d Xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp MCE nhỏ nhất... b Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của m, đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định
Trang 1Cho biểu thức: P = x 3 x 2 x 2 : 1 x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 0
c) Tìm x để 1
P nhỏ nhất.
Bài 2.
Cho hàm số: y = ax + b Tìm a và b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) Đi qua điểm A(– 1; 3) và B(1; – 1)
b) Song song với đường thẳng y = – 2x + 1 và qua điểm C(1; – 3)
Bài 3
Một đội công nhân phải làm 216 sản phẩm trong một thời gian nhất định Ba ngày đầu, mỗi ngày đội làm đúng theo định mức Sau đó mỗi ngày họ đều làm vượt mức 8 sản phẩm nên đã làm được 232 sản phẩm và xong trước thời hạn 1 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội phải làm bao nhiêu sản phẩm ?
Bài 4.
Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho OI < AI Kẻ dây MN AB tại I Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N, B Gọi E là giao điểm AC và MN
a) Chứng minh rằng: Tứ giác IECB nội tiếp
b) Chứng minh rằng: AME ACM và AM2 = AE.AC
c) Chứng minh rằng: AE.AC – AI.BI = AI2
d) Xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp MCE nhỏ nhất
Bài 5.
Giải phương trình sau: x4 = 8x + 7
Trang 2Cho biểu thức: P = 2x 2 x x 1 x x 1
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 5
c) Với giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh 8
P chỉ nhận một giá trị nguyên
Bài 2.
Cho hàm số: y = (m2 + 2m + 2)x + 1
a) Chứng tỏ rằng hàm số luôn đồng biến với mọi giá trị của m
b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 5)
Bài 3
Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh đi tham quan Nếu dùng loại xe lớn chở một lượt hết học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc Biết rằng mỗi xe lớn chở được nhiều hơn mỗi xe nhỏ 15 học sinh Tính số xe lớn nếu loại xe đó được dùng
Bài 4.
Cho đường tròn (O) và điểm A cố định nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc đường tròn và AM < AN) Gọi E là trung điểm của dây MN và I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn
a) Chứng minh rằng: 4 điểm A, O, C, E cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh rằng: AOC BIC
c) Chứng minh rằng: BI // MN
d) Xác định vị trí của cát tuyến AMN để diện tích AIN lớn nhất
Bài 5.
Tìm các giá trị của m để phương trình: mx4 – 10mx2 + (m + 8) = 0
có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 (x1 < x2 < x3 < x4) thỏa mãn điều kiện:
x4 – x3 = x3 – x2 = x2 – x1
Trang 3Cho biểu thức: P = x 1 x 1 1 x
2
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 2
x .
Bài 2.
Cho hàm số: y = x2 có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = 2mx – m + 1 (m là tham số khác 0) Tìm m sao cho đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 mà |x1 – x2| = 2
Bài 3
Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 120 km, cả đi và về mất 6 giờ 45 phút Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h
Bài 4.
Cho ABC cân tại A và A 90 0 Vẽ một cung tròn BC nằm trong ABC đồng thời tiếp xúc với AB tại B, tiếp xúc AC tại C Trên cung BC lấy điểm M và gọi I, K, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, AB, AC MB cắt IK tại E; MC cắt IH tại F
a) Chứng minh rằng: Tứ giác BIMK và tứ giác CIMH nội tiếp
b) Chứng minh rằng: Tia đối của tia MI là phân giác của HMK
c) Chứng minh rằng: Tứ giác MEIF nội tiếp và EF // BC
d) Vẽ đường tròn (O1) đi qua M, E, K và đường tròn (O2) đi qua M, F, H Gọi N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2); D là trung điểm của BC Chứng minh rằng: 3 điểm M, N, D thẳng hàng
Bài 5.
Giải phương trình:
Trang 4Cho biểu thức: P = x 1 x 2 x 1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = 2 x
Bài 2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = x2
a) Viết phương trình đường thẳng (d), biết nó đi qua điểm A(1; 2)
b) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định và cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B
Bài 3
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 12 giờ đầy bể Sau khi hai vòi cùng chảy 8 giờ, người ta khoá vòi một còn vòi hai tiếp tục chảy Do tăng công suất lên gấp đôi nên vòi hai đã chảy đầy phần còn lại của bể trong 3,5 giờ Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất bình thường thì phải bao lâu mới đầy bể ?
Bài 4.
Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau Trong đoạn OB lấy điểm M (khác O) Tia CM cắt (O) tại điểm thứ hai là N Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến qua N của (O) tại điểm P
a) Chứng minh rằng: Tứ giác OMNP nội tiếp
b) Chứng minh rằng: Tứ giác CMPO là hình bình hành
c) Chứng minh rằng: CM.CN không phụ thuộc vị trí điểm M
d) Chứng minh rằng: Tâm đường tròn nội tiếp CND di chuyển trên cung tròn cố định khi M di chuyển trên đoạn OB
Bài 5.
Cho x 3 x2 3 y 3 y2 3 3 Tính giá trị của: A = x + y
Trang 5Cho biểu thức: P = x x 2x x 2(x 1)
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để Q = 2 x
P nhận giá trị nguyên.
Bài 2.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = – x2 và đường thẳng (d)
đi qua điểm I(0; – 1), có hệ số góc k
a) Viết phương trình đường thẳng (d)
b) Chứng minh rằng: Với mọi giá trị của k, đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B Gọi x1, x2 là hoành độ của A và B Chứng minh rằng: |x1 – x2| 2
Bài 3
Hai bến sông A và B cách nhau 126 km Một tàu thuỷ khởi hành từ A xuôi dòng về B Cùng lúc đó có một đám bèo trôi tự do theo cùng chiều với tàu Khi tàu đến B liền quay ngay về và khi còn cách A một khoảng 28 km thì gặp lại đám bèo trên Tính vận tốc riêng của tàu thuỷ và vận tốc của dòng nước, biết rằng vận tốc của tàu thuỷ lớn hơn vận tốc của dòng nước 14km/h
Bài 4.
Cho ABC nhọn, trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCE và D là điểm đối xứng của H qua BC Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
a) Chứng minh rằng: 5 điểm A, B, D, E, C cùng thuộc một đường tròn
b) Gọi I là trung điểm của BC và F là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng: 3 điểm O, I, F thẳng hàng
c) Gọi G là giao điểm của HO và AI Chứng minh rằng: G là trọng tâm của
ABC
d) Giả sử OH // BC, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa cotgB và cotgC của ABC
Bài 5.
Tìm cặp số (a; b) thỏa mãn đẳng thức: a 1.b 2 b a 1 sao cho a đạt GTLN
Trang 6Cho biểu thức: P =
:
a) Rút gọn P
b) Tìm a để 1 a 1 1
Bài 2.
Cho hàm số: y = 2x2 (1)
a) Vẽ đồ thị hàm số (1) và tìm trên parabol điểm cách đều hai trục tọa độ
b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx – 1 cắt parabol tại hai điểm phân biệt
c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm N(0; – 2) và tiếp xúc với parabol
Bài 3
Tìm một số có ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái của số gồm hai chữ số còn lại ta được một số mới có ba chữ số và lớn hơn chữ
số đầu 765 đơn vị
Bài 4.
Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Điểm M bất kì thuộc cung BC nhỏ Kẻ MA', MB', MC' lần lượt vuông góc với BC, CA, AB
a) Kể tên các tứ giác nội tiếp trên hình vẽ và giải thích
b) Chứng minh rằng: 3 điểm A', B', C' thẳng hàng (đường thẳng Simson).
c) Tìm vị trí của điểm M để B'C' lớn nhất
d*) Gọi A1, B1, C1 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA, AB Chứng minh rằng:
A1, B1, C1 thẳng hàng (đường thẳng Steiner).
Đường thẳng chứa ba điểm A1, B1, C1 luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5.
Cho ba số dương a, b, c, đều nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng: Có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai:
Trang 7Cho biểu thức: P = 1 x : 1 2 x 1
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P
b) Tìm x nguyên để Q = P x nhận giá trị nguyên
Bài 2.
Giải hệ phương trình:
x xy y 3 4 2
Bài 3
Trong một buổi liên hoan một lớp mời 15 vị khách đến dự Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa thì mới đủ chỗ ngồi Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số người ngồi như nhau và không ngồi quá 5 người Hỏi lớp học lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế ?
Bài 4.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M là một điểm bất kì trên cung
AB (khác A, B) Gọi H là điểm chính giữa của cung AM Kẻ tiếp tuyến Ax trên nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn (O) BH cắt AM tại I và cắt Ax tại K; BM cắt AH tại S
a) Chứng minh rằng: BAS cân
b) Chứng minh rằng: S thuộc cung tròn cố định và KS tiếp xúc với đường tròn cố định khi M di chuyển trên cung AB
c) Đường tròn ngoại tiếp BIS cắt đường tròn (B; BA) tại điểm N Chứng minh rằng: Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5.
Cho m 0 và phương trình: 2
2
1
2m
Chứng minh rằng: Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và
x x 2 2
Trang 8Cho biểu thức: P = 2x x x x x x . x 1 x
x 1
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 2.
Giải hệ phương trình:
2
2
1
4 1
4
Bài 3
Một người mua hai loại mặt hàng A và B Nếu tăng giá mặt hàng A thêm 10% và giá mặt hàng B thêm 20% thì người đó phải trả tất cả là 232 nghìn đồng Nhưng nếu giảm giá cả hai loại mặt hàng 10% thì người đó phải trả tất cả 180 nghìn đồng Tính giá tiền mỗi loại hàng lúc đầu
Bài 4.
Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O); M là điểm bất kì trên đáy BC Qua M vẽ đường tròn (D) tiếp xúc với AB tại B và đường tròn (E) tiếp xúc với AC tại C Gọi N là giao điểm thứ hai của (D) và (E)
a) Chứng minh rằng: N thuộc (O)
b) Chứng minh rằng: MN luôn đi qua A và tích AM.AN không đổi khi M di chuyển trên cạnh BC của ABC
c) Chứng minh rằng: Tổng hai bán kính của hai đường tròn (D) và (E) có giá trị không đổi
d) Tìm quỹ tích các trung điểm I của đoạn DE
Bài 5.
Cho biểu thức E = 99999 + 66666 3
Chứng minh rằng: Không tồn tại các số nguyên A, B để E = A B 3 2
Trang 9Cho biểu thức: P = x 2 x 1 1
a) Rút gọn P
b) Tính P khi x = 33 8 2
c) Chứng minh rằng: P < 1
3.
Bài 2.
Giải hệ phương trình:
Bài 3
Hai canô khởi hành cùng một lúc và đi từ A đến B Canô thứ nhất chạy với vận tốc 20 km/h Trên đường đi, canô thứ hai dừng lại 40 phút sau đó tiếp tục chạy Tính chiều dài AB, biết rằng hai canô đến B cùng một lúc và canô thứ hai chạy nhanh hơn canô thứ nhất 4 km mỗi giờ
Bài 4.
Cho đường tròn (O; R) và AB < 2R cố định Một điểm M di chuyển trên cung lớn AB (M khác A và B) Gọi I là trung điểm của AB; (O') là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với AB tại A Đường thẳng MI cắt (O) và (O') lần lượt tại N và
P Chứng minh rằng:
a) IA2 = IP.IM
b) Tứ giác ANBP là hình bình hành
c) IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp MBP
d) Khi M di chuyển trên cung lớn AB thì trọng tâm G của PAB chạy trên một cung tròn cố định
Bài 5.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
A = x x 2 6 biết 0 x 3
Trang 10Cho biểu thức: P = 3x 9x 3 1 1 2 : 1
x 1
a) Rút gọn P
b) Tìm các số tự nhiên x để 1
P là số tự nhiên.
c) Tính P khi x = 4 – 2 3
Bài 2.
Giải hệ phương trình:
Bài 3
Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong thời gian đã định Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm nên mặc dù người đó đã làm mỗi giờ thêm 1 sản phẩm mà thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm hơn so với dự định 12 phút Tính năng suất dự định, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm
Bài 4.
Cho ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD M là điểm bất kì trên đoạn
AD Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC; H là hình chiếu của N trên DP Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx BA và gọi E là giao điểm của DP và Bx
a) Chứng minh rằng: EBN vuông cân
b) Chứng minh rằng: 3 điểm B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp
c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích AHB là lớn nhất
d) Chứng minh rằng: Đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đoạn AD
Bài 5.
Tìm GTNN của biểu thức: A = 5 3x2
1 x
