Sở Giáo Dục và Đào Tạo Thanh Hoá Đề Thi học sinh giỏi cấp trờng TRờng THPT Nga Sơn khối 10 - năm học 2009 - 2010 Môn thi : Toán Đề chính thức (gồm 01 trang) Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề ) Bài 1 (4 điểm)Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1) = + 3 2 8 7 5 6y x x x 2) + = + + 2 2 2 1 2 10 2 5 3 x y x x x x Bài 2 (4 điểm) Cho ( ) = + 2 4 5 1.f x x mx m ( m là tham số) 1) Tìm m để ( ) > 0 x R.f x 2) Tìm m để phơng trình ( ) = 0f x có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn -1 < x 1 < x 2 . Bài 3 (5 điểm) 1) Giải phơng trình : ( ) + = + 2 2 2 4 12 2 x x x . 2) Cho hệ phơng trình : + = + = 1 1 3 x y x x y y m a) Giải phơng trình khi m = 0. b) Tìm m để hệ có nghiệm. Bài 4: (5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm toạ độ đỉnh C của tam giác ABC . Biết hình chiếu của C lên đờng thẳng AB là H(- 1; -1) , đờng phân giác trong của góc A có phơng trình : x - y +2 = 0 và đờng cao kẻ từ B có phơng trình : 4x + 3y -1 = 0. Bài 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức : + + = + + 2 2 2 1 7 x y P x y Hết Họ và tên thí sinh ; Số báo danh (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Đáp án Đề Thi học sinh giỏi cấp trờng khối 10 - năm học 2009- 2010 Môn thi : Toán Đề chính thức Bài Nội dung Điểm Bài 1 1) Hàm số xác định ( ) ( ) 3 2 2 8 7 5 6 0 1 8 6 0 1 0 1 x x x x x x x x + + + Vậy TXĐ của hàm số : [ = +1; )D 0.5 0.5 0.5 0.5 2) Hàm số xác định: < + > > 2 2 5 2 5 2 2 10 0 2 1 2 5 3 0 2 3 2 x x x x x x x x x x . Vậy TXĐ của hàm số là: ] = + 5 ( ; 2 ; ) 2 D 1 1 Bài 2 1) ( ) < > < + < < < 2 1 0 0 x R 0 1 4 5 1 0 1 4 m R f x m m m 1 1 2) Đặt : t = x +1. Phơng trình trở thành : ( ) = + + = 2 2(1 2 ) 9 0(2)g t t m t m Để (1) có 2 nghiệm thoả mãn : -1 < x 1 < x 2 . Thì pt (2) phải có 2 nghiệm dơng : 0 < t 1 < t 2 0.5 0.5 0.5 < > > + > < < > + > > > > > > 2 1 4 1 0 4 5 1 0 1 0 1 0 1 2 0 4 2 1 0 9 0 0 m m m m m P m m m S m m ( ) + ữ 1 0; 1; 4 m 0.5 Bài 3 1) Giải phơng trình: ĐK: 2 x 12 2 4 2 2 12 )2( 4 2 2 2 2 2 = + + + = + + x x x x x x x x Đặt: 2 2 + = x x t phơng trình có dạng: 2 6 4 12 0 2 t t t t = + = = + 6 2 6 2 = + = x x t PT vô nghiệm + = 2t = + 2 2 x x 2 += = 51 51 x x (thoả mãn điều kiện) Kết luận: Vậy phơng trình có 2 nghiệm phân biệt 51,51 =+= xx 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 2) Điều kiện: , 0x y , 0x y . Đặt : = = , 0 u x u v v y Hệ trở thành: + = + = + = + = = = + = + + = 3 3 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 3 ( ) 3 ( ) 1 3 u v u v u v u v uv m uv m u v m u v uv u v m Do đó u, v là nghiệm của phơng trình: t 2 t + m = 0 (1). a) Với m = 0. (1) suy ra t = 0, t = 1. Vậy nghiệm của hệ là : = = = = = = = = 1 1 0 0 0 0 1 1 u x v y u x v y Vậy hệ có 2 nghiệm (1 ; 0); (0 ; 1). Điều kiện để hệ có nghiệm khi (1) thoả mãn : 0.5 0.5 0.5 0.5 0 1 4 0 1 0 0 0 4 0 1 0 2 m P m m S Vậy với 1 0 4 m thì hệ có nghiệm. 0.5 0.5 Bài 4 Gọi ( ) ;H a b là điểm đối xứng của H qua phân giác AD thì HH AD và trung điểm của HH là ữ 1 1 ; 2 2 a b I thuộc AD: ( ) ( ) + + = = = + = 1 1 1 1 0 3 1 1 1 2 0 2 2 a b a a b b nên ( ) 3;1H Đờng thẳng AC qua H , vuông góc với đờng cao BK nên có phơng trình: 3( x + 1) 4 (y - 1) = 0 hay 3x 4y + 13 = 0. Đỉnh = A AD AC là A(5 ; 7). Đờng thẳng CH đi qua H, vuông góc HA nên có phơng trình: 6( x + 1) + 8 (y +1) = 0 hay 3x + 4y + 7 = 0. Toạ độ C là nghiệm hệ phơng trình: = + + = + = = 10 3 4 7 0 3 3 4 13 0 3 4 x x y x y y Vậy ữ 10 3 ; 3 4 C 0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 5 Xét điều kiện có nghiệm của phơng trình: + + = + + + + = 2 2 2 2 2 1 7 2 7 1 0 (1) x y P x y Px x Py y P Trong đó x là ẩn số, coi y là tham số tuỳ ý, còn P là tham số có điều kiện. Xét hai trờng hợp: + 0 2 1 0P x y= + + = + 0P , thì pt (1) luôn có nghiệm x khi biệt thức không âm: 2 2 2 2 1 4 ( 2 7 1) 0 4 8 28 4 1 0 (2) P Py y P P y Py P P + + + + Coi (2) là bất phơng trình ẩn y , BPT này xảy ra với mọi giá trị y khi: 2 2 2 2 16 4 ( 28 4 1) 0 5 1 28 4 5 0 14 2 P P P P P P P + + + + + Khi P nhận các giá trị này thì đẳng thức xảy ra ở (1) và (2), khi đó: 1 1 , 2 y x P P = = 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 VËy : GTLN : 1 2 P = khi y = 2 vµ x = 1 GTNN: 5 14 P − = khi 14 7 , 5 5 y x − − = = 0.25 . Thanh Hoá Đề Thi học sinh giỏi cấp trờng TRờng THPT Nga Sơn khối 10 - năm học 2009 - 2 010 Môn thi : Toán Đề chính thức (gồm 01 trang) Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề ) Bài. thí sinh ; Số báo danh (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Đáp án Đề Thi học sinh giỏi cấp trờng khối 10 - năm học 2009- 2 010 Môn thi : Toán Đề chính thức Bài Nội dung Điểm Bài 1 1). 7 = 0. Toạ độ C là nghiệm hệ phơng trình: = + + = + = = 10 3 4 7 0 3 3 4 13 0 3 4 x x y x y y Vậy ữ 10 3 ; 3 4 C 0.5 0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 5 Xét điều kiện có