Kiến thức cơ bản phương trình lượng giác

b Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác  Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức lượng giác để đưa[r]

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I) KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Bảng giá trị lượng giác    rad - x độ -180o -90o -60o   -45o -30o 30o 45o 60o 90o 120o 2 2 - sin -1 cos -1 2 tan || - -1 - cot || - -1 -    2 2 3 2 2 - 3 || || 1 - 3 5  135o 150o 180o 2 2 - -1 - -1 - 3 -1 - || - 2) Giá trị lượng giác các góc có liên quan đặc biệt Góc đối cos( )  cos sin( )   sin tan( )   tan cot( )   cot  Góc bù sin(   )  sin Góc phụ   sin      cos 2  Góc kém  Góc kém  sin(   )   sin   sin      cos 2  cos(   )   cos   cos     sin 2  cos(   )   cos   cos      sin 2  tan(   )   tan   tan      cot  2  tan(   )  tan   tan       cot  2  cot(   )   cot    cot      tan 2  Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Lop11.com cot(   )  cot    cot       tan 2  Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 3) Công thức lượng giác 1) Công thức cộng: 5) Công thức tích thành tổng  cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb tana - tanb  tan(a - b) = + tana.tanb  sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb tana + tanb  tan(a + b) = - tana.tanb  sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb 2) Công thức nhân đôi :  cosxcosy=  sin2x = 2sinxcosx = (sinx+cox)2 -  cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x - = – 2sin2x  x y  x y  sinx + siny = 2sin   cos        x y  x y  sinx – siny = 2cos   sin        cos( x  y )  cos( x  y )  sinxcosy= Sin ( x  y )  Sin ( x  y )  sinxsiny=   cos( x  y )  cos( x  y )  cos x.sin y = [sin( x + y ) - sin( x - y )] 6) Công thức tổng(hiệu) thành tích: 2tanx  tan x cot x   cot2x = 2cotx  tan2x =  x y  x y  cos        x y  x y  cosx–cosy = 2sin   sin       sin( x  y )  tanx + tany = cos xcosy  cosx + cosy = cos  3) Công thức nhân 3:  cos3x = 4cos3 x - 3cos x  sin3x = 3sin x - 4sin3 x 3tan x - tan x  tan 3x = 1- 3tan x 3cot x - cot x  cot 3x = 1- 3cot x sin( x  y ) cos xcosy sin( x  y )  cotx + coty = sin xsiny sin( y  x)  cotx – coty = sin xsiny  tanx – tany = 4) Công thức hạ bậc:  cos x  c os2 x  sin x   cos2  tan2    cos2  cos2  cot    cos2  cos x  (3sin x - sin x)  cos3 x = (cos3 x + 3cos x)  sin x = Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Lop11.com Dạy kèm học sinh từ L6 – L12  tanx= sinx  ,(x   k) cosx cosx ,(x  k) sinx 2  sin x  cos x   cotx=  cos x   tan x,(x    k)   cot x,(x  k)  sin x  tanx.cotx=1,(x  k ) 3  sin x  cos x  (sinx  cos x)(1  sinx.cos x) 3  sin x  cos x  (sinx  cos x)(1  sinx.cos x)  1cos x  sin x  cos4 x   sin 2 x   cos x  sin x  cos6 x   sin 2 x    sin x   sin x  cos x      sin x  cos x  sin  x    2cos  x   4 4        sin x  cos x  2sin  x     2cos  x   4 4    4) Phương trình lượng giác a) Phương trình lượng giác éx = a + k2p Dạng: sin x = sin a Û êê êëx = p - a + k2p éx = a + k2p Dạng: cos x = cos a Û êê êx = - a + k2p ë t an x = t an a Û x = a + k p Dạng: p Ðk : x, a ¹ + kp cot x = cot a Û x = a + kp Dạng: Ðk : x, a ¹ kp  x  arcsin a +k 2 ,k  +) sin x  a   x    arc sin a + k    x  arc cosa +k 2 ,k  +) cosx  a    x  arccosa +k 2 Nguyễn Hoài Nam 0979160543 ìï ïï sin x = Þ x = k p ïï ï p Đặc biệt: ïí sin x = Þ x = + k2p ïï ïï p ïï sin x = - Þ x = - + k2p ïî ìï ïï cos x = Þ x = p + kp ïï Đặc biệt: ïí cos x = Þ x = k2p ïï ïï cos x = - Þ x = p + k2p ïï î ìï t an x = Û x = k p ïï í ïï t an x = ± Û x = ± p + kp Đặc biệt: ïî ìï ïï cot x = Û x = p + k p Đặc biệt: ïí ïï p ïï cot x = ± Û x = ± + k p ïî +) tanx  a  x  arc tana +k , k  +) cotx  a  x  arccot a+k , k  Lop11.com Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 2cos x b) e) s in(x-600 ) = 3= tan x - = c) s inx+ = d) s in2x = - 2 i) sin(3x 1) sin(x- 2) n) sin2x cot x = o) sin 3x + sin x = f) cos(2x+500 ) = k)cos3x sin 2x g) tan(2 x - 1) = l) (1- 2cox)(4 - cos x) = p) tanxtan2x= -1 x x m) (cot - 1)(cot + 1) = 2 r) cos( x - x) = q) sin x = h) cot(2 x - p )= b) Phương trình bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác  Phương trình bậc hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức lượng giác để đưa phương trình phương trình lượng giác  Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: là phương trình có dạng a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương trình này ta đặt t hàm số lượng giác.(Chú ý điều kiện t đặt t=sinx hoặc t=cosx) Dạng Đặt ẩn phụ Điều kiện a sin x + b sin x + c = t = sin x - 1£ t £ a cos2 x + b cos x + c = t = cos x - 1£ t £ a tan x + b tan x + c = t = tan x a cot x + b cot x + c = t = cot x x¹ p + kp , (k Î ¢ ) x ¹ kp, (k Î ¢ ) Nếu đặt t = sin x hoặc t = sin x thì điều kiện là £ t £ Một số hằng đẳng thức lượng giác và mối liên hệ  + sin 2x = sin x + cos2 x + sin x cos x = (sin x + cos x )     - sin 2x = sin x + cos2 x - sin x cos x = (sin x - cos x ) sin x cos x = sin 2x sin x + cos3 x = (sin x + cos x )(1 - sin x cos x ) sin x - cos3 x = (sin x - cos x )(1 + sin x cos x ) Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Lop11.com Dạy kèm học sinh từ L6 – L12          t an x + cot x = sin x cos x sin x + cos2 x + = = cos x sin x sin x cos x sin 2x cos x sin x cos2 x - sin x cos2x cot x - t an x = = = = cot x sin x cos x sin x cos x sin 2x 1 + 1cos 4x sin x + cos4 x = - sin 2x = + cos2 2x = 2 ( )( ) cos4 x - sin x = sin x + cos2 x cos2 x - sin x = cos 2x sin x + cos6 x = sin x + cos4 x - sin x cos2 x = - + cos 4x sin 2x = ( cos6 x - sin x = cos 2x sin x + cos x + sin x cos2 x x = cos x æ pö ÷ sin x ± cos x = sin çççx ± ÷ = ÷ ÷ 4ø è ) + t an x t an æ pö ÷ cos çççx m ÷ ÷ ÷ 4ø è cos x cos2 x - sin x + sin x = = = (mối liên hệ sinx và cosx) - sin x cos x cos x (1 - sin x ) cos x (1 - sin x ) Bài 2: Giải các phương trình sau: æ pö æ pö a) 2cos2 x - 3cos x + = k) cos ççç2x + ÷÷÷+ cos ççç2x - ÷÷÷+ sin x = + (1 - sin x ) ø÷ ø÷ è è b) 2cos2 2x + 3sin x = l) sin x cos x - cos5 x sin x = sin 4x c) 3cos2 x - 2sin x + = m) cos x + 3cos + = d) 5sin x + 3cos x + = n) cot 2x+3cot2x+2=0 e) 2sin x + 3sinx-5 = o) 2cos 2x  f) tanx+cotx=2 2 p) 3cot x  2 sin x     cosx g) 3sin 2x  4cos 2x   q) tan x  h) sin x  2sin 2x  r) 2cos 2x   t anx  i) cos x x t)     cos2x     tan x   (    cos2x   ) cos6 x + sin x - sin x cos x = - sin x æ j) (tanx+cotx) -(tanx+cotx)=2 Nguyễn Hoài Nam 0979160543 s) (1 + sin x + cos 2x )sin çççèx + + t an x Lop11.com ö p÷ ÷ ÷ 4÷ ø = cos x Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 c) Phương trình bậc sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình có nghiệm là a  b  c Cách 1: asinx+bcosx=c b a Đặt: cos   ; sin    a  b2 sin( x   )  c 2 2 a b a b b   Cách 2: a sin x  cos x   c a   b c Đặt:  tan   a sin x  cos x.tan    c  sin( x   )  cos  a a 2t 1 t2 x ;cos x  Cách 3: Đặt: t  tan ta có: sin x   (b  c)t  2at  b  c  2 1 t 1 t Bài 3: Giải các phương trình sau: a) sinx - cos x = b) 2sin 3x + cos3 x = - c) sin 3x  cos3x  h) sin 2x  cos2x  i) sin8x  cos6x   sin 6x  cos8x  j) sin x  sin 2x  3cos x p p )= d) 3sin5x  2cos5x  k) 2sin( x + ) + sin( x - e) 4sin x  cos x  l) 4sin x + 3cos x = 4(1 + tan x) - f) sin 2x  cos2x  æ x ö2 x ÷ m) çççsin + cos ÷÷ = ÷ 2ø è g) sin x 1  sin x   cos x  cos x  1 n) cos 7x - cos x cos x = sin 7x = - æ2p 6p ö ÷ , " x Î ççç ; ÷ ÷ è ø÷ d) Phương trình lượng giác đẳng cấp  Dạng: a sin X + b sin x cos x + c cos2 x = d (1) " a, b, c, d Î ¡ Cách 1: ìï cos x = ï í (Hay x = kp ) có phải là nghiệm ïï sin x = ïî phương trình (1) hay không ? Nếu phải thì nhận nghiệm này p  Bước Kiểm tra xem x = + kp, (k Î ¢ ) Û p + kp, (k Î ¢ ) Û  Bước Khi x ¹ ìï cos x ¹ ï í (Hay x ¹ kp ) Chia hai vế (1) cho cos2 x ïï sin x ¹ ïî (hay sin x ), ta được: Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Lop11.com Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 (1) Û a sin x sin x cos x cos2 x d + b + c = 2 cos x cos x cos x cos2 x ( Û a t an x + b t an x + c = d + t an x ) Û (a - d )t an x + b t an x + c - d =  Bước 3: Đặt t = tan x để đưa phương trình bậc hai đã biết cách giải Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc và nhân đôi - cos 2x sin 2x + cos 2x ; cos2 x = và sin x cos x = vào (1) và rút gọn lại, 2 ta được: b sin 2x + (c - a )cos 2x = 2d - a - c (*)  Bước 1: Thế sin x =  Bước 2: Giải phương trình (*) , tìm nghiệm Đây là phương trình bậc sin 2x và cos 2x mà đã biết cách giải éa sin x + b sin x cos x + c sin x cos2 x + d cos x = (2) ê  Dạng: ê 2 êëa sin x + b sin x cos x + c sin x cos x + d sin x cos x + e cos x = (3) Cách giải: Chia hai vế (2) cho cos3 X (hay sin X ) hoặc chia hai vế (3) cho cos4 X (hay sin X ) và giải tương tự trên Bài 4: Giải phương trình lượng giác: a) cos2 x - sin 2x = + sin x b) sin x + (1 - 3) sin x cos x + (1 - 3) cos2 x = c) sin x - 5sin x cos x - 6cos2 x = d) sin x - sin x cos x + 2cos2 x = e) 2sin x + 3 sin x cos x - cos2 x = f) sin x + sin 2x + (8 - 9) cos2 x = g) sin x + sin x cos x - cos2 x = h) - sin x + sin x cos x + cos2 x = i) 2sin x - cos2 x - sin x cos x = j) sin x + cos2 x - sin x cos x = k) sin x + cos2 x - sin x cos x = l) sin x + cos2 x + sin 2x = Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Lop11.com Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 e) Phương trình lượng giác đối xứng Dạng Dạng Dạng a (sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = Þ P P : t = sin x + cos x, t £ t2 - Þ sin x cos x = a (sin x - cos x ) + b sin x cos x + c = Þ P P : t = sin x - cos x, t £ Þ sin x cos x = ( 1- t2 ) a t an x + cot x + b (t an x + cot x ) + c = ìï sin x ¹ kp ÐK : ïí Û sin 2x ¹ Û x ¹ , (k Î ¢ ) ïï cos x ¹ î Þ P P : t = t an x + cot x , t ³ Þ t an x + cot x = t - Dạng ( ) a t an x + cot x + b (t an x - cot x ) + c = ìï sin x ¹ kp ÐK : ïí Û sin 2x ¹ Û x ¹ , (k Î ¢ ) ïï cos x ¹ î Þ P P : t = t an x - cot x , t ³ Þ t an x + cot x = t + Dạng ( ) a sin x + cos4 x + b sin 2x + c = sin 2x = - t 2 Þ P P : t = sin 2x, t £ Þ sin x + cos x = - Dạng ( ) a sin x + cos4 x + b cos 2x + c = 1 1 sin 2x = + cos2 2x = + t 2 2 2 Þ P P : t = cos 2x, t £ Þ sin x + cos x = - Dạng ( ) a sin x + cos6 x + b sin 2x + c = Þ P P : t = sin 2x, t £ Þ sin x + cos x = - Dạng ( 3 sin 2x = - t 4 ) a sin x + cos6 x + b cos 2x + c = Þ P P : t = cos 2x, t £ Þ sin x + cos6 x = - Dạng 3 sin 2x = + cos2 2x = + t 4 4 a sin x + b cos4 x + c cos2x + d = ìï ìï ïï 1- t) ( cos 2x t ïï sin x = ï sin x = = 2 Þ ïïí Þ P P : t = cos 2x, t £ Þ ïí ïï ï + cos 2x + t + t ï ( ) cos x = = ïï ï 2 ïî ïïîï cos x = Nguyễn Hoài Nam 0979160543 Lop11.com Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 Bài 5: Giải các phương trình sau: a)  sin x  cos x   6sin x cos x   k) sin x  cos x  4sin x cos x   b) sin x cos x   sin x  cos x    l)  sin x  cos x    sin x cos x c) sin x  cos x  sin xcos x m) 2  sin x  cos x   3sin 2x d) 2sin 2x  3  sin x  cos x    n) sin x  2sin 2x   cos x e) sin x + cos3 x - = sin 2x f) (sin x + cos x ) = tan x + cot x 3 g) + cos x - sin x = sin x h) cot x - tan x = sin x + cos x i) + tan x = sin x + cos x æ j) sin 2x + sin çççx çè p ö÷ ÷= ÷ ø÷ Nguyễn Hoài Nam 0979160543 o) p) q) cos3 x + sin x = cos 2x cos3 x - sin x = sin 2x - 12 (sin x - cos x ) + 12 = sin x + cos x = r) sin 2x + sin x cos x + 2sin x + 2cos x = s) sin x + cos6 x = sin 2x t) Lop11.com Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 f) Một số dạng phương trình khác  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN VÀ CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp:  Phương trình chứa thức: Áp dụng công thức A= ìï B ³ A = B Û ïí ïï A = B2 ïî ìï A ³ ìï B ³ B Û ïí Û ïí ïï A = B ïï A = B î î ● ● Lưu ý: Khi giải B ³ , ta áp dụng phương pháp thử lại  Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Cách Mở giá trị tuyệt đối dựa vào định nghĩa Cách Áp dụng công thức éìï A ³ êï ìï B ³ êíï A = ïï ê ï ● A = B Û í éêA = B Û êïîì ïï ê êïï A < ïï êA = - B êí îë êïï A = ëî éA = B A = B Û êê êëA = - B ● B - B  PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC  Loại Tổng hai số không âm: ìï A ³ ïï ïí B ³ Þ ïï ïï A + B = î ìï A = ï í ïï B = î  Loại Phương pháp đối lập dạng 1: ìï A £ M ïï ì ïí B ³ M Þ íïï A = M ïï ïï B = M î ïï A = B î  Loại Phương pháp đối lập dạng 2: ìï ìï A £ M ïï ï ï íï B £ N Þ í ïî ïï ïï A + B = M + N î ìï A = M ï í ïï B = N î ìï sin u = Đặc biệt ● sin u ± sin v = Û ïí ìï sin u = - ● sin u + sin v = - Û ïí ìï cos u = ● cos u ± cos v = Û ïí ìï cos u = - ● cos u + cos v = - Û ïí ïï sin v = ± î ïï cos v = ± î Nguyễn Hoài Nam 0979160543 ïï sin v = - î ïï cos v = - î Lop11.com Dạy kèm học sinh từ L6 – L12 éìï sin u êï êíï sin v ê ● sin u sin v = Û êïîì êïï sin u êí êïï sin v ëî = = = - = - éìï cos u = êï êíï cos v = ê ● cos u cos v = Û êïîì êïï cos u = êí êïï cos v = ëî Nguyễn Hoài Nam 0979160543 1 - - éìï sin u êï êíï sin v ê ● sin u sin v = - Û êïîì êïï sin u êí êïï sin v ëî éìï cos u êï êíï cos v ê ● cos u cos v = - Û êïîì êïï cos u êí êïï cos v ëî Lop11.com = - = = = - = - = = = - Dạy kèm học sinh từ L6 – L12