Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập A.. Baø[r]
(1)Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Đại Số 11 – Chương II CHÖÔNG II TỔ HỢP – XÁC SUẤT A TỔ HỢP I Qui tắc đếm Qui taéc coäng: Một công việc nào đó có thể thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực và không trùng với bất kì cách nào phương án A thì công việc đó có m + n cách thực Qui taéc nhaân: Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B Nếu công đoạn A có m cách thực và ứng với cách đó có n cách thực công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Không có đường nào nối thành phố B với thành phố C Hoûi coù taát bao nhiêu đường từ thành phố A đến thành phố D? ÑS: coù 12 caùch Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhỏ 2.108, chia hết cho 3, có thể viết các chữ số 0, 1, 2? ÑS: Coù 2.37 – = 4374 – = 4373 (soá) Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác và chia hết cho ÑS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Bài 4: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi và về) Hỏi có bao nhiêu trận đấu? ÑS: coù 25.24 = 600 traän Bài 5: Có bao nhiêu số palindrom gồm chữ số (số palindrom là số mà ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị nó không thay đổi) ÑS: Soá caàn tìm coù daïng: abcba coù 9.10.10 = 900 (soá) Bài 6: a/ Một bó hoa gồm có: bông hồng trắng, bông hồng đỏ và bông hồng vàng Hỏi có maáy caùch choïn laáy boâng hoa? b/ Từ các chữ số 1, 2, có thể lập bao nhiêu số khác có chữ số khác nhau? ÑS: a/ 18 b/ 15 Bài 7: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số? b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số? c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số là số chẵn? www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 21 Lop11.com (2) Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đó các chữ số cách chữ số đứng thì gioáng nhau? e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số và chia hết cho 5? ÑS: a/ 3125 b/ 168 c/ 20 d/ 900 e/ 180000 Bài 8: Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa và bài hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa và bài hát Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng các kịch, điệu múa, các bài hát là nhö nhau? ÑS: 36 Bài 9: Một người có cái áo đó có áo trắng và cái cà vạt đó có hai cà vạt màu vàng Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo nào và cà vạt nào được? b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? ÑS: a/ 35 b/ 29 Bài 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu cặp thứ tự (x, y) biết rằng: a/ x A, y A b/ {x, y} A c/ x A, y A vaø x y ÑS: a/ 25 b/ 20 c/ caëp Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} đó n là số nguyên dương lớn Có bao nhiêu cặp thứ tự (x, y), biết rằng: x A, y A, x y n(n 1) Bài 12: Với chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số: a/ Gồm chữ số? b/ Gồm chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm chữ số? d/ Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e/ Gồm chữ số viết không lặp lại? f/ Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? ÑS: a/ 25 b/ 20 c/ 15 d/ e/ 120 f/ 24 Bài 13: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số có chữ số: a/ Khaùc nhau? b/ Khác nhau, đó có bao nhiêu số lớn 300? c/ Khác nhau, đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, đó có bao nhiêu số chẵn? e/ Khác nhau, đó có bao nhiêu số lẻ? ÑS: a/ 100 b/ 60 c/ 36 d/ 52 e/ 48 Bài 14: a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ hôn 400? b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500) ÑS: a/ 35 b/ 24 Bài 15: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán Thành lập đoàn gồm hai người cho có học sinh chuyên toán và học sinh chuyên tin Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn trên? Bài 16: Có bao nhiêu cách xếp người đàn ông và người đàn bà ngồi trên ghế dài cho người cùng phái phải ngồi gần Bài 17: Có bao nhiêu cách xếp viên bi đỏ và viên bi đen xếp thành dãy cho hai viên bi cùng màu không gần ÑS: www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 22 Lop11.com (3) www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng Đại Số 11 – Chương II II Hoán vị Giai thừa: n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2)…n (với n>p) p! n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n p)! Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n 1) Mỗi cách xếp n phần tử này theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị n phần tử Số các hoán vị n phần tử là: Pn = n! Hoán vị lặp: Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự nào đó gọi là hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là: n! Pn(n1, n2, …, nk) = n1 ! n2 ! nk ! Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi là hoán vị vòng quanh n phần tử Số các hoán vị vòng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 6! ( m 1)! m.( m 1)! A= (m 2)(m 3) (m 1)(m 4) (m 5)!5! 12.(m 4)!3! B= 7!4! 8! 9! 10! 3!5! 2!7! ÑS: A = – 4(m–1)m; Bài 2: Chứng minh rằng: a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 c) ÑS: B= ; C = 20 d) n2 1 n! (n 1)! (n 2)! x ! ( x 1)! ( x 1)! x = 2; x = Baøi 4: Giaûi baát phöông trình: ÑS: 5! (m 1)! m(m 1) (m 1)!3! b) Pn (n 1)Pn1 (n 2)Pn2 2P2 P1 1 1 1! 2! 3! n! Baøi 3: Giaûi phöông trình: C= (với m 5) (1) (n 1)n 5 (n 1)! n.(n 1)! 5 n n (n 3)!4! 12(n 3).(n 4)!2! (1) n = 4, n = 5, n = www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 23 Lop11.com (4) www.toantrunghoc.com Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình: a) P2.x2 – P3.x = b) Px Px 1 Px 1 ÑS: a) x = –1; x = b) x = 2; x = Bài 6: Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1? c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345? ÑS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! Bài 7: Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các số 1, 3, 5, 7, Hỏi các số đó có bao nhiêu số: a/ Bắt đầu chữ số 9? b/ Không bắt đầu chữ số 1? c/ Bắt đầu 19? d/ Không bắt đầu 135? ÑS: a/ 24 b/ 96 c/ d/ 118 Bài 8: Với hoán vị các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất các số tự nhiên có từ các hoán vị phần tử trên? ĐS: Với i, j 1,2,3,4,5,6,7 , số các số mà chữ số j hàng thứ i là 6! Toång taát caû caùc soá laø: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 = 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106) Bài 9: Tìm tổng S tất các số tự nhiên, số tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ÑS: 279999720 Bài 10: Trên kệ sách có sách Toán, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có bao nhiêu cách xếp các sách trên: a) Moät caùch tuyø yù? b) Theo môn? c) Theo môn và sách Toán nằm giữa? ÑS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Bài 11: Có học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và học sinh nữ B1, B2, B3 xếp ngồi xung quanh moät baøn troøn Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp neáu: a) Moät caùch tuyø yù? b) A1 khoâng ngoài caïnh B1? c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? ÑS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Coù 4!5.4.3 caùch saép xeáp Bài 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số, đó chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt đúng lần? 8! ÑS: 3! 3! Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác và khác biết tổng chữ số naøy baèng ÑS: 18 Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất các số có chữ số khác Hỏi các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạnh nhau? ÑS: 480 Baøi 15: Coù bao nhieâu caùch saép xeáp hoïc sinh A, B, C,D, E ngoài vaøo moät chieác gheá daøi cho: a/ Bạn C ngồi chính giữa? b/ Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế? ÑS: a/ 24 b/ 12 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 24 Lop11.com (5) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Đại Số 11 – Chương II Bài 16: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn các nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho thành viên cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? ÑS: 143327232000 Bài 17: Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Có người nhóm muốn ngồi kề nhau? b/ Có người nhóm không muốn ngồi kề nhau? ÑS: a/ 86400 b/ 2903040 Bài 18: Sắp xếp nam sinh và nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngoài neáu: a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau? ÑS: a/ 34560 b/ 120960 Bài 19: Có bao nhiêu cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết đó phải có em định trước đứng kề nhau? ÑS: 4838400 Bài 20: Có đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 hoïc sinh khoái 12 Coù bao nhieâu caùch saép xeáp 20 hoïc sinh treân vaøo phoøng thi coù daõy gheá cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi có cùng đề? ÑS: 26336378880000 Bài 21: Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), vieân bi xanh (khaùc nhau) Hoûi coù bao nhieâu caùch saép xeáp caùc vieân bi treân thaønh moät daõy cho các viên bi cùng màu cạnh nhau? ÑS: 298598400 Bài 22: Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo bao nhiêu cách khác để có: a/ Tập và tập đứng cạnh nhau? b/ Tập và tập không đứng cạnh nhau? ÑS: a/ 2.29! b/ 28.29! Bài 23: Với chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số, đó chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần và chữ số còn lại có mặt đúng lần? ÑS: 3360 Bài 24: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số, đó chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt đúng lần ÑS: 5880 Bài 25: Xét số gồm chữ số, đó có chữ số và chữ số còn lại là 2, 3, 4, Hỏi coù bao nhieâu soá nhö theá neáu: a/ chữ số xếp kề nhau? b/ Các chữ số xếp tuỳ ý? ÑS: a/ 120 b/ 3024 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 25 Lop11.com (6) www.toantrunghoc.com Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 III Chỉnh hợp Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 k n) theo thứ tự nào đóđược gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank n(n 1)(n 2) (n k 1) (n k )! Công thức trên đúng cho trường hợp k = k = n Khi k = n thì Ann = Pn = n! Chỉnh hợp lặp: Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, đó phần tử có thể lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi là chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A Ank nk Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: A= C= A52 P2 A10 B = P1 A21 P2 A32 P3 A43 P4 A54 P1P2 P3P4 7P5 12 11 A49 A49 10 A49 10 A17 A17 A17 P P P P D = A52 1 A A5 A5 A5 C = 1440; D = 42 ÑS: A = 46; B = 2750; Bài 2: Chứng minh rằng: 1 n 1 a/ , với n N , n 2 2 n A A A b/ Ank n k k 1 An1 k An1 c/ Annk2 Annk1 k Annk Baøi 3: Giaûi caùc phöông trình sau: a) An3 20n b) An3 An2 = 2(n + 15) ÑS: a) n = Baøi 4: Tìm n N cho: Pn2 a) 210 Ann14 P3 b) n = ÑS: a) n = Baøi 5: Giaûi caùc phöông trình: b) n = a/ A10 x Ax Ax c/ Ax2 50 ÑS: a/ x = 11 A22x b/ x = 3; c) An2 A22n 42 c) n = b) 2( An3 An2 ) = Pn+1 c) 2Pn An2 Pn An2 12 c) n = 2; b/ Px Ax2 72 6( Ax2 2Px ) d/ Axy11.Px y Px 1 c/ x = 72 d/ x = 8, y 7, y N Baøi 6: Giaûi caùc baát phöông trình: a) An4 (n 2)! ÑS: 15 (n 1)! a) n = 3; 4; b) An42 Pn2 143 0 Pn1 b) n 36 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 26 Lop11.com (7) www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng Bài 7: Tìm các số âm dãy số x1, x2 , x3 , , xn với: xn Đại Số 11 – Chương II An4 Pn2 143 (n 1, 2, 3, ) 4.Pn 63 23 ; n2 2, x2 Bài 8: Một khiêu vũ có 10 nam và nữ Người ta chọn có thứ tự nam và nữ để ghép thaønh caëp Hoûi coù bao nhieâu caùch choïn? ÑS: n1 1, x1 ÑS: A63 caùch Coù A10 Bài 9: Trong không gian cho điểm A, B, C, D Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – không Hỏi có thể có bao nhiêu vectơ? ÑS: A42 = 12 vectô Bài 10: Một lớp học có các bàn đôi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp này có bao nhiêu học sinh, biết có thể xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp này theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh) ÑS: An2 = 132 n = 12 Bài 11: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề phải khác nhau? ÑS: a) 9.A94 b) Coù 95 soá Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? c) Số gồm chữ số khác và phải có mặt chữ số 5? ÑS: a) A64 b) A53 3.5 A53 c) Số gồm chữ số có dạng: abcde Neáu a = thì coù A64 soá Neáu a thì a coù caùch choïn Soá coù theå ñaët vaøo caùc vò trí b, c, d, e coù caùch chọn vị trí cho số vị trí còn lại có thể chọn từ chữ số còn lại có A53 cách chọn Coù A64 4.5 A53 = 1560 soá Bài 13: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm chữ số (trừ số 000)? ÑS: A10 = 999 Bài 14: Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số với: a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu và cuối khác nhau? c) Hai chữ số đầu giống và hai chữ số cuối giống nhau? ÑS: a) A10 = 9.104 soá A10 b) Coù taát caû: A10 = 9.105 số gồm chữ số Có 9.105 – 9.104 số c) Coù 9.10.10.10 = 9000 soá www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 27 Lop11.com (8) Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com Bài 15: Có bao nhiêu số điện thoại có chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện thoại có chữ soá khaùc nhau? ÑS: a) A10 = 106 b) A10 = 15120 Bài 16: Một biển số xe gồm chữ cái đứng trước và chữ số đứng sau Các chữ cái lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z Các chữ số lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Hỏi: a) Có bao nhiêu biển số xe đó có ít chữ cái khác chữ cái O và các chữ số đôi moät khaùc nhau? b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác và có đúng chữ số lẻ giống nhau? ÑS: a) Số cách chọn chữ cái: 26 26 – = 675 cách Số cách chọn chữ số: A10 = 5040 caùch Soá bieån soá xe: 675 5040 = 3.402.000 soá b) Chữ cái thứ nhất: có 26 cách chọn Chữ cái thứ hai: có 25 cách chọn Caùc caëp soá leû gioáng coù theå laø: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9) Coù caùch choïn caëp soá leû Xeáp moät caëp soá leû vaøo vò trí coù C42 caùch Coù C42 caùch saép xeáp caëp soá leû Còn lại vị trí là các chữ số chẵn: Chữ số chẵn thứ nhất: có cách chọn Chữ số chẵn thứ hai: có cách chọn Coù 26 25 C42 = 487500 caùch Bài 17: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác mà tổng các chữ số đó 18? b) Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó? ÑS: Chuù yù: 18 = + + + + + 18 = + + + + + 18 = + + + + + a) 5! b) 192 + 384 + 192 = 768 soá Bài 18: Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó và thư kyù Hoûi coù maáy caùch choïn? ÑS: 6840 Bài 19: Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có bao nhieâu caùch choïn neáu: a/ Caû 11 caàu thuû coù khaû naêng nhö nhau? (keå caû thuû moân) b/ Có cầu thủ bị chấn thương và thiết phải bố trí cầu thủ A đá số và cầu thủ B đá số ÑS: a/ 55440 b/ 120 Bài 20: Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống trên kệ trang trí Coù bao nhieâu caùch saép xeáp neáu: a/ Người đó có tượng khác nhau? b/ Người đó có tượng khác nhau? c/ Người đó có tượng khác nhau? ÑS: a/ 6! b/ 360 c/ 20160 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 28 Lop11.com (9) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Đại Số 11 – Chương II Bài 21: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác và thoả: a/ Soá chaün b/ Bắt đầu số 24 c/ Bắt đầu số 345 d/ Bắt đầu số 1? Từ đó suy các số không bắt đầu số 1? ÑS: a/ 312 b/ 24 c/ d/ 120 ; 480 Bài 22: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập bao nhiêu số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau: a/ n laø soá chaün? b/ Một ba chữ số đầu tiên phải 1? (ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ÑS: a/ 3000 b/ 2280 Bài 23: a/ Từ chữ số 0, 1, 3, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác và chia heát cho b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập bao nhiêu số khác cho các chữ số đó có mặt số và số (HVCN Böu chính Vieãn thoâng, 1999) c/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác đó thiết phải có mặt chữ số ÑS: a/ 18 b/ 42000 c/ 13320 Bài 24: a/ Tính tổng tất các số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính toång cuûa caùc soá naøy ÑS: a/ 37332960 b/ 96 ; 259980 Bài 25: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác và chia hết cho 10 (chữ số hàng vaïn khaùc 0) (ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho (ÑH Y khoa Haø Noäi, 1997) ÑS: a/ 3024 b/ 36960 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 29 Lop11.com (10) www.toantrunghoc.com Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 IV Tổ hợp Tổ hợp (không lặp): Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 k n) phần tử A gọi là tổ hợp chập k n phần tử n! Số các tổ hợp chập k n phần tử: Cnk k !(n k )! Qui ước: Cn0 = Tính chaát: Cn0 Cnn Cnk Cnnk Cnk Cnk11 Cnk1 n k k 1 Cnk Cn k Tổ hợp lặp: Cho tập A = a1; a2 ; ; an và số tự nhiên k bất kì Một tổ hợp lặp chập k n phần tử là hợp gồm k phần tử, đó phần tử là n phần tử A Cnk Cnkk 1 Cnmk11 Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp: Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ công thức: Ank k !Cnk Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: không có thứ tự Những bài toán mà kết phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, là tổ hợp Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k n): + Không thứ tự, không hoàn lại: Cnk + Có thứ tự, không hoàn lại: Ank + Có thứ tự, có hoàn lại: Ank Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp Baøi 1: Tính: A = 23 C25 13 C15 3C10 ÑS: A = – 165, Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: S = Cnn C2nn C3nn Q= ÑS: Cn1 2 Cn2 Cn1 S= k (3n)! (n !)3 B= Cnk 1 6 C10 C10 C11 A32 P2 B=4 P= Cnk C74 C73 C84 n Pn2 Ank Pnk 10 C15 2C15 C15 10 C17 Cnn Cnn1 P = (n+1)(n+2) + Q= n(n 1) www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 30 Lop11.com (11) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Đại Số 11 – Chương II Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp Bài 1: Chứng minh các hệ thức sau: n a) Cnk Cnpkk Cnp C pk (k p n) b) Cnr Cnr 11 r Bài 2: Chứng minh các hệ thức sau: a) Cnm1 Cnm1 2Cnm Cnm21 b) Cnk 3Cnk 1 3Cnk 2 Cnk 3 Cnk3 (3 k n) ĐS: Sử dụng tính chất: Cnk 1 Cnk Cnk1 Bài 3: Chứng minh các hệ thức sau: a) Cnk 4Cnk 1 6Cnk 2 4Cnk 3 Cnk 4 Cn4 k n p1 C p n Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau: (4 k n) b) Cnp1 c) k (k 1)Cnk n(n 1)Cnk22 ( < k < n) a) Cr0 Cqp Cr1.Cqp1 Crp Cq0 Crpq b) (Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cnn )2 C2nn c) C20p C22p C24p C22pp C21 p C23p C22pp1 c2 p1 d) Cn1 Cn2 Cn3 (1) p Cnp (1) p Cnp1 ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q So sánh hệ số xp vế b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n c) Sử dụng (x+y)2p và (x–y)2p d) Sử dụng Cnr Cnr 11 Cnr 1 , với r lẻ thì nhân vế với –1 Dạng : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp 1 Bài 1: Chứng minh rằng: ( n N, n 1) C2nn 2n 22 n (2n)! 1.3.5 (2n 1) HD: Biến đổi vế trái: C2nn 2.4.6 (2n) 22 n 22 n.n! n! Vậy ta phải chứng minh: 1.3.5 (2n 1) 2.4.6 (2n) 2n 2k ( 2k 1)2 ( 2k 1)2 2k Ta coù: 2k 2k 4k 4k Cho k từ 1, 2, …, n Rồi nhân các BĐT vế theo vế, ta đpcm Bài 2: Chứng minh rằng: C2nnk C2nnk (C2nn )2 (với k, n N, k n) HD: Ñaët uk = C2nnk C2nnk (k = 0;1;…;n) Ta chứng minh: uk > uk+1 (*) Thaät vaäy, (*) C2nnk C2nnk C2nnk 1.C2nnk 1 n + 2nk > Điều này luôn luôn đúng đpcm www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 31 Lop11.com (12) Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức tổ hợp Cnk 1 Cnk Bài 1: a) Chứng minh: b) Chứng minh: Cnk 1 Cnk với n = 2m, k m Từ đó suy Cnm là lớn với n = 2m + 1, k m Từ đó suy Cnm ; Cnm1 là lớn HD: a) Theo tính chaát: Với k m 2k n Cnk Cnk n k k 1 n 1 Cn 1 k k k Cn n 1 Cnk Cnk 1 k Vì Cnk Cnnk nên Cnk lớn b) Tương tự Bài 2: Cho n > 2, p [1; n] Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ Cnp HD: Vì Cnp Cnn p neân ta chi caàn xeùt p Ta coù: Cnp Cnp1 Vaäy Cnp Cnp1 n n 1 n p 1 >1 p< p Cnp nhỏ p = p = n – 1, ứng với Cn1 Cnn1 = n Cnp lớn p = n 1 n (nếu n lẻ) p = (neáu n chaün) 2 Bài 3: Với giá trị nào p thì Cnp lớn HD: Ta coù: Cmp Cmp1 Cmp Cmp1 m p 1 m 1 Tæ soá naøy giaûm p taêng p p m p 1 , đó: p p m 1 2 Để Cmp Cmp1 ta phải có: p k + , vì p, k N nên chọn p = k Neáu m leû: m = 2k + p k + 1, ta seõ coù: Neáu m chaün: m = 2k p k + Cmp Cmp1 p = k + Cmp C2kk11 (2k 1)! (k 1)! k ! * Áp dụng bài toán này ta có thể giải nhiều bài toán khác Ví dụ: Có 25 học sinh Muốn lập thành nhóm gồm p học sinh Tìm giá trị p để số cách chia nhóm là lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó p * Vì coù 25 hoïc sinh, choïn p em neân soá nhoùm coù theå laäp laø C25 p Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 đó C25 lớn p = k + = 13 13 Vậy p = 13, đó: số nhóm tối đa có thể lập: C25 = 5200300 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 32 Lop11.com (13) www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng Đại Số 11 – Chương II Dạng : Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau: a) An4 An31 Cnn4 24 23 b) C4x ÑS: a) n = b) x = Baøi 2: Giaûi caùc phöông trình sau: C5x c) Cxx 1 Cxx 2 Cxx 3 Cxx 10 1023 C6x c) x = 10 x 4 x 10 a) C10 x C10 x b) x C4x x C32 C31 d) C8xx3 Ax36 e) C1x 6Cx2 6Cx3 x 14 ÑS: a) x = 14 b) x = Baøi 3: Giaûi caùc baát phöông trình: a) Cnn13 An41 14 P3 b) c) x = 10 Pn5 (n k )! c) Ax22 Cxx 2 101 d) x = 17 e) x = c) Cn41 Cn31 60 Ank32 A 0 n 2 ÑS: a) ñk: n 3, n2 + n – 42 > n k n b) (n 5)(n 4)(n k 1) Xét với n 4: bpt vô nghiệm Xét n {0,1,2,3} ta các nghiệm là: (0;0), (1;0), (1;1), (2;2), (3,3) c) ñk: n 5, n2 – 9n – 22 < n = 6; 7; 8; 9; 10 Baøi 4: Giaûi caùc phöông trình vaø baát phöông trình: a/ Cxx12 d/ 2Cx31 2x C28 x 4 C24 7( x 1) 225 52 g/ 2Cx21 Ax2 30 ÑS: a/ x = e/ n 10, n N b/ Ax3 Cxx 2 14 x e/ Cn41 Cn31 c/ A 0 n 2 f/ Cxx25 Cnn13 An41 336 14 P3 A2 x Ax2 Cx3 10 x b/ x = c/ x = d/ x = f/ x 6, n N g/ x = h/ x = 3, x = h/ Baøi 5: Giaûi caùc heä phöông trình: Ax y x y a) P Cy 126 b) Cxy1 : Cxy 1 : Cxy 1 : : x 1 P 720 x 1 x x ÑS: a) b) y y Baøi 6: Giaûi caùc phöông trình vaø heä baát phöông trình: x x Cy : Cy 2 A y 5C y 90 x a/ xy b/ y C x : A x 5 Ax 2Cx 80 y y 24 ÑS: Ax5 a/ x = 5, y = b/ x = 4, y = C y C y 1 c) x y x y 1 4Cx 5Cx x 17 c) y c/ lg(3Cx ) lg Cx x 3y c/ x 6; x, y Z k k 1 k 2 , C14 , C14 Bài 7: Tìm số tự nhiên k cho C14 laäp thaønh moät caáp soá coäng ÑS: k = 4; www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 33 Lop11.com (14) Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com Dạng 6: Tìm số tổ hợp các bài toán số học Bài 1: Cho 10 câu hỏi, đó có câu lý thuyết và bài tập Người ta cấu tạo thành các đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, đó thiết phải có ít câu lý thuyết và bài tập Hỏi có thể tạo bao nhiêu đề thi? ÑS: Đề gồm câu lý thuyết và bài tập: C42 C61 36 Đề gồm câu lý thuyết và bài tập: C41 C62 60 Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, đó gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: a) Goàm hoïc sinh tuyø yù b) Có nam và nữ c) Có nam và nữ d) Coù ít nhaát nam e) Có ít nam và nữ ÑS: a) C40 C15 b) C25 2 C15 c) C25 2 C15 C25 C15 C25 C15 C25 d) C25 4 C25 C15 e) C40 Baøi 3: Cho ñieåm maët phaúng vaø khoâng coù ñieåm naøo thaúng haøng Hoûi coù bao nhieâu vectô tạo thành từ điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy? ÑS: 20 ; 10 Bài 4: Có tem thư khác và bì thư khác Người ta muốn chọn từ đó tem thư, bì thư và dán tem thư lên bì thư đã chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có bao nhieâu caùch laøm nhö vaäy? ÑS: 1200 Bài 5: Một túi chứa viên bi trắng và viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được: a/ vieân bi cuøng maøu? b/ vieân bi traéng, vieân bi xanh? ÑS: a/ 20 b/ 150 Bài 6: Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đoàn, phó đoàn, thư ký và ủy vieân Hoûi coù maáy caùch choïn? ÑS: 4651200 Bài 7: Từ bông hồng vàng, bông hồng trắng và bông hồng đỏ (các bông hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa đó: a/ Có đúng bông hồng đỏ? b/ Có ít bông hồng vàng và ít bông hồng đỏ? ÑS: a/ 112 b/ 150 Bài 8: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập bao nhiêu số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, đó chữ số có mặt đúng lần, chữ số khác có mặt đúng lần ÑS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) Bài 9: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập bao nhiêu số: a/ Chẵn gồm chữ số khác đôi và chữ số đứng đầu là chữ số 2? b/ Gồm chữ số khác đôi cho chữ số đó có đúng chữ số chẵn và chữ soá leû? ÑS: a/ 360 b/ 2448 (ÑH Caàn Thô, 2001) Bài 10: a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số đầu tiên phải khác 0), đó có mặt chữ số không có chữ số 1) b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt đúng lần, chữ số có www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 34 Lop11.com (15) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Đại Số 11 – Chương II mặt đúng lần và các chữ số còn lại có mặt không quá lần ÑS: a/ 33600 b/ 11340 (ÑH QG, Tp.HCM, 2001) Bài 11: Người ta viết các số có chữ số các chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần còn các chữ số còn lại xuất lần Hỏi có bao nhieâu soá nhö vaäy? ÑS: 1800 (ÑH Sö phaïm Vinh, 1998) Bài 12: Từ tập thể 14 người gồm năm và nữ đó có An và Bình, người ta muốn chọn tổ công tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau: a/ Trong tổ phải có nam lẫn nữ? b/ Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An và Bình không đồng thời có mặt tổ? ÑS: a/ 2974 b/ 15048 (ÑH Kinh teá, Tp.HCM, 2001) Bài 13: Một đoàn tàu có toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Bieát moãi toa coù ít nhaát choã troáng Hoûi: a/ Coù bao nhieâu caùch saép xeáp cho vò khaùch leân toa b/ Coù bao nhieâu caùch saép xeáp cho vò khaùch leân taøu coù toa coù vò khaùch noùi treân ÑS: a/ 99 b/ 24 (ÑH Luaät Haø Noäi, 1999) Baøi 14: Trong soá 16 hoïc sinh coù hoïc sinh gioûi, khaù, trung bình Coù bao nhieâu caùch chia soá học sinh đó thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi và tổ có ít nhaát hai hoïc sinh khaù ÑS: 3780 (HVKT Quân sự, 2001) Dạng 7: Tìm số tổ hợp các bài toán hình học Bài 1: Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đôi một, không có đường nào đồng quy Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác tạo thành? n(n 1) ÑS: Soá giao ñieåm: Cn2 n(n 1)(n 2) Soá tam giaùc: Cn3 Bài 2: Cho 10 điểm không gian, đó không có điểm nào thẳng hàng a) Có bao nhiêu đường thẳng qua cặp điểm? b) Có bao nhiêu vectơ nối cặp điểm? c) Coù bao nhieâu tam giaùc coù ñænh laø 10 ñieåm treân? d) Nếu 10 điểm trên không có điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện đượ c taïo thaønh? ÑS: a) C10 b) A10 c) C10 d) C10 Baøi 3: Cho ña giaùc loài coù n caïnh (n 4) a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh? b) Giả sử đường chéo cùng qua đỉnh thì không đồng qui Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) các đường chéo ấy? ÑS: a) Cn2 n n n = b) Giao điểm đường chéo đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm đường chéo tứ giác mà đỉnh nó là đỉnh đa giác Vậy số giao điểm phải tìm số tứ giác với đỉnh thuộc n đỉnh đa giác: Cn4 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 35 Lop11.com (16) Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com Baøi 4: Cho moät ña giaùc loài coù n-caïnh (n , b 3) a/ Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? b/ Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác? c/ Có bao nhiêu giao điểm các đường chéo? n(n 3) (n 2)(n 1)n n(n 1)(n 2)(n 3) ÑS: a/ c/ ; n b/ 24 Baøi 5: Tìm soá giao ñieåm toái ña cuûa: a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên? ÑS: a/ 45 b/ 90 c/ 335 Bài 6: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là điểm số 37 điểm đã chọn trên (d1) vaø (d2) ÑS: 5950 (ÑH SP Quy Nhôn, 1997) Bài 7: Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét các tam giác có ba đỉnh lấy từ caùc ñænh cuûa H a/ Có tất bao nhiêu tam giác vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh cuûa H? b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng cạnh là cạnh H? Có bao nhiêu tam giác không có caïnh naøo laø caïnh cuûa H? ÑS: a/ 1140; 20 b/ 320 ; 80 (HVNH, 2000, khoái D) Bài 8: Có 10 điểm A, B, C, trên mặt phẳng đó không có điểm nào thẳng hàng a/ Nối chúng lại ta bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không qua A hay B? b/ Có bao nhiêu tam giác đỉnh các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB? ÑS: a/ 45; 28 b/ 120 ; 36 ; Bài 9: Có p điểm mặt phẳng đó có q điểm thẳng hàng, số còn lại không có điểm nào thẳng hàng Nối p điểm đó lại với Hỏi: a/ Có bao nhiêu đường thẳng? b/ Chuùng taïo bao nhieâu tam giaùc? 1 ÑS: a/ p( p 1) q(q 1) 2; b/ p( p 1)( p 2) q(q 1)(q 2) Bài 10: Cho p điểm không gian đó có q điểm đồng phẳng, số còn lại không có điểm nào đồng phẳng Dựng tất các mặt phẳng chứa p điểm đó Hỏi: a/ Coù bao nhieâu maët phaúng khaùc nhau? b/ Chúng tạo bao nhiêu tứ diện? ÑS: a/ C 3p Cq3 b/ C p4 Cq4 Bài 11: Cho p điểm đó có q điểm cùng nằm trên đường tròn, ngoài không có điểm nào đồng phẳng Hỏi có bao nhiêu: a/ Đường tròn, đường qua ba điểm? b/ Tứ diện với các đỉnh thuộc p điểm đó? ÑS: a/ C 3p Cq3 b/ C p4 Cq4 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 36 Lop11.com (17) www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng Đại Số 11 – Chương II V Nhị thức Newton Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN và với cặp số a, b ta có: ( a b) n n Cnk ank bk k 0 Tính chaát: 1) Soá caùc soá haïng cuûa khai trieån baèng n + 2) Toång caùc soá muõ cuûa a vaø b moãi soá haïng baèng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk ank bk ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số các cặp số hạng cách số hạng đầu và cuối thì nhau: Cnk Cnnk 5) Cn0 Cnn , Cnk 1 Cnk Cnk1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b giá trị đặc biệt thì ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n Cn1 x n1 Cnn Cn0 Cn1 Cnn 2n (x–1)n = Cn0 x n Cn1 x n1 (1)n Cnn Cn0 Cn1 (1)n Cnn Dạng 1: Xác định các hệ số khai triển nhị thức Newton Bài 1: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức: 10 a) x x4 ÑS: a) 45 12 b) x x4 b) 495 c) –10 c) x x2 d) 15 1 d) x x Baøi 2: a/ Tìm heä soá cuûa x12 y13 khai trieån (2 x 3y)25 b/ Tìm các số hạng khai triển ( x xy)15 13 ÑS: a) 313.212.C25 b) T8 6435x 31.y7 , T9 6435 x 29 y8 Bài 3: Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xk.ym (k,m <n) ĐS: Trước hết tìm tất số hạng chứa xk n Ta coù: (x + y + z)n = x y z Cnk x k y z nk maø (y + z)n–k = Cnmk y m znk m số hạng chứa xkym là: Cnk Cnmk x k y m znk m Bài 4: Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng đa thức: P( x) (1 x)9 (1 x)10 (1 x)14 ta đa thức: P( x ) a0 a1x a2 x a14 x14 Hãy xác định hệ số a9? ÑS: a9 3003 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 37 Lop11.com (18) www.toantrunghoc.com Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 Bài 5: Cho đa thức P( x) (1 x) 2(1 x)2 3(1 x)3 20(1 x)20 viết dạng: P( x ) a0 a1x a2 x a20 x 20 Tìm heä soá a15? ÑS: a15 400995 Baøi 6: Khai trieån P( x ) ( x 2)80 a0 a1x a2 x a80 x 80 Tìm heä soá a78? ÑS: a78 12640 Baøi 7: Khai trieån P( x ) (3 x )50 a0 a1x a2 x a50 x 50 b/ Tính toång S a0 a1 a2 a50 a/ Tính heä soá a46? b/ S 450 ÑS: a/ a46 = 18654300 Bài 8: a) Tìm số hạng không chứa thức khai triển nhị thức: 3 n b) Tìm số mũ n biểu thức b Biết tỉ số các hệ số số hạng thứ và 12 thứ khai triển nhị thức đó là 7:2 Tìm số hạng thứ 6? ÑS: a) C52 3.2 60 b) n = T6 = C95 b 3 b 126 b b2 a Bài 9: Trong khai triển nhị thức: b gioáng nhau? ÑS: Ta coù: Tk+1 = k C21 a b 21k 21 b , tìm các số hạng chứa a, b với luỹ thừa a k 21k k k 21k b k = C21.a b a 5 21 k k k 21 k a b k = Vaäy soá haïng caàn tìm laø: T10 = C21 6 15 1 Bài 10: a/ Tìm số hạng thứ khai triển x x 12 3 2 a a b/ Tìm số hạng chứa a khai triển 64 10 x c/ Tìm số hạng khai triển x 12 1 d/ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức: x x 16 1 e/ Tìm hạng tử độc lập với x khai triển x x ÑS: a/ T6 C15 d/ 495 b/ 924a7 230 15 30 15 x y c/ T16 C30 e/ 1820 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 38 Lop11.com (19) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Bài 11: Số hạng nào chứa x với số mũ tự nhiên khai triển sau: 10 a/ ( x x ) Đại Số 11 – Chương II 13 b/ x x 10 10 ÑS: a/ C10 x, C10 x , C10 x 13 9 b/ C13 x , C13 x , C13 x , C13 x Baøi 12: a/ Tìm soá haïng cuûa khai trieån ( 2)9 laø moät soá nguyeân b/ Tìm số hạng hữu tỉ khai triển ( 15)6 c/ Xác định các số hạng hữu tỉ khai triển ( 7)36 d/ Có bao nhiêu hạng tử nguyên khai triển ( 5)124 ÑS: a/ T4 4536, T10 c/ T7 , T22 , T37 b/ T1 27, T3 2005, T5 10125, T7 3375 d/ 32 soá haïng a Bài 13: a/ Tìm số hạng thứ ba khai triển 13 a a1 n neáu Cn : Cn :1 T3 4T5 n b/ Trong khai triển (1 x ) theo lũy thừa tăng x, cho biết : 40 Tìm n vaø x? T4 T6 13 ÑS: a/ n 14, T3 91 a51 b/ n 6, x n Bài 14: a/ Xác định hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba khai triển x x2 b/ Cho bieát toång cuûa heä soá treân laø 11 Tìm heä soá cuûa x2 n(n 1) ÑS: a/ Cn0 1, Cn1 n, Cn2 b/ n 4, C42 n Bài 15: a/ Trong khai triển a a cho biết hiệu số hệ số hạng tử thứ ba và thứ a4 hai laø 44 Tìm n n 1 b/ Cho biết khai triển x , tổng các hệ số các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ x ba là 46 Tìm hạng tử khôn g chứa x n 2 c/ Cho biết tổng hệ số số hạng đầu tiên khai triển x là 97 Tìm 3 hạng tử khai triển chứa x ÑS: a/ n = 11 b/ n = ; 84 c/ n = 8; 1120x4 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 39 Lop11.com (20) Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com Dạng : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp Baøi 1: Tính caùc toång sau: a/ S1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn b/ S2 Cn0 Cn2 Cn4 c/ S3 Cn1 Cn3 Cn5 d/ S4 Cn0 2Cn1 22 Cn2 2k Cnk 2n Cnn e/ S5 Cn0 22 C n2 24 Cn4 3n (1)n ÑS: a/ b/ c/ d/ e/ Bài 2: Biết tổng tất các hệ số khai triển thị thức (x2 + 1)n 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) số hạng ax12 khai triển đó ÑS: a = 210 (HV haønh chính QG, 2000) Baøi 3: Tính toång sau: n n-1 n-1 n 10 11 C11 C11 C11 C11 C11 a/ S1 C11 (ÑHQG Haø Noäi, 97, Khoái D) 16 315 C16 314 C16 C16 b/ S2 316 C16 (ÑHBK Haø Noäi, 98) ÑS: a/ 1024 b/ 216 Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau: a/ C20n C22n C24n C22nn C21n C23n C25n C22nn1 Tổng hệ số chẵn tổng hệ số lẻ có đúng không? b/ 10.C21n 102.C22n 103.C23n 102 n1C22nn1 102 n 81n c/ C20n C22n 32 C24n 34 C22nn 32 n 22 n1.(22 n 1) (ÑH Haøng Haûi, 2001) Bài 5: Dùng đẳng thức (1 x)m (1 x)n (1 x)mn , chứng minh rằng: k 2 Cnk 1 Cm Cn Cmm Cnk m Cmk n , m k n a/ Cm0 Cnk Cm (Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)) b/ (Cn0 )2 (Cn1 )2 (Cn2 )2 (Cnn )2 C2nn c/ Cn0 Cnk Cn1 Cnk 1 Cn2 Cnk 2 Cnnk Cnn (2n)! (n k )!(n k )! Bài 6: Tính giá trị các biểu thức: A = 22n C20n 22n2 C22n 20 C22nn 2n ÑS : Ta coù : (2x+1) = Maët khaùc, (2x–1)2n = 2n C2kn k 0 2n C2kn k 0 2x 2x B = 22n1C21n 22n3 C23n 21C22nn1 nk nk Thay x = ta A + B = 32n = 9n k 1 Thay x = ta A – B = n n 1 , B = 1 2 Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau: Từ đó suy ra: A = a) Cn0 6Cn1 62 Cn2 6n Cnn 7n 17 41.316.C17 417 C17 717 b) 317 C17 ÑS: a) Khai trieån (1+x)n = Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n ; thay x = b) Khai trieån (3x+4)17; thay x = www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , – Trang 40 Lop11.com (21)