Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.. 2.[r]
(1)Đề 5:
( Biên soạn theo định hướng đề Bộ GD&ĐT năm học 2008 – 2009) Câu 1:
Cho hàm số y =
2
m
(m 1)(x 2x) m (C )
mx m
với m0
1
m
4
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m =
2 Tìm m, để hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu Câu 2:
1 Giải bất phương trình:
1
15.2 2
x x x
2 Tìm m để phương trình: 4(log2 x)2 log0,5x m 0 có nghiệm thuộc (0, 1). Câu 3:
1 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 2x – 2y – =
(C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 =
Viết phương trình tiếp tuyến chung (C1) (C2)
2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng:
(d1) : ¿ x=t y=4+t z=6+2t
¿{ { ¿
; (d2) :
¿ x=t ' y=3t ' −6
z=t ' −1 ¿{ {
¿
Gọi K hình chiếu vng góc điểm I(1; -1; 1) (d2) Tìm phương trình tham số đường
thẳng qua K vng góc với (d1) cắt (d1) Câu 4:
1 Tính thể tích hình chóp S.ABC, biết đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) vng góc với đáy, hai mặt bên cịn lại tạo với đáy góc α
2 Tính tích phân: I = ∫
1
√3 dx
x6(1+x2) Câu 5:
1 Tính tổng
0 2009
2009 2009 2009 2009
S C 2C 3C 2010C .
2 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y =
cosx sin2x
(2cosx −sinx) với < x
Câu 6: Giải phương trình
2
4 1 0
2
z
z z z
trên tập số phức
(2)-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (2,0 điểm)
1) Khi m = 2, ta có:
2
x 2x x
y : (C)
2x 2 2x
* MXĐ: D = R\{-1}
*
2 /
2
2x 4x 16
y
(2x 2)
/ x y
y
x y
* Giới hạn tiệm cận:
xlim y 1 x1: tiệm cận đứng
x x
x
lim y lim
2 2x
x y
2
: tiệm cận xiên * Bảng biến thiên:
x - -4 -1 +
y/ + 0 - - 0 +
y -
-5 CĐ
-
+
CT
+
* Đồ thị: hình
2).
2
/
2
m(m 1)x 2m(m 1)x 3m 2m
y
(mx m)
2 /
2
(m 1)x 2(m 1)x 3m y
m(x 1)
(vì m 0)
Hàm số có cực đại, cực tiểu /
y
có hai nghiệm phân biệt khác –1.
g(x) (m 1)x 2(m 1)x 3m
có nghiệm phân biệt khác –1
/
m m 1
(m 1)(4m 1) 1 (*)
m
g( 1) 4m
Trong điều kiện đó, g(x) = có nghiệm x1, x2
1
1
x x
3m x x
m
Gọi (x ; y ), (x ; y )1 2 tọa độ điểm cực trị
điểm cực trị thì:
/ /
/
/
/ u v u.v
y u 2(m 1)
v y (x 1)
m v
u
y , v
v
x (C)
3 2 0 -1 -4
-5
3 2
3 y
(3)1,2 1,2
2(m 1)
y (x 1)
m
Hai giá trị cực trị dấu y y1 0
2
1 2
2(m 1)(x 1).2(m 1)(x 1) 0 4(m 1) (x 1)(x 1) 0
m m m
1
(x 1)(x 1)
(do điều kiện (*) x x1 2 (x x ) 01 2
3m 2 0 0 m 1.
m m
Kết hợp điều kiện ta được:
1
m
4
Vậy, giá trị cần tìm:
1
m
4 Câu 2: (2,0 điểm)
1). Giải bất phương trình:
1
15.2 2
x x x
(1)
* Đặt: t ; x điều kiện: t > Khi (1) 30t t 2t (2) TH1: t 1
2
(2) 30t 3t 1 30t 9t 6t 1 t 4 (a)
TH2: t 1
2
(2) 30t t 1 30t t 2t 1 t 1 (b)
* Kết hợp (a) (b) ta được: t 4 2 x 4 x 2. * Vậy, bất phương trình có nghiệm: x 2.
2). Tìm m để phương trình: 4(log2 x)2 log0,5x m 0 có nghiệm thuộc (0, 1).
Ta có :
2
2 0,5
4(log x) log x m 0 với x (0; 1) log x log x m 0; x (0; 1)22 2 (1) Đặt: t log x
Vì: lim log xx 0 lim logx 0x 1 , nên: với x (0;1) t ( ; 0) Ta có: (1)
2
t t m 0, t (2)
m t2 t, t 0
Đặt:
2
y t t, t : (P)
y m : (d)
Xét hàm số:
2
y f(t) t t, với t < f (t)/ 2t 1
/ 1
f (t) t y
2
Từ bảng biến thiên ta suy ra:
(1) có nghiệm x (0; 1) (2) có nghiệm
t <
(d) (P) có điểm chung, với hoành độ t <
0
1 m
4
Vậy, giá trị m cần tìm:
1
m
4 Câu 3:
x y
(C1)
(C2) I2 A I1 1
1 4
(4)1). (C1):
2
(x 1) (y 1) 4 có tâm I (1; 1)1
bán kính R1 =
(C2):
2
(x 4) (y 1) 1 có tâm I (4; 1)2
bán kính R2 =
Ta có: I I1 3 R1R2 (C1) (C2) tiếp xúc A(3; 1)
(C1) (C2) có tiếp tuyến, có tiếp tuyến chung A x = // Oy
* Xét tiếp tuyến chung ngoài: ( ) : y ax b ( ) :ax y b 0 ta có:
2
1
2
2
a b 2 2 2
a a
d(I ; ) R a b 4 4
hay
d(I ; ) R 4a b 4 2 4 2
1 b b
4
a b
* Vậy, có phương trình tiếp tuyến chung:
1
2 2
( ) : x 3, ( ) : y x , ( ) y x
4 4
2). (d1) có vectơ phương u1 (1; 1; 2)
; (d2) có vectơ phương u2 (1; 3; 1)
/ / / / / /
2
K (d ) K(t ; 3t 6; t 1) IK (t 1; 3t 5; t 2)
/ / / /
2 18 18 12
IK u t 9t 15 t t K ; ;
11 11 11 11
Giả sử (d ) cắt (d1) H(t; t; 2t), (H (d ))
18 56 59
HK t; t; 2t
11 11 11
1 18 56 118 26
HK u t t 4t t
11 11 11 11
30
HK 4; ; (44; 30; 7)
11 11 11
Vậy, phương trình tham số đường thẳng (d ):
18
x 44
11 12
y 30
11
z
11
.
Câu 4: 1). Cách 1:
* Dựng SH AB
* Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) AB, SH (SAB)
SH (ABC)
SH đường cao hình chóp.
* Dựng HN BC, HP AC
S
H
P
C B
N
(5)
SN BC, SP AC SPH SNH
* SHN = SHP HN = HP
* AHP vng có:
o a
HP HA.sin60
4
* SHP vng có:
a
SH HP.tg tg
4
* Thể tích hình chóp
2
ABC
1 a a a
S.ABC : V SH.S tg tg
3 4 16
Cách 2:
* Dựng SH AB
* Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB) SH (ABC)
* Vì (SAC) (SBC) tạo với (ABC) góc ABC đều, nên suy H trung điểm AB
* Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz đơi vng góc, H(0; 0; 0),
a a a
A ; 0; ; B ; 0; ;C 0; ; , S(0; 0; h), (h 0)
2 2
* Phương trình mp (ABC):
z = 0, với pháp vectơ n1 (0; 0;1)
* Phương trình mp (SAC):
x y z 1
aa h
(SAC) : 2h 3x 2hy a 3z ah
với n2 (2h 3; 2h; a 3)
* (SAC) tạo với (ABC) góc :
2 2 2
0 a a 3
cos
0 12h 4h 3a 16h 3a
2
2
2
1 1 tg 16h 3a
cos 3a
2
2 3a tg a
h h tg
16
* Thể tích hình chóp S.ABC:
2
ABC
1 a a a
V h.S tg tg
3 4 16
2). Tính
3
6
1
dx I
x (1 x )
∫
Đặt :
1 dt
x dx
t t
Đổi cận: x = t = 1; x = 3 t =
3
∫ ∫ ∫ ∫
3 1
1 1
6
3
4
2 2
3
1 3
3
3 3
t t t dt 117 41 dt
I dt t t dt t
5 135
t t t t
z h S
B
C A
x
H
a 2
(6) Đặt:
2
t tg u dt (1 tg u)du Đổi cận: t = u = 6
; t =
3 u = 4
1 / 4
2 /
3
6
dt 1 tg u du u .
12
t 1 tg u
∫ ∫
Vậy:
117 41 I
135 12
Câu 5:
1). Xét đa thức:
2009 2 2009 2009
2009 2009 2009 2009
f(x) x(1 x) x(C C x C x C x )
C02009x C 12009x2 C20092 x3 C 20092009 2010x
* Ta có: f (x) C/ 020092C12009x 3C 22009x2 2010C 20092009 2009x f (1) C/ 20090 2C120093C22009 2010C 20092009 (a)
* Mặt khác: f (x) (1 x)/ 20092009(1 x) 2008x (1 x) 2008(2010 x) f (1) 2011.2/ 2008(b)
* Từ (a) (b) suy ra: S 2011.2 2008 2) Với x
tg sinx 0,cosx 0, 2cosx sinx 0
2
3
2 2
2
cosx
1 tg x tg x
cos x y
sin x 2cosx sinx. tg x(2 tgx) 2tg x tg x
cosx cos x
Đặt: t tgx; t
2 t
y f(t) ; t
2t t
4
/ /
2 2 2
t 3t 4t t(t 3t 4) t(t 1)(t t 4)
f (t) f (t) (t t 1)
(2t t ) (2t t ) (2t t )
Bảng biến thiên:
t
f/(t) 0 - 0 +
f(t)
+
2 6 3
Từ bảng biến thiên, ta có:
min f(t) t x
4
Vậy, giá trị nhỏ hàm số:
0;
miny x /
Câu 6: Giải phương trình
2
4 1 0
2
z
z z z
(7)* Biến đổi:
2
4 1 1
2
z
z z z z z z
z z
Đặt ẩn số phụ: t =
z z
* Đưa phương trình:
2 0 3
2 2
i i
t t t t
* Đáp số có nghiệm z : 1+i; 1- i ;
1
;
2
i i