10 ĐỀ HSG TOÁN 8

b. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong[r]

ĐỀ Bài 1: (4,0 điểm)

a) Tìm tất số tự nhiên có ba chữ số chia cho 37 dư chia cho 11 dư b) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2xy 4x y 0

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Cho 3a 2 b0và 9a24b2 13ab Tính giá trị biểu thức 9a2 ab A

b 

 .

b) Giải phương trình:

2

3 2015 2013 2011

x x x

  

Bài 3: (4,0 điểm) a) Cho biểu thức

3 2

3 2

2x ( 2)

2x 3x 4x

x x x x

M

x x x

 

    

   

     

Rút gọn biểu thức M tính giá trị x M =

b) Tìm giá trị lớn biểu thức: N x2 y24x 4 y2 Bài 4: (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A (AC>AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm

D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh BECvà A CD đồng dạng.

b) Tính tỉ số

BE AB Bài 5: (4,0 điểm)

a) Cho tam giác ABC có G trọng tâm Một đường thẳng qua G không song song với BC cắt cạnh AB, AC M N Tính

AB AC

AM AN

b) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AH, BG cho CAH CBG  30 .

Chứng minh tam giác ABC ĐỀ

Bài 1: (5,0 điểm)

Cho biểu thức M=

4 2

6 4

2

1

x x x

x x x x x

  

 

    

a/ Rút gọn M b/ Tìm giá trị lớn M Cho x, y số hữu tỷ khác thỏa mãn

1 2 1 x y x y      

Chứng minh M=x2y2 xy bình phương số hữu tỷ Bài 2: (4,0 điểm)

Tìm số dư phép chia x3 x5 x7 x92033 cho x212x30 Cho x, y, z thỏa mãn x y z  7 ; x2y2z2 23 ; xyz3

Tính giá trị biểu thức H=

1 1

6 6

Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thoả mãn 3x23xy17 7 x 2y Giải phương trình Giải phương trình:      

2

3x x1 3x8 16 Bài 4: (6 điểm)

Cho hình vng ABCD có đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M ( 0<MB<MA) cạnh BC lấy N cho MON 900 Gọi E giao điểm AN với DC, gọi K giao điểm ON với BE

Chứng minh MON vuông cân Chứng minh MN song song với BE Chứng minh CK vng góc với BE

Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC H Chứng minh

KC KN CN

KB KH BH  Bài 5: (1,0 điểm)

Cho x, y 0 thỏa mãn x2y5 Tìm giá trị nhỏ H=

2 2 24

x y

x y

  

ĐỀ

Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức:

2

2

x 2x 2x

M

2x 8 4x 2x x x x

   

     

     

 

a) Rút gọn M.

b) Tìm x ngun để M có giá trị số nguyên dương. c) Tìm x để M3.

Bài (6,0 điểm)

a) Cho ,x y hai số dương x2010 y2010 x2011y2011 x2012y2012. Tính giá trị của biểu thức S x 2020 y2020.

b) Giải phương trình

x 2015 x 2007 x 2006 x 2018

2010 2012 2011 2013

   

  

. c) Tìm x y thỏa mãn:    

2

y 2 x 1 =2y x 

Bài 3. (4,0 điểm) a) Chứng minh

bc ac ab

a b c

a  b  c    với số dương a, b, c.

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức L x 4 4x37x2 12x 20.

Bài 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A AC AB  Vẽ đường cao AH H BC  Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC P.

b) Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: tam giác BHQ đồng dạng với tam giác BPC.

c) Tia AQ cắt BC I Chứng minh:

AH BC =1 HB  IB ĐỀ

Câu (4,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x26xy5y2 5y x . 2) Cho a3  3ab2 5 b3 3a b 102  Tính S = 2016a22016b2

Câu (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức A =

2

2

4

:

2

x x x

x x x x x

    

 

   

    

 

Rút gọn biểu thức A tìm giá trị x để A < 0

2) Chứng minh ( n2 + 3n + 1)2 - chia hết cho 24 với n số tự nhiên. Câu (4,0 điểm)

1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x3 + 3x = x2 y + 2y +

2) Một đa thức P(x) chia cho x2 x 1 dư - x chia cho x2 x1 dư 3x + Tìm số dư phép chia P(x) cho x4x21.

Câu (6,0 điểm)

Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB hình vng AMCD, BMEF.

1) Chứng minh AE vng góc với BC

2) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. 3) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển trên đoạn thẳng AB cố định

ĐỀ

Bài (4,0 điểm)

Cho biểu thức:

5

2

2x x 2x 8x 4x 2 P

4x 1 8x 1

    

 

 

a Rút gọn P

b Tìm giá trị x để P = Bài (4,0 điểm)

2a + b 2b + c 2c + d 2d + a

+ +

+ c  + a 

 

a b b c d d Chứng minh A = abcd số phương.

b Tìm a ngun để a3 – 2a2 + 7a – chia hết cho a2 + 3. Bài (3,0 điểm)

a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017

b Giải phương trình:

2

x +1 x +1 2x -

+ -

x - x - x -

   



   

   

Bài (3,0 điểm)

a Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc Chứng minh

tam giác

b Cho x, y, z dương x + y + z =1 Chứng minh : 2

1 1

9

2   

  

x yz y xz z xy

Bài (5,0 điểm)

Cho O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vuông góc AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D

a Chứng minh AB2 = AC.BD

b Kẻ OM vng góc CD M Chứng minh AC = CM

c Từ M kẻ MH vng góc AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH d Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ

ĐỀ

Bài 1.(5 điểm)

Cho x, y hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y < x + y =

a) Rút gọn biểu thức

A=y−x

xy :[ y2

(x−y)2−

2x2y

(x2−y2)2 + x

2

y2−x2] b) Chứng minh rằng: A < -

Bài (2 điểm)

Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:

4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 4xz + 2yz – 6y – 10z + 34 = 0, Tính gia trị biểu thức T = (x – 4)2014 + (y – 4)2014 + (z – 4)2014. Bài 3.(2 điểm)

Cho số nguyên tố p > Biết có số tự nhiên n cho cách viết thập phân số pn có 20 chữ số Chứng minh 20 chữ số có chữ số giống

Bài 4.( điểm)

Cho hình vng ABCD cạnh a điểm N cạnh AB Cho biết tia CN cắt tia DA E, tia Cx vng góc với tia CE cắt tia AB F Gọi M trung điểm đoạn thẳng EF

a) Chứng minh CE = CF;

b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng;

d) Xác định vị trí điểm N cạnh AB cho tứ giác ACFE có diện tích gấp lần diện tích hình vng ABCD

Bài (3 điểm)

a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1

b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện ≤ a, b, c ≤ a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2.

ĐỀ

Bài 1. (6,0 điểm)

c Chứng minh với số tự nhiên n : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59

Bài 2. (4,0 điểm)

a Chứng minh  

2 2

a b c 2 abbcca với số thực a, b, c.

b Chứng minh với số nguyên x biểu thức P số phương x+5 x+7    9  11 + 16.

P x x

Bài 3 (3.0 điểm):

Cho biểu thức: 2 2

1 1 1

3 12 20

P

x x x x x x x x x x

    

        

a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có giá trị b) Rút gọn biểu thức P

Bài 4. (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông A AC AB  Vẽ đường cao AH H BC  Trên tia đối tia BC lấy điểm K cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC P

a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC

b Gọi Q trung điểm BP Chứng minh: QH đường trung trực đoạn thẳng AK Bài (2.0 điểm):

Cho tam giác ABC có A Bˆ  ˆ Trên cạnh BC lấy điểm H cho HACˆ ABCˆ Đường phân giác góc ˆBAHcắt BH E Từ trung điểm M AB kẽ ME cắt đường thẳng AH F Chứng minh rằng: CF // AE

ĐỀ

Câu 1:

a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 – 7x2 + 17x – 5

b) Cho a + b = Tính giá trị biểu thức C = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2 ) Câu 2:

a) Cho số nguyên a, b,c thoả mãn: ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng: A=      

2 2

1 a 1 b 1 c

số phương ; b) CMR với số tự nhiên n ta có: 5n+2+26.5n+82n+1  59

Câu 3:

a) Tìm x biết : (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 ; b) Cho ba số a, b, c thoả mãn

   



  

 2

a b c

a b c 2012 Tính   

A a b c

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH Gọi I trung điểm HC Kẻ đoạn thẳng BK vng góc với BA cho BK=

1 AC (K C phía AB)

a) Gọi E trung điểm AH Chứng minh BE song song với IK b) Tính góc AIK

Câu 1 : Cho phân thức: A =

4

2

x 3x 5x 9x 6

4x x

   

 

1) Tìm x để A = 2) Rút gọn A

Câu 2 : Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức : 2y2x – y2 + x + y + = x2 +xy +y2 Câu 3 :

1) Chứng minh : (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10  1 2) Giải phương trình : x6 + 3x5 + 6x4 + 7x3 + 3x + = 0

Câu 4 : Cho tam giác ABC cân A với góc A nhọn, CD đường phân giác góc ACB (D thuộc AB) ; qua D kẻ đường vng góc với CD cắt đường thẳng CB E Chứng minh BD =

1 EC

Câu 5 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M điểm di động AB Qua A, B vẽ đường thẳng song song với CM, chúng cắt đường thẳng BC, CA P Q Tìm vị trí điểm M để biểu thức

1 1 2011