ĐỀ SỐ 05 Câu (4,0 điểm) Cho parabol (P): y = − x đường thẳng (d) qua điểm I(0;-1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giải sử A, B có hồn độ x1;x2 Tìm k để trung điểm đoạn AB nằm trục tung Chứng minh x1 − x2 ≥ ( ∀k ∈ R ) Câu (6,0 điểm) Giải phương trình: 3x + + x + = x − x + Giải bất phương trình x − 3x + + x − x + ≥ x − x + x + x y − xy + xy − y = Giải hệ phương trình: x + y − xy ( x − 1) = Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6), chân đường phân giác kẻ tử đỉnh 3 A điểm D 2; − ÷ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC điểm 2 đường thẳng BC I − ;1÷ Viết phương trình Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, BA = c (b ≠ c) diện tích S Kí hiệu ma ; mb ; mc 2 độ dài cảu đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Biết 2ma ≥ mb + mc Chứng minh a 4S cotA Gọi O G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; M trung điểm · BC Chứng minh góc MGO khơng nhọn Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = thức M = 1 + 2 + 2 a + b + b + c + c + a2 + 3 Tìm giá trị lớn biểu Đáp Án Câu Cho parabol (P): y = − x đường thẳng (d) qua điểm I(0;-1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giải sử A, B có hồn độ x1;x2 1) Tìm k để trung điểm đoạn AB nằm trục tung +) Đường thẳng (d) có pt: y = kx − +)PT tương giao (d) (P): − x = kx − ⇔ x + kx − = 0(*) + (*) ln có nghiệm phân biệt x1 ; x2 ∆ = k + > 0(∀k ) + Trung điểm M AB có hồnh độ M nằm trục tung ⇔ x1 + x2 − k = ; 2 −k =0⇔k =0 2 2) Chứng minh x1 − x2 ≥ ( ∀k ∈ R ) Theo Vi et có: x1 + x2 = −k ; x1 x2 = −1 2 Ta có x1 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 = x1 − x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 Có x1 − x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = k + 2 ⇒ x12 − x23 = k + ( k + 1) ≥ 2, ∀k ∈ R Đẳng thức xảy k = Câu Giải phương trình: 3x + − + 3x + + x + = x − x + (1) Điều kiện: x ≥ − (1) ⇔ ⇔ ( ) ( ) x + − = 3x − x 3x 5x = x ( x − 1) 3x + + x + + x = (TM ) ⇔ = 3x − (*) x + + x + + Với x =1: VT (*) = = VP (*) nên x =1 nghiệm (*) Nếu x > VT (*) < < VT (*) Nếu x < VT (*) > > VP (*) Vậy (1) có nghiệm x = 0; x = - TXĐ : D=(- ∞ ; 1] ∪ [4; + ∞ ) - TH1 : x∈ (- ∞ ; 1] x =1 x