Bài giảng Một số công thức toán học lớp 10&11

Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 10 & 11 1. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1.1. Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c ⇔ a > c 1.2. Tính chất 2: a > b ⇔ a + c > b + c Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho. Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c ⇔ a – c > b 1.3 Tính chất 3: a b a c b d c d >  ⇒ + > +  >  Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. 1.4 Tính chất 4: a > b ⇔ a.c > b.c nếu c > 0 hoặc a > b ⇔ c.c < b.c nếu c < 0 1.5 Tính chất 5: 0 . . 0 a b a c b d c d > >  ⇒ >  > >  Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều. Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều. 1.6 Tính chất 6: a > b > 0 ⇒ a n > b n (n nguyển dương) 1.7 Tính chất 7: 0 n n a b a b> > ⇒ > (n nguyên dương) 2. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si): Định lí: Nếu 0a ≥ và 0b ≥ thì . 2 a b a b + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau. Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó bằng nhau. Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất. Email: duytrung8x@gmail.com Trang 1/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc 3. Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối: 0 0 x x x >  =  − >  Từ định nghĩa suy ra: với mọi x R∈ ta có: a. |x| ≥ 0 b. |x| 2 = x 2 c. x ≤ |x| và -x ≤ |x| Định lí: Với mọi số thực a và b ta có: |a + b| ≤ |a| + |b| (1) |a – b| ≤ |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≥ 0 |a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≤ 0 4. Định lí Vi-et: Nếu phương trình bậc 2: ax 2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x 1 , x 2 (a ≠ 0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó là: S = x 1 + x 2 = b a − P = x 1 .x 2 = c a Chú ý: + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x 1 = 1 và x 2 = c a + Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x 1 = -1 và x 2 = c a − Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương trình: x 2 – S.x + P = 0 5. Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước: a. Định nghĩa: Cho 2 điểm phân biệt A, B. Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k nếu MA kMB= uuur uuur b. Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ 1 thì với điểm O bất kì ta có: 1 OA kOB OM k − = − uuur uuur uuuur 6. Trọng tâm tam giác: a. Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi: 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r b. Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có: 3OG OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur Email: duytrung8x@gmail.com Trang 2/18 nếu x ≥ 0 nếu x < 0 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc 7. Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác: 7.1. Định lí Cosin trong tam giác: Định lí: Với mọi tam giác ABC, ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .cos 2 .cos 2 .cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C = + − = + − = + − 7.2. Định lí sin trong tam giác: Định lí: Trong tam giác ABC, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có: 2 sin sin sin a b c R A B C = = = 7.3. Công thức độ dài đường trung tuyến: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 a b c b c a m a c b m b a c m + = − + = − + = − 8. Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ: Góc 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0 0 6 π 4 π 3 π 2 π 2 3 π 3 4 π 5 6 π π sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 – 1 2 – 2 2 – 3 2 -1 tg 0 1 3 1 3 || – 3 1 – 1 3 0 cotg || 3 1 1 3 0 – 1 3 1 – 3 || 9. Công thức biến đổi tích thành tổng: Email: duytrung8x@gmail.com Trang 3/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc 1 cos .cos [cos( ) cos( )] 2 1 sin .sin [cos( ) cos( )] 2 1 sin .cos [sin( ) sin( )] 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = − + + = − − + = + + − 10. Công thức biến đổi tổng thành tích: cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .sin 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + − + = + − − = − + − + = + − − = 11.Công thức nhân đôi: 2 2 2 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin sin 2 2sin cos 2 2 ( , , ) 1 2 2 2 a a a a a a a a tga tg a a k a k k tg a π π π π = − = − = − = = ≠ + ≠ + ∈ − Z 12. Công thức nhân ba: 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos a a a a a a = − = − 13. Công thức hạ bậc: Email: duytrung8x@gmail.com Trang 4/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc 2 2 2 3 3 cos 2 1 cos 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 1 cos 2 3sin sin 3 sin 4 3cos cos3 cos 4 a a a a a tg a a a a a a a a + = − = − = + − = + = 14. Công thức cộng: sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + = + − = − + = − − = + Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện: ( ) (*) 1 . ( ) (**) 1 . tga tgb tg a b tga tgb tga tgb tg a b tga tgb − − = + + + = − (*) có điều kiện: , , 2 2 2 a k b k a b k π π π π π π ≠ + ≠ + − ≠ + (**) có điều kiện: , , 2 2 2 a k b k a b k π π π π π π ≠ + ≠ + + ≠ + 15. Công thức tính tga, cosa, sina theo 2 a t tg= : 2 2 2 2 2 sin 1 1 cos 1 2 , 1 2 t a t t a t t tga a k t π π = + − = + = ≠ + − Email: duytrung8x@gmail.com Trang 5/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc 16. Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn kém nhau 1 góc π hoặc 2 π : 16.1. Hai góc bù nhau: sin( ) sin cos( ) cos ( ) ( ) a a a a tg a tga cotg a cotga π π π π − = − = − − = − − = − 16.2. Hai góc phụ nhau: sin( ) cos 2 cos( ) sin 2 ( ) 2 ( ) 2 a a a a tg a cotga cotg a tga π π π π − = − = − = − = 16.3. Hai góc đối nhau: sin( ) sin cos( ) cos ( ) ( ) a a a a tg a tga cotg a cotga − = − − = − = − − = − 16.4 Hai góc hơn kém nhau 2 π : sin( ) cos 2 cos( ) sin 2 ( ) 2 ( ) 2 a a a a tg a tga cotg a cotga π π π π + = + = − + = − + = − 16.5 Hai góc hơn kém nhau π : Email: duytrung8x@gmail.com Trang 6/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc sin( ) sin cos( ) cos ( ) ( ) a a a a tg a tga cotg a cotga π π π π + = − + = − + = + = 16.6. Một số công thức đặc biệt: sin cos 2 sin( ) 4 sin cos 2 sin( ) 4 x x x x x x π π + = + − = − 17. Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp: 17.1. Hoán vị: + Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là P n + Công thức : P n =1.2.3 .n = n ! 17.2 Chỉnh hợp: + Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 0 k n≤ ≤ ) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho. số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là k n A +Công thức : ( ) 1 0 1 ! ! ( 1) .( 1) ( ) ! 1 ! k n k n k k n n n n n n n n n n n A n k A n n n k A n k A A P n A A A n + − = − = − − + = − = = = = = (qui ước 0! = 1) 17.3 Tổ chợp: + Định nghĩa: Cho một tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương). Một tổ hợp chập k của n phần tử ( 0 k n≤ ≤ ) là một tập con của a gồm k phần tử. Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu là k n C + Công thức: Email: duytrung8x@gmail.com Trang 7/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc ! !( )! ( 1) .( 1) ! k n k n n C k n k n n n k C k = − − − + = + Tính chất: 0 0 1 1 1 1 1 . 2 k n k n n n n n n n n n n k k k n n n C C C C C C C C C C − + + + = = = + + + = + = 17.4. Công thức Newton: T k là số hạng thứ k +1 của khai triển nhị thức (a + b) n : k n k k k n T C a b − = 0 1 1 2 2 2 ( ) . . n n n n m n m m n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b − − − + = + + + + + + 18. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian: 18.1 Trong mặt phẳng: Cho các vec-tơ 1 1 2 2 ( , ), ( , )a x y b x y r r và các điểm 1 1 2 2 ( , ), ( , )A x y B x y : 1 2 1 2 .a b x x y y = + r r 2 2 1 1 | |a x y= + r 2 2 2 1 2 1 ( ) ( )d AB x x y y = = − + − 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos( , ) x x y y a b x y x y + = + + + r r 1 2 1 2 0a b x x y y ⊥ ⇔ + = r r 18.2 Trong không gian: Cho các vec-tơ 1 1 1 2 2 2 ( , , ), ( , , )a x y z b x y z r r và các điểm 1 1 1 2 2 2 ( , , ), ( , , )A x y z B x y z : 1 2 1 2 1 2 .a b x x y y z z = + + r r 2 2 2 1 1 1 | |a x y z= + + r Email: duytrung8x@gmail.com Trang 8/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( )d AB x x y y z z = = − + − + − 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos( , ) x x y y z z a b x y z x y z + + = + + + + r r 1 2 1 2 1 2 0a b x x y y z z ⊥ ⇔ + + = r r 19. Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian: 19.1 Đường thẳng trong mặt phẳng: a. Khoảng cách: + Khoảng cách từ điểm M(x 0 , y 0 ) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0 0 0 2 2 | Ax |By C MH A B + + = + + Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C 1 = 0 và Ax + By + C 2 = 0 1 2 2 2 | |C C A B − + b. Vị trí tương đối 2 đường thẳng: (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 *( ) ( ) *( ) / /( ) *( ) ( ) *( ) ( ) A B d d A B A B C d d A B C A B C d d A B C d d A A B B φ ∩ ≠ ⇔ ≠ ⇔ = ≠ ≡ ⇔ = = ⊥ ⇔ + c. Góc giữa 2 đường thẳng: (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 1 2 ( , )d d α = 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 | | cos A A B B A B A B α + = + + Email: duytrung8x@gmail.com Trang 9/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc d. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d 1 )và (d 2 ): 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 A x B y C A x B y C A B A B + + + + = ± + + (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + ) e. Phương trình chùm đường thẳng có tâm là giao của 2 đường thẳng (d 1 )và (d 2 ): 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 0A x B y C A x B y C α β + + + + + = với 2 2 0 α β + > 19.2 Đường thẳng trong không gian: Góc giữa 2 đường thẳng: (d 1 ) có vector chỉ phương 1 1 1 ( , , )u a b c= r (d 2 ) có vector chỉ phương 2 2 2 ( , , )v a b c= r α là góc giữa (d 1 ) và (d 2 ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | | cos a a b b c c a b c a b c α + + = + + + + 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 0d d a a b b c c⊥ ⇔ + + = 20. Mặt phẳng: a. Khoảng cách từ điểm M(x 0 , y 0 ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là: 0 0 0 2 2 2 | |Ax By Cz D MH A B C + + + = + + b. Chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : 0 ( ) : 0 P A x B y C z D Q A x B y C z D + + + = + + + = là phương trình mặt phẳng có dạng: 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 0A x B y C z D A x B y C z D α β + + + + + + + = 21.Cấp số cộng: + Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai. 1 *, n n n N U U d + ∀ ∈ = + + Tính chất của cấp số cộng : 1 2 1n n n n U U U U + + + − = − Email: duytrung8x@gmail.com Trang 10/18 [...]...Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc U n +1 = U n + U n+2 2 + Số hạng tổng quát: U n = U1 + d (n − 1) + Tổng n số hạng đầu: Un = ( a1 + an ) n 2 Un = 2a1 + d (n − 1) n 2 22 Cấp số nhân: + Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác 1 gọi là công bội "n... U n+ 2 , Un > 0 + Số hạng tổng quát : Un = U1.qn - 1 + Tổng n số hạng đầu tiên: S n = U1 + U 2 + + U n = U1 1 − qn 1− q + Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1 S n = U1 + U 2 + + U n = U1 1− q CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN 12 Email: duytrung8x@gmail.com Trang 11/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc I Đạo hàm: 1 Bảng các đạo hàm cơ bản: STT 1 2 3 Hàm số y C x x2 Đạo hàm... f (u ) = 2 3.6 Hàm số dạng : f ( x) = 2 2 hoặc x −m u − m2 1 1 1 + Phân tích thành : f ( x) = 2 rồi áp dụng theo công thức đã học 2 = x−m x+m x −m 3.7 Hàm số dạng : f ( x) = + Đặt x = mtgt ⇒ ∫ x2 + m2 hoặc f (u ) = π π , u = mtgt với t ∈ [- ; ] 1 x + m2 2 1 dx = ∫ 1 u 2 + m2 2 2 1 m | cost | dt = ∫ dx 2 2 2 cos 2 t m (tg t + 1) cos t Email: duytrung8x@gmail.com Trang 15/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc... x- α m (m ≠ 1) Hàm số có dạng : (x − α ) um a −1 dx = a Nguyên hàm là : ∫ +C m (x −α ) (m − 1)( x − α ) m −1 * Hàm y = 2ax + b Đặt t = ax 2 + bx + c ⇒ t' = 2ax + b ax 2 + bx + c t' ⇒ Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln| ax 2 + bx + c | + C Hàm số có dạng : t 2ax + b ⇒ ∫ 2 dx = ln | ax 2 + bx + c | +C ax + bx + c * Hàm y = 1 Ta có các trường hợp sau : ax + bx + c + Mẫu số ax 2 + bx + c có... cos t.dt | cos t | 3.3 Hàm số dạng : f ( x) = x 2 − k 2 ; f (u ) = u 2 − k 2 x 2 k2 x − k 2 + ln | x + x 2 − k 2 | +C ∫ 2 2 k k π Cách khác: đặt x = hoặc x = với t ∈ [0; ] sin t cost 2 Nguyên hàm là : x 2 − k 2 dx = 3.4 Hàm số dạng : f ( x) = ax 2 + bx + c ⇒ Ta biến đổi về một trong hai dạng sau: f ( x) = u 2 − k 2 hoặc f ( x ) = u 2 + k 2 rồi áp dụng theo mục 3 3.5 Hàm số dạng : f ( x) = x 2 + k 2... duytrung8x@gmail.com Hàm số & Nguyên hàm ∫ dx = x + C Trang 12/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc xα +1 ∫ x dx = α + 1 + C (α ≠ −1) dx ∫ x dx = ln | x | +C ( x ≠ 0) x x ∫ e dx = e + C α 2 3 4 ax + C (0 < a ≠ 1) ln a ∫ sin xdx = − cos x + C x ∫ a dx = 5 6 ∫ cos xdx = sin x + C 7 1 8 ∫ cos 9 ∫ sin 2 x 1 2 x dx = tgx + C (x ≠ dx = −cotgx + C π + kπ ) 2 ( x ≠ kπ ) 2 Một số nguyên hàm khác:...  −  dx a( x2 − x1 ) ∫  x − x1 x − x2  Email: duytrung8x@gmail.com Trang 13/18 Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc = 1 x − x2 ln +C a( x2 − x1 ) x − x1 + Mẫu số có nghiệm kép : ax 2 + bx + c = a ( x − m)2 ∫ ax 2 1 dx 1 dx 1 −1 dx = ∫ = ∫ = +C 2 2 + bx + c a ( x − m) a ( x − m) a x−m + Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm): ax 2 + bx + c = a ( x + m) 2 ± n Đặt u = ( x + m) 2 Ta có... duytrung8x@gmail.com Trang 17/18 Ôn tập Toán THPT 4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) Giải phương trình (1) bằng cách đặt : sinx + cosx = t , | t |≤ 2 Đưa (1) về phương trình bt 2 + 2at − (b + 2c ) = 0 http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc (a, b, c là hằng số) Giải phương trình (2) với | t |≤ 2 5 Hệ phương trình lượng giác: 1) Hệ phương trình lượng giác một ẩn Chẳng hạn có hệ... = t t x +k Ta có : f ( x) = 2 Vậy nguyên hàm là : ∫ f ( x)dx = ln | t | +C = ln | x + Email: duytrung8x@gmail.com x 2 + k 2 | +C Trang 14/18 Ôn tập Toán THPT Tương tự : ∫ http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc 1 x2 − k 2 dx = ln | x + x 2 − k 2 | +C 3.2 Hàm số dạng : f ( x) = Đặt x = k sin t với x ∈ [ ⇒ dx = k cos tdt ⇒ ∫ 1 k −x 2 2 1 và f (u ) = k − u2 2 −π π ; ] (hoặc x = k cos t 2 2 1 k −x dx = ∫ với... pháp giải : * Phương pháp thế, giải một phương trình của hệ rồi thế nghiệm tìm được vào phương trình còn lại * Phương pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm của mỗi phương trình trong hệ, sau đó tìm nghiệm chung 2) Hệ phương trình lượng giác hai ẩn Chẳng hạn có hệ phương trình : π  x + y = 3  sin x + sin y = 1  Phương pháp chung là đưa nó về hệ phương trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phương trình . Ôn tập Toán THPT http://www.thiendangtinhyeu.uni.cc MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 10 & 11 1. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1.1. Tính. = 21.Cấp số cộng: + Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi