Đang tải... (xem toàn văn)
c trong tam giác AHC có KI là đường trung bình nên KI//AC mà AC⊥AB =>KI⊥AB; mặt khác AH⊥KB nên I là trực tâm của ∆KAB.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =..[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH CHUYÊN Năm học 2009 – 2010 MÔN THI: TOÁN (ĐỀ CHUNG) Thời gian làm bài: 120phút( Không kể thời gian giao đề) Bài 1.(2,0 điểm) Cho biểu thức P= x ( )+( ) 1− x x − +3 x − x x +1 1− x a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn P c) Tìm x để P > Bài 2.(1,5 điểm) ( ) ( + ) x − y=1 + x + y= Giải hệ phương trình: Bài (2,0 điểm) 1) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng y= x+6 và parabol y=x2 2) Tìm m để đồ thị hàm số y = ( m + 1) x + 2m + cắt trục Ox, trục Oy các điểm A và B và ∆OAB cân( đơn vị trên hai trục Ox và Oy nhau) Bài 4.(3,5 điểm) Cho ∆ABC vuông đỉnh A, đường cao AH, I là trung điểm AH, K là trung điểm HC Đường tròn đường kính AH ký hiệu là (AH) cắt các cạnh AB, AC M và N a) Chứng minh ∆ACB và ∆AMN đồng dạng b) Chứng minh KN là tiếp tuyến đường tròn (AH) c) Tìm trực tâm ∆ABK Bai 5.(1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1 + + 16 x y z Hết - Lop10.com (2) ĐÁP ÁN 1 − x ≠ x ≠ Bài 1.(2,0 điểm) a) P xác định ⇔ 1 − x ≠ ⇔ x ≥ x ≥ b) Rút gọn P x P= P= ( 1− x x )+( x +1 (1 − x ) ) x − +3 x − x 1− x − x +4 = 1− x 1− x + x = ( ( ) x +1 (1 − x )(1 + x ) + x − x +4 +3 x − x 1− x ) >0 − x 1 − x > ⇔ x ≠ ⇔1> x ≥ c) P > => x ≠ x ≥ x ≥ ( ) Bài 2.(1,5 điểm)Giải hệ phương trình: ( ( ) ) ( ( ) + x + y= + 2 x = + x = − x = − ⇔ ⇔ ⇔ − + y= y= − + x − y=1 + x + y= + ) ( )( ) Bài (2,0 điểm) 1) Toạ độ giao điểm đường thẳng y= x+6 và parabol y=x là nghiệm phương trình: x =x+6 hay x − x − 6=0 Giải phương trình ta có x1 = − ; x =3 suy tung độ giao điểm tương ứng là y1 =4 ; y =9 Nên toạ độ các giao điểm là: A(-2;4), B(3;9) 2) Đồ thị hàm số y = ( m + 1) x + 2m + cắt trục Oy các điểm B(0;2m+3) và cắt 2m + trục Ox điểm A − ; với m≠-1 m +1 Để ∆OAB cân thì OA= OB ⇔ − 1) 2m + = ⇔ m= 2) 2m + 2m + = 2m + ⇔ = 2m + m +1 m +1 −3 đó A≡B≡O không tồn ∆OAB A =1 m +1 a )m + = ⇔ m = b)m + = −1 ⇔ m = −2 Vậy m=0; m=-2 là giá trị cần tìm Bài 4.(3,5 điểm) N I M H B Hình Lop10.com K C (3) = HNA = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) a) AH⊥BC(gt); HMA Áp dung hệ thức canh và đường cao tam giác vuông Trong ∆ AHB và ∆AHC có AH = AM.AB=AN.AC Suy ra: AM AN lại có góc A chung nên ∆ACB~∆AMN(c.g.c) = AC AB b) I là trung điểm AH nên I là tâm đường tròn(AH) => IM=IH ∆HNC vuông N có K là trung điểm HC => KH=KC=KN = KHI mà KHI = 900 nên KNI = 900 Lại có KI chung nên ∆KNI=∆KHI(c.c.c) => KNI Hay KN là tiếp tuyến đường tròn (AH) c) tam giác AHC có KI là đường trung bình nên KI//AC mà AC⊥AB =>KI⊥AB; mặt khác AH⊥KB nên I là trực tâm ∆KAB Bai 5.(1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1 + + 16 x y z Theo BĐT Bu-nhi-a-côp-xki 2 2 2 1 1 P= + + ( x + y + z ) = + + 16 x y z 16 x y z (( ) +( y) +( z) ) x 1 49 1 x+ y+ z = + + 1 = ≥ 16 x 16 4y z 49 1 : x= : y= : z và x + y + z = Vậy Pmin= đó 16 16 x 4y z ⇔ x = ; y = ;z = 7 Lop10.com 2 (4) SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 PTTH CHUYÊN Năm học 2009 – 2010 MÔN THI: TOÁN (ĐỀ CHUYÊN) Thời gian làm bài: 150phút( Không kể thời gian giao đề) Bài 1.(2,5 điểm) 1) Giải phương trình: 1 − =2 x − 3x +2 x − 2 x + x + y =7 2) Giải hệ phương trình: x =12 x + y Bài 2.(2,0 điểm) Cho phương trình: x − 6x − + 2m = a) Tìm m để x = − 48 là nghiệm phương trình b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x=x1; x=x2 thoả mãn: x1 + x x1 + x = 24 Bài (2,0 điểm) 1) Cho phương trình: 2x + ( 2m − ) x − 6m + 52 = ( với m là tham số, x là ẩn số) Tìm giá trị m là số nguyên để phương trình có nghiệm hữu tỷ 2) Tìm số abc thỏa mãn: abc = ( a + b ) 4c Bài 4.(3,5 điểm) <A Đường tròn tâm I nội tiếp ∆ABC tiếp xúc với các cạnh Cho ∆ABC nhọn có C AB, BC, CA M, N, E; gọi K là giao điểm BI và NE = 900 + C a) Chứng minh AIB b) Chứng minh năm điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên đường tròn c) Gọi T là giao điểm BI và AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET d) Gọi Bt là tia đường thẳng BC và chứa điểm C Khi hai điểm A, B và Bt cố định; điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng mỉnh các đường thẳng NE luôn qua điểm cố định Lop10.com (5) ĐÁP ÁN Bài 1.(2,0 điểm) 1) 1 − = 2(Đk : x ≠ 2; x ≠ 1) x − 3x +2 x − 2 ⇔ − x + = 2x − 6x +4 ⇔ 2x − 5x +2 =0 ∆ =25 − 16=9>0 ⇒ ∆ = ph ¬ng trình cã hai nghiÖm : 5+3 5−3 x1 = = 2(lo¹i) ; x = = (Tho¶ m·n) 4 x + t=7 2) Đặt =t ta có nên x; t là hai nghiệm phương trình: x+y x.t =12 X − X + 12 = giải ta có X = 3; X = nên x =3 x =3 x =3 1) ⇔ ⇔ 11 =4 x+y x + y = y = − x =4 x =4 x =4 2) ⇔ 1⇔ 11 x+y =3 x + y = y = − Vậy hệ có hai nghiệm: x1 = 3; y1 = −11 −11 , x = 4; y = Bài 2.(2,0 điểm) Cho phương trình: x − 6x − + 2m = a) Để x = − 48 = − là nghiệm phương trình ⇔ − − 12 − − + 2m = ⇔ − − + − + 2m = ⇔ −4 + 2m = ⇔ m = x = t(t ≥ 0) thì phương trình có dạng: t − 6t − + 2m = (2) Để phương trình có hai nghiệm: thì ∆ ≥ ⇔ + 12 − 8m ≥ ⇔ m ≤ t + t = Theo hệ thức Vi-et thì để pt(1) có hai nghiệm thì t1 t = −3 + 2m t1 + t ≥ ⇔ −3 + 2m ≥ ⇔ m ≥ t1 t ≥ x1 + x 24 để = thì x1 + x b) Đặt ( t1 + t ) − 2t1 t = 24 ⇔ + − 4m = 24 t12 + t 22 24 = ⇔ t1 + t t1 + t 3 ⇔ 36 − 12m=12 ⇔ −12m=-24 ⇔ m=2(Tho¶ m · n) Vậy m=2 là giá trị cần tìm Lop10.com (6) Bài (2,0 điểm) 1) 2x + ( 2m − ) x − 6m + 52 = có nghiệm hữu tỷ với m nguyên ⇔ x + ( 2m − ) x − 3m + 26 = có nghiệm hữu tỷ với m nguyên ⇔ ∆ = ( 2m − ) + 12m − 104 = k ( k ∈ Z ) ⇔ 4m -24m +36 + 12m − 104 = k ⇔ 4m -12m + − k = 77 ⇔ ( 2m − − k )( 2m − + k ) = 77 2m − − k=1 ⇔ m = 21(Tho¶ m· n) 2m − + k=77 2m − − k= − 2) ⇔ m = −18(Tho¶ m· n) 2m − + k= − 77 2m − − k=11 3) ⇔ m = 6(Tho¶ m · n) 2m − + k=7 1) 2m − − k= − 11 ⇔ m = −3(Tho¶ m· n) 2m − + k = −7 4) Vậy có giá trị m thoả mãn đề bài: m1 = 21 ⇒ x1 = 1; x2 = −37 ; m = −18 ⇒ x1 = 2; x2 = 40 ; m = ⇒ x1 = 2; x2 = −8 ; m = −3 ⇒ x1 = 5; x2 = 2) Tìm số abc thỏa mãn: abc = ( a + b ) 4c Vì abc = ( a + b ) 4c nên abc chia hết cho Suy c là chữ số chẵn Mặt khác abc = ( a + b ) 4c nên ( a + b ) có chữ số tận cùng là => ( a + b ) có tận cùng là 4, 9(1) 2 Do abc < 1000;c > Suy ( a + b ) ≤ 1000 = 125 => a + b ≤ 11 (2) Từ (1) và (2) suy a+b=8; 7; 3; 1) a+b=8 suy abc = 256c nên abc = 512 không thoả mãn 2) a+b=7 suy abc = 196c c=2 => abc = 392 không thoả mãn c=4 => abc = 784 không thoả mãn c=6 => abc > 1000 không thoả mãn 3) a+b=3 suy abc = 36c A c=2 => abc < 100 không thoả mãn E c=4 => abc = 144 không thoả mãn T c=6 => abc = 216 thoả mãn M c=8 => abc = 288 không thoả mãn K I 4) a+b=2 suy abc = 16c c=8 => abc = 128 không thoả mãn c=6 => abc < 100 không thoả mãn B Vậy số cần tìm là 216 N Bài 4.(3,5điểm) Hình = 1800 − ABI − IAB a) Trong ∆AIB có AIB B A C = 1800 − − = 900 − 2 Lop10.com C (7) = 1800 − C ⇒ CEN = 90 − C b) Vì CE=CN (t/c tiếp tuyến) nên ∆CEN cân C => 2CEN Nên tứ giác AIKE nội tiếp.(1) = IMA = 900 vì (I) tiếp xúc với AB và AC nên tứ giác AMIE nội tiếp(2) Mặt khác IEA Từ (1) và (2) => năm điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên đường tròn c) Vì năm điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên đường tròn = TIA => ∆TEK~∆TIA(g.g)=> TE = TI (3) Nên TEK TK TA BM BI Tương tự ∆BIM~∆BIA(g.g)=> = (4) BK BA nên BI = TI (5) Do AI là phân giác góc BAT BA TA BM TE Từ (3), (4), (5) => = Hay KT.BM = KB.ET Mà BN=BM nên KT.BN = KB.ET BK TK = 900 Do A, B và c) Vì năm điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên đường tròn nên AKB không đổi mà BK = AB.cos ABt nên K cố tia Bt cố định => tia BK cố định và AB ; ABt định Nên các đường thẳng NE luôn qua điểm K cố định Lop10.com (8)