Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia.. b Xét hình chữ nhật ABCD và điể[r]
(1)Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số (Năm học 1992-1993) a b c d ab cd Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức: Chứng minh rằng: c = d Bài 2: Chứng minh: x ax b x 2 cx d 2x 2 2 1 2 Với a, b, c, d thoả mãn điều kiện a b c d Bài 3: Cho a , a , a 10 là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 12 a 22 a 10 a 10 a a a Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4) a) Tìm điểm C trên Ox cho các véc tơ OA, CB cùng phương? b) Tìm trên đường thẳng x = điểm M cho MBA 45 Đề số (Năm học 1993-1994) Bài 1: Cho phương trình: 4x x 5 k a) Giải phương trình với k = b) Tìm các giá trị k để phương trình có nghiệm Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau: 2 i) Hai phương trình x ax và x bx có nghiệm chung ii) Tổng a b nhỏ Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ phương trình: y 3x x Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3) a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn: 2MA 3MB 4MC b) Tìm tập hợp điểm N cho: NA NB NC Lop10.com (2) Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số (Năm học 1994 – 1995) Bài 1: a) Chứng minh: 3 21930 1945 29 b) Đơn giản biểu thức: A 1890 19 sin x cos x cos x sin x cos x cos x sin x 0 (với x 180 ) Bài 2: Cho hàm số f ( x ) x x 1 x x 1 a) Tìm tập xác định D hàm số b) Tìm các giá trị xD cho f(x) là số Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c Tìm phương tích trọng tâm G tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác b) Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA M, N, P thoả mãn AN BP CM Chứng minh tam giác ABC Đề số (Năm học 1995-1996) Bài 1: Giải hệ phương trình sau với các ẩn số x, y, z: x y z 2 x y z 3 x y z Bài 2: a) Cho a , b, c R vµ a b c Chứng minh rằng: ab bc ca b) Gọi x , x là nghiệm hệ: x x x x , Chứng minh rằng: x x Bài 3: Cho tam giác ABC a) Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức: IA 3IB 6IC Lop10.com (3) Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) b) Cho điểm E và F di động mặt phẳng thoả mãn điều kiện: EF EA EB 2EC Tìm bao hình đường thẳng EF Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm K cố định nằm đường tròn với OK = k Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó Hãy xác định vị trí dây cung AB trường hợp sau: 2 2 a) Tổng KA KB đạt giá trị nhỏ và tính giá trị đó b) Tổng KA KB đạt giá trị lớn và tính giá trị đó Đề số (Năm học 1996-1997) Bài 1: Giải hệ phương trình: x 3y x x y y y 3x x y2 n n n n 1 1 2; n Z, n n n n Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: n Bài 3: Chứng minh diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức: S x A x B y C y B x C x B y A y B Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) M là điểm chuyển động trên O Tìm vị trí 2 điểm M để biểu thức: T MA 2MB 3MC đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn Tính các giá trị đó Đề số (Năm học 1997 – 1998) Bài 1: a) Cho A x R / x ; B x R / x Tìm A B; A B ? b) Cho tập hợp điểm trên mặt phẳng A1 ; A ; A ; A ; A ; A đó không có điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn A i A j nối điểm đó tô màu đỏ xanh Chứng minh tồn ít tam giác A i A j A k có cạnh đồng màu Bài 2: Cho phương trình: x x m a) Tìm m để phương trình có nghiệm âm Lop10.com (4) Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x thoả mãn: x 12 x 22 x 22 x 12 7 c) Tìm giá trị lớn hàm số f ( x ) x ( x ) trên [0; 2] Bài 3: a) Cho ABC Chứng minh: cos A cos B cos C cot g A cot g B cot g C sin B sin C sin A 3 b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm A, B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng hình vuông AMNP và MBQR Chứng minh: ARBN Đề số (Năm học 1998 –1999) Bảng A Bài 1: Chứng minh phương trình: x y x a y b c 2 2 có nghiệm thì bất đẳng thức sau đúng: 3c a b 2 Bài 2: Cho hàm số: f : N Q thoả mãn điều kiện: * * a) f (1) , và b) f (1) f ( 2) f ( n ) n f ( n ) n Hãy tìm công thức đơn giản f ( n ) ? Bài 3: Giải phương trình: 5x 14 x x x x 20 Bài 4: a) Cho n véc tơ a , a , , a n đôi không cộng tuyến Trong đó tổng (n-1) véc tơ bất n véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại Chứng minh rằng: a a a a n (Hai véc tơ cộng tuyến là véc tơ nằm trên hai đường thẳng song song trùng nhau) b) Cho ABC, AM và BN là hai trung tuyến Chứng minh rằng: AMBN 1 tgC tgA tgB Đề số (Năm học 1998-1999) Bảng B Bài 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn: x, y > 0; x+y Lop10.com (5) Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y2 xy xy Bài 2: (Bài bảng A) Bài 3: Giải phương trình: x x 1 x x 1 Bài 4: a) Cho O là điểm ABC Chứng minh: S BOC OA S AOC OB S AOB OC b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c) Chứng minh rằng: Nếu a+b < 3c thì: tg A B tg 2 Đề số (Năm học 1999-2000) Bài 1: Cho a i , b i R, (i 1,2,3) a) Chứng minh rằng: a 12 a 22 a 32 b 12 b 22 b 32 a b a b a b b) Giả sử a a a a a a Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a 14 a 42 a 34 Bài 2: a) Giải hệ phương trình: xy x y xz 2 x z yz y z b) Tìm tất các số nguyên x, y, z thoả mãn phương trình: x 3y 9z Bài 3: a) Cho a 0, b Chứng minh rằng: a.b a b cos a , b b) Chứng minh tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và BC vuông góc thì cos B c) Cho ABC không cân, đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng A1, B1, C1 Gọi M là giao điểm BC và B1C1 Chứng minh rằng: MO vuông góc với AA1 Lop10.com (6) Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số 10 (Năm học 2000-2001) 2 Bài 1: a) Tìm giá trị m để phương trình: x mx m có nghiệm x [ 1;1] b) Cho hệ phương trình: ax12 bx c x ax bx c x ax n 1 bx n 1 c x n ax bx c x n n Tìm điều kiện a, b, c để hệ trên: - vô nghiệm - có nghiệm Bài 2: Tìm tất các cặp số nguyên không âm (a;b) để phương trình x abx a b có nghiệm nguyên Bài 3: a) Cho ABC và điểm A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Tính giá trị biểu thức S BC.AA' CA.BB' AB.CC' b) Cho ABC có AB = 3, BC = 5, AC = và AD, CE là phân giác cắt P Tính AP Bài 4: a) Tìm điểm M ABC để MA+MB+MC nhỏ b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đường chéo AC, BD cho trước và góc hai đường chéo đó có độ lớn đã cho Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ Đề số 11 (Năm học 2001-2002) Bảng A Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: “Mọi hình tứ giác có đường tròn ngoại tiếp nó” b) Giải phương trình: x x x Bài 2: a) Cho x, y, z không âm thoả mãn: xy yz zx xyz Chứng minh rằng: x y z xy yz zx b)Tìm tất các đa thức P(x) thoả mãn: xP( x 1) ( x 2002) P( x ) Bài 3: a) Cho ABC, O là điểm cho OA OB OC Đường thẳng () cắt các đường thẳng OA, OB, OC A’, B’, C’ Chứng minh rằng: Lop10.com (7) Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) OA OB OC 0 OA' OB' OC' b) Cho ABC, ta vẽ các đường phân giác Giao điểm A’, B’, C’ chúng với các cạnh đối diện tạo thành A’B’C’ Chứng minh rằng: S(A' B' C' ) 2abc a b b c c a S(ABC) (S là diện tích tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh) Đề số 12 (Năm học 2001-2002) Bảng B Bài 1: (Bài bảng A) Bài 2: a) Với giá trị nào k thì hệ sau có nghiệm: x 5x kx b) Bài 2a) bảng A Bài 3: Cho ABC, O là điểm cho OA OB OC a) Chứng minh O là trọng tâm ABC b) Gọi AA’, BB’, CC’ là các trung tuyến tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài cạnh Chứng minh rằng: 2MA.MA' MB.MC 3MO a b2 c2 Đề số 13 (Năm học 2002-2003) Bảng A Bài 1: a) Chứng minh tam giác ABC có cạnh là a, b, c thì: a b c b c a b) Giả sử phân giác góc A cắt BC Y, phân giác góc B cắt AC Z, phân giác góc C cắt AB X Chứng minh rằng: AX BY CZ XB YC ZA Bài 2: a) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn: a b c 25; x y z 36; ax by cz 30 Hãy tính giá trị biểu thức: P abc xyz b) Cho hai phương trình x 3x 2a và x x 5a Lop10.com (8) Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Tìm tất các giá trị a để phương trình có nghiệm phân biệt và nghiệm phương trình này có đúng nghiệm phương trình Câu 3: a) Cho điểm A, B cố định với AB = a Tìm tập hợp điểm P thoả mãn PA PB2 k (k là số thực không âm) b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC Phân giác góc DAM cắt BC N Hãy xác định vị trí M để AN đạt giá trị nhỏ MN Đề số 14 (Năm học 2002-2003) Bảng B: Bài 1: a) Bài 1a - Bảng A b) Cho a, b, c >0 và a + b + c = Chứng minh rằng: ab bc ca Bài 2: Bài – Bảng A Bài 3: a) Bài 3a – Bảng A b) Cho tam giác ABC và P là điểm thuộc mặt phẳng tam giác Gọi K, L, M là hình chiếu vuông góc P lên các đường thẳng BC, CA, AB Hãy xác định vị trí P cho tổng BK CL2 AM nhỏ Đề số 15 (Năm học 2003-2004) Bảng A: Bài 1: a Giải phương trình x x x 12 x b Giả sử đa thức f(x) có các hệ số nguyên và các giá trị f(0); f(1) là số lẻ Chứng minh f(x) không thể có nghiệm nguyên Bài 2: a Tìm điều kiện để hàm số sau xác định trên [0; 1) y x m 2x m b Cho a, b, x, y thoả mãn các điều kiện: 0ba 4 ab7 2 x 3 y y x y 2 a b 2x Tìm giá ttrị nhỏ s Bài 3: Cho tam giác ABC cạnh a Trên các cạnh BC, CA, AB tam giác, lấy các điểm M, N, P cho BM a 2a ; CN ; AP x , x a 3 Lop10.com (9) Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) a Tính x theo a AM vuông góc PN b Cho H là điểm thuộc miền tam giác ABC nói trên Gọi H1H2H3 là các điểm đối xứng H qua các cạnh tam giác Chứng minh trọng tâm tam giác H1H2H3 không phụ thuộc vào vị trí điểm H Đề số 16 (Năm học 2003-2004) Bài 1: Bài Bảng A Bài 2: a) Bài 2a Bảng A a b c 4 b) Cho a, b, c thoả mãn: Chứng minh rằng: a , b, c ; 3 ab bc ca Bài 3: Cho tam giác ABC cạnh a Trên các cạnh BC, CA, AB tam giác, lấy các điểm M, N, P cho BM a 2a ; CN ; AP x , x a 3 a Chứng minh PN 3x (AC AB) a b Tính x theo a AM vuông góc PN Lop10.com (10)