫ . 2) Cho các số thực dương ,p q thỏa mãn 1p q+ < và dãy số { } n n u ∈ℕ không âm thỏa mãn ñiều kiện 2 1n n n u pu qu + + ≤ + , với mọi n∈ ℕ . Chứng minh rằng dãy { } n n u ∈ℕ hội tụ và tìm giới hạn của dãy ñó. Câu II. Cho ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 ( ) sin sin sin n n f x a b x a b x a b x = + + + … 1) Chứng minh phương trình ( ) 0f x = có nghiệm trong khoảng ( ) 0;2 π . 2) Giả sử ( ) sin f x x ≤ , ( ) 1;1 x ∀ ∈ − . Chứng minh rằng: 1 1 2 2 1 n n a b a b a b + + + ≤ … . Câu III. 1) Tìm 0 x > sao cho roots lim n n x x x x x →∞ + + + + =…  ( n dấu căn). 2) Tìm tất cả các hàm liên tục :f → ℝ ℝ thỏa mãn ( ) ( ) 2 2f x f x= + , x∀ ∈ ℝ . Câu IV. Trong mặt phẳng cho 2011 ñiểm sao cho cứ 3 ñiểm bất kì có ít nhất 2 ñiểm cách nhau một khoảng không vượt quá 1. Chứng minh rằng : tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1006 ñiểm. Câu V. Chứng minh rằng bất ñẳng thức sau ñúng với mọi * n∈ ℕ : 2 4 3 1 2 3 6 n n n n n + < + + + <… . *** 8 ðề số 8 Câu I. 1) Tìm giới hạn: 2 3 1 2 3 lim n n n n n →∞ + + + +… . 2) Tính tích phân: ( )( ) 1 2 1 1 1 x dx I e x − = + + ∫ . Câu II. 1) Cho số nguyên dương n và số thực a thỏa mãn 1 503 0 2 1 a n n n + + = + + . Chứng minh rằng: 1 2012 a ≤ . 2) Cho hàm số ( )f x xác ñị nh và khả vi c ấ p hai trên ℝ , th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) 0f x f x ′′ + ≥ , v ớ i mọ i x∈ ℝ . Ch ứ ng minh r ằ ng: ( ) ( ) 0 f x f x π + + ≥ , v ớ i mọ i x∈ ℝ . Câu III. Tì m t ấ t cả cá c hà m ( ) f x th ỏ a mãn: 2011 ( ) ( ) ( ) ( ) , x f x e x f x y f x f y x y  ≥ ∀ ∈  + ≥ ∀ ∈  ℝ ℝ Câu IV. Cho hàm liên tục [ ] [ ] : 0;1 0;1f → . ðặ t 1 0 ( )f x dx a= ∫ . Chứng minh rằng: 1) ( ) F x x≤ và ( ) F x a≤ , với 0 ( ) ( ) x F x f x dx= ∫ . 2) 1 2 0 ( ) 2 a F x dx a≤ − ∫ . 3) 1 2 0 ( ) 2 a xf x dx≤ ∫ . 4) 1 2 0 ( ) 2 a xf x dx a≤ − ∫ . ðẳng thức xảy ra khi nào? Câu V. Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 ñường thẳng sao cho mỗi ñường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích bằng 1/3 . Chứng minh rằng, trong 17 ñường thẳng ñó có 5 ñường thẳng ñồng quy. *** 9 ðề số 9 Câu I. 1) Tính: 0 lim 1 n x x n n e dx e − →∞ − + ∫ . 2) ℚ là tập hợp số hữu tỉ. Tìm tất cả các hàm liên tục [ ] [ ] : , ,f a b a b→ , th ỏ a mãn: ( ) 0f x = , v ớ i mọ i [ ] ,x a b∈ ∩ℚ . Câu II. 1) Cho hà m ( )f x khả vi trên [ ] 0;1 , (0) 1f ′ = , (1) 0f ′ = . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) 0;1c∃ ∈ sao cho ( )f c c ′ = . 2) Hà m ( )x ϕ khả vi c ấ p hai trên [ ) 0;+∞ . Bi ế t r ằ ng ( ) 0x ϕ > , ( ) 0x ϕ ′ > và ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) x x x ϕ ϕ ϕ ′′ ≤ ′ , [ ) 0;x∀ ∈ +∞ . Chứng minh rằng ( ) 2 ( ) lim 0 ( ) x x x ϕ ϕ →+∞ ′ = . Câu III. 1) Giải hệ phương trình: xyz x y z yzt y z t ztx z t x txy t x y = + +   = + +   = + +   = + +  2) Cho hàm liên tục [ ] [ ] : 0;1 1;2f → thỏa mãn 1 0 3 ( ) 2 f x dx = ∫ . Chứng minh rằng: 1 0 3 ( ) 4 dx f x < ∫ . Câu IV. Cho một bàn cờ quốc tế 8 x 8 . Hỏi rằng quân mã có thể ñi nước ñầu tiên từ ô dưới cùng bên trái và kết thúc ở ô trên cùng bên phải hay không ? (Với ñiều kiện nó phải ñi qua tất cả các ô trên bàn cờ và mỗi ô chỉ ñi qua ñúng một lần) Câu V. Chứng minh rằng mọi ña giác bất kì ñều có 2 cạnh mà tỉ số ñộ dài giữa chúng nằm trong khoảng 1 ;2 2       . *** 10 ðề số 10 Câu I. Cho dãy { } * n n x ∈ℕ ñược xác ñịnh bởi công thức truy hồi 2 1 2 n n x x + = − , với 1 5x = . 1) Tìm giới hạn 1 1 2 lim n n n x x x x + →∞ … . 2) Tìm giới hạn 1 1 2 1 2 1 1 1 lim n n x x x x x x →∞   + + +     … … . Câu II. 1) Tính tích phân ( ) * 0 sin sin n nx I n x π = ∈ ∫ ℕ . 2) Cho hàm ( )f x khả vi trên ñ o ạ n [ ] 0;1 th ỏ a mãn (0) 0 f = , (1) 1 f = . Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i m ọ i 1 0 k > , 2 0 k > , t ồ n t ạ i [ ] 1 2 , 0;1x x ∈ sao cho: 1 2 1 2 1 2 '( ) '( ) k k k k f x f x + = + . Câu III. Tì m s ố α l ớ n nh ấ t và s ố β nhỏ nh ấ t ñể : 1 1 1 1 n n e n n α β + +     + ≤ ≤ +         . Câu IV. Một nền nhà hình chữ nhật ñược lát kín bởi 2 loại gạch có kích thớc 1 x 4 và 2 x 2. Người ta dỡ gạch lên và không may làm vỡ mất 1 viên 2 x 2. Họ thay viên bị vỡ bởi viên 1 x 4 rồi tiến hành lát lại sàn nhà. Hỏi bây giờ có thể lát kín nền nhà ñược hay không? Câu V. Cho n số thực 1 2 , , , n a a a… thỏa mãn 0 1 k a≤ ≤ , với mọi 1,2, ,k n= … . Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 4 n n a a a a a a+ + + + ≥ + + +… … . ***