TÝnh to¸n sao cho sè thuyÒn, sè ngêi l¸i thuyÒn ®Ó chë hÕt sè kh¸ch kh«ng thõa, kh«ng thiÕu ngêi trªn thuyÒn.[r]
(1)đề thi Ô-lim -pic huyện đức thọ Mụn Toỏn Lp
Năm học 2005-2006 (Thời gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1 Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
20 279−3 915 259 329 1256−3 39 1519
Bài 2. Thay dấu “ * ” chữ số thích hợp để 359** chia cho 5; 6; có số d
Bài 3 Một Đoàn khách 300 ngời du lịch tham quan thắng cảnh Vịnh Hạ Long Trong có ba loại thuyền để chở: Loại thứ ngời lái chở đợc 30 khách, loại thứ hai ngời lái chở đợc 30 khách, loại thứ ba ngời lái chở đợc 24 khách Tính tốn cho số thuyền, số ngời lái thuyền để chở hết số khách không thừa, khơng thiếu ngời thuyền Đồn dùng 11 thuyền 19 ngời lái Tính số thuyền loại ?
Bµi 4 Sè 250 viÕt hƯ thËp phân có chữ số ?
Bài 5 Tìm ƯCLN 77 7, (51 chữ só 7) vµ 777777
đề thi Ơ-lim -pic huyện đức th Mụn Toỏn Lp
Năm học 2005-2006 (Thời gian lµm bµi 120 phót)
Bµi 1. TÝnh 1 6+
1 11+
1
11.16+ + 96 101
Bµi 2. Tìm giá trị nguyên dơng x y, cho:
x+
1
y=
1
Bài 3 Tìm hai số dơng biết: tổng, hiệu tích chúng tỷ lệ nghịch với số 20, 140
Bài 4 Tìm x, y thoả mÃn: |x 1|+|x 2|+|y −3|+|x −4| =
(2)đề thi học sinh giỏi Mơn Tốn Lớp Năm học 2005-2006 (Thời gian làm 120 phút)
Bµi 1 Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - 6
Bµi 2 Cho x, y, z lµ số thực không âm Tìm giá trị nhỏ cña: x4 + y4 + z4 BiÕt x + y + z = 2
Bµi 3 Cho x, y, a, b số thực thoả m·n: x
4
a + y4
b =
x2+y2
a+b vàx
+y2=1 Chøng minh: x
2006
a1003+ y2006 b1003=
2 (a+b)1003
Bài 4 Cho a, b, c, số thực dơng Chứng minh bất đẳng thức: a+b
bc+a2+
b+c ac+b2+
c+a ab+c2 ≤
1
a+
1
b+
1
c
Bài 5. Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM = 2MA, nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng thẳng Bx vng góc với AB, Bx lấy điểm N cho BN =
2 AB Đờng thẳng MC cắt NA E, đờng thẳng BE cắt đờng thẳng AC F
a) Chøng minh AF = AM
(3)Môn toán lớp 8 năm học 2005-2006
Bài 1 (4 điểm)
Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - 6
Ta thấy: f( -2) = 0; f(3) = 0, nên f(x) có thừa số (x + 2)(x - 3), (2đ)
f(x) chia hÕt cho x2 - x - 6; => f(x) = (x + 2)(x - 3)( x2 + x + 1) (1®) (V× x2 + x + = x2 + 21
2 x + 4+
3
4 > 0) (1đ)
Bài 2 (4 điểm)
Cho x, y, z số thực không âm Tìm giá trị nhỏ của: x4 + y4 + z4 BiÕt x + y + z = 2
áp dụng công thức Buhiacopski ta cã: x+y+z¿4
¿ [(x+y+z)
2 ]2
[3(x+y+z)2]2 x
2
+y2+z2¿2
9¿ 27(x
4
+y4+z4) (2®) => 16≤27(x4+y4+z4) => x4+y4+z4≥16
27 (1®) Vậy giá trị nhỏ x4+y4+z4l16
27 DÊu b»ng xÈy vµ chØ x = y = z =
3 (1®)
Bài 3 (4 điểm)
Cho x, y, a, b số thực thoả mÃn: x
4
a + y4
b =
x2+y2
a+b vàx
+y2=1
Chøng minh: x 2006
a1003+ y2006 b1003=
2 (a+b)1003 Tõ gi¶ thiÕt =>
x2+y2¿2 ¿ ¿
x4 a+
y4 b =¿
(4)<=> bx2 - ay2 = <=> x
a =
y2
b =
x2+y2
a+b =
a+b (1®) <=>
a+b¿1003 ¿
x2006
a1003= y2006
b1003=
1
¿
<=>
a+b¿1003 ¿
x2006
a1003+ y2006
b1003=
2
¿
(§iỊu phải cm) (1đ)
Bài 4 (4 ®iĨm)
Chứng minh bất đẳng thức: a+b
bc+a2+ b+c ac+b2+
c+a ab+c2 ≤
1 a+ b+ c
Kí hiệu vế trái A vế phải B, xÐt hiÖu A - B a+b
bc+a2 −
1
a+ b+c ac+b2 −
1
b+ c+a ab+c2 −
1
c (0.5®)
= a
2+ab−bc− a2 a(bc+a2) +
b2
+bc−ac−b2 b(ac+b2
) + c2
+ac−ab− c2 c(ab+c2
) (0.5®) = b(a − c)
a(bc+a2)+
c(b −a)
b(ac+b2)+
a(c − b)
c(ab+c2) (0.5®)
Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a ≥ b ≥ c , b(a - c) 0, c(b - a) 0, a(c - b) (0.5đ)
a3 b3 c3 =>abc + a3 abc + b3 abc + c3 => b(a − c)
a(bc+a2)≤
b(a −c)
b(ac+b2) (0.5®) =>A - B b(a− c)
b(ac+b2)+
c(b − a)
b(ac+b2)+
a(c −b)
c(ab+c2) =
ab−ac
b(ac+b2)+
ac−ab
c(ab+c2
) (0.5®) = a(b − c)
b(ac+b2)−
a(b −c)
c(ab+c2
) (0.5đ) Mà
b(ac+b2)
c(ab+c2
) nªn A - B (§PCM) DÊu b»ng xÈy <=> a = b = c (0.5đ)
Bài 5. (4 ®iĨm)
Cho tam giác vng cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM = 2MA, nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa điểm C vẽ đờng thẳng Bx vng góc với AB, trên Bx lấy điểm N cho BN =
2 AB Đờng thẳng MC cắt NA E, đờng thẳng BE cắt đờng thẳng AC F
c) Chøng minh AF = AM.
d) Gọi H trung điểm EC, Chứng minh EH = BM
(5)AF NB=
AE EN AC NK=
AE EN }
⇒NBAF=AC
NK ⇒ AF AB
2
=AC
NK ⇒AF= AB2 NK(1)
AC BK=
AM MB =
1 2⇒
AC
KN+NB= 2⇒
AB KN+AB
2 =1
2 ⇒ AB
2 KN+AB=
2⇒4 AB=2 KN+AB⇒KN=
2AB(2) Tõ (1) vµ (2) => AF=AB
2 AB=
AB
3 AF=AM (ĐPCM)
b)Từ chứng minh suy ra: Δ AFB = Δ AMC => ABF = ACM mµ ABF + AFB = 1v => ACM + AFB = 1v => FEC = 1v =>EH = FC
2 =FH mµ FH=FA+AH=AC
3 + AC
3 = AC
3 =BMEH=BM (ĐPCM) (2đ)
A F K
N
E
C B