Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP -
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011
- HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI DỰ BỊ MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm biểu điểm gồm có 08 trang)
I Hướng dẫn chung
1) Nếu học sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẩn chấm phải thống thực tổ chấm
II Đáp án thang điểm
Câu Đáp án Điểm
Câu
Giải phương trình 3x3+x2 + 2x 1− = 5x3+5x (1) 3đ • Ta có: (1)⇔ x 3x 12( + +) 2x 1− = (x2+1 5x) (2)
• Điều kiện:
1 x
3
3x 1 1
2x x x
2
5x x 0
≥ −
+ ≥
− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
≥
≥
• Vì x
2
≥ nên viết lại (2) dạng
x 3x 1+ + 2x 1− = (x2+1 5x) (3) • Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki cho hai dãy
( )
( )
x ; 3x 1; 2x 1+ −
ta x 3x 1+ + 2x 1− ≤ (x2+1 5x) (4) • Từ (3) suy (4) có dấu bằng, ta có
( )( )
3 2
x 2x 3x 2x x 3x 2x x x
1
x x
2
− = + ⇔ − − − =
⇔ + − − =
± ⇔ = − ∨ = • Do điều kiện x
2
≥ nên nghiệm phương trình (1) x + = • Vậy phương trình cho có nghiệm x
2 +
=
0.5
1.0
1.0
0.5
Câu Giả sửđiểm O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác khơng ABC, M trọng tâm tam giác Chứng minh điều kiện cần đủđểđường thẳng OG vng góc với
đường trung tuyến CC1
2 2
a +b =2c
(2)Trang
c
a b m
φ
M C1
O A
B C
• Giả sử m=C M1 ϕ =C MO 01 ( ≤ ϕ ≤1800), từ giả thiết toán ta suy
được O≠M MC 2C M= 1 Áp dụng định lý côsin vào tam giác C MO1 CMO ta có:
2 2
1 1
2 2
2
1
OC OM C M 2.OM.C M.cos
BO CO OM MC 2.OM.MC.cos
OM 4C M 4.OM.C M cos
= + − ϕ
= = + + ϕ
= + + ϕ
• Do đó: BC12 =BO2−OC12 =3C M1 2+6.OM.C M cos1 ϕ
⇒ c2 =4BC12 =12m2 +24.OM.C M.cos1 ϕ (1) • Ta lại có:
2
2 2
c
c 18m 2m a b
2
= = + − (hệ thức trung tuyến)
2
2 2 c
a b 18m
⇒ + = +
• Khi đó:
2 2 2
2
0
a b 2c 18m c
2 c 12m
cos (do (1)) 90
OM CC
+ = ⇔ =
⇔ = ⇔ ϕ = ⇔ ϕ =
⇔ ⊥
• Vậy điều kiện cần đủđểđường thẳng OM vng góc với đường trung tuyến CC1 a2+b2 =2c2
0.5
0.5 0.5 0.5
0.5
5.0
Câu Tìm tất nghiệm nguyên phương trình x3 = y3 +xy+13
3đ • Đặt y= x+a với a∈Z
13 ) ( )
(
3 = + + + +
a x x a x x
⇔(3 +1) + (3 +1) + +13=0 a
x a a x
a (1)
• Điều kiện để phương trình có nghiệm ) 13 )(
1 ( ) (
0⇔ + − + + ≥
≥
∆ a a a a
⇔(3a+1)(a3 −a2 +52)≤0 • Nếu a≤−4
[(3( 4) 1][( 4) ( 4) 52] 308 )
52 )(
1
( + − + ≤ − + − − − + = >
⇔ a a a
Nếu a=0 ⇔(3a+1)(a3 −a2 +52)=52>0
0.5
0.5
(3)Trang Nếu a≥1 ⇔(3 +1)( − +52)>0
a a a • Do a∈{−3; −2;−1}
• Kiểm tra trực tiếp, phương trình có nghiệm ngun a=−1 Khi (1) ⇔−2x2 +2x+12=0⇒x=−2 ; x=3
• Vậy phương trình có nghiệm ngun (−2;−3) (3; 2)
0.5
Câu Cho dãy số (un) xác định
∈ − = = = + + + ( ) 1 N n u u u u u u u n n n n n
Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số (un)
3đ
• Ta có un ≠0 ∀n∈N n n n n n n n n u u u u u u u
u
2 1
2 ⇒ = −
− = + + + + + + − + = + ⇒ + + 1 1 1
2 n n
n u u
u
• Đặt = +1 n n
u
v , ta có dãy (vn)được xác định
∈ − = = = +
+ ( )
2 2 N n v v v v v n n n
• Suy vn =a.r1n +b.r2n với r1 , r2 nghiệm phương trình đặt trưng − + =
x x ⇒vn =a.(1)n +b.(2)n
• Ta có
− = = ⇒ = + = + ⇒ = = 2 2 ` b a b a b a v v n n
v
2 5− = ⇒
• Vậy un n − = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu
Chứng minh
2 n n n
0 n n n
n
2 C C C
2C
2 n n
+ + −
+ + + + =
+ +
3đ
• Khai triển ( )1 x+ n 1+ =C0n 1+ +C x C x1n 1+ + 2n 1+ 2+C xn 13+ 3+ + C xn 1n n 1++ + • Sử dụng công thức: Cn 1k n 1Ckn
k
+ +
+ =
+ ta
( )1 x n 1 ( )n C x0n 1C x1n 1C xn2 C xnn n
2 n
+ +
+ = + + + + + + +
• Suy ra: ( )
n
0 2 n n
n n n n
1 x
1 1
C x C x C x C x
2 n n
+
+ + −
+ + + + =
+ +
• Cho x=2 ta có
2 n n n
0 n n n
n
2 C C C
2C
2 n n
+ + −
+ + + + =
+ + (đpcm)
0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 Câu
Cho số a,b,cthỏa mãn
2 , ,
0<a b c<
3 25 = + +bc ca
(4)Trang
5
1
5
5
1 ≥
− + − +
− a b c
• Theo điều kiện giả thiết, sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số
a+a+(5−2a)≥33 a2(5−2a)
125 27
5
a a ≥ − ⇒
• Suy ( )
125 27
1
5
5
1 2
c b a c
b
a+ − + − ≥ + +
−
• Ta có a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca • Suy
5 25 125
27 ) (
125 27
1
5
5
= =
+ + ≥
− + − +
− a b c ab bc ca
• Dấu = xảy
3 = = =b c a
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( )C : x2+y2−4x 4y 4− + =0
đường thẳng ( )d : x y 2+ − =0 Chứng minh (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm điểm C thuộc (C) cho tam giác ABC có chu vi lớn
3đ
• Xét hệ phương trình tạo (d) (C): {x2 y2 4x 4y
x y 2+ − =+ − 0− + = (1) Hệ phương trình (1) có hai nghiệm ( ) ( )2; ; 0;2 Suy (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B
• Phương trình (1) viết thành dạng (x 2− ) (2+ −y 2)2=4 (2) Từ dạng phương trình (2) ta có thểđặt tọa độ điểm C∈( )C dạng sau: C 2 sin ;2 cos( + α + α) với α ∈0; 2π)
• Ta có:
( )( )
ABC B.C.S
CV AB BC CA 2 8sin 8 cos
2 1 8sin 8 cos 2 2 sin
4
2 2
∆ = + + = + + α + + α
π
≤ + + + α + + α = + + α +
≤ + +
Dấu "=" xảy
8 8sin 8 cos
sin 4
4
+ α = + α
π
π ⇔ α =
α + =
• Vậy tam giác ABC có chu vi lớn C 2( + 2; 2+ 2)
0.5
0.5
0.5
0.5 0.5