Đề thi Khá khó, giải chi tiết - Dành tham khảo cho thi GVG và HSG

A. Trình bày lời giải đề thi sau. Câu 1: Cho một biểu thức : 2 x 11 x 2 2 x 1 A x 5 x 4 x 1 4 x + = + 1. Tìm x để biểu thức có nghĩa 2. Rút gọn A. Câu 2 : a. Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 P a b b c c a = + + là số hữu tỉ. b. Tính giá trị biểu thức : ( ) 3 3 P x y 3 x y 2008= + + + Biết : 3 3 3 3 x 3 2 2 3 2 2; y 17 12 2 17 12 2= + + = + + Câu 3 : Giải phơng trình : x 1 3 x 1 2 x 1 4 2 2 = Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6 cm, AD = 4 cm. M là một điểm bất kì trên cạnh AB (M không trùng với Avà B). Qua M kẻ các đờng thẳng d, d lần lợt song song với AC, BD, chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N, Q. Qua N kẻ đ- ờng thẳng song song với BD cắt CD tại P. Tìm vị trí của M trên AB để diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất. Câu 5: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm của cạnh OB, N là trung điểm cạnh CD. H là chân đờng cao hạ từ M của tam giác AMN. Chứng minh AMN là tam giác vuông cân, từ đó tính độ dài đoạn AH theo a. B. Trên cơ sở lời giải trên, xây dựng hớng dẫn chấm cho đề thi với thang điểm nh sau: Câu 1: 4 điểm Câu 2: 5 điểm Câu 3: 4 điểm Câu 4: 3 điểm Câu 5 :4 điểm 1 A. Trình bày lời giải :. Câu 1: T biểu thức : 2 x 11 x 2 2 x 1 A x 5 x 4 x 1 4 x + = + 1. Để biểu thức có nghĩa, khi và chỉ khi : ( ) ( ) x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 1 x 4 0 x 5 x 4 0 x 1 0 x 1 x 1 x 1 0 x 1 0 x 16 x 4 0 x 4 4 x 0 x 4 0 + 2. Rút gọn A : Với x 0;x 1;x 16 , ta suy ra đợc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 11 x 2 2 x 1 A x 1 x 4 x 1 x 4 2 x 11 x 2 x 4 2 x 1 x 1 A x 1 x 4 2 x 11 x 4 x 2 x 8 2x 2 x x 1 A x 1 x 4 2 x 11 x 4 x 2 x 8 2x 2 x x 1 A x 1 x 4 x 1 x 2 x x 2 A x 1 x 4 x 1 x 4 x 2 A x 4 + = + + + = + + + = + + + + = + + = = + = Câu 2 : a. Với a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, ta đợc biểu thức P có nghĩa. Biến đổi biểu thức P, ta đợc : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b c c a a b c a a b b c P a b b c c a + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c a P a b b c c a + + = 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a c b a b c a P a b b c c a   − − + − − + −   ⇒ = − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a a b c a a b c a P a b b c c a a b c a a b c a 2 a b c a . a b c a P a b b c c a a b c a 2 a b c a . a b c a a b c a P a b b c c a a b c a a b c a P   − − + − + − − + −       ⇒ = − − −     − − + − + − + − − − + −     ⇒ = − − −     − − + − − − + − + − + −             ⇒ = − − −  − − + − + −      ⇒ = { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 a b b c c a a b c a a b c a P a b b c c a   − − −       − − + − + −       ⇒ = − − − V× a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ, nªn suy ra : ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a b c a a b c a   − − + − + −       vµ ( ) ( ) ( ) a b b c c a− − − còng lµ c¸c sè h÷u tØ. Do ®ã : ⇒ P lµ mét sè h÷u tØ (®pcm). b. Víi : 3 3 3 3 x 3 2 2 3 2 2; y 17 12 2 17 12 2= + + − = + + − Ta cã : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 33 3 3 2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x 3x 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 + 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 +3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2. 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2. 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 − = + + − − + + − = + − + + − + + − − + − − = + + − + + + − + + − + − − + − − 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 = + + + + + + + + + ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 3 32 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 = 3+3=6 = + + + + + + + = + + + + + + Tơng tự, ta cũng đợc : 3 y 3y 17 17 34 = + = Biến đổi biểu thức P, ta dợc : ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 P x y 3 x y 2008 = x 3x y 3y 2008 = + + + + + Vậy, giá trị của biểu thức P bằng : P = 6 + 34 + 2008 = 2048 Câu 3 : Từ phơng trình : x 1 3 x 1 2 x 1 4 2 2 = Ta có điều kiện xác định của phơng trình là : x 1 0 x 1 Phơng trình đã cho tơng đơng với : ( ) ( ) 2 1 3 x 2 x 1 2 x 1 4 2 1 3 x 1 2 x 1 1 2 x 1 2 2 x 1 1 4 x 1 3 x 1 1 4 x 1 3 x 1 3 9 9 x 1 x 1 1 4 16 16 x 1 x 1 1 4 x 1 3 4 x 1 3 0 x 1 x 1 1 4 x 1 3 9 x 1 x 1 1 3 4 x 1 16 x 1 1 3 4 x 1 = + = = = + = = = = = 4 9 9 x 1 x 1 9 16 16 x 1 16 2 4 4 x 1 x 1 1 3 x 1 2 3 9 9 9 9 9 x 1 x 1 x 1 16 16 16 4 16 16 5 x 1 4 x 1 x 1 1 5 25 25 = = + = = = = = + = + Trờng hợp thứ nhất : 4 9 x 1 1 9 16 = (loại) + Trờng hợp thứ hai : 16 9 x 1 1 25 16 = (thoả mãn) Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là : 16 x 1 25 = . Câu 4: k j i x y 4-y 6-x d' d P q O M N C D BA Bài làm : Gọi O, I, J, K lần lợt là tâm của hình chữ nhật ABCD, giao điểm của MN với BD, , giao điểm của MQ với AC, giao điểm của NP với AC. Gọi khoảng cách từ điểm M đến điểm A là x (cm), thì khoảng cách từ điểm M đến điểm B là : 6 - x (cm). Gọi khoảng cách từ điểm Q đến điểm A là y (cm), thì khoảng cách từ điểm Q đến điểm D là : 4 - y (cm). Vì : d' BD, hay : MQ BDP P và: d AC, hay : MN ACP P nên suy ra : AM AQ x y x 6 x x 6 x 6 3 AB AD 6 x 4 y y 4 y y 4 y 4 2 + = = = = = = + hay suy ra : 2 y x 3 = Vì : O là trung điểm của BD (tính chất hình chữ nhật) 5 nên suy ra : J là trung điểm của đoạn thẳng QM. Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc: I là trung điểm của đoạn thẳng MN. K là trung điểm của đoạn thẳng NP. MQ NPP và MQ = NP Tứ giác MNPQ là hình hành MN = QP AMQ CPN (g.c.g) = và BMN DPQ (g.c.g) = Do đó, suy ra : Diện tích của tứ giác MNPQ đợc xác định bằng : MNPQ MNPQ AMQ BMN S S 2(S S )= + Y X V V mà : 2 ABCD S AB.AD 6.4 24(cm )= = = X 2 AMQ 1 1 S AM.AQ x.y(cm ) 2 2 = = V và : ( ) ( ) 2 BMN 1 1 S BM.BN 6 x . 4 y (cm ) 2 2 = = V suy ra : ( ) ( ) [ ] ( ) MNPQ 1 1 S 24 2 x.y 6 x . 4 y 24 xy 24 6y 4x xy 2 2 = 24 - 2xy 24 6y 4x 2xy 6y 4x = + = + + + = + + Y thay 2 y x 3 = , vào ta đợc : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 MNPQ 2 2 2 2 2 4 1 S 2x. x 6. x 4x 8x x 4x 24x 36 36 3 3 3 3 1 = 36. 2x 6 12 2x 6 12, do : 2x 6 0 3 = + + = = + = Y với mọi x. Theo đó, để diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 12 cm 2 , thì phải xảy ra : ( ) 2 2x 6 0 2x 6 0 x 3 (cm) = = = hay điểm M là trung điểm của cạnh AB của hình chữ nhật ABCD đã cho. 6 Câu 5: n a 2 a a 45 45 45 h b o m c d a Chứng minh : Đặt : ã BAM = . Ta có : ã ã ã ã 0 ABD ADB BDC ACD 45= = = = (tính chất của hình vuông) suy ra : ã 0 OAM 45 = Ta lại có : OAB vuông cân tại O và DAC vuông cân tại D (tính chất của hình vuông) OAB DAC : OA DA OB DC = Vì M là trung điểm của cạnh OB và N là trung điểm của cạnh CD (giả thiết) 1 1 OM OB; DN DC 2 2 = = (tính chất trung điểm của đoạn thẳng) Xét OAM và DAN , ta có : 1 DA OA DA OM 2 1 OB DC ON DC 2 = = = (theo chứng minh trên) và : ã ã 0 AOB ADC 90= = (tính chất của hình vuông) OAM DAN : (theo định lý Ta-let, c.g.c) ã ã 0 DAN OAM 45 = = (hai góc tơng ứng) Vì tia AN cắt đoạn thẳng DC trong góc DAC, nên suy ra tia AN nằm giữa hai tia AD và AC. suy ra : ã ã ã DAC DAN OAN = + (tính chất tia nằm giữa hai tia) hay suy ra : ã ã ( ) 0 0 0 OAN 45 DAN 45 45 = = = Vì tia AC nằm giữa hai tia AM và AN (do N thuộc cạnh CD), nên suy ra : ã ã ã ( ) 0 0 MAN OAN OAM 45 45 = + = + = 7 Mà : H là chân đờng cao hạ từ M của tam giác AMN (giả thiết), tức là tam giác AMN vuông tại H và có : ã 0 MAN 45= (chứng minh trên) suy ra : AHM vuông cân tại H (do tam giác vuông có một góc 45 0 ). ã 0 AMH 45 = Xét tứ giác OMAH, dễ thấy : ã ã 0 AOM AHM 90= = OMAHY nội tiếp (có hai đỉnh kề nhau H và O, cùng nhìn cạnh AM dới cùng một góc 90 0 - quỹ tích cung chứa góc). ã ã 0 AOH AMH 45 = = (hai góc nội tiếp cùng chắn ẳ AM ) ã ã AOH ACD = (ở vị trí đồng vị) OH CN P Suy ra : OH là đờng trung bình của tam giác ACN. AH HN = Suy ra MH là đờng trung tuyến của tam giác AMN. Vì MH vừa là đờng cao, đồng thời là đờng trung ttuyến của tam giác AMN, nên suy ra tam giác AMN cân tại M. Thêm nữa, lại có một góc : ã 0 MAN 45= suy ra tam giác AMN vuông cân tại M (đpcm). * Tính độ dài đoạn AH theo a : Theo chứng minh trên, ta suy ra : 1 AH AN 2 = Trong tam giác vuông DAN, có : 2 2 2 AN DA DN= + (định lý Pitago) Suy ra : 2 2 AN AD DN = + mà : 1 a DN DC 2 2 = = và AD = a do đó ta tính đợc : 2 2 2 2 2 2 1 1 a 1 5a a 5 AH DC DN a 2 2 2 2 2 4 = + = + = = ữ C. Trên cơ sở lời giải trên, xây dựng hớng dẫn chấm cho đề thi với thang điểm nh sau: Câu 1: 4 điểm Câu 2: 5 điểm Câu 3: 4 điểm Câu 4: 3 điểm Câu 5 :4 điểm 8 . lời giải đề thi sau. Câu 1: Cho một biểu thức : 2 x 11 x 2 2 x 1 A x 5 x 4 x 1 4 x + = + 1. Tìm x để biểu thức có nghĩa 2. Rút gọn A. Câu 2 : a. Cho. cân, từ đó tính độ dài đoạn AH theo a. B. Trên cơ sở lời giải trên, xây dựng hớng dẫn chấm cho đề thi với thang điểm nh sau: Câu 1: 4 điểm Câu 2: 5 điểm