Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải Tài liệu toán ôn thi vào lớp 10 phần đại số rất hay và chi tiết, bao gồm tóm tắt lý thuyết, ví dụ và lời giải
Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 MỤC LỤC PHẦN I - ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ - BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa bậc hai: Các công thức vận dụng Định nghĩa bậc ba 4 Tính chất bậc ba II – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Dạng 2: Căn bậc hai số học Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 5: Tìm x Dạng 6: So sánh Dạng : Rút gọn biểu thức tập liên quan đến rút gọn 10 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 20 CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT 30 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 30 Hµm sè bËc nhÊt 30 1.1- Khái niệm hàm sè bËc nhÊt 30 1.2 - TÝnh chÊt 30 1.3 - Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) 30 1.4 - Cách vẽ đồ thị hµm sè y = ax + b (a 0) 30 1.5 - VÞ trí t-ơng đối hai đ-ờng thẳng 30 1.6- HƯ sè gãc cđa ®-êng th¼ng y = ax + b (a 0) 30 II CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 30 Dạng 1: Xác định hàm số cho hàm đồng biến – nghịch biến 31 Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số bậc toán liên quan 32 Dạng 3: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng 34 Dạng toán 4: Xác định hàm số bậc nhât 35 Dạng 5: Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng lớn nhất, nhỏ 37 Dạng 6: Xác định tham số m để đồ thị hàm số y=f(x,m)thỏa mãn điều kiện cho trước 38 Dạng 7:Chứng minh điểm thẳng hàng 39 Dạng 8: Tìm m để đường thẳng đồng quy (cùng qua điểm) 40 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 42 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 CHUYÊN ĐỀ - HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 47 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 47 Giải hệ phương trình phương pháp 47 Giải hệ phương trình phương pháp cơng đại số 47 II –Các dạng tập 47 Dạng 1: Giải hệ phương trình phương pháp 47 Dạng 2: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số 48 Dạng 3: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 48 Dạng 4: Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình vơ nghiệm 49 Dạng 5:Xác định giá trị tham số m để hệ phương trình cho có nghiệm nhất, tìm nghiệm 49 Dạng 6:Tìm nghiệm x, y có chứa tham số m sau tìm GTLN GTNN biểu thức cho trước 50 Dạng 7: Hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 51 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 57 CHUYÊN ĐỀ 4: HÀM SỐ y = ax ,(a 0) 64 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 64 I)Hàm số y = ax ,(a 0) 64 II)Phương trình bậc hai ẩn 64 1.Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng 64 2.Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai 64 3.C«ng thøc nghiƯm thu gän : 64 HƯ thøc Vi-et vµ øng dơng: 64 III) Các dạng tập 65 III - BÀI CÓ LỜI GIẢI 74 IV Bài tập áp dụng 89 CHUYÊN ĐỀ 5: GIẢI BÀI TOÁN 93 BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG - TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH 93 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 93 Phương pháp chung: 93 Một số dạng toán thường gặp 93 II - BÀI TẬP MINH HỌA 93 Dạng 1: Bài tốn Hình học 93 Dạng 2: Bài tốn Tìm số 95 Dạng 3: Bài toán dân số, phần trăm 96 Dạng 4: Bài toán Năng suất 97 Dạng 5: Bài toán Chung - Riêng 99 Dạng 6: Bài toán Chuyển động 102 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Dạng 7: Bài toán thực tế vận dụng 109 III - BÀI TẬP TỰ LUYỆN 112 CHUYÊN ĐỀ 121 BẤT ĐẲNG THỨC - TÌM GIÁ TRỊ MIN - MAX CỦA BIỂU THỨC 121 I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ 121 Phương pháp chung 121 Phương pháp riêng: 121 2.1 Sử dụng số bất đẳng thức cổ điển thông dụng: 121 2.2 BÊt ®¼ng thøc Cauchy (Cosi): 121 2.3 Bất đẳng thức Bunhiacopski: 121 2.4 BÊt đẳng thức Trê- B Sép: 121 II - BÀI TẬP MINH HỌA 121 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 PHẦN I - ĐẠI SỐ ***** CHUYÊN ĐỀ - BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI I - KIẾN THỨC CẦN NHỚ x Định nghĩa bậc hai: Với a , x = a x = a * Tính chất: + Số âm khơng có bậc hai + Số có bậc hai số 0, ta viết = + Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: số dương ký hiệu a , số âm ký hiệu − a Các công thức vận dụng A2 = A * Hằng đẳng thức: A.B = A B với A 0, B * Khai phương tích: A = B * Khai phương thương: A B với A 0, B * Đưa thừa số từ vào từ dấu A B với A A B= ( A2 B = A B với A ) A B = − A2 B với A< ( A2 B = − A B với A< 0) * Khử mẫu biểu thức lấy căn: A = B AB với A.B 0, B B * Trục thức mẫu: A = B A B với B> B C AB = C A B C ( = C AB A − B2 ( ) A B A− B ) Định nghĩa bậc ba x = a x3 = a Tính chất bậc ba * A.B = A.3 B *3 A = B A B với B LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 II – CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Phương pháp giải: +) A để biểu thức có nghĩa A để biểu thức có nghĩa A A +) +) để biểu thức có nghĩa A A +) Định lí dấu nhị thức bậc : Nhị thức ax+b ( a ) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức Bài 1: Tìm x để thức sau có nghĩa a) 2x b) x2 c) x d) x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) b) c) Để thức có nghĩa thì: 2x 2 Để thức có nghĩa thì: x x2 x x x 2x nên x2 x2 x x Để thức có nghĩa thì: d) 2x nên x Để thức có nghĩa x x lý) Vậy không tồn x để thức có nghĩa Bài 2: Tìm điều kiện xác định biểu thức a) A = b) B = x − 2x −1 nên x2 (vô x − 2x + HƯỚNG DẪN GIẢI a) Để biểu thức A có nghĩa x − x − Cách 1: x − x − x − x + ( x − 1) x − 2 x −1 x +1 x − − x − + LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 x +1 Vậy để biểu thức có nghĩa x − + Cách2: x − x − x − x + − ( )( ) ( x − 1) − x − − x − + Bảng xét dấu: 1− x x −1− - x −1+ - + + - ( x − − )( x − + ) - 1+ + + + x +1 Vậy để biểu thức có nghĩa x − + Dạng 2: Căn bậc hai số học Phương pháp giải Với a 0, a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học Bài 1: Tìm bậc hai số học số sau: a) 49 b) 36 c) 64 d) 1,21 HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có 49 = Vì 72 = 49 Phần b, c, d làm tương tự Chú ý: Phép tìm bậc hai số học số không âm gọi phép khai phương Bài 2: Tìm bậc hai số sau: a) 64 b) 81 c) 1,44 d) 121 HƯỚNG DẪN GIẢI a) Vì bậc hai số học 64 nên 64 có bậc hai 8 Phần b, c, d làm tương tự Chú ý: Từ bậc hai số học ta suy bậc hai Dạng 3: Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải: + Trục + Khai phương tích, thương + Đưa thừa số vào trong, dấu LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Bài 1:Tính 5+ 5- a) B = + 5- 5+ 1 b) C = 5 + 20 + HƯỚNG DẪN GIẢI 5+ 5- (5 + )2 + (5 - )2 a) B = + = 5- 5+ (5 - )(5 + ) 25 + 10 + + 25 - 10 + 60 = 20 = 25 - 1 b) C = 5 + 20 + = + 4.5 + 5 =5 +2 + =3 Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp giải: + Khai phương tích, thương + Đưa thừa số vào trong, dấu + Dùng đẳng thức Bài 1: a)x b)x = c)x2 3x d)x 2 5x HƯỚNG DẪN GIẢI a)x 3 ta có ta dùng đẳng thức phân tích đa thức thành nhân tử: x x b)x2 c)x2 3x d)x x2 5x x 32 x x2 x x x 3x 5x 3 (x x 3)2 Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử ( với a, b, x, y số không âm) a )ab + b a + a + b) x − y + x y − xy HƯỚNG DẪN GIẢI LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a )ab + b a + a + = b a2 + b a + a + =b a = ( ( ) ( a +1 + )( ) a +1 ) a +1 b a +1 x3 − y + x y − xy = ( ( =( =( = ) ( x3 − y + )( x + y )( x + y )( x x y − xy ) ) x− y xy + y + xy x− xy + y + xy x− + y2 ) ( ) x− y ) Dạng 5: Tìm x Phương pháp giải: +)Phân tích đa thức thành nhân tử đưa phương trình tích +) Với a , ta có : Nếu x = a x x = a Nếu x x = a x = a g ( x) +) f ( x) = g ( x ) f ( x) = ( g ( x ) ) Bài 1:Tìm x khơng âm biết a) x 15 b)2 x 14 c) x d) 2x HƯỚNG DẪN GIẢI a) x 15 b)2 x c) x d) 2x 152 x 14 x x x x 225 49 2x 16 x Bài 2: Tìm x a) 9x2 2x b) x2 6x 3x c) 4x 4x2 HƯỚNG DẪN GIẢI a) 9x2 Cách 1:Vì 2x x = 3x nên x2 = x + 3x = x + (1) TH1: x x , (1) 3x = x + x = (TM) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 TH2: x x (1) −3x = x + x = − (TM) Vậy x = 1, x = − nghiệm phương trình Cách 2: −1 2x + x 9x 2x 2 x = x + ( ) 9 x = x + x + −1 x =1 x −1 5 x − x − = x = Kết hợp với điều kiện giá trị x cần tìm x = ; x = b) x + x + = 3x − x2 + x + = ( x + 3) −1 = x+3 Nên x + = 3x − (2) TH1: x + x −3 , (2) x + = x − x = (TM) TH2: x + x −3 ,(2) − x − = 3x − x = − (loại) Vậy x = nghiệm phương trình c) − x + x = − x + x2 = − x Nên − x = (3) TH1: − x x ; (3) − x = x = −2 (TM) TH2: − x x ; (3) − x = −5 x = (TM) Vậy x = −2; x = nghiệm phương trình Chú ý: Ở Bài ta biến đổi làm thức, đưa giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối học lớp Tùy vào mà áp dụng cách cách cách hợp lý : Ở câu hỏi trắc nghiệm có phương án lựa chọn em thay đáp án vào biểu thức thỏa mãn biểu thức nghiệm phương trình Dạng 6: So sánh Phương pháp giải: Với hai số a b khơng âm ta có : a b a b Bài 1: So sánh a) 15 b) 11 c) 25 + 25 + HƯỚNG DẪN GIẢI LUYỆN THI VÀO LỚP 10 d) − -2 Trang Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a) Ta có : 42 = 16, 152 = 15 16 15 nên 15 b) Tương tự ví dụ 25 + =6, c) Ta có 25 + =8 nên Ta có − = −2 Vì nên bất đẳng thức đổi chiều) 25 + 25 + − − ( suất dấu âm nên Vậy − −2 Chú ý : Ở câu hỏi trắc nghiệm có phần so sánh em bấn máy tính so sánh Dạng : Rút gọn biểu thức tập liên quan đến rút gọn Phương pháp giải : Quy đồng, dùng đẳng thức, trục thức… Đối với tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ sau rút gọn ta áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ‘với hai số a,b khơng âm ta có a + b ab dấu ‘=’ xẩy a=b” Bài 1: (Đề tuyển sinh vào 10 Hà Nội 2018-2019) x +4 x +1 − B = với x 0; x x+2 x −3 x +3 x −1 a) Tính giá trị A x=9 b) Chứng minh B = x −1 A x c) Tìm tất giá trị x để + B HƯỚNG DẪN GIẢI Cho hai biểu thức A = a) Vì x=9 thỏa mãn điều kiện nên A = 9+4 = −1 b) Với x 0; x Ta có: B= = = = x +1 − x+2 x −3 x +3 x +1 x +1 − = − x + x − −1 x + ( x − 1) + (2 x − 2) x +3 ( x − 1) ( x +3 ( x − 1) ( ( ) x +1− x −1 − = x +3 x +3 ( x − 1) x + 3 x +1 x +3 ) ) ( = ) ( x − 1) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 10 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 (x − y ) − 2 BĐT cuối nên ta có ®iỊu ph¶i chøng minh Bài 16:Cho xy 1.Chøng minh r»ng: 1 + 2 1+ x 1+ y + xy HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta cã: 1 + 2 1+ x 1+ y + xy 1 1 + − − 2 + x + y + y + xy xy − x xy − y + (1 + x ).(1 + xy) (1 + y ).(1 + xy) x( y − x) y( x − y) + 0 + x (1 + xy ) + y (1 + xy ) ( ) ( ) ( y − x )2 (xy − 1) (1 + x )( + y ).(1 + xy) BĐT cuối xy > 1.Vậy ta có điều phải chứng minh Bi 17:a) Cho a , b, c số thực a + b +c =1 Chøng minh r»ng a + b + c b) Cho a,b,c lµ số d-ơng 1 Chứng minh (a + b + c ). + + a b c HƯỚNG DẪN GIẢI: a) ¸p dơng BĐT BunhiaCôpski cho số (1,1,1) (a,b,c) Ta cã: (1.a + 1.b + 1.c ) (1 + + 1).(a + b2 + c ) ( 2 (a + b + c ) a + b + c ) (vì a+b+c =1 ) (đpcm) 1 1 b) (a + b + c ). + + a b c 2 a +b +c a a b b c c + + +1+ + + +1 b c a c a a a b a c b c 3+ + + + + + b a c a c b 1+ áp dụng BĐT phụ x y + y x Víi x,y > Ta cã B§T ci cïng LUYN THI VO LP 10 Trang 127 Biờn soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 1 1 VËy (a + b + c ). + + a b (đpcm) c Bi 18: Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta cã |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = Vµ x − + x − = x − + − x x − + − x = (1) (2) VËy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| 1+3 = Ta cã tõ (1) DÊu b»ng x¶y x (2) DÊu b»ng x¶y x Vậy T có giá trị nhá nhÊt lµ x Bi 19: Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x), víi x,y,z > vµ x+y+z =1 HƯỚNG DẪN GII: Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Côsi ta cã:x+ y + z 3 xyz 1 xyz xyz 27 ¸p dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta cã ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) 3 ( x + y ) ( y + z ).( x + z ) 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) DÊu b»ng x¶y x=y=z= VËy S 8 = 27 27 729 Vậy S có giá trị lớn nhÊt lµ x=y=z= 729 Bài 20: Cho xy+yz+zx = Tìm giá trị nhỏ x + y + z HƯỚNG DẪN GIẢI: Áp dơng B§T Bunhiacèpski cho sè (x,y,z) ;(x,y,z) ( xy + yz + zx ) Ta cã ( x2 + y + z ) 2 ( x2 + y + z ) (1) Áp dơng B§T Bunhiacèpski cho ( x , y , z ) vµ (1,1,1) Ta cã ( x + y + z ) (12 + 12 + 12 )( x + y + z ) → ( x + y + z ) 3( x + y + z ) Tõ (1) vµ (2) 3( x4 + y + z ) x4 + y + z LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 128 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 VËy x + y + z có giá trị nhỏ x=y=z= 3 Bài 21: Tìm số nguyên x,y,z thoả mÃn x2 + y + z xy + y + z − HNG DN GII: Vì x,y,z số nguyên nªn: x + y + z xy + y + z − x + y + z − xy − y − z + y2 y2 x − xy + + − 3y + 3 + z − 2z + ( ) y y x − + − 1 + ( z − 1) 2 2 (*) y y Mµ x − + − 1 + ( z − 1) x, y R 2 2 2 y y x − + − 1 + ( z − 1) = 2 2 y x − = x =1 y −1 = y = 2 z =1 z −1 = x =1 Các số x,y,z phải tìm y = z =1 Bài 22: Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x 2y , tìm giá trị nhỏ x + y2 biểu thức: M = xy HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1(không sử dụng BĐT Cơ Si) Ta có M = x + y ( x − xy + y ) + xy − y ( x − y ) + xy − y = = = xy xy xy ( x − y)2 3y +4− xy x Vì (x – 2y)2 ≥ 0, dấu “=” xảy x = 2y y x x ≥ 2y −3 y −3 , dấu “=” xảy x = 2y x LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 129 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Từ ta có M ≥ + - = , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M , đạt x = 2y Cách 2: x2 + y x2 y x y x y 3x = + = + = ( + )+ Ta có M = xy xy xy y x 4y x 4y Vì x, y > , áp dụng bdt Cô si cho số dương x y x y x y + 2 =1 , ; ta có 4y x 4y x 4y x dấu “=” xảy x = 2y Vì x y x y x ≥ 2y = , dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ + = , dấu “=” xảy x = 2y Vậy GTNN M , đạt x = 2y Cách 3: Ta có M = x2 + y x2 y x y x y 3y = + = + = ( + )− xy xy xy y x y x x Vì x, y > , áp dụng BĐT Cô si cho số dương x 4y x 4y x 4y ; ta có + = y x y x y x dấu “=” xảy x = 2y −3 y −3 , dấu “=” xảy x = 2y x Từ ta có M ≥ 4- = , dấu “=” xảy x = 2y 2 Vậy GTNN M , đạt x = 2y Vì y x x ≥ 2y Cách 4: x2 x2 3x x x2 + y2 + y2 + + y2 + y2 x +y x 3x = Ta có M = = = + = + xy xy xy xy xy xy 4y 2 Vì x, y > , áp dụng bdt Co si cho số dương x2 x2 x2 + y2 y = xy , ; y ta có 4 dấu “=” xảy x = 2y Vì x y x y x ≥ 2y = , dấu “=” xảy x = 2y Từ ta có M ≥ 3 xy + = 1+ = , dấu “=” xảy x = 2y 2 xy LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 130 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Vậy GTNN M , đạt x = 2y Bài 23:Cho a,b,c số dương thỏa mãn a+ b + c =4 Chứng minh : a + b3 + c 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1: = 4a + 4b3 + 4c ( a + b + c ) a + ( a + b + c ) b3 + ( a + b + c ) c a + b4 + c4 = a+b+c =4 Do đó, a3 + b3 + c3 4 = =2 4 Cách 2: Đặt x = a; y = b;z = c => x, y , z > x4 + y4 + z4 = BĐT cần CM tương đương: x3 + y3 + z3> 2 hay (x3 + y3 + z3 ) > = x4 + y4 + z4 x3( -x) + y3( -y)+ z3( -z) > (*) Ta xét trường hợp: - Nếu sô x, y, z tồn it nhât sô , giả sử x x3 2 Khi đo: x3 + y3 + z3> 2 ( y, z > 0) - Nếu sơ x, y, z nhỏ BĐT(*) đung Vậy x3 + y3 + z3> 2 CM Bài 24: Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x + 2y = Chứng minh rằng: + 3 x y HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có x + 2y = x = – 2y , x dương nên – 2y > Xét hiệu 2 y + − 4y − 3y(3 − 2y) 6(y − 1)2 + −3 = + −3 = = ≥0 x y − 2y y y(3 − 2y) y(3 − 2y) ( y > – 2y >0) x 0,y x 0,y x = 1 dấu “ =” xãy x = − 2y x = + x 2y y = y − = y = LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 131 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Bài 25: Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn: b + d ac 2 b+d Chứng minh phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d)=0 (x là ẩn) ln có nghiệm HƯỚNG DẪN GIẢI: Xét phương trình:x2 + ax + b = (1) x2 + cx + d = (2) 1 + = (a − 4b) + (c − 4d ) = a − 2ac + c + 2ac − 2(b + d ) = (a − c) + 2ac − 2(b + d ) + Với b+d 0 >0 pt cho có nghiệm ac ac > 2(b + d) => 1 + b+d => Ít hai biểu giá trị 1 , => Ít hai pt (1) + Với b + d Từ (2) có nghiệm Vậy với a, b, c, d số thực thỏa mãn: b + d ac 2, b+d phương trình (x2 + ax +b)(x2 + cx + d)=0 (x ẩn) ln có nghiệm Bài 26: Khơng dùng máy tính cầm tay , tìm số ngun lớn khơng vượt q ( S, đóS = + ) HƯỚNG DẪN GIẢI: Xét hai số a = + b = - Ta có : a + b = ab = 1, 0< b < (a+b)3 = 43 = 64 => a3 + b3 = 64 - 3ab(a + b) = 64 - 3.1.4 = 52 (a3+b3)(a3 + b3) = 52.52 => a6 + b6 = 2704 - 2(ab)3 = 2704 - = 2702 => a6 = S = 2702 - b6 (*) Do 0 MN hay 1 AM > AB 1 CP > BC (*) (4) (5) Từ (4), (5), (6) suy ra: 1 1 1 1 BN + AM + BN + CP + CP + AM > AB + BC+ AC 3 3 3 2 2 (AM + BN + CP) > (AB + AC + BC) 3 (AB + BC + CA) < AM + BN + CP (**) Từ (*), (**) suy ra: (AB + BC + CA) < AM + BN + CP < AB + BC + CA 2 x − y − y = Bài 29: Giải Hệ PT (2 x + y − 1) x − y − = (4 x − y − 3) x + y HƯỚNG DẪN GIẢI: 2 x − y − y = 3(1) (2 x + y −1) x − y − = (2 x − y − −1) x + y (2) Từ (2) đặt x +2y = a ; 2x–y –1 = b (a:b 0) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 134 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Ta dc (2a-1) b =(2b –1) a ( a − b )(2 ab + 1) = a = b x = 3y + thay vào (1) ta dc 2y2 – y – 1= => y1 = ; y2 = –1/2 => x1 = ; x2 = –1/2 Thấy x2 + 2y2 = –1 < (loại) Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (4 ; 1) Bài 30: Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh 1 + 1 xy xz HƯỚNG DẪN GIẢI: Vì x + y + z = nên suy x = – (y + z) Mặt khác: Thay 1 11 1 1 + + + x x dương (*) xy xz x y z y z x = – (y + z) vào (*) ta có : 2 1 1 + − ( y + z) − + y + − + z − y + − z 0 y z y z y z Luôn với x, y, z dương, dấu xảy chỉ : y = z = 1, x = Bài 31: Cho x; y R , thỏa mãn x2 + y2 = Tìm GTLN : P = x y+ HƯỚNG DẪN GIẢI: Từ x + y = −1 x, y − y + + Vì P = x y+ x = P( y + ) thay vào x + y = Đưa pt: ( P + 1) y + 2P y + 2P − = Dùng điều kiện có nghiệm pt bậc hai P PMax x = =1 y = − Bài 32:Giảiphươngtrình: + x − x = (2 + x ) − x HƯỚNG DẪN GII: Đặt x = t ; x = v §K v, t ≥ t + 2v = (2 + v).t (t − v)(t − 2) = t = v hc t=2 NÕu t= th× − x = x = (TM) NÕu t = v th× − x = x x = 3,5 Bài 33: Cho a,b,c số thực khác không thoả mãn: LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 135 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 a (b a b (c c) 2017 b 2017 c c (a a) 2017 b) 2abc Hãy tính giá trị biểu thức Q a 1 2017 2017 2017 b c HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có: a (b b (c c) 2 a b a c b c ( a 2b b a) ab( a b) c (a a) b a (c a c (a (a b)(ab c2 (a b).(a c).(b b) c a c 2b) b) ac 2abc cb b 2c b) bc ) c) 2abc (2abc c (a 0 a 2c) 0 0 *TH1: a+ b=0 Ta có a b a 2017 a b 2017 c 2017 c b ta có Q 1 1 a 2017 b2017 c 2017 Các trường hợp lại xét tương tự Vậy Q a 1 2017 2017 2017 b c Bài 34: Cho x 0, y thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= −2 xy + xy HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1: Ta có A = −2 xy xy 1 + xy 1 −A = = = + + xy + xy −A xy xy Vì x 0, y A − A 1 Amin − Amax −A −A Mặt khác ( x − y ) x + y xy xy Do (vì xy ) xy 1 + = Dấu “ = ” xảy x = y −A 2 x 0, y x=y= Từ x = y 2 x + y = 1 = − Vậy A = − x = y = Lúc A = 3 1+ −2 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 136 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Cách 2: Với x 0, y ta có x2 + y 2 xy xy + xy 2 + xy + xy Do A = −2 xy = −2 + −2 + = − + xy + xy 3 Dấu “=” xảy x = y x 0, y x=y= Từ x = y 2 x + y = Vậy A = − 2 x = y = Cách 3:Với x 0, y x2 + y = Ta ( có ) 2 2 −2 xy + xy − xy x + y − xy ( x − y ) A+ = + = = = 0 A− 3 + xy (1 + xy ) (1 + xy ) (1 + xy ) Dấu “=” xảy x = y = A+ 2 Vậy A = − x = y = 2 a a −2 xy 0; ( b ) + a + axy − 2bxy a x + y − ( 2b − a ) xy b b + xy ( ) a 2b − a a 2 a x + y − xy 2b − a = a b a = Bài 35:Cho số x,y thỏa mãn x 0; y x + y = Tìm giả trị lớn nhỏ A = x2 + y2 HƯỚNG DẪN GIẢI: * Tìm Min A Cách 1: ( x + y ) = x + xy + y = Ta có: ( x − y ) = x − xy + y Cộng vế với vế ta có: ( x + y ) ( x + y ) A Vậy Min A = 1 Dấu “=” xảy x = y = 2 Cách Từ x + y = x = − y Thay vào A ta có : 1 A = (1 − y ) + y = y − y + = 2( y − )2 + y 2 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 137 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Dấu « = » xảy : x = y = Vậy Min A = 1 Dấu “=” xảy x = y = 2 * Tìm Max A 0 x x x x2 + y x + y = Từ giả thiết suy y y 0 y Vậy : Max A = x = 0, y x − x + 3x − 4y − = Bài 36 : Giải hệ phương trình: x + 4y x + 2xy + 4y + = x + 2y HƯỚNG DẪN GIẢI: Từ (2) suy x + 2y ≥ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 2(x + 4y2 ) = (12 + 12 )[x + (2y) ] (x + 2y) x + 4y (x + 2y) x + 2y = (3) Dấu xảy x = 2y Mặt khác, dễ dàng chứng minh được: Thật vậy, x + 2xy + 4y x + 2y (4) x + 2xy + 4y x + 2y x + 2xy + 4y (x + 2y) (do hai vế 3 ≥ 0) 4(x2 + 2xy + 4y2) ≥ 3(x2 + 4xy + 4y2) (x – 2y)2 ≥ (luôn x, y) Dấu xảy x = 2y Từ (3) (4) suy ra: x + 4y + x + 2xy + 4y x + 2y Dấu xảy x = 2y Do (2) x = 2y ≥ (vì x + 2y ≥ 0) Khi đó, (1) trở thành: x4 – x3 + 3x2 – 2x – = (x – 1)(x3 + 3x + 1) = x = (vì x3 + 3x + ≥ > x ≥ 0) y = Vậy nghiệm hệ cho (x = 1; y = ) Bài 37: Chứng minh Q = x − 3x3 + x − 3x + với giá trị x HƯỚNG DẪN GIẢI: Q = x − 3x + x − 3x + LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 138 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 = ( x4 − x3 + x2 ) + (1 − 3x + 3x2 − x3 ) = x2 ( x − 1)2 + (1 − x)3 3 = (1 − x)2 ( x − x + 1) = (1 − x)2 ( x − x + + ) = (1 − x)2 ( x − )2 + 0x 4 4 Bài 38: Trên cạnh hình chữ nhật đặt điểm tùy ý Bốn điểm tạo thành tứ giác có độ dài cạnh x, y, z , t Chứng minh rằng: 25 x2 + y2 + z2 + t2 50 Biết hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng HƯỚNG DẪN GIẢI: Giả sử hình chữ nhật có độ dài cạnh đặt hình vẽ Với: a, b, e, f a+b = e+f = 4; c, d, g, h c+d = g+h = Ta có: x = h2 + a ; y = b2 + c ; z = d + e2 ; t = f + g x + y + z + t = (a + b ) + (c + d ) + (e + f ) + ( g + h ) (*) 2 2 • Chứng minh: x + y + z + t 50 a, b Vì nên a + b (a + b) = 16 Tương tự: c + d 9; e2 + f 16; g + h 2 2 Từ (*) x + y + z + t 16 + + 16 + = 50 (1) 2 2 • Chứng minh: x + y + z + t 25 Áp dụng bất đẳng thức Bu - nhi - a- cớp – xki , ta có: (a + b)2 16 2 2 2 (1 + )(a + b ) (1.a + 1.b) a + b = 2 16 2 2 Tương tự: c + d ; e + f ; g + h 2 16 16 2 2 Từ (*) x + y + z + t + + + = 25 (2) 2 2 2 2 Từ (1) (2) 25 x + y + z + t 50 (đpcm) Bài 39: Cho hai số thực x, y thỏa mãn: x2 + y x + y Chứng minh rằng: x+ y 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: Cách 1: LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 139 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 (x + y) ; x, y Nhận xét: xy (x + y) (x + y) 4xy (x − y) 0; x, y Thật vậy: xy (đúng) Do từ giả thiết: x + y x + y ( x + y)2 x + y + xy ( x + y)2 x + y + ( x + y)2 ( x + y)2 2( x + y) ( x + y )( x + y − 2) (*) Vì x + y x + y 0; x, y , nên ta xét trường hợp sau: • Nếu x2 + y = x = y = x + y = • Nếu x2 + y x + y , từ (*) suy ra: x + y − x + y Từ suy ra: x + y Dấu xảy x = y = Cách 2: Áp dụng BĐT Bu nhi a cốp xki: x, y , ta có: (1.x + 1.y)2 (12 + 12 )(x + y2 ) (x + y)2 2(x + y2 ) (x + y)2 2(x + y) (x + y)(x + y − 2) (*) Vì x + y x + y 0; x, y , nên ta xét trường hợp sau: • Nếu x2 + y = x = y = x + y = • Nếu x2 + y x + y , từ (*) suy ra: x + y − x + y Từ suy ra: x + y Dấu xảy x = y = Bài 40:Cho a,b hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ 2 + a − 2b + Chứng minh: + a + 2b HƯỚNG DẪN GIẢI: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta có: 1 1 + 2 + = (1) (bđt Côsi) a + 2b + a + b + 1 (a + 1)(b + ) 2 (a + 1)(b + ) + + a + 2b a +1+ b + (a + 1)(b + ) 2 (bđt Cô si) (2) LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 140 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Từ (1) (2) suy ra: + + a + 2b Dấu “=” xảy chỉ : a + = b + a + b = a = b = 4 Bài 41: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1 + a b HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta có (a + b) – 4ab = (a - b) (a + b)2 4ab (a + b) ab 4 1 P + , mà a + b 2 (a + b) (a + b) b a (a + b) ( a - b )2 = 4 a=b= P Dấu “ = ” xảy (a + b) 2 a + b = 2 Vậy: P = LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 141 ... pháp cộng đại số phương pháp dựa vào điều kiện tìm giá trị m để kết luận hệ phương trình có nghiệm LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 49 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Bài 1: Đề thi vào 10 Phú Thọ... qua A có hệ số góc m a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt M N b) Xác định m để MN ngắn LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 45 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 46... dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông OAB Sau tính khoảng cách, ta tìm Min, Max khoảng cách y=4x+5 nên a = LUYỆN THI VÀO LỚP 10 Trang 37 Biên soạn: Vũ Xuân Hưng-0965225972 Bài 1: Đề thi vào 10