Mặc dù người đó mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nhưng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút.. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của ng[r]
(1)I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Khái niệm phương trình bậc hai ẩn
Phương trình bậc hai ẩn x, y hệ thức dạng: ax by c (1) trong a, b, c số biết (a b 0).
Nếu x y0 0, thoả (1) cặp số ( ; )x y0 đgl nghiệm phương trình (1).
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nghiệm (1) biểu diễn điểm Nghiệm x y0 0
( ; )được biểu diễn điểm ( ; )x y0 0 .
2 Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn
Phương trình bậc hai ẩn ax by c ln có vơ số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng ax by c (d).
Nếu a b đường thẳng (d) đồ thị hàm số
a c
y x
b b
. Nếu a b = phương trình trở thành
c ax c x
a
đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tung.
Nếu a = b phương trình trở thành
c by c y
b
đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoành.
Bài Trong cặp số (0; 4), (–1; 3), (1; 1), (2; 3), (4; 6), cặp số nghiệm phương trình: a) 5x 3y2 b) 2x y 7 c) 2x y 2
Bài Tìm nghiệm tổng quát vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm nó: a) 3x y 1 b) x 2y5 c) 2x 3y5 d) 3y x 2 e) 4x0y12 f) 0x 3y6
Bài Cho đường thẳng (d) có phương trình: (m1)x(3m 4)y2m Tìm m để: a) (d) song song với trục hoành b) (d) song song với trục tung c) (d) qua gốc toạ độ d) (d) qua điểm A(2; –1) Bài 4* Tìm tất nghiệm nguyên phương trình:
a) 2x y 0 b) 3x 2y5 c) 2x5y15 d) 5x11y4 e) 7x5y143 f) 23x53y109 Bài 5* Tìm tất nghiệm nguyên dương phương trình:
a) 11x8y73 b) 5x7y112 c) 5x19y674 d) 2x 3y7 e) 7x13y71
II HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Khái niệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn
Cho hệ hai phương trình bậc hai ẩn: a x b y c a x b y c12 12 12
(I)
Nếu hai phương trình có nghiệm chung ( ; )x y0 ( ; )x y0 đgl nghiệm hệ (I). CHƯƠNG III
(2) Nếu hai phương trình khơng có nghiệm chung ta nói hệ (I) vơ nghiệm Giải hệ phương trình tìm tập nghiệm
2 Minh hoạ hình học tập nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn
Tập nghiệm hệ phương trình (I) biểu diễn tập hợp điểm chung hai đường thẳng ( ) :d1 a x b y c1 1 ( ) :d2 a x b y c2 2.
Nếu ( )d1 cắt ( )d2 hệ (I) có nghiệm nhất.
Nếu ( )d1 // ( )d2 hệ (I) vô nghiệm.
Nếu ( )d1 ( )d2 hệ (I) có vơ số nghiệm.
3 Hệ phương trình tương đương
Hai hệ phương trình đgl tương đương chúng có tập nghiệm. Bài Đoán nhận số nghiệm hệ phương trình sau giải thích sao:
a)
x y x y
2
3
b)
x y x y
3
2
c)
x y x y
3
2
d) x y
x y
0
e)
x y x y
2
f)
x y x y 11 2
Bài Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình sau ln có nghiệm với giá trị a:
a) x a x y
b)
x y y a
Bài Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình:
x y ax y
3
2
a) Có nghiệm với a2 b) Vô nghiệm với a6. Bài Bằng đồ thị chứng tỏ hệ phương trình:
x y a x y
3
15 10
a) Có vơ số nghiệm với a1. b) Vô nghiệm với a1.
Bài Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:
x y x y
mx y m
2
2
Bài Xác định a để hai hệ phương trình sau tương đương: a)
x y x y
2
4
và
x y x y a
2
12
b)
x y x y
3
ax y x ay
2
2
III GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1 Phương pháp
Bước 1: Từ phương trình hệ cho (coi PT (1)), ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, rồi vào phương trình thứ hai (PT (2)) để phương trình (chỉ cịn ẩn).
Bước 2: Dùng phương trình để thay cho PT (2) hệ (PT (1) thường thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn kia).
2 Phương pháp cộng đại số
Bước 1: Cộng hay trừ vế hai phương trình hệ phương trình cho để phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình thay cho hai phương trình hệ (giữ nguyên phương trình kia).
(3) Trong phương pháp cộng đại số, trước thực bước 1, nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình của hệ đối nhau.
Đơi ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình cho hệ phương trình với hai ẩn mới, sau sử dụng hai phương pháp giải trên.
Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp thế: a)
x y x y
4
8
b) x y x y
3 11
4
c) x y x y
5
2 d) x x y y x y 15 14 e)
x y x y x y5 13 f) x y y x
5 19
3 21 Bài Giải hệ phương trình sau:
a)
x y x
x 2y 4(x y1)
5 ( )
b)
x y
x y x y
9
3(4 )
c)
x y x
x y x y
3( 1)
5( )
d)
x y x y
x y y x
2(2 ) 3(2 ) 10
4 4(6 )
e) x y x y
( 2)
( 2)
f)
x y x y
x y x y
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
Bài Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số: a)
x y x y
4 13
5 31
b) x y x y
7 19
3 31
c) x y x y
7
3 10 62
d) x y x y
3 11
e) x y x y
3
4 12
f) x y x y
2
3
Bài Giải hệ phương trình sau: a)
x y x
x y x y
3( 1)
5( )
b)
x x y
x y y
2 ( )
6 10
c)
x y x
x y x y2( 1)
7
d) x y x y
2
3 e) x y x y
2
2 10
f) x y x y
( 1)
( 1)
Bài 5* Tìm a b để đồ thị hs y ax b qua hai điểm A B trường hợp sau: a) A(2; 1), B(1; 2) b) A(1; 3), B(3; 2) c) A(1; –3), B(2; 3)
d) A(–1; 1), B(2; 3) e) A(2; –2), B(–1; –2) f) A(1; 0), B(1; –6) Bài 6* Chứng tỏ m thay đổi, đường thẳng có pt sau ln qua điểm cố định:
a) ( 5 m4)x(3m 2)y3m 0 b) (2m2m4)x (m2 m 1)y 5m2 4m 13 0 Bài 7* Giải hệ phương trình sau:
a)
x y x y
2 13
3 b) x y x y
3 2
2 c) x y x y
2 1
1
d)
x y x y
x y x y
4 5
1
3
1
e)
x y x y x y x y
2 3
1 1
f) x y x y 2
( 1) 2
3( 1)
(4)Bài 8* Giải biện luận hệ phương trình sau: a)
mx y m x my m2
4
b)
mx y m x my m3 11
Bài 9* Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm nghiệm ngun: a)
mx y m x my2 m1
2
b)
m x y m
m x y m2 m
( 1)
2
(5)IV GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bước 1: Lập hệ phương trình:
+ Chọn hai ẩn đặt điều kiện thích hợp cho chúng
+ Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết + Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng
Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thích hợp với tốn (thoả mãn điều kiện bước 1) kết luận
Dạng 1: Toán quan hệ số
Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số cho tổng hai chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị
Bài Tìm số tự nhiên có ba chữ số cho tổng chữ số 17, chữ số hàng chục 4, đổi chỗ chữ số hàng trăm hàng đơn vị cho số giảm 99 đơn vị
Bài Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 11, biết chia số cho 11 thương tổng chữ số số bị chia
Bài Tìm hai số biết tổng hai số 17 đơn vị Nếu số thứ tăng thêm đơn vị, số thứ hai tăng thêm đơn vị tích chúng 105 đơn vị
Dạng 2: Tốn làm chung cơng việc
Bài Hai vòi nước chảy vào bể sau 48 phút đầy bể Nếu vịi I chảy giờ, vịi II chảy hai vịi chảy 75% bể Tính thời gian để vịi chảy riêng đầy bể
Bài Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ II điều làm việc khác, tổ I hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau xong cơng việc
Bài Hai lớp 9A 9B tham gia lao động vệ sinh sân trường cơng việc hồn thành sau 20 phút Nếu lớp chia làm nửa cơng việc thời gian hồn tất Hỏi lớp làm phải thời gian
Dạng 3: Toán chuyển động
Bài Một ô tô từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc định Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thời gian giảm Nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thời gian tăng thêm Tính vận tốc thời gian dự định ô tô
Bài Hai địa điểm A B cách 85 km Cùng lúc, canô xi dịng thừ A đến B canơ ngược dòng từ B đến A, sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật canơ, biết vận tốc canơ xi dịng lớn vận tốc canơ ngược dịng km/h vận tốc dòng nước km/h (vận tốc thật canô không đổi)
Bài Quãng đường AB dài 200 km Cùng lúc xe máy từ A đến B ô tô từ B đến A Xe máy ô tô gặp điểm C cách A 120 km Nếu xe máy khởi hành sau tơ gặp điểm D cách C 24 km Tính vận tốc ô tô xe máy
Bài Một xe khách xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đến B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách 20 km/h Do xe du lịch đến B trước xe khách 50 phút Tính vận tốc xe, biết quãng đường AB dài 100 km
Bài Một người xe máy từ A đến B Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định 45 phút nên người tăng vận tốc lên 10 km Tính vận tốc mà người dự định đi, biết quãng đường AB dài 90 km
Bài Một người xe máy từ A tới B Cùng lúc người khác xe máy từ B tới A với vận tốc 80% vận tốc người thứ Sau hai người gặp Hỏi người quãng đường AB hết bao lâu?
(6)Dạng 4: Tốn có nội dung hình học Bài Một tam giác có chiều cao
3
4 cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm dm cạnh đáy giảm dm diện tích tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao cạnh đáy tam giác
Bài Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48 m Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần chiều dài lên ba lần chu vi khu vườn 162 m Hãy tìm diện tích khu vườn ban đầu Bài Người ta muốn làm thùng tơn hình trụ khơng nắp có bán kính đáy 25 cm, chiều
cao thùng 60 cm Hãy tính diện tích tơn cần dùng (khơng kể mép nối) Thùng tơn chứa đầy nước thể tích nước chứa thùng
Bài Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m2 Tính độ dài cạnh ruộng. Biết tăng chiều rộng ruộng lên m giảm chiều dài ruộng m diện tích ruộng tăng thêm m2.
Dạng 5: Các dạng khác
Bài Hai giá sách có 450 Nếu chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số sách giá thứ hai
4
5 số sách giá thứ Tính số sách giá.
Bài Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, hai xí nghiệp làm 404 dụng cụ Tính số dụng cụ xí nghiệp phải làm theo kế hoạch
Bài Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm thời gian định Nhng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm Mặc dù người làm thêm sản phẩm so với dự kiến, thời gian hồn thành cơng việc chậm so với dự định 12 phút Tính số sản phẩm dự kiến làm người Biết người làm khơng q 20 sản phẩm Bài Theo kế hoạch, cơng nhân phải hồn thành 60 sản phẩm thời gian định
Nhưng cải tiến kĩ thuật nên người cơng nhân làm thêm sản phẩm Vì vậy, hồn thành kế hoạch sớm dự định 30 phút mà vượt mức sản phẩm Hỏi theo kế hoạch, người phải làm sản phẩm
Bài Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc với mức 420 ngày cơng thợ (nghĩa cơng việc có người làm phải 420 ngày) Hãy tính số cơng nhân đội biết đội tăng thêm người số ngày để đội hồn thành công việc giảm ngày
Bài Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 hàng đến địa điểm qui định Vì đội có xe phải điều làm việc khác nên xe phải chở thêm 0,7 hàng Tính số xe đội lúc đầu
(7)BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài Giải hệ phương trình sau:
a)
x y x y
5
7
b) x y x y 11
5
c) x y x y
6
d) x y x y
2
2 2
e) x y x y
3 16
4
5 11
2 f) x y x y
5
Bài Giải hệ phương trình sau:
a) x y x y 18 51 b) x y x y
10 1
1
25 2
1 c)
x y x y x y x y
27 32 7
2
45 48 1
2 d) x y x y
2
5 1
e)
x y x y x y x y
2
3 17
f)
x y x y x y x y
4
3
Bài Giải biện luận hệ phương trình sau:
a)
mx m y m x my
( 1)
2
b)
mx m y m x m( 2)y
( 2) ( 1)
c)
m x y m
m x y m
( 1)
( 2)
d)
m x m y
m x m y m
( 4) ( 2)
(2 1) ( 4)
e)
m x y m
m x y m2 m
( 1)
2
f)
mx y m x my2 m
2
Bài Trong hệ phương trình sau hãy:
i) Giải biện luận ii) Tìm m Z để hệ có nghiệm nghiệm nguyên a)
m x y m
m x y m2 m
( 1)
2 b) mx y x 4(m 1)y 14m
c)
mx y
x my 32m
Bài Trong hệ phương trình sau hãy:
i) Giải biện luận
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m a)
mx y m x my2 m
2
b)
mx m y m x my
6 (2 )
( 1)
c)
mx m y m x my
( 1)
2
Bài Giải hệ phương trình sau:
a)
x y z x y z x y z
3
2
2
b)
x y z x y z x y z
3
2 6 c)
x y z x y z x y z
3
2
3
Bài Một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn chiều rộng m, diện tích 300 m2 Tính chiều dài chiều rộng khu vườn
Bài Cho hình chữ nhật Nếu tăng độ dài cạnh lên cm diện tích hình chữ nhật tăng thêm 13 cm2 Nếu giảm chiều dài cm, chiều rộng cm diện tích của hình chữ nhật giảm 15 cm2 Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật cho.
Bài Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m Nếu tăng chiều dài thêm m, chiều rộng thêm m diện tích mảnh đất tăng thêm 195 m2 Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất. Bài 10 Một tam giác có chiều cao
2
5 cạnh đáy Nếu chiều cao giảm dm cạnh đáy tăng thêm dm diện tích giảm 14 dm2 Tính chiều cao cạnh đáy tam giác
ĐS:
(8)để xe thứ hai hết quãng đường AB
Bài 12 Một xe lửa từ ga Hà Nội vào ga Trị Bình (Quảng Ngãi) Sau giờ, xe lửa khác từ ga Trị Bình ga Hà Nội với vận tốc lớn vận tốc xe thứ km/h Hai xe gặp ga quãng đường Tìm vận tốc xe lửa, biết quãng đường sắt Hà Nội – Trị Bình dài 900km
Bài 13 Hai ôtô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài120 km Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai 10 km nên đến B trớc ôtô thứ hai
2
5 Tính vận tốc ôtô?
Bài 14 Một canô xuôi dịng từ bến sơng A đến bến sơng B cách 24 km; lúc đó, từ A B bè nứa trơi với vận tốc dịng nước km/h Khi đến B canô quay lại gặp bè nứa địa điểm C cách A km Tính vận tốc thực canơ
Bài 15 Cùng thời điểm, ôtô XA xuất phát từ thành phố A hướng thành phố B khác XB xuất phát từ thành phố B hướng thành phố A Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi gặp lần đầu điểm cách A 20 km Cả hai chiéc xe sau đến B A tương ứng, quay trở lại chúng gặp lần thứ hai điểm C Biết thời gian xe XB từ C đến B 10 phút thời gian hai lần gặp Hãy tính vận tốc ơtơ
Bài 16 Một xuồng máy xi dịng sơng 30 km ngược dòng 28 km hết thời gian thời gian mà xuồng 59,5 km mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xuồng hồ biết vận tốc nước chảy sông km/h
Bài 17 Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/ đến sớm giờ, giảm vận tốc km/ đến muộn Tính vận tốc dự định thời gian dự định
Bài 18 Một tàu thuỷ chạy khúc sông dài 120 km, 45 phút Tính vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/ h
Bài 19 Một canơ xi dịng 48 km ngược dòng 22 km Biết thời gian xi dịng lớn thời gian ngược dịng vận tốc xuôi lớn vận tốc ngược km/h Tính vận tốc canơ lúc ngược dịng
Bài 20 Nếu mở hai vịi nước chảy vào bể cạn sau 55 phút bể đầy nước Nếu mở riêng vịi vịi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi mở riêng vịi vịi chảy đầy bể?
Bài 21 Nếu hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 12 bể đầy Sau hai vòi chảy người ta khố vịi I, cịn vịi II tiếp tục chảy Do tăng cơng suất vịi II lên gấp đơi, nên vịi II chảy đầy phần lại bể rưỡi Hỏi vịi chảy với cơng suất bình thờng phải đầy bể?
Bài 22 Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ II điều làm việc khác, tổ I hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng sau làm xong cơng việc đó?
Bài 23 Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch?
Bài 24 Có đội xây dựng làm chung công việc Làm chung ngày đội III điều động làm việc khác, đội lại làm thêm 12 ngày hồn thành cơng việc Biết suất đội I cao suất đội II; suất đội III trung bình cộng suất đội I suất đội II; đội làm một phần ba cơng việc phải tất 37 ngày xong Hỏi đội làm ngày xong công việc
(9)