Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại góc tọa độ O.. Viết phương trình tiếp t[r]
(1)CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ A HÀM SỐ BẬC BA VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KIẾN THỨC CƠ BẢN y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) Þ y ' = 3ax + 2bx + c æ b æ b öö ÷ ÷ ÷ ÷ Đồ thị nhận điểm uốn I ç ç,y ç làm tâm đối xứng ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç a a è ø è ø Có cực trị CÑ CÑ M' M U U M' CT CT M Không có cực trị M M U U M' M' I Tính đơn điệu 1) Hàm số đồng biến " x Î ¡ Hàm số nghịch biến " x Î ¡ Û y ' = 3ax + 2bx + c ³ " x Î ¡ Û y ' = 3ax + 2bx + c £ " x Î ¡ 2) Cho D là khoảng nửa khoảng trên ¡ : (- ¥ , a ), (b, + ¥ ), (a, b) ìï a > Û ïí ïï D y ' î ìï a < Û ïí ïï D y ' î £ 0 £ Hàm số đồng biến trên D Û y ' = 3ax + 2bx + c ³ " x Î D Û m ³ g (x ) " x Î D Û m ³ max g (x ) xÎ D Hoặc có thể đưa dạng m £ g (x ) " x Î D Û m £ g (x ) xÎ D Lop10.com (2) II Cực trị 1) Tính nhanh cực trị: Chia y cho y’ ta được: y = y ' p (x ) + Ax + B Nếu (x 0; y0 ) là điểm cực trị thì y0 = y ' (x )p (x ) + Ax + B = Ax + B Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là d : y = Ax + B 2) Hàm số bậc ba không có cực trị, có hai cực trị Hàm số không có cực trị Û Dy' £ Hàm số có cực trị (có hai cực trị) Û Dy' > ìï a > 3) Hàm số có cực trị cho hoành độ cực đạt nhỏ hoành độ cực tiểu Û ïí ïï D > î ìï a < Hàm số có cực trị cho hoành độ cực đạt lớn hoành độ cực tiểu Û ïí ïï D > î 4) Hàm số đạt cực trị x = x Û y ' (x ) = ìï y ' (x ) = ï Hàm số đạt cực đạt x = x Û í ïï y '' (x ) < ïî ìï y ' (x ) = ï Hàm số đạt cực tiểu x = x Û í ïï y '' (x ) > ïî 5) Hàm số đạt cực trị x1 , x2 cho < x1 < x2 (cực trị có hoành độ dương) a) x1 < x2 < (cực trị có hoành độ âm), b) x1 < < x2 (hoành độ cực trị trái dấu, điểm cực trị nằm hai phía trục oy) c) x1 < a < x , d) x1 , x2 thỏa biểu thức nào đó ( sử dụng Viet: x1 + x2 = - x1 < x < a , a < x1 < x 2b c , x1x2 = ) 3a 3a 6) Trung điểm hai cực trị thuộc trục Ox Û Khoảng cách từ hai điểm cực trị đến trục ox là Û Điểm đối xứng đồ thị thuộc Ox Û Điểm uốn thuộc trục Ox Hướng dẫn: ìï a ¹ Để hàm số có hai cực trị thì y’ = có hai nghiệm phân biệt Û ïí ïï D > î æ b æ b öö æ bö ÷ ÷ ÷ ç çç÷ ÷ ÷ Trung điểm hai cực trị ç ç, y , điểm này thuộc Ox y = ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ç ø÷ è 3a ø è 3a è 3a ÷ ø 7) Có hai cực trị đối xứng qua I (x 0; y0 ) ( hai cực trị cách điểm I ) Û I (x 0; y0 )là trung điểm hai cực trị Hướng dẫn: ìï a ¹ Để hàm số có hai cực trị thì y’ = có hai nghiệm phân biệt Û ïí ïï D > î æ bö b ÷ ÷ I (x 0; y0 )là trung điểm hai cực trị khi: = x và y ç ç÷= y0 ç 3a è 3a ÷ ø Lop10.com (3) 8) Hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục Ox Hướng dẫn: y(x1) O y(x2) x1 x2 ìï a ¹ Hàm số có hai cực trị ïí ïï D > î Để hai điểm cực trị nằm hai phía trục Ox thì y (x1 )y (x2 ) < Trong đó x1 , x2 là nghiệm phương trình y ' = 3ax + 2bx + c = 2b c , x1x2 = 3a 3a Chú ý: y1 = y ' (x1 )p (x1 ) + Ax1 + B = Ax1 + B tức là x1 + x2 = - y2 = y ' (x2 )p (x2 ) + Ax2 + B = Ax2 + B ìï a ¹ ïï 9) Hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trục Ox Û ïí D > ïï ïï y (x1 )y (x2 ) > x2 O x1 î y(x1) y(x1) y(x2) O x1 y(x2) x2 ìï a ¹ ïï ïï D > 10) Hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trên trục Ox Û ïí ïï y (x1 )y (x2 ) > ïï ïïî y (x1 ) + y (x2 ) > y(x1) y(x2) ìï a ¹ ïï O ïï D > 11) Hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trên trục Ox Û ïí ïï y (x1 )y (x2 ) > ïï x x O ïïî y (x1 ) + y (x2 ) < y(x1) x1 x2 y(x2) Lop10.com (4) III Sự tương giao 1) Đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt (tức phương trình y = có nghiệm pb) Û Hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục Ox ìï a ¹ ïï Û ïí D > ïï ïï y (x1 )y (x2 ) < î Chú ý: Nếu y = Û (x - x ) Ax + Bx + C = ( nhẩm nghiệm) ( ) Thì phương trình y = có nghiệm pb Û Ax + Bx + C = có nghiệm pbiệt khác x 2) (C) cắt Ox điểm phân biệt cách Trung điểm hai cực trị thuộc trục Ox æ bö ÷ ÷ y’ = có nghiệm phân biệt và y ççç= ÷ ÷ è 3a ø 3) Đồ thị hàm số cắt Ox điểm Û Hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trục Ox không có cực trị ìï a ¹ ïï ìï a ¹ ï ïí Û íD > ïï ïï D £ î ïï y (x1 )y (x2 ) > î Chú ý: Nếu y = Û (x - x ) Ax + Bx + C = ( nhẩm nghiệm) ( ) Thì pt y = có nghiệm Û Ax + Bx + C = vô nghiệm có nghiệm kép x 4) Đường thẳng d qua M (x 0; y0 ) Î (C )có hệ số góc k cắt (C ) điểm phân biệt Hướng dẫn: Đường thẳng d có phương trình d : y = k (x - x ) + y0 ( ) Xét phương trình ax + bx + cx + d = k (x - x ) + y0 Û (x - x ) Ax + Bx + C = Để (C) cắt d điểm phân biệt thì phương trình g (x, k ) = có nghiệm phân biệt khác x ìï a ¹ ïï g Û ïí D g > ïï ïï g (x ) ¹ î Lop10.com (5) BÀI TẬP Tính đơn điệu 1) Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên tập xác định ĐS: - y = x3 -3mx2 + (m + 2)x – £ m£ 2) Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên tập xác định (m - 1)x + mx + (3m - 2)x + y= ĐS: m £ 3) Tìm m để các hàm số: a) y = - x + (m - 2)x - mx + 3m , nghịch biến trên khoảng (1 ; + ¥ ) ĐS: m £ 3 b) y = x + 3x2 + (m – 1)x + 4m, nghịch biến trên khoảng (-1 ; 1) ĐS: m £ - Cực trị 1) Xác định m để hàm số có CĐ và CT : y = x3 + mx2 + 3mx + Đáp số: m < 0, m > 2) [ĐHBK_2000] Tìm m để hàm số không có cực trị y = mx3 + 3mx2 – (m - 1)x – Đáp số: m 1/4 3) [ĐH Huế D_97] Cho hàm số y = -(m2 + 5m)x3 + 6mx2 + 6x – Với giá trị nào m thì hàm số đạt CĐ x = Đáp số: m = 4) Cao Đẳng 2009 Khối A, B, D Cho hàm số y = x - (2m - 1)x + (2 - m )x + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2 Tìm các giá trị m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị hàm số (1) có hoành độ dương 5) Tìm m để hàm số y x (m 3) x 4(m 3) x (m m) đạt cực trị x1, x2 thỏa mãn điều kiện - < x1 < x2 - < m< - 6) [ĐHQG TPHCM A_01] Cho hàm số y = 2x3 + 3(m - 3)x2 + 11 – 3m Tìm m để đồ thị hàm số có CĐ và CT Lập PT đường thẳng qua CĐ và CT Đáp số: m 3, y = -(m - 3)2x + 11 – 3m 7) Tìm m để hàm số f ( x) x mx x có đường thẳng qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng y x Đáp số: 45 8) Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + (2m + 1)x + – m Xác định m để hàm số có CĐ và CT CMR đó đường thẳng nối CĐ, CT luôn qua điểm cố định Đáp số: m < 0, m > 1; y = - (m - 1)x + (10 - m), điểm cố định A(-1/2; 3) 3 x 2m 1 x m 3m x Xác định m để 9) [Đại học Đà Nẵng, 2000] Cho hàm số y Đáp số: m = ± đồ thị hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía trục tung Đáp số: £ m £ 10) [Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997] Cho hàm số y x ax 12 x 13 (a là tham số) Với giá trị nào a thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách trục tung Đáp số: a Lop10.com (6) 11) Cho hàm số y x x m x m Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu 17 Đáp số: m 12) Cho hàm số y = 4x3 – mx2 – 3x + m CMR m hàm số luôn có CĐ, CT đồng thời hoành độ các điểm CĐ, CT luôn trái dấu Đáp số: xCĐ.xCT = -1/4 < 13) Đại Học 2007 Khối B Cho hàm số y = - x + 3x + m - x - 3m - (1) ( ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm các giá trị m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách góc tọa độ O 14) Cho hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x – Tìm m để hàm số đạt CĐ, CT x1, x2 và x1 + x2 = Đáp số: m = -1 x - mx - x + m + Tìm m để hàm số có khoảng cách giửa hai điểm cực trị là nhỏ Đáp số:m = 16) [ĐH Huế A_01] Xác định m để hàm số y = x3- mx2 + m3 có các điểm CĐ, CT đối xứng 2 qua đường thẳng y = x 15) [HVQHQT Khối D năm 2001].Cho ham số f (x ) = Đáp số: m (có CĐ, CT), m = Sự tương giao ( ) 1) Cho hàm số y = x - 3(m + 1)x + m + 4m + x - 4m (m + 1) Tìm m để đồ thị hàm số cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ lớn 1 Đáp số: < m ¹ 2) [ĐHKT 98] Cho hàm số y = x + 3x + , đường thẳng d qua A (- 3;1)và có hệ số góc k Xác định k để đường thẳng d cắt đồ thị điểm phân biệt Đáp số: < k ¹ 3) Đại Học 2006 Khối D Cho hàm số y = x - 3x + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Gọi d là đường thẳng qua điểm A (3;20) và có hệ số góc là m, tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt 15 Đáp số: < m ¹ 24 4) Đại Học 2008 Khối D Cho hàm số y = x - 3x + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1;2) với hệ số góc k ( k > - ) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB Lop10.com (7) B HÀM SỐ BẬC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KIẾN THỨC CƠ BẢN y = ax + bx + c (a ¹ 0) Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Có cực trị y M' M CÑ CT CÑ M' CT y CÑ M CT Có cực trị CÑ M' M M M' CT I Cực trị y ' = 4ax + 2bx , y ' = Û 4ax + 2bx = ( ) Û 2x 2ax + b = éx = Û ê ê2ax + b = ê ë éx = ê Û ê2 êx = - b ê 2a ë (1) (2) 1) Tính nhanh cực trị và parabol qua ba điểm cực trị Chia y cho y’ ta được: y = y ' p (x ) + Ax + Bx + C Nếu (x 0; y0 )là điểm cực trị thì y0 = Ax 02 + Bx + C Vậy đường cong qua các điểm cực trị là parabol y = Ax + Bx + C 2) Hàm số có cực trị có cực trị Hàm số có cực trị Û - b £ 2a Lop10.com (8) Hàm số có ba cực trị Û - b > 2a 3) Hàm số có cực tiểu không có cực đại Û Đồ thị là parabol quay lên ìï a > ï Û ïí b ïï £ ïïî 2a 4) Hàm số có cực đại không có cực tiểu Û Đồ thị là parabol quay xuống ìï a < ï Û ïí b ïï £ ïïî 2a ìï a > ï 5) Hàm số có hai cực tiểu, cực đại Û ïí b ïï > ïïî 2a ìï a < ï 6) Hàm số có hai cực đại, cực tiểu Û ïí b ïï > ïïî 2a II Sư tương giao Số giao điểm đồ thị và trục Ox là số nghiệm phương trình ax + bx + c = Đặt t = x ³ , đó phương trình (1) tương đương: at + bt + c = (2) (1) Ta thấy mổi nghiệm t > phương trình (2) cho ta hai nghiệm x = ± t phương trình (1) 1) Đồ thị cắt Ox điểm phân biệt Û (1) có nghiệm phân biệt Û (2) có nghiệm dương phân biệt 2) Đồ thị cắt Ox điểm Û (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm dương ét < < t ê1 Û ê êt = t = - b > ê 2a ë 3) Đồ thị cắt Ox điểm Û (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm 0, nghiệm dương Û = t1 < t 4) Đồ thị cắt Ox điểm Û (1) có nghiệm Û (2) có nghiệm ét < t = ê1 Û ê êt = t = - b = ê 2a ë 5) Đồ thị không cắt Ox Û (1) không có nghiệm Lop10.com (9) Û (2) vô nghiệm có hai nghiệm âm éD < Û ê êt < t < ê ë1 6) Đồ thị cắt Ox bốn điểm lập thành cấp số cộng Û (1) có bốn nghiệm x1 < x2 < x < x lập thành cấp số cộng (tức x1 + x = 2x2 , x2 + x = 2x ) Û (2) có hai nghiệm dương < t < t và Từ đó - t + t1 = - t1 Û t < - t1 < t1 < t lập thành cấp số cộng t = t1 ìï ïï t = 9t ïï ïï b Giải hệ phương trình: í t + t = ïï a ïï c ïï t 1t = a ïî Lop10.com (10) BÀI TẬP 1) Đại học cảnh sát 2000 Tìm m để hàm số y = x - mx + có cực tiểu mà không có cực đại Đáp số: 2) Đại học kiến trúc 1999 Tìm k để hàm số y = kx + (k - 1)x + - 2k có điểm cực trị Đáp số: k £ k ³ 3) Đại Học 2002 Khối B Cho hàm số y = mx + m - x + 10 ( ) (1) Khảo sát biến thiên hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị 4) HVQHQT 1997 Xác định m để hàm số y = x - 2mx + 2m + m có cực đại cực tiểu lập thành tam giác Đáp số: m = 3 5) Dự bị 2004 Cho hàm số y = x4 - 2m2x2 + 1 Khảo sát và vẽ đồ thị với m=1 Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị là đỉnh tam giác vuông cân Đáp số: 6) ĐHSP II 1997 Cho hàm số y= (1-m) x4-mx3 +2m-1 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu mà tổng bình phương các hoành độ 27 Đáp số: Sự tương giao 1) ĐHCĐ dự bị.2002 Cho hàm số y=x4 –mx2+ m -1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m=8 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục ox điểm phân biệt Đáp số: 2) Cho (C m ) : y = x - 2(m + 1)x + 2m + Tìm m để (C m )cắt Ox bốn điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Đáp số: m = m = - 3) Đại Học 2009 Khối D Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m = Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ Đáp số: 4) ĐHQG TPHCM 1996 Cho Cm : y= x4 -2 m x2 + m3-m2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = Tìm m để hàm số tiếp xúc với trục hoành điểm phân biệt Đáp số: 5) ĐH Huế 2000 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= x4-5x2+4 Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị đoạn thẳng Đáp số: 10 Lop10.com (11) C HÀM NHẤT BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KIẾN THỨC CƠ BẢN y ax b ad - bc Þ y' = cx d (cx + d ) Đồ thị đối xứng qua giao điểm I hai tiệm cận M' M N' N I I N N' M M' I Tính đơn điệu Hàm số luôn đồng biến luôn nghịch biến trên khoảng xác định nên nên không có cực trị và gọi là hàm biến ● Nếu ad - bc > hàm số đồng biến trên khoảng xác định ● Nếu ad - bc < hàm số nghịch biến trên khoảng xác định II Tiệm cận 1) Tiệm cận đứng x = - d a , tiệm cận ngang y = c c 2) Tích khoảng cách từ điểm thuộc đồ thị (C ) đến hai tiệm cận là không đổi III Tích chất tiếp tuyến 1) Nếu M thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt hai đường tiệm cận A và B thì: ● M là trung điểm AB ● Tam giác MAB có diện tích không đổi 2) Nếu M thuộc hai đường tiệm cận thì qua M kẻ tiếp tuyến với (C) IV Sự tương giao Giao điểm đồ thị C : y Xét phương trình ax b và đường thẳng d : y = kx + m cx d ax + b = kx + m Û ax + b = (kx + m )(cx + d ) cx + d c không là nghiệm phương trình trên) d Û Ax + Bx + C = () (x = ● ● ● (C) cắt d điểm phân biệt (C) cắt d điểm (C) không cắt d Û () có hai nghiệm phân biệt Û () có nghiệm Û () vô nghiệm V Điểm đặt biệt Hai điểm thuộc hai nhánh cho khoảng cách hai điểm đó là ngắn 11 Lop10.com (12) BÀI TẬP 1) Cho hàm số y = x- x+1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) b) Chứng minh tích khoảng cách từ điểm thuộc đồ thị (C) đến hai tiệm cận là không đổi c) Chứng minh tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận A, B thì M là trung điểm AB và diện tích tam giác MAB không đổi d) N là điểm thuộc tiệm cận đứng, chứng minh qua N kẻ tiếp tuyến với (C) 2x + 2) Cho hàm số y = x+1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b) Chứng minh (C) luôn cắt d : y = 2x + m hai điểm A, B xác định m để AB ngắn c) Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh (C) cho khoảng cách MN ngắn d) Tìm M thuộc (C) để MI ngắn nhất, trường hợp này tiếp tuyến (C) M vuông góc với MI e) Gọi (D) là đường thẳng có phương trình y = ax + b với a ¹ Tìm điểu kiện b để tồn a cho (D) tiếp xúc với (C) 3) Cao Đẳng 2008 Khối A, B, D Cho hàm số y = x x- 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm m để đường thẳng d : y = - x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt 4) CĐSP TV khối A năm 2005 2x + Cho hàm số y = x+1 Chứng minh d : y = 2x + m luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để AB ngắn I Đáp số: m = 5) CĐSP TPHCM Khối A năm 2004 x+1 Cho hàm số y = (C ) x- a) Xác định m để d : y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho tiếp tuyến A và B song song b) Tìm m thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là ngắn Đáp số: a) m = - , b) x = ± 12 Lop10.com (13) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ C : y f x I KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Phương trình tiếp tuyến M(x0 , y0 )(C) () : y = f ’(x0)(x-x0) + y0 b) Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y ax b o o Phương trình tiếp tuyến có dạng (): y = f ’(x0)(x-x0) + y0 Tiếp tuyến () song song với đường thẳng d : f ’(x0) = a Giải phương trình tìm x0 suy y0 ? vào phương trình ii) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y ax b o o c) Phương trình tiếp tuyến có dạng () : y = f ’(x0)(x-x0) + y0 Tiếp tuyến () vuông góc với đường thẳng d : f ’(x0) a= –1 Giải phương trình tìm x0 suy y0 ? vào phương trình Phương trình tiếp tuyến qua A (xA,yA) o Phương trình tiếp tuyến có dạng () : y = f ’(x0)(x-x0) + y0 o Đường thẳng () qua A(xA; yA) khi: yA= f ’(x0)(xA-x0) + f(x0) Giải phương trình tìm x0 suy y0 ? vào phương trình f x g x d) Điều kiện tiếp xúc hai đồ thi hàm số C1 : y f x và C2 : y g x là f ' x g ' x Từ đó ta có cách viết phương trình tiếp tuyến qua A (xA,yA) sau: Cách 2: o Phương trình đường thẳng qua A (xA,yA) có dạng (D ) : y = k (x - xA ) + yA o tiếp xúc với (C) và hệ sau có nghiệm ìï f (x ) = k (x - x ) + y ï A A í ïï f ' (x ) = k ïî Giải hệ phương trình tìm k ? vào phương trình Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x điểm M 3;19 Đáp số: y 24 x 53 Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x Đáp số: y x Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hsố y x2 biết tiếp tuyến qua A 6;5 x 2 Đáp số: y x , y x 13 Lop10.com (14) BÀI TẬP 1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x , biết : a) Tiếp điểm có hoành độ x = 2 b) Tiếp tuyến qua A ; 1 3 c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y x Đáp số: 2) a) y 24 x 53 , b) y 3 x , y 1 , c) y x 15 ; y x 17 Cho đồ thị hàm số C : y x x a) Tìm phương trình đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) 1; b) Tìm đường thẳng tiếp xúc với (C) và qua A 1; 3) c) Tìm đường thẳng vuông góc với y x và tiếp xúc với (C) Đáp số: a) y x , b) y 2 x ; y ; y x 1 , c) y x 27 x2 Cho hàm số y có đồ thị là (C) x 2 a) Lập phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm nó với hai trục tọa độ b) Tìm đường thẳng tiếp xúc với (C) và qua A 6;5 c) Tìm đường thẳng song song với d : y 4 x và tiếp xúc với đồ thị (C) Đáp số: a) y x ; y 4) 1 x , b) y x ; y x , c) y 4 x 17 ; y 4 x 4 Đại Học 2008 Khối B Cho hàm số y = 4x - 6x + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó qua điểm M (- 1; - 9) Đáp số: y = 24x + 15 , 5) y= 15 21 x4 Đại Học 2005 Khối D m (*) x x + 3 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m = Gọi (C m ) là đồ thị hàm số y = Gọi M là điểm thuộc (C m )có hoành độ – Tìm m để tiếp tuyến (C m ) điểm M song song với đường thẳng 5x - y = 6) Đáp số: m = Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – Tìm M đồ thị (C) hàm số đã cho cho tiếp tuyến M qua gốc tọa độ O Đáp số: 1;12 7 Chứng minh từ A ; có thể vẽ hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị hàm số 2 y x2 x 7) 14 Lop10.com (15) 8) 9) Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + Tìm m để các tiếp tuyến đồ thị hàm số A(1;0), B(-1;0) vuông góc Đáp số: m ; m 4 Cho hàm số y x x x C a) Chứng minh (C) không có hai điểm nào mà đó hai tiếp tuyến vuông góc b) Tìm k để đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y kx 10) Cho hàm số y x x mx Cm a) Tìm m để Cm cắt đường thẳng y = ba điểm A 0;1 và B, C b) Tìm m để tiếp tuyến B và C vuông góc 65 b) m 11) Cho hàm số y x mx Cm Đáp số: a) m (Phạm An Hòa – 339 ) Tìm m để Cm cắt đường thẳng y x ba điểm phân biệt A 0;1 , B , C cho tiếp tuyến B và C vuông góc Đáp số: m 12) Tìm điểm trên trục trung mà đó có thể kẽ ba tiếp tuyến với đồ thị hàm số C : y x x Đáp số: A 0;1 13) Cho hàm số y x x x C ( TT – LHĐ – 152 ) Chứng minh từ điểm trên đương thẳng x = có thể kẻ tiếp tuyến với (C) 14) Cho hàm số y x x C ( ĐH Nông Lâm 2001) Tìm điểm trên ox mà từ đó kẻ tiếp tuyến với (C) đó có tiếp tuyến vuông góc Đáp số: ; 27 x 1 15) Cho hàm số y C ( TT – LHĐ – 178 ) x 1 Tìm điểm trên oy mà đó kẻ tiếp tuyến với (C) Đáp số: 0; 1 16) Cho hàm số y x x C ( TT – LHĐ – 153 ) Tìm điểm trên đường thẳng y = mà từ đó kẻ tiếp tuyến với (C) Đáp số: A a;2 với 1 a v a 3m 1 x m m 17) Cho hàm số y Cm xm Tìm m để tiếp tuyến đồ thị giao điểm đồ thị với trục hoành song song với đường thẳng y x 10 Viết phương trình tiếp tuyến đó Đáp số: m 1 , A 1; , y x ; 3 m , B ;0 , y x 5 15 Lop10.com (16) 18) Cho hàm số y 1 m x mx 2m Cm Tìm m để Cm nhận đường thẳng y x làm tiếp tuyến điểm có hoành độ x = 19) Cho hàm số y x m x 1 (Học Viện Quân Y 1997) a) Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm Cm và trục oy b) Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn hai trục tọa độ tam giác có diện tích Đáp số: a) y mx m b) m , m 7 20) Đại Học 2007 Khối D 2x Cho hàm số y = x+1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B và tam giác OAB có diện tích 21) Đại Học 2009 Khối A x+2 Cho hàm số y = (1) 2x + Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân góc tọa độ O 22) Cho hàm số y x x x C (Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội 1998) Chứng minh tất các tiếp tuyến (C) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc nhỏ 23) Đại Học 2004 Khối B Cho hàm số y = x - 2x + 3x (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến D đồ thị hàm số (1) điểm uốn, chứng minh D là tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) có hệ số góc nhỏ 16 Lop10.com (17)