Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và có bao nhiêu học sinh đi tham quan, biết rằng mỗi ô tô chỉ chở được không quá 32 học sinh.. Điểm M di động trên tia đối của tia CD M không trùng với C..
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
Tỉnh ninh bình năm học 2008 - 2009
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang)
Câu 1 (3,5 điểm):
Cho biểu thức 15 11 3 2 2 3
P
1 Rút gọn biểu thức P
2 Tìm giá trị của x để 1
2
P =
Câu 2 (3,5 điểm):
Cho hai số thực a b, thoả m)n điều kiện
2
a b ab
>
=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b Q
a b
+
=
ư
Câu 3 (4,0 điểm):
Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ô tô Người ta nhận thấy rằng, nếu mỗi ô tô chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên các ô tô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiêu ô tô và có bao nhiêu học sinh đi tham quan, biết rằng mỗi ô tô chỉ chở được không quá 32 học sinh
Câu 4 (5,5 điểm):
Cho hình vuông ABCD Điểm M di động trên tia đối của tia CD (M không trùng với C)
Đường thẳng vuông góc với AM tại A cắt đường thẳng BC tại N
1 Chứng minh rằng tam giác MAN vuông cân
2 Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng MN Chứng minh rằng ba điểm D, B, E
thẳng hàng
3 Xác định vị trí của điểm M sao cho tam giác EAC là tam giác đều
Câu 5 (3,5 điểm):
1 Cho tam giác có độ dài các cạnh bằng a b c, , thoả m)n điều kiện 2 2 2
a +b ≤c Gọi p r h, , c lần lượt là nửa chu vi, độ dài bán kính đường tròn nội tiếp, độ dài đường cao thuộc cạnh c của tam giác Chứng minh rằng 2
5
c
r
h >
2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x y; ) thoả m)n : 2
x ư +y x+ +y=
3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn Gọi M là điểm di động trên cung BC không
chứa điểm A Xác định vị trí của điểm M sao cho 2008 MB + 2009 MC đạt giá trị lớn nhất
-Hết -
Họ và tên thí sinh:……….SBD: ……….Số CMND: ………
Chữ ký giám thị 1:……… Chữ ký giám thị 2: ………
đề thi chính thức
Trang 2Hướng dẫn chấm thi Môn Toán Tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên năm học 2008-2009
( Hướng dẫn chấm thi gồm 4 trang)
-Dưới đây chỉ là HD tóm tắt của một cách giải, bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được điểm tối đa
-Bài làm của học sinh đúng đến đâu các giám khảo cho điểm đến đó
-Học sinh được sử dụng kết quả của câu trước để áp dụng cho câu sau
-Trong bài hình nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm
-Với các cách giải khác với đáp án tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không vượt quá số điểm dành cho câu hoặc phần đó
-Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được thống nhất trong tổ chấm và chỉ cho
điểm theo sự thống nhất trong tổ chấm
-Điểm toàn bài là tổng số điểm các phần đ) chấm,không làm tròn
II Đáp án và biểu điểm:
Câu 1
(3.5 đ)
1 Điều kiện x≥ 0; x≠ 1
Ta có (15 11) (3 2)( 3) (2 3)( 1)
P
=
= 5 7 2 ( 1)( 5 2) ( 5 2)
x
x
+
0.5 0.5
0.75 1.75
Câu 2
(3.5 đ) Ta có:
x y≥ xư y ≥ ↔x+y≥ x y
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x=y
Ta có: 2 ( ). 4 4
a b
ư
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:
2
a
a b
a b
b ab
a
a b
b
= ư +
= ư
= ư ư
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 4
x y≥ xư y ≥ ↔x+y≥ x y sau đó mới áp dụng, n ếu HS không CM thì trừ 0.5 điểm phần này)
1.0 0.5 0.5
1.0 0.5
Trang 3Câu 3
(4.0đ)
Gọi x là số ô tô ban đầu
Sau khi bớt đi một ô tô thì số ô tô còn lại là (x-1); Điều kiện x>1;x∈N
Do mỗi ô tô chỉ chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh nên số học sinh đi
tham quan là (22x+1)
Số học sinh có trong mỗi ô tô của (x-1) ô tô là: 22 1
1
x x
+
ư
Theo giả thiết bài toán ta có
*
22 1 1
22 1
32 1
x N x
x x
+
∈
ư
+
Mặt khác ta có: 22 1 22( 1) 23 22 23
Do đó 22 1
1
x x
+
ư
( 1)
x
ư ,hay (x-1) là ước của 23
• x-1=1↔x= 2 Khi đó 22 1
1
x x
+
ư =45>32 nên không thoả m)n
• x-1=23↔x= 24.Khi đó 22 1
1
x x
+
ư =23<32 nên thoả m)n Vậy Số ô tô ban đầu là 24
Số học sinh đi tham quan là 529
0.25
0.5 0.5 0.75
0.5 0.5
0.25
0.25 0.25 0.25
Câu 4
(5.5 đ)
( Học sinh vẽ hình đúng cho 0.25 đ)
a Ta có: Tứ giác MCAN có 0
90
MAN =MCN = nên tứ giác MCAN nội tiếp
được đường tròn đường kính MN
45
AMN = ACN = ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) Mặt khác theo giả thiết: 0
90
MAN =
Vậy tam giác MAN vuông cân đỉnh A
0.5
0.5 0.5 0.25
D
E
N
Trang 4b Trong tam giác vuông CMN có ME là trung tuyến nên 1.
2
Trong tam giác vuông AMN có AE là trung tuyến nên 1.
2
Từ đó suy ra CE=AE, hay E thuộc đường trung trực của AC
*.Do ABCD là hình vuông nên DA=DC; BA=BC nên B, D cũng thuộc vào
đường trung trực của AC
Do đó ba điểm D, B, E thẳng hàng
0.5 0.5
0.5
0.5
c Gọi a là độ dài các cạnh của hình vuông
Do tam giác EAC cân đỉnh E nên: ∆EAC đều khi và chỉ khi EA=AC=a 2
* Trong tam giác vuông AMN: MN=2AE=2a 2
Khi đó AM= 2a
* Trong tam giác vuông DAM ta có: DM2=AM2-AD2=4a2-a2=3a2
Hay DM=a 3
Kết luận: Tam giác EAC là tam giác đều khi M thuộc tia đối của tia CD và
DM=DC 3
0.5 0.5 0.5
Câu 5 1.( 1.5 điểm)
Gọi S là diện tích tam giác Học sinh phải chứng minh S=p.r ( p: nửa chu vi của tam giác; r : Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)
Mặt khác S=1 .
2 c h c nên
2
c
h = p =a+ +b c :
2
2 1
5
c
a b c
+ +
Vậy ta có điều phải chứng minh
( N ếu học sinh không chứng minh S=p r thì trừ đi 0.5 điểm)
2 ( 1,0 điểm):
Ta có:
2
(2009 ) 5 0 ( 2 1) 2007( 1) ( 1) 2003 ( 1) 2007( 1) ( 1) 2003
( 1) ( 1) 2007 2003
Từ phương trình trên suy ra (x-1) là ước của 2003 Mặt khác 2003 là số
nguyên tố nên xẩy ra bốn khả năng sau
* xư = ↔ 1 1 x= 2 →y= ư 4009
* xư = ư ↔ 1 1 x= 0 →y= ư 5
* xư = 1 2003 ↔x= 2004 → y= ư 5
* xư = ư 1 2003 ↔x= ư 2002 →y= ư 4009
V ậy có 4 cặp số nguyên (x;y) thoả m)n là:
(2; - 4009);(0; - 5); (2004; -5);(- 2002; - 4009)
0.5 0.25
0.5 0.25
0.5
0.5
Trang 53 (1.0 điểm)
Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho 2008
2009
MC
ME =
Khi đó CME=BAC ( vì cùng bù với BMC)→ ∆CME có các góc không đổi
CEM
→ không đổi →3 điểm B, C, E nằm trên một đường tròn cố định
Ta dựng đường thẳng vuông góc với BC tại C, cắt đường tròn ngoại tiếp
tam giác BCE tại F Khi đó BF là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam
giác BCE →F là điểm cố định
.Gọi M0 là giao điểm thứ 2 của BF và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Suy ra M0 là điểm cố định
Ta có 2008 MB + 2009 MC=2008.MB + 2008 ME=2008 BE≤2008BF
D ấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi M≡ M0
Vậy 2008.MB + 2009.MC đạt giá trị lớn nhất khi M ≡ M0
0.25 0.25
0.25
0.25
A
MO
M
F
E